流体力学第5章 量纲分析和相似性原理

工程流体力学、水力学的问题，由于边界条件复杂，大多数不 能单纯依靠数学方法求得严谨的解析解；即使是少数可以求解 的问题，也要做相当多的简化和假定；对于重要的工程，为确 保工程安全，在付诸实施之前，一般还要经过模型实验的验证 。本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论，对流体力 学试验研究具有重要的指导意义。 主要内容： v量纲分析的意义和量纲和谐原理 v量纲分析法 v相似理论基础 v模型实验 （ 1） 量纲的概念 单位 是指量度物理量数值大小的标准，单位确定之后，一个具 体的物理量就有了对应的一个数值，有了比较意义上的大小， 这是物理量的 “ 量 ” 的特征。 量纲 是指物理量的物理属性。它包含物理量的基本物理要素 及其结合形式，表示物理量的类别，是物理量的 “ 质 ” 的特征 。 任何物理量都是由自身的物理属性（ 类别 ）和为度量该物理属 性而规定的量度标准（ 单位 ）两个因素构成的。即 “ 质 ” 的特 征和 “ 量 ”的特征 。 5.1 量纲分析的意义和量纲和谐原理 基本量纲具有独立性，比 如与温度无关的动力学问题 可选取长度 L、 时间 T和质 量 M为基本量纲。 基本量纲 诱导量纲 量纲 诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出 称为量纲指数 则 x 为几何学的量 则 x 为动力学的量 则 x 为运动学的量 如 运动粘性系数 动力粘性系数 思考：加速度的量纲是什么？力的量纲是什么？ 相同量纲量的比值 几个有量纲量通过乘除组合而成 如三角函数，无量纲速度等 定义： 物理量 的所有 量纲指 数为零 如压力系数 （ 2） 无量纲量 无量纲量的特性 客观性 不受运动规模影响 可进行超越函数运算 对正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其中各项的 量纲指数都分别相同。 （ 3） 量纲和谐原理 任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位制 变换而改变形式。 客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。 量纲分析法 是用于寻求一定物理过程中，相关物理量 之间规律性联系的一种方法。它对于正确地分析、科 学地表达物理过程是十分有益的。 5.2 量纲分析法 量纲分析法 是基于量纲和谐原理发展起来的。共有 2种 ：瑞利法和 定理。 （ 1） 瑞利法 则其中任何一个物理量 qi可以表示为其他物理量的指数的乘积 瑞利法的基本原理如下：若某一物理过程可用下面的函数表示 将各物理量的量纲代入上式，并根据量纲和谐原理，确定出指 数 a,b,c,p, 即可得到表达该物理过程的方程式。 瑞利法只能用于一些比较简单的过程 。 例 求初速度为零的自由落体运动位移 s的计算式（不计空气阻力） 解 ： （ 1） 已知位移 s和重力加速度 g和时间 t有关 ，物理过程可写为 （ 2）写出指数乘积关系式 （ 4）根据量纲和谐原理，有 （ 3）写出量纲式 （ 5）所以 无量纲系数 K可以用实验测定。 物理过程的有量纲表达形式为 ,其中 m 个物 理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这 m 个物理量组合成无量纲量 ， 定理的结论是：物理 过程的无量纲表达形式为 （ 2） 定理 若某物理过程涉及 n 个物理量，其中有 m 个物理量的量纲是 互相独立的（不能相互导出），选这些量纲为基本量纲，可组成 n-m 个无量纲量，物理过程则可由这 n-m 个无量纲量的关系式 描述。 （ 3）基本量依次与余下 n-m 个物理量组合成无量纲量 应用 定理的基本步骤 （ 1）找出与物理过程有关的 n 个物理量。 （ 2）选取 m 个物理量为基本量。不可压缩流动中， m=3，通常 取速度、密度和特征长度为基本量。 （ 5）整理方程式。 （ 4）定出各项指数。 例 求初速度为零的自由落体运动位移 s的计算式（不计空气阻力） 解 ： （ 1） 已知位移 s和重力加速度 g和时间 t有关 ，物理过程可写为 （ 2）选取基本量 （ 4）定出指数 （ 3）组合无量纲量 （ 5）整理方程式 无量纲系数 K可以用实验测定。 在量纲分析法中，将物理过程表示成了无量纲量的函数，似乎 物理过程涉及的因素减少了，其实涉及的物理量并未减少，只是 这些物理量组合成了若干无量纲量相互关联。比起有量纲表达来 ，无量纲表达更接近于相关物理量之间规律性联系的实质，也更 具普遍性。 