一篇对研究生学习很好的文章

一篇对研究生学习很好的文章 11998 年的夏末，我来到了南京。踏上南京的第一步， 就喜欢上了这个城市，道路两旁郁郁葱葱的树木，淡淡的 有些忧郁的没落贵族气质，还有公车上的 ppmm.我几乎已经 预料到自己以后的生活肯定与这个城市紧紧联系在一起了。 不过刚见到老板时，还是有些失望。偶总以为偶的这位老 板应该是穿着中山装，把头发梳得一丝不乱，表情严肃的 老头子。可是。 。 。可是他却完全跟我想像的相反，松松垮 垮的衬衣，乱糟糟的卷曲的黑白相间的头发，说话时不停 地变换姿势，比如一会儿抓抓袜子，一会儿又挠挠头发。 但还是有一些比较令人兴奋的事情，除了 3 个师兄外，还 有 3 个师姐，虽然资色平平，但偶在同学间师姐是最多的， 老板这倒是给偶赚足了面子。数学系那时研究生比较少， 偶们年级总共才 16 个，其中 2 个女生。偶宿舍里的 5 个全 是基础专业的，论年龄偶竟然排行老二，真的很 ft。开学 交一大堆表时看到了一个巨 pp 的 mm，至今难忘。然后开班 会，辅导员有点婆婆妈妈，但是个不错的人。没过几天， 系里让我们买教科书，胶印盗版，10 元一本，黑得一塌胡 涂。第一学期开了两门课一门是现代分析，Rudin 的书，另 一门是近世代数，Jacbson 著。书都是很好的书。上分析的 是刚毕业的博士 w，当时系主任的得意弟子，因为有点瘸， 背地里有人说他像 heros 3 里面的僵尸，后来我们一玩这 个游戏时，就想起了他。此公讲得如何，偶没有什么印象， 因为偶基本就没有听过。书里的东西基本都是本科学过的， 没有什么兴趣，只是偶尔上习题课时跟此公较量几个回合 （偶还因此在系里成了一个小名人，这倒是很意外） 。代数 是我们系年轻有为的老师 d,此公讲课简直让偶 ft 到家，从 上课到下课，课本从来没打开过，口若悬河，照本宣科， 速度奇快，仿佛在放鞭炮。布置作业更绝，他可以不打开 书然后说题目在书上哪一页哪一行。此公的课偶更是没听， 偶的听力一直很差，一直以为代数乏味得很，d 的课更是把 这门课推向了乏味的极至。然后偶强烈要求老板给偶开专 业课。于是老板给偶一本 Shore & Nerode 写的 Logic for applications.两个人是师徒关系，都是大牛，据说 Shore 比较委屈，Nerode 只给这本书写了一页，而且 Shore 还没 有采纳，但仍然挂了他的名字，谁让人家是师父捏？这本 书是写给 CS 的学生看的，通俗易懂，而且用 CS 观点写， 比较有意思。然而更有意思的是书的附录，里面列举了 97 年以前所有的逻辑读物。Shore 的认真确实让人佩服，他几 乎对每本书都做了评论，偶以后看的文献基本上都是按照 这本书的建议做的。但这个书是门 Introduction 性质的， 偶花了一个月，匆匆看完，然后要求老板再找一本。老板 好像有点不耐烦，让偶看 Cutland 的 computability。这又 是一本写给 CS 的学生看的递归论入门读物。书确实写得很 好，CS 味道很浓，而且写得也很严谨，看这本书感觉非常 轻松。因为早就对集合论有了兴趣，因此忙里偷闲，按照 Shore 的建议找了 Kunen 的 set theory 来读。现在想想， 有点后怕，当时真的不知道天高地厚。Kunen 的书是极好的， 但是对于一个几乎没有什么逻辑背景的来说，看他的书几 乎是看天书。里面的绝对性，相对性弄得我晕头转向，看 到一半就没了力气。但是第一章里面的 appandix 以及穿插 在书中的一些 remark 却深深吸引了我。作者是很注重集合 论的哲学背景，并且将集合论的方法的发展写得非常有条 理，行文细腻。这个学期我看了这本书两遍，几乎没有什 么大的收获，倒是对 Plato 的哲学有了些兴趣，到处找他 的书看。自己还找了 & Keilser 的 model theory 以及 Takeuti 的 proof thoery 来读。