2017届高考数学一轮复习 全册 理_37

1 【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第七节 热点专题立体几何中的热点问题课后作业 理 1在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为矩形， AB2 BC4， BF CF AE DE， EF2， EF AB， AF CF. (1)若 G 为 FC 的中点，证明： AF平面 BDG； (2)求平面 ABF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值 2. (2016长春模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形， DAB60， PD平面 ABCD， PD AD1，点 E， F 分别为 AB 和 PD 的中点 (1)求证：直线 AF平面 PEC； (2)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值 3. (2016兰州模拟)如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是等腰梯形， AB CD， AB2， BC CD1，顶点 D1在底面 ABCD 内的射影恰为点 C. (1)求证： AD1 BC； (2)若直线 DD1与直线 AB 所成的角为 ，求平面 ABC1D1与平面 ABCD 所成角(锐角)的余 3 弦值 2 4.在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形， AB CD， ABC60， AB2 CB2.在梯形 ACEF 中， EF AC，且 AC2 EF， EC平面 ABCD. (1)求证： BC AF； (2)若二面角 DAFC 的大小为