应用 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物 理量时，既不能遗漏，也不要多列。 例 水流围绕桥墩流动时，将产生绕流阻力 D，该阻力与桥墩尺寸 l，水流速度 v，水的密度 ，动力粘度 及重力加 速度 g有关， 试 求阻力 D的表达式。 解 ： （ 1） 物理过程可写为 （ 2）选取基本量 （ 3）组合无量纲量 （ 4）定出指数 （ 5）整理方程式 为解决工程问题，需要进行实验。 大多数实验都是基于模型进行的。（扩大或缩小） 欲从模型实验结果推知原型流动情况，必须保证模型试验中的 流动和原型流动具有相似性。 什么样的流动才具有相似性？这就是相似理论要回答的问题。 53 相似理论基础 一 相似理论的意义 两个流动要相似，需满足以下四方面要求： 几何相似 运动相似 动力相似 边界条件和初始条件相似 二 相似的概念 几何相似 ：流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度相等。几何相 似还可认为包括流场相应边界性质相同，如固体壁面，自由液面等。 长度比尺 运动相似 ：以几何相似为前 提。两个流动相应点的速度方 向一致，大小成比例。 在对应瞬时 ，流场速度图 相似，即相应 点速度大小成 比例，方向相 同。 长度比尺 时间比尺 速度比尺 加速度比尺 长度比尺 时间比尺 动力相似 ：在对应位置和对应瞬时，流场中各种成分的力（惯 性力、质量力、压差力和粘性力）矢量图都相似，即相应点力 的大小成比例，方向相同。并且各种成分力的相似比例数也相 同，即力多边形相似。 作用力比尺 边界条件相似 ：相应边界性质相同，如固体壁面，自由液面等。 初始条件相似 ：对非恒定流（非定常流），初始条件要相似。对恒定流， 则与初始条件无关。 有时可将边界条件相似归结为几何相似。 不可压流体的流动都受 N-S方程的控制，那么我们怎样来 保证两个不同规模的流动是相似的呢？ 三 . 相似准则 用流动的时间、 长度、流速和压强 特征量 ， 将方程的自变量和 因变量无量纲化： 带 的量成 为无量纲量。 将变量代入 连续方程 N-S方程 得到无量纲方程 和 其中 将无量纲 N-S 方程整理，得到 必须相等。它们都是无量纲量，分别反映了惯性力、重力、 压差力和粘性力在流动动力平衡中的相对重要性。 两个相似流动的无量纲解应完全相同，则它们的无量纲方程 和无量纲边界条件、初始条件应该完全一样，所以两个相似 流动对应的上式中的各项的无量纲系数 根据上面得到的四个无量纲量（有的作了取倒数、开方等改形 ）得到流动的相似参数： 斯托哈尔数 弗劳德数 欧拉数 雷诺数 它们分别是惯性力、重力、压差力、粘性力相似的参数。 时变惯性力 位变惯性力表征斯托哈尔数 弗劳德数 欧拉数 雷诺数 惯性力 重力 惯性力 粘性力 惯性力 压差力 表征 表征 表征 流动的特征量一般应取流动中容易测量到的、能显著体现流 动特征，或者对流动起到重要控制作用的量。如 这些特征量常取在边界处，使相似参数中自然融进边界条件 的相似。 T 取为周期性 运动的周期 U 取为 无穷远方 来流速度 P 取为与 无穷远方 的压差 L 取为绕 流物体的特 征长度或圆 管直径 相似准则： 弗劳德准则：重力相似准则，保证两现象的弗劳德数相等 非恒定相似准则：保证两现象的斯托哈尔数相等 欧拉准则：压差力相似，即欧拉数相等 雷诺准则：粘性相似准则，保证两现象的雷诺数相等 在相似的条件下进行实验 应该测量实验结果无量纲表 达式包含的所有物理量 实验结果应整理成以相似参 数和其它无量纲量来表示的 函数关系式或绘制成曲线； 实验结果只能应用于相似现 象之间。 在什么条件 下进行实验 ? 应该测量哪 些物理量 ? 实验结果 如何应用 ? 如何进行实验 ?54 模型实验 可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变 g 和 . 而我 们知道改变 g 是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航 天飞机上做），改变 的可能性也不大，因为流体力学实验可 供选择的流体种类是很少的。通常我们只能抓主要矛盾，保证 起决定作用的那个相似参数相等，称为 。部分相似 在相似的条件下进行实验 完全相似 严格地要求四个相似参数都相同 难以做 到 g相同 相同 例如 例 为研究风对高层建筑物的影响，在风洞中进行模型实验，当风速为 9m/s时，测得迎风面压强为 42N/m2，背风面 压强为 -20N/m2，试求当风速增至 12m/s时，迎风面和背 风面的压强。 解