前一本是模型论的经典读 物，自然是极好的。但是后面几章因为涉及大基数，几乎 无法看懂（一个感觉，逻辑只要涉及集合论，就不会那么 轻松） 。但因为偶对模型论没有很大的兴趣，因此也没有花 很大的气力去研读它。后面那本的作者是日本人，借来后， 没有细看，匆匆翻了一边，不知道做证明论的为什么总是 跟 cut 规则过不去。学期末的时候，老板让我看 Rogers 的 Recursively enumerable and effective（书名很 长） ，这是递归论中极为经典的一本书，只是年代太久。里 面的内容是非常丰富的，除了递归论，还有能行描述集合 论的内容。老板说，有些人做了一辈子递归论也没看懂这 本书。就这样，一个学期过去了，考完试的那天，正好发 了这个学期改成人高考试卷的钱，晚上大家买了酒菜到宿 舍吃。那是非常疯狂的一个晚上，几个光棍一直吃到半夜， 对面宿舍也跑过来一起吃，一直把菜吃玩，还有不少酒， 这时候外面已经没有菜卖了，于是大家连花生皮也不放过， 偶依然记得自己用筷子夹花生皮吃的情形。一直喝得 2 个 家伙烂醉，还有一个上了医院。以后再也没有这么疯狂过。 这个学期，l 师兄毕业，留校.过年是高兴的也是无聊的， 盼望着开学。第二个学期，只上一门课：代数拓扑。上课 的老师是 c,此公年近 60，腿有些跛，拄着拐棍，每天由夫 人送着来学校，风雨无阻。课讲得倒是认真，只是水平太 差。基本上是照着书念。于是偶逃课。开始看 Rogers 的书， 这本书的前面几章现在看来仍然没有过时，作者把递归论 的本质讲的非常透彻。然而书没看多久，老板让我看 Soare 的 recursively enumerates and degrees.作者是个大牛， 书倒是不怎么样，虽然已经成为标准的教科书。书中的内 容很狭窄，几乎只讲优先方法。这本书是极难读的，但却 是递归论的必读书。看得很累，0,0还有 0.没有人教， 只管自己看，有问题就去问 l 师兄，然后师兄直骂偶笨。 但总算 怎怎孽 地把 0看完了，前后 2 个月的时间，老 板大吃一惊，说我是不是在看小说，哪有这么快的。期间 还看了了 Lempp 写的关于树方法的一个草稿，非常好，至 少比 Soare 的好一些，但是一样的难看。现在回想，这个 稿子不适合初学者看的，里面的一些方法过于 tricky，很 多东西只有对递归论有了非常深的理解后才能看懂。再看 Kunen 的书，第三遍。这一次感觉好多了，找到了看书的感 觉。对定理的证明，尤其是 forcing, 有了直观的印象。但 是对于 inner model 还是不太懂。这个学期看的书不多， 但是花了不少力气。这个学期也是非常热闹的一个学期， 师兄 z 博士毕业，3 个师姐一个师兄硕士毕业，大吃大喝， 偶也跟着蹭饭吃。第一学年的生活是枯燥而充实的，以后 再也没有像这个学期那样玩命地看书了（除了在中科院的 那段时间） 。每天花在看书上的时间至少 9 个小时。宿舍里 4 个半光棍（那半个处于若即若离的分离状态） ，仅有的娱 乐是打牌。偶的牌技又极臭，所以也不愿意打。现在回想 起来，真的很怀念那段时光，很佩服自己能够耐得住那么 大的寂寞，一心看书。学期末的时候，斜对面宿舍买了一 台机器，平生头一次看了 a 片，颇值得纪念一番。后来我 们宿舍自己盘算着凑份子买了一台，偶是 2 股东。这台机 器彻底改变了偶以后的研究生生活。 。 。 。 。2 暑假改高考试卷。 第一次，有些紧张。组长是 Kolmogorov，刚毕业的博士。 改这种卷子很累，开始大家还比较谨慎，改的比较慢，几 天后人就成了机器，目光在一张卷子上的停留时间不超过 5 秒。没几天我们组就抓到大错，一个中学老师卷了铺盖滚 蛋了。当年偶们的卷子也是这样改的吧。在家里住了大概 一个月，知道一个本科同学自杀了，吓了一跳。然后回南 京，玩 heros 2，还有三国群英传 II。老板出国了，于是 我一直玩到国庆以后。老板回来了，问我这几天干了些啥？ 