江苏省泰州市2017届高考数学第一次调研试卷含答案

泰州市 2017 届高三第一次调研测试数学 第 卷（共 60 分） 一、填空题 s 3 )3的最小正周期为 2 设集合 1,3A , 2, 5 , 3,则 . (1 2 ) ,其中 i 为虚数单位 ,则 z 的实部为 黄球和篮球 ,从中摸出一只球 出黄球的概率为 摸出篮球的概率为 则输出的 n 的值是 x ,y 满足2 4,3 7,0,0, 则 32z x y的最大值为 名学生的 5 次训练成绩（单位：分），结果如下： 则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 正四棱柱1 1 1 1A B C D A B C D中， 3AB ，1 1AA 则三棱锥11D A 体积为 3 ，直线 20 为双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 10.（九章算术）中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积 共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则该竹子最上面一节的容积为 升 中，若 2B C B A A C A B C A C B ，则 ) 2 x x ， ( ) x a x ， (0, )2x 相交点 P ，若两曲线在点 P 处的切线互相垂直，则实数 a 的值为 ) | | | 4 |f x x x ，则不等式 2( 2 ) ( )f x f x 的解集用区间表示为 ，已知 B ， C 为圆 224上两点，点 (1,1)A ，且C ，则线段 长的取值范围为 第 卷（共 90 分） 二、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 平面直角坐标系 ，以 x 轴正半轴为始边作锐角 ，其终边与单位圆交于点 A ,其终边与单位圆交于点 B , 255 (1)求 的值 ; (2)若点 A 的横坐标为 513,求点 B 的坐标 . 16. 如图 ,在四棱锥 p 中 ,四边形 平行四边形 , ,D 相交于点 O ,点E 为 中点 , ,O P O C P A P D. 求证 :（ 1）直线 /面 （ 2）平面 平面 平面直角坐标系 ， 已知椭圆 22 1 ( 0 , 0 )xy 的离心率为 22，焦点到相应准线的距离为 1. （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）若 P 为椭圆上一点，过点 O 作 垂线交直线 2y 于点 Q ，求2211Q 得值 . 18. 如图某机械长要将长 6m,宽 2行剪裁 ,已知 F 点为 中点 ,点 E 在边 ,裁剪时先将四边形 直线 折到处 (点 ,别落在直线 方点 , 边 点 P ),在沿直线裁剪 . (1)当4时 ,是判断四边形 形状 ,并求其面积 . (2)若使裁剪得到的四边形 积最大 ,请给出裁剪方案 ,并说明理由 . 19. 已知函数 2( ) l n ,f x a x x x a R , (1)当 38a时 ,求函数 () (2)若 10 ,证明 :函数 () (3)若函数 ()求实数 a 的取值范围 . ,且1 , 2 1 2, . . . , ( . . . . . . )k k k n na a a k k k 成等比数列公比为 q . (1)若1 2 31 , 3 , 8k k k , ,求 1 (2)当 1列 (3)如数列 且对于任意 *,不等式 2n kn na a k恒成立 ,求1 泰州市 2017 届高三第一次调研测试数学学科参考答案试卷答案 一、填空题 1.【答案】 232.【答案】 1,3,5 3. 【答案】 .【答案】 .【答案】 5 6.【答案】 7 7. 【答案】 20 8.【答案】 329.【答案】 5 10.【答案】 132211.【答案】 2 12.【答案】 23313.【答案】 ( , 2 ) ( 2 , ) 14.【答案】 6 2 , 6 2 15.【解】 (1)在 中，由余弦定理得， 2 2 2 2 c o O A O B O A O B A O B ，所以 2 2 2c o O B A B O A O B 2 2 2251 1 ( ) 352 1 1 5 即 3（ 2）因为 3, (0, )2所以 2234s i n 1 c o s 1 ( )55 ， 因为点 A 的横坐标为 513，由三角函数定义可得 , 5因为 为锐角，所以 225 1 2s i n 1 c o s 1 ( )1 3 1 3 所以 5 3 1 2 4 3 3c o s ( ) c o s c o s s i n s i 5 1 3 5 6 5 1 2 3 5 4 5 6s i n ( ) s i n c o s c o s s i n 1 3 5 1 3 5 6 5 所以点 33 56( , ),65 65B 16.【证明】（ 1）连结 因为 O 为平形四边 角线的交点，所以 O 为 点，又因为 E 为 中点， 所以 /A 有因为 平面 平 面 所以直线 /面 （ 2）因为 /A ， D ，所以 D 因为 C ， E 为 中点，所以 C 又因为 平面 所以 平面 D P 所以 平面 又因为 平面 所以平面 平面 17. 【解】（ 1）由题意得， 22 ,12 解得 2 , 1, 1a c b , 所以椭圆的方程为 2 2 12x y（ 2）由题意知 斜率存在， 当 斜率为 0 时， 2 , 2O P O Q所以22111O P O Q 当 斜率不为 0 时，设直线 程为 y 由22 12x yy 得 22( 2 1) 2， 解得 22221x k ，所以 222221ky k 所以 2222221k 因为 Q 所以直线 方程为 1 21 得 2 ，所以 2222O Q k 所以 22 2 2 21 1 2 1 1 12 2 2 2 O Q k k 综上，可知22111O P O Q 18. 【解】（ 1）当4时，有条件得4E F P E F D E F P 所以2，所以 C . 