安徽省2017届高三3月联考数学（理）试题 Word版含答案

2017年安徽省“江南十校”度高三联考 数学（理科） 第 卷（共 60分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 有一项是符合题目要求的 . 2 iz i ，则 z =( ) A C 5 D 25 2. 设集合 2A x Z x ， 3 12，则 ) A.1,2 B 2 C 1,2 D 1,0,2 3. 已知平面向量 ( 1 , ) , ( 2 , 5 ) , ( , 3 )a m b c m ，且 ( ) / /( )a c a b，则 m ( ) A 3 172B 3 172C. 3 172D 3 172，则 s i n ( c o s )s ia n ( ) A 2125B 2521C. 45D. 545. 已知 数是一个求余函数，其格式为 ( , )n m ，其结果为 n 除以 m 的余数，例如 (8, 3) 2M 输入 n 的值为 36时，则输出的结果为( ) A 4 B 5 D 7 ,1,2,3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体 2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为 ,两次结果相互独立，互不影响 为事件 A ，则事件 A 发生的概率为 ( ) A 38B 316C. 8D167.九章算术是我国古代的数字名著，书中均属章有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等 ”其意思为“已知 A B C D E、 、 、 、 五人 分 5钱，两人所得与 C D E、 、 三人所得相同，且 A B C D E、 、 、 、 每人所得依次成等差数列 （“钱”是古代的一种重量单位） E 所得为 ( ) A 23钱 B 43钱 C. 56钱 D. 32钱 格纸上小正方形的边长为 1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为 ( ) A 20 B 22 D 26 的面积为1S，它的外接圆面积为2S，若 的三个内角大小满足3 : 4 : 5A B C ： ： ，则 12值为 ( ) A 2512B 2524C. 332D 334) () ) A21() 1x B2() 1C. 321() 1x D 421() 1x , B 、 是该球球面上的两点，且 3A B B ，则棱锥S 的体积为 ( ) A 324B 924C. 322D 92212.设 x表示不小于实数 x 的最小整数，如 2 . 6 3 , 3 . 5 3 ) 2f x x x ，若函数 ( ) ( ) ( 2 ) 2F x f x k x 在（ 4上有 2个零点，则的取值范围是 ( ) A 5 , 1 2 , 5 )2B 21 , 5 , 1 0 )3 C. 4 , 1 5 , 1 0 )3 D 4 , 1 5 , 1 0 )3第 卷（共 90分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知实 ,0400 ，则 22的最大值是 5( ) ( 2 )x y x y a 的展开式中各项系数的和为 32，则该展开式中只含字母 x 且 x 的次 数为 1的项的系数为 2116 30上一点 ( , )Px y 到双曲线一个交点的距离是 9，则 22的值是 2s i n c o 的函数图像向右平移 m 个单位以后得到的图像与s i n c o s ( 0 )y k x x k的图像关于 ( ,0)3 对称，则 的最小正值是 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知n 项和，且满足 24a n . （）证明 2为等比数列； （）求数列 n 项和手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪 70元，每单抽成 1元；百度外卖规定底薪 100元，每日前 45 单无抽成，超出 45 单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其 100天的送餐单数，得到如下条形图： （ ）求百度外卖公司的“骑手”一日工资 y （单位：元）与送餐单数 n 的函数关系； （）若将频率视为概率，回答下列问题： 记百度外卖的“骑手”日工资为 X （单位：元），求 X 的分布列和数学期望； 小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由 . 19. 如图，四边形 边长为 2 的正方形， 平面 / / / /F 5D E B F C G . P 为线段 中点， 平面 成角为 60 ，使得 35G. （）求证： 平面 （）求多面体 A 的余弦值 . 