偶连哄带骗，说找了一个题目来做。题目是 Jockusch 的一 个几十年的猜测：是否存在一个非平凡的 low 的度跟任何 一个 low 的度的 join 仍然是 low 的。看上去很简单，后来 才知道无数人做过。没几天，以为自己做出来了，赶紧告 诉老板。然后当天晚上做了一个梦，梦见自己做错了，第 二天醒来，一想，真的错了。这件事还被同宿舍的同学告 诉偶了师兄，很 ft.然后继续做。当时自己想到了几个非常 有意思的技巧，可是仍然不能攻克这个问题。偶一直认为 这个猜想是错的，但老板和 l 师兄认为是对的，并且鼓动 我从正面考虑。师兄也隔三差五 announce 他证明了这个结 论。但所有的努力都白费了，整整一个学期花在这个题目 上，一无所获。看 Kunen 的书第四遍。一个研究生同学因 病死了，我们这台机器还是托他买的。至今还记得参加追 悼会时看见两个很时髦的小子匆匆赶到会场（看装束他们 似乎不在邀请之列） ，躲到走廊的小角落里掏出两分崭新的 计算机杂志，用打火机点燃，然后摸着眼泪哭的情形。这 个学期，偶经常去机房了，看到总是有人盯着黑压压的屏 幕，聚精会神地看着什么，觉得有趣，于是也看。这是偶 第一次接触 bbs。当时什么也不懂，用 guest 身份登陆，然 后写了一大段不知什么东西要发表的时候，屏幕弹出匆匆 过客没有发表文章的权限的字样，当场 ft 至死。后来就申 请了这个 id，只是一直看，没有发过帖子.学期结束了，又 回家过年。过完年回到学校，打算继续上个学期的题目。 发了一个 email 给 Jockusch，问他这个猜想是否解决了， 然后他告诉我 Cholak, Slaman 他们已经否定地解决了。找 了他们的 paper 来看，大 ft.很多思路几乎跟偶一样，一个 关键的把 link 改为 connection 的 0技巧竟然跟偶不谋 而合，但是他们成功地把一直困扰偶的对于 outcome 的猜 测的问题攻克了，因为这个偶曾经一度认为用现在的 0 方法无法解决这个问题。但从此以后，偶对老板的直观再 也不相信了。heros 3 出来了，疯狂地玩。然后重新找题目， 找到了一个 Downey83 年提的一个问题，关于 wtt 的问题。 这个问题是比较无聊的，但因为自己要直博，想先把南大 的指标完成然后干其他事情，于是开始做这个问题。 Downey 是个思路极快的人，如果能用他的老办法解决这个 问题，他肯定早已解决。现在回想，我那时还不知道怎么 写论文。仍然想用 pinball machine 的方法去解决这个问 题。当然是一无所获，只得到一个半路子结果。戏剧性的 是，发现以前 l 师兄的一篇被数学学报接受的但没有发表 的论文的主要结果竟然可以用 3 句话推出来。写完后，老 板让我投 Acta Math Sinica，那是这个杂志已经被 Springer 收购，档次已经提升了。偶觉得中标的希望很渺 茫，或者很有可能被打到中文版发表，但仍然投了。这时 候我跟老板说了想去中科院学集合论的希望，老板答应了， 并且开始跟中科院的冯琦联系，那边答应让我下个学期过 去。这个学期偶直博了。5 月份，来了一个做模型论的华人， 跟偶们讲了现代模型论发展的一些方向，偶的任务就是陪 他玩。这个学期颇为值得纪念的一件事情是：偶第一次在 bbs 发帖子。37 月下旬在南大开了一次全国数理逻辑会议， 见到了冯琦。会议的档次比较低，宣称证明了连续统假设 的人没来参加会议，有个南开的老头在大会上宣布他的最 新研究成果：当一个人的年龄是素数时最容易出成果，一 个盐城师范的老师证明了一个众所周知的定理。这次大会 上，老板当选为数理逻辑学会理事长。在家里住了一个月， 回到学校。疯狂地玩 heros 3,一直到八月底。带着一大箱 行礼来到北京。住在中科大研究生院旁边的 88 楼，发现很 多行礼没必要带，托运行礼被人狠宰 400 大洋。住进宿舍 的第一天，就想着赶紧回南京。