四边形 矩形 ,所以四边形 面积 22S P N M N M (2)解法一 :设 ( 0 )2 ,由条件 ,知 E F P E F D E F P 所以 22s i n ( 2 ) s i n 2 23 s i n 2N P N F 23ME 由230s 23002,得 . 232302() 所以四边形 积为 1 ()2S N P M E M N1 2 2( 3 ) ( 3 ) 22 s i n 2 t a n 226 s i n 2 t a n 222 2 ( s i n c o s )6t a n 2 s i n c o s 36 ( t a n + )t a n 36 - 2 t a n = 6 - 2 3t a n 当且仅当 3,即 3 , =3时取 =“ ” 此时 , （ ） 成立 . 答 :当时3,沿直线裁剪 ,四边形面积最大 ,最大值为 . 解法二 :设 ,则 因为 ,所以 ,即 所以 由得 所以四边形面积为 当且仅当 ,即时取 ” 此时成立 . 答 :当点距点时 ,沿直线裁剪 ,四边形面积最 大 ,最大值为 . 19. 【解】 (1)当 38a时 , 23( ) l x x x x . 所以 3 1 ( 3 2 ) ( 2 )( ) 1 , ( 0 )44 x x . 令 ( ) 0,得 2x , 当 (0,2)x 时 ,当 (0 ， 所以函数 (在 (0,2) 上单调递减 ,在 (2, ) 上单调递增 . 所以当 2x 时 , (有最小值 1( 2 ) 2f (2)由 2( ) l nf x a x x x ,得 22 1 2 1( ) 2 1 , ( 0 )a x xf x a x 所以当 0a 时 , 221( ) 0a x 函数 ()0, ) 上单调递减 . 所以当 0a 时 ,函数 ()0, ) 上最多有一个零点 . 因为当 10a 时 , 221( 1 ) 1 0 , ( ) e e af a f e e ， 所以当 10a 时 ,函数 ()0, ) 上有零点 . 综上 ,当 10a 时 ,函数 () (3)解法一 :有 (2)知 ,当 0a 时 ,函数 ()0, ) 上最多有一个零点 . 因为函数 ()所以 0a , 由 2( ) l nf x a x x x ，得 221( ) , ( 0 )a x xf x ,令 2( ) 2 1g x a x x ， 因为 ( 0 ) 1 0 , 2 0 . 所以函数 () (0, ) 上只有一个零点 ,设为0, ) , ( ) 0 , ( ) 0g x f x；当0( + )，时 , ( ) 0 , ( ) 0g x f x； 所以函数 (), )在0( + )x ，上单调递增 . 要使得函数 ()+ )x ，上有两个零点 , 只需要函数 () 0即 20 0 0l n 0a x x x 又因为 200( ) 2 1 0g x a x x ,所以 2002 l n 1 0 , 又因为函数 200( ) 2 l n 1h x x x 在0( + )，上是增函数 ,且 (1) 0h ,所以0x1,得101x. 又由 20 0 02 l n 0a x x x ,得220 0 01 1 1 1 12 ( ) ( )24a x x x , 所以 01a, 以下验证当 01a时 ,函数 () 当 01a时 ,21 2 1 1( ) 1 0a a 所以0 11 x a因为 2221 1 2( ) 1 0a e ef ( ) 0 所以函数 (), ) 因为22 4 2 2 2 2( ) l n ( 1 ) 1 0af a a a a （因为 ），且 0( ) 0 所以函数 ()( , )x 所以当 01a时 ,函数 ()2( , ) 综上 ,实数 a 的取值范围为 (0,1). 下面证明 :. 设 ( ) 1 x x x ,所以 11( ) 1 , ( 0 )xt x 令 ( ) 0,得 1x 当 (0,1)x 时 , ( ) 0当 (1, )x 时， ( ) 0. 所以函数 ()0,1) 上单调递减 ,在 (1, ) 上单调递增 . 所以当 1x 时 , ()1) 0t . 所以 ( ) 1 x x x ,得 x成立 . 解法二 :由 (2)知当 0a 时 ,函数 ()0, ) 上最多有一个零点 ,因为函数 ()所以 0a . 由 2( ) l n 0f x a x x x ,得关于 x 的方程2 ( 0 )有两个不等实数解 . 又因为 , 所以 222l n 2 1 1( 1 ) 1 , ( 0 )x x 因为 0x 时， 21( 1) 1 1x ,所以 1a . 又当 0x 时， 1x ,即关于 x 的方程2 ( 0 )有且只有一个实数。 所以 01a. (以下解法同解法 ) 20. 【解】（ 1）由已知可得：1 2 3,a a 以 21 1 1( ) ( 7 )a a d a a d , 整理可得： 2143d a d因为 0d ，所以 1 43. （ 2）设数列为 22 1 2k k k. 又因为1 2 3,a a 所以 21 1 1 3 2 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) a k d a k d a k d 整理 ,得 21 2 1 3 1 3 2 1 3 2( 2 ) ( 2 )a k k k d k k k k k k . 因为 22 1 3k k k,所以1 2 1 3 2 1 3( 2 ) ( 2 )a k k k d k k k 因为2 1 32k k k,所以1即 1 1. 当 1 1时 , 1a n d n d 所以k 121n ka a q k d q,所以 11 k q 所以 1 111kq qk ,数列 综上 ,当 1 1时 ,数列 (3)因为数列 由 (2) 111, ( 1 )na d k k q q . 因为对于任意 *，不等式 2n kn na a k恒成立 . 所以不等式 111 2 1 12a k a q k q， 即 111 112 k q ， 1111110 222k q q q 不等式恒成立， 下面证