20. 在平面直角坐标系中，直线 20x y m 不过原点，且与椭圆 22142有两个不同的公共点 ,（）求实数 m 取值所组成的集合 M ； （）是否存在定点 P 使得任意的 ，都有直线 ,倾斜角互补 出所有定点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 21. 已知函数 1() xf x e a，函数 ( ) l n ,g x a x x a R . （）若曲线 ()y f x 与直线 相切，求 a 的值； （）在（）的条件下，证明： ( ) ( ) 1f x g x； （）若函数 ()图像有且仅有一个公共点00( , )P x y，证明：0 2x . 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 已知 P 为曲线 221 :11 2 4上 的动点，直线 2C 的参数方程为332132 （ t 为参数）求点 P 到直线2求出点 P 的坐标 . 等式选讲 已知关于 x 的方程 22l o g ( 2 5 ) 2 1 0x x a 在 0,3x 上有解 . （）求正实数 a 取值所组成的集合 A ； （）若 2 30t 对任意 恒成立，求实数 t 的取值范围 . 试卷答案 一、选择题 4,155z i z 2 3 32 , 1 , 0 , 1 , 2 , 0 22 x x 或 0x ( 1 , 3 ) , ( 1 , 5 )a c m m a b m 由条件： 2 3 1 73 2 02m m m 222 2 2s i n s i n c o s t a n t a n 2 1s i n ( s i n c o s ) s i n c o s t a n 1 2 5 1,1），（ 0,1），（ 1,0） 316P设 4 , 3 , 2 , ,A a d B a d C a d D a d E a 则5 1 0 5 32 7 3 3 2ad aa d a d 4 5: : 3 : 4 : 5 , ,1 2 1 2 1 2A B C A B C 由正弦定理知， 12334 由条件： S 为棱长为 3的正四面体其体积为 924， 924O ，故924V 作出图像，由数形结 合可知： 二、填空题 由条件可知： 22z x y 过点 ( 1,3)M 时 5zz 1 ( 1 ) 3 2 1x y a a ，故 x 的系数为 1 3 133 3 5( 1 ) 2 7C C C 不妨设点 P 在右支上，由条件可知 P 点到右焦点距离为 9， 解出 2 2 22 1 3 8 1 1 3 3y x y 16. c o s 2 c o s ( 2 2 )y x y x m 右 m 个 单 位关于点 ( ,0)3对称，设点00( , )P x y 为其上任意一点，关于 ( ,0)3 对称点为 002( , )3Q x y ，004s i n ( 2 )23 ，展开得：s i n 2 243c o s 22 1 24km 三、解答题 1） 原式转化为：12 ( ) 4 ( 2 )n n S n n ， 即124 n ， 所以12 2 ( 1 ) 2 n S n 注意到1 1 2 4S ，所以 2为首项为 4，公比为 2等比数列 . （ 2）由（ 1）知： 122 ， 所以 122 ， 于是 2 3 1( 2 2 . . . 2 ) (1 2 . . . ) 2n n 4 ( 1 2 ) ( 1 ) 21 2 2n nn n 322 3 82n . （ 1） 1 0 0 ( 4 5 , )6 1 7 0 ( 4 5 , )n n n n N （ 2） X 100 106 118 130 P ) 1 0 0 0 . 2 1 0 6 0 . 3 1 1 8 0 . 4 1 3 0 0 . 1 1 1 2 （元） 美团外卖“骑手”日平均送餐单数为： 4 2 0 . 2 4 4 0 . 4 4 6 0 . 2 4 8 0 . 1 5 0 0 . 1 4 5 所以美团外卖“骑手”日平均工资为： 7 0 4 5 1 1 1 5 （元） 由 知，百度外卖“骑手”日平均工资为 112元 . 故推荐小明去美团外卖应聘 . （ 1）连接 ,D 交于点 O ，连接 则 O 为 点， /E ， 面 为 面所成角 60 . 中， 5 3 2 31 , 3 , ,33A O O P C G C H . 中 , 22 433A H A C C H . 梯形 ， 233 2 2 2A P P H A H H ， 又 E H F H P H E F ， 又 A P E F P P H 面 （ 2） 正方形， 如图所示建立空间直角坐标系 . 