在北京的日子是寂寞的， 经常一整天除了跟打饭的大婶说一句话外，基本上把自己 做哑巴。冯琦是个大忙人，数学所副所长，不是办公就是 出国，很难见到。他让我看 Devlin 的 constructibility，inner model 的入门读物。十天后偶告 诉他偶看完了连续统假设。他不相信，让偶证明给他看。 结果他吃惊不小，说我怎么看得这么快，偶没有告诉他 Kunen 的书偶已经看了四遍了。然后继续往下看。这时候从 中山大学来了一个人，哲学系的，也跟冯琦做集合论。冯 琦也招了一个博士生。两个人的基础基本上是没有，冯让 我开讨论班给他们上 Jech 的 set theory。开了两次，中山 的那个就没来了，然后偶自做主张 cancel 了这门课。中山 的那位跟偶一个宿舍，很有意思，昼伏夜出，跟偶相反， 这样互不干扰，倒也不错。然后偶花了 2 个月时间看了 Devlin 的书的大部分，其中 Covering lemma 已经可以自己 证明，Jensen 分层及其应用也知道了，但 morases 以及 Silver machine 我想听冯琦讲，却找不到他。在中科院的 那段时间恐怕是偶研究生阶段最用功的时间，刚开始每天 除了看书几乎没有其他任何事情可以做，数学所图书室的 管理员都认识我了，偶几乎每天都是来的最早的。有些烦 人的是数学所的研究生们喜欢在图书馆开 party。然后偶又 看了 Jensen & Dodd 的 core model,不是很明白，急切地想 让冯琦讲，但他出国了。后来自己还试图看 Shelah 的 proper and improper forcing,看到第五章就没办法往下 看了，作罢。冯琦回来后已经是十二月了，偶已经无法忍 受数学所的寂寞，找个借口说要参加英语考试，回到南京。 结果这次考试失败了。这个学期开始迷恋上 bbs，数学所的 极度无聊的生活迫使我从网上打发时间。开始上西祠的聊 天室，然后是 bbs。那时的 bbs 在线一般 200 人左右，最多 时也就 400。那时刚看完连续统假设，于是在 bbs 上发连载 证明，权当检验自己学的如何。开始是不灌水的，甚至不 屑于去 D_maths。然后一个偶然的机会在 D_maths 跟一个数 学系的 mm 吵架，然后就无可救药的灌水了。灌得很厉害， 曾经一度被封过 ip，幸好那是 web 方式不完善，仍然可以 上。因为这个 id 曾经被封过很长的一段时间，于是申请了 那个臭名昭著的马甲。回到南京后更加疯狂地灌水，英语 考试的前一天还在看碟，打游戏，把在数学所瘀积的寂寞 统统发泄出来。这个学期偶和冯琦的关系不是很好，我给 人的感觉总是不是很尊敬的。后来才知道冯一度曾想让我 回南京，但是老板还是把我留在了北京。中山的那个回去 后就没有再来北京了。回家过年，然后直接去北京。到北 京的那天下很大的雪。冯是个理想主义者，我却是个现实 主义者。冯让我在所里跟他读博士，说南大的文凭不要算 了。我却盘算这如何在这个学期把论文写出来给南大交差。 冯很不高兴，但还是依着我。我自己找了个题目，关于用 game 研究 Boolean 代数的，冯给了我一篇明尼苏达大学的 一篇 paper,我很快解决了里面的一个 open problem，但冯 说没意思，让我做另外一个题目，那个题目他早年做过， 但没有结果。后来偶上网去查，发现 Shelah & Jech 已经 解决了。然后偶就想回南京。偶告诉了冯琦，冯很不高兴， 但也没有挽留。于是我像出笼的鸟儿一样回到了南京。到 了南京，疯狂地灌水，并且本年级的同学在偶的带动下也 都开始玩 bbs.一个同学在机房指指点点地告诉我那个是谁， 那一个又是谁。但是也不敢怠慢论文的事情。在 Slaman 的 主页上找到他和李昂生，杨跃合作的一篇论文，里面的一 个 open problem 吸引了我。于是去做。像以前一样，一段 时间以后，以为自己解决了，后来发现错了，于是反过来 看他们的论文，发现好像也有同样的问题。于是发 email 给 singapore 的杨跃，杨开始没看懂，于是偶更加坚信他 们的证明是错的。回信。终于杨跃看懂了，承认了这个错 误，但是认为可以改过来。我却很悲观，认为很难改。但 最终杨跃以几乎是 rape 的方法把错误修正了，他的方法破 坏了整个树的结构，强行从左边跳到右边。偶没有找到错 误，但不敢相信他的证明是正确的。他们的审稿人也许跟 我有同样的想法，这篇论文投至 math journal of Isreal，至今没有消息。我自己的论文也有了一个结果， 证明了一个高的度下面必然有 noncuppable 的高度，老板 想投 JSL，JSL 的主编 Downey 说这个结果 Harrington 已经 证明了。于是偶又修改，发现偶的结果远比 Harrionton 的 强，强得偶老板几乎不太相信。后来我们把稿子投到了中 国科学，并且推荐了几个审稿人，都是老外，因为我们信 不过国内的人审稿。这个学年显得有些疯狂，也有些凄凉。 因为硕士时的同学要毕业了。这个学年我们疯狂地玩星际 争霸，人人对战显得那么刺激。学校还有了 ftp,每天盘算 着看什么片子，快乐得一塌胡涂，以至于都不想毕业。但 终归都做鸟兽散了。很多同学要么出国，要么工作，剩下 几个没出息的都在国内读博士。还有一个比煤球还霉的家 伙四签不能过，留在国内待业。我也搬到了博士生公寓， 这才感觉到自己已经是个博士生了，不能像以前那样肆无 忌惮地在同学间胡乱开玩笑了，开始伪装自己，也是为了 保护自己。因为跟杨跃的交流，老板趁热打铁，向 NUS 的 副校长推荐偶去他们那里访问一段时间，Chong 很快答应了。 401 年暑假，我无可救药的网恋了。一个数学系的 mm，还 是老乡刚毕业，毕业前远远地只见过几次。开学后，忙着 办签证，本来计划在 Singapore 一个月的，因为上海搞什 么大型活动，签证办的很不顺利，拿到签证时只能在 Singapore 住 18 天了。去 Singapore 之前，偶跟杨跃已经 定下了要做的题目:给出第四个可定义的理想。几十年来递 归论中所知道的只有两个可定义理想:cappable 和 noncuppable。Shore 问是否有无穷多个可定义的理想。 Nies 证明了可定义集合生成的理想必然是可定义的，但这 并不能解决 Shore 的猜想，因为我们不知道这些集合生成 的理想是否相同。作为一个具体的例子，Nies 证明了 nonbounding 是新的可定义理想。但是他遗留了一个问题， 是否 cappable 跟 noncuppable 的交是非平凡的。如果不是， 那么就有第四个可定义理想。Slaman,李昂生，杨跃的论文 中有个构造 noncuppable 度的强有力的技巧。我们打算用 他们的技巧攻克这个问题。开始杨跃列了一个大纲，他想 用他那个极为丑陋的 jump 技巧，我觉得不行，建议改成 link，果然使难度降了很多。但中间有个小问题绊住了我 们，杨跃想到一个办法，但我认为行不通。所有这些都是 在去 Singapore 之前做的。启程，去 Singapore，因为我报 错了航班，害得杨跃在机场从下午等到晚上。杨跃果然疯 狂，我们坐在出租车里就开始讨论那个问题，一直到我的 住处，讨论到半夜，终于有了一个结果，那个问题克服了。 剩下的事情就是仔细地检验证明，证明是庞大的。在 Singapore 玩的地方不多，只去了 Orchard road 和 bird park，Orchard road 是偶这样的穷人不应该去的，bird park 倒是不错，看到了以前从没有看过的动物。Chong 请 偶吃了一顿豪华的晚饭。突然 gf(敲下这个字时手有些颤抖)要 跟我分手，不知所措，后面什么也干不了了。突然伊又说 等我回南京的时候她要去南京看我。女人的心，天上的云。 我回到了南京，论文写了一个草稿，我们觉得结果太单薄 了，想投个好一些的杂志，但是 JSL 正在严打 local 理论， 估计很难中，于是我们 announce 了一下这个结果，按住没 发。