面 法向量为 2 2 3,2 2 3 ， 面 向量为 323 , 3 ,2n ， 故二面角 A 的余弦值 3 214. （ 1）因为直线 20x y m 不过原点，所以 0m ， 将 20x y m 与 22142联立，消去 y 得： 224 2 2 4 0x m x m ， 因为直线与椭圆有两个不同的公共点 , 所以 228 1 6 ( 4 ) 0 ，解得 2 2 2 2m ， 所以实数 m 的范围组成的集合 M 是 2 2 , 0 0 , 2 2 ； （ 2）假设存在定点00( , )P x ,都有直线 ,倾斜角互补， 即 0，令1 1 2 2( , 2 ) , ( , 2 )A x x m B x x m, 所以 1 0 2 01 0 2 022 0x m y x m yx x x x ， 整理得：1 2 0 0 1 2 0 02 2 ( 2 ) ( ) 2 ( ) 0x x m x y x x x y m ， 由（ 1）知12,24 2 2 4 0x m x m 的两个根， 所以 21 2 1 224,x x x ， 代入 化简得0 0 0 02( ) 2 ( 2 ) 02 y x m x y ， 由题意 00002 0220 解得 0012或 0012所以定点 的坐标为 (1, 2)P 或 ( 1, 2 )P ， 经检验，满足题意， 所以存在定点 P 使得任意的 ,都有直线 ,倾斜角互补， 坐标为 (1, 2)P 或 ( 1, 2 )P . ）设曲线 ()y f x 在11( , )Q x ，则 111( ) 1 由于 1 11() xf x e 所以111, 1， 由题意知： 1 11 xy e a，于是 0a . （）令 11 1( ) ( ) ( ) l n , ( ) ( 0 )x f x g x e x F x e ， 当 (0,1)x 时， 101，所以 1 101 ， 即 1 1( ) 0xF x ，当 (1, )x 时， 11 ，所以 1 11， 即 1 1( ) 0xF x ，于是 1( ) ( ) ( ) l x f x g x e x 在（ 0,1）单调递减， (1, ) 单调递增， 其最小值是 (1) 1F ，所以 ( ) ( ) ( ) 1F x f x g x ，于是原不等式成立 . （）令 1( ) l n ( 0 )xG x e x a x a x ， 则函数 ()图像有且仅有一个公共点00( , )P x )1 1() xG x e ， 注意到 1 1() xG x e 为 (0, ) 上的增函数且值域为 R ， 所以 1 1() xG x e 在 (0, ) 上有唯一零点1x， 且 ()在1(0, )( , )x 上为正，所以1() 又函数 ()合 () 所以 00( ) 0( ) 0，即 00101001 0l n 0x a x a ， 即0 0 01 1 1000011( ) l n ( ) 0x x xe e x x ， 即0 1 00001( 2 ) l n 0x xx e 1( ) ( 2 ) l nx xH x x e ， 显然，0) 112211( ) (1 ) (1 ) ( 0 )x x e x e ， ()在（ 0,1）上为正， (1, ) 上为负，于是 ()1, ) 上单调递减， 注意到 11( 1 ) 1 0 , ( 2 ) l n 2 ( 1 l n 4 ) 022 , 所以 ()1,2）内有一个零点，在 2, 内无零点， 所以 ()从而函数 ()图像有且仅有一个公共点00( , )P x x . 条件：231 : 3 6 03 3y C x 设点 ( 2 3 c o s , 2 s i n )P ，点 P 到2 2 3 c o s 2 3 s i n 6 6 s i n ( ) 324d ， m 3d . 此时点 ( 6 , 2 )P . 23.（ 1）当 0,3x 时 2222l o g ( 2 5 ) l o g ( 1 ) 4 2 , 3x x x 2 2 1 3a 且 330 2 , | 222a a A a a . （ 2）由（ 1）知： 3 22 a，设 2( ) 3g a t a t ，则 3 5 7 3( ) 02 4( 2 ) 9 13g tg 或或57 34t 57 34t 或 3t . 1. ， 设 则 由正弦定理知， 作出图像，由数形结合可知： 由条件可知： 不妨设点 条件可知 ， 解出 16. ,式转化为： ， 即 ， 所以 注意到 ，所以 为首项为 4，公比为 2等比数列 . 6分 （ 2）由（ 1）知： ， 所以 ， 于是 。 12 分 18.（ 1） .（ 2） X 100 106 118 130 P 分 （元） . 8分 美团外卖“骑手”日平均送餐单数为： 42 4 6 8 0 5 所以美团外卖“骑手”日平均工资为： 70+45 1=115（元） . 10分 由 知，百度外卖“骑手”日平均工资为 112元 故推荐小明去美团外卖应聘 . 12 分 19.（ 1）连接 交于点 ，连接 ，则 为 中点 面 为 与面 所成角 . 中， 中， 梯形 中， .又 又 面 . （ 2） 面 ， 为正方形 如图所示建