伊来南京过生日，我把在 Singapore 挣的一点钱都花 了进去。但像所有网友见面的情况一样，失望。伊觉得偶 没有网上那么坏，我也觉得自己在伊面前有些萎缩。不欢 而散。后面的日子好好坏坏。这时候，杨跃提出了一个更 大胆的问题，是否 noncuppable 和 nonbounding 生成的理 想严格地小于 cappable 的理想。题目看上去很难，因为有 些 Global 的味道，优先方法处理这类问题是非常困难的。 杨跃好像也没有把握，只是问了一下。但我却开始着手证 明。那是一个月朗星稀的晚上，我在北大楼门前徘徊，考 虑着这个问题。现在偶都惊讶于我的直观如此强，感觉这 个东西一定跟构造同时具有 cuppable 和 cappable 性质的 度有关。找了 Shore 当年的论文来看，发现那个技巧果然 可以用。大喜，告诉杨跃，杨跃对这个技巧不熟，但也很 高兴知道可以解决。他回到了北京的家，在北京他仔细推 敲了我的建议，认为是正确的。很高兴，毫不犹豫地投了 JSL，Downey 收下了稿子，转给了审稿人。这个学期有个同 学结婚了，娶了一个安徽的女孩儿。大家跑到合肥去喝喜 酒。当我在 Singapore 的时候，Nies 来到南京访问。他带 来了一个崭新的方向，算法信息论。我在 Singapore 从师 弟那里知道 Nies 讲的内容，问杨跃这个方向如何？他告诉 我有很多人在做。回到南京时 Nies 早已经走了，老板把他 留下的手稿给我。我被 Slaman 和 Kucera 的结果深深吸引， 随机性竟然这么奇妙，而且还有 Komogorov,Solovay 这样 的一代宗师从事过随机性的研究，引发了我的好奇。当时 最先考虑的一个问题是 Downey 的 sw 的完备性问题，开始 Downey 宣称他证明了 sw 有和 Solovay 度一样的性质，即 Kucera-Slaman 定理，我觉得很奇怪，就发 email 问他。然 后他说证明是错的，并且甚至不知道是否存在最大的 sw 度。 开始考虑这个问题。在去老板家的车站上等车时，想到了 一个方法，结果应该相反的，没有最大的 sw 度，而且甚至 应该有更奇怪的性质。我发 email 把想法告诉了杨跃，杨 跃对这个方向丝毫不懂，并且告诉我这个方向的容易做的 东西基本上做完了。于是我决定一个人做。但是突然重感 冒，回家，过寒假。开学，回到学校，继续做。这时候我 已经陷入了困境，发现我的最初的想法很困难。于是又想 从正面证明，一无所获，几乎要放弃。我感觉可能要用到 一些组合优化的结果，于是找了一些组合学的书来看。半 个月以后，我重新回到了这个题目上来。我先用计算机验 证我的想法，发现了一些很奇怪的现象，比我预计的要好 的多。于是坚定地认为我最初的想法是正确的。半个月以 后，我把证明写出来了。告诉老板。老板开始也很难相信。 为了讲我的结果，老板和师兄每周 2 次讨论班，花了一个 月时间，终于相信我的证明是正确的。很高兴，毫不犹豫 地投了 JSL。这是我当时最得意的一个结果，以前的东西基 本上都在整合别人的技巧，这一次却是原创的。Downey 后 来评价说我的证明是 original 的，但却 unreadable 的， 很难看懂，审稿人一年后才告诉 Downey 说他相信证明是正 确的。这个学期，一个师兄，一个师弟毕业。师兄 x 是个 有趣的人，做过副县长，有村干部的风度。但是很用功， 佩服得很。他的同龄人中很少见到这么用功的。师弟去了 美利坚。已经在 bbs 成为老油条，几乎到了人见人恨的地 步。最后终于决定跟伊分手。8 月底在重庆开亚洲逻辑会议， 着手准备。502 年的夏天改了最后一次高考试卷，竟然还做 了副组长。这个暑假看了李昂生给我带来的两本书 Moschovakis 的 Descriptive set theoryKechris 的 Classical Descriptive Set Theory 都是 descriptive set theory 的经典教科书。8 月底，参加重庆的亚洲逻辑 会议，这是 ICM 的一个卫星会议，档次比较高。可惜的是 Jensen 和 Slaman 取消了旅行计划，没有来。Woodin 在北 京匆匆做了一个报告后回了 Berkeley.但还好有 Gonchanov, Downey 撑场面。在重庆见到了,冯琦，杨跃，李昂生，还有 从未谋过面的师兄 s,相言甚欢。杨跃一见到我立即告诉我 Downey 去了一次 NUS，把他生生拽入了算法信息论领域。 我们围着西师的校园边走边聊，他还是那么疯狂。要感谢 杨跃和李昂生，他们在报告对我的结果的引用引起了 Downey 对我的兴趣。在重庆之前，我和老板有打算让他为 我写做博士后的推荐信，因此很高兴他注意到我的工作。 我自己也做了一个十五分钟的报告，非常失败。做完后 Downey 问了一个问题，我的糟糕的听力导致我根本没听懂 他说的，杨跃赶紧出来救场，向他做了解释.然后是玩， Downey 像个小孩儿，最后一天，大家看重庆的夜景， Downey 突然拉肚子，可能是重庆的火锅起反应了，开始强 忍着，最终还是跑回旅馆了。第二天见到他，他赶紧问我 去哪里玩了，晚上几点回来的，好不好玩。我故意逗他， 说很好玩，很晚回来。他不停地摇着他根本没有几根头发 的头颅，做叹息状。离开重庆前，冯琦问我愿不愿意跟他 做 inner model,我高兴地说当然愿意，但是这个学期不行， 我要申请博后，他很失望。Downey 在重庆给我出了一个题 目:有多少个随机的 H-度？他只要求我构造出两个。这个问 题最早可以追溯到 Solovay 的 75 年手稿，他构造了 2 个， 但是方法非常 tricky，不可能改进。后来 Kucera-Slaman 说 实数中只有一个随机的 H-度。不难证明 Chaitin 的随机 数下面有连续统多个 H-度，因此有多少个随机的 H-度很不 明朗。当时，算法信息论中 H-度的结果都是围绕着实数展 开的，因为我们不知道一般的实数中有多少个 H-度，使得 这一领域的研究陷于停滞。当时已经没有了论文的压力， 数学学报和中国科学的论文都已经收到接受函。写论文已 经变成一种娱乐，而且对游戏也不再感兴趣（老龄化的结 果） 。现在回想，也许只有在这种心态下才能作出这个结果 来。偶坚定地认为有不可数多个这样的 H-度。开始想用优 先方法构造，可以证明任何随机数 H-复杂性都会在某一段 掉下来，也可以证明任何随机数的 h-复杂性都会在某一段 升上去。一个自然的想法是对于任何一个随机实数，砍掉 掉下来的部分，用升上去的部分补充以得到一个更复杂的 实数。然而失败了，有限方法对此无效。放弃了一段时间， 看了一些算法信息论方面的论文。国庆以后，再次回到这 个题目上来。突然想到，随机性是不可把握的，而递归论 中的优先方法具有很强的构造性，根本不可能用这个方法 得到想要的结果。于是采用测度论和集合论的办法，每个 实数可以看成一个自然数集合，对它们赋予一种度量，就 有了测度。现在问题的焦点在于在 H(n)和 Log(n)之间找到 一条缝隙。如果有了第一个这样的实数，那么用测度论的 办法可以攻克这个问题。如何找到一个这样的实数？测度 论的办法太粗了，根本无法找到。最终又回到优先方法上 来，用优先方法，发现 Chaitin 的随机数就有这样的性质， 搞定！然后偶直接送给了 Downey，刚开始他没有看懂，说 有几个引理好像不对，dazed。我再检验，发现表述有问题， 修改后再给他看。很快，Downey 回信对这个结果大加赞赏， 在我的博士论文评语中，他称这个证明是 genuine 的。我 告诉他我准备投 SIAM J on Comput.他怕我因文害意，帮我 重新写了一遍，充实了一些内容，把自己放在第三作者。 这是我研究生阶段最好的结果，不知道以后还能不能作出 这样的东西来。但是有多少个 H-度仍然没有解决，我只证 明了存在不可数多了，但是否有连续统多个，仍然不清楚， Downey 猜测极可能是连续统多个，但是我却希望有个独立 性的结果出来。此后的生活有些堕落，疯狂地见网友，听 了无数报告，自己也做了不少报告。但这个学期也有很多 事情要做。最终要的是神情博士后，当时考虑的有: Berkeley,Wisconsin, UIUC。需要推荐信，Slaman 说对我 的工作不是很了解，但是答应写一个 recommendation 给 Berkeley 的委员会，Wisconsin 的 Lempp 和 UIUC 的 Jockusch 对我的工作兴趣较大，答应帮我申请。但是他们 告诉我竞争非常激烈，美国现在就业形式不好，做博后的 越来越多，Wisconsin 已经连续 2 年招了递归论的博士后， UIUC 的模型论势力非常大，递归论在那里只是一个小方向。 形式有些严峻。需要几分强有力的推荐信。于是自然找到 了 Downey，要求他给我写推荐信。Downey 回信说: you are in lucky 正好有一个面向全球的博士后位置，薪金非 常高，问我有没有兴趣。只字不提推荐信的事情。觉得不 好办，问老板，老板建议我答应下来。此前 Lempp 和 Jockusch 也建议我考虑一下 Downey 那里，并且考虑到美国 签证形势的严峻，我最终答应了去 NZ 那里。然后 Downey 要求我尽快拿到学位。于是着手准备毕业论文。论文的评 审分为 2 部分，一部分给研究生院看的，老板随便发给国 内几个人，其实根本没人能看懂。一部分自己留着有用， 老板想让 Nies, Lempp, Jockusch, Downey 写评语。Nies 没有回信（正常的很） ，Jockusch 写了简短的几句好话，然 后说自己很忙，没有充足的时间看。Lempp 写得有些过誉了， 我自己看得都不好意思。Downey 写得比较中肯，说我的毕 业论文中的语言糟糕成度是 appalling 的，应该找一个英 语为母语的家伙帮我重写（如果找他，不知道会不会答应） 。 并且早期的在数学学报中的一个结果被他近期的一个结果 涵盖了。然后开始忙着毕业，正好碰上 Chong 来南大谈 NUS 跟南大学术交流的事情，邀请他做答辩主席。很遗憾的是 答辩时没有带相机。答辩结束后，Chong 私底下跟我说了三 个字“很不错“。感动至死。老板请 Chong 和系里的头头在 古南都吃了一顿豪华的晚宴，那是我吃的最高档的一次。 到这个学期为止，我的研究生阶段就算结束了。然后开始 准备签证。突然系主任问我是否留校，开始答应下来，后 来发现如果留校，签证，薪金都有问题，于是连哄带骗， 让系主任签字给欧放行，逃离南大。这个学期的生活是非 常堕落的，还曾经试图追过一个 mm，失败得很。回家过年， 因为以后很难有机会在家里过年了，这次在家的时间特别 长。返校后，开始忙签证，手续很多，但总算比较顺利。 这个学期的生活是悠闲的，有机会把递归论各个方向都看 了一边，还看了 Kanamori 的 The Higher Infinite。期间 还给师弟们上过讨论班，现在的学生很让我 ft。老板还让 我带一个师妹做论文，累得偶吐血。Chong 和冯琦都安排了 计划来南京，该死的 SARS 使得所有的计划都 cancel 掉了。 一个偶然的机会，发现自己上个学期的那篇论文中的一个 推论可以彻底解决随机数中 H-度的问题，只花了一天时间 就写好了。再一次 Downey 帮我修改了稿子。投至 Proceedings of AMS，一个月以后收到了录用函。疯狂地 见网友，听报告，偶敲榨报告的水平在这个学期大有长进。 学期快要结束时，有个快要读研的小兄弟问我研究生生活 是怎样的。这才想起要写点什么。5 年的生活比看上去要短 得多，日子不经意地在自己的手中溜过。来南京的第一天 的情景仿佛就发生在昨天，车窗外道路两旁的郁郁葱葱的 树木，高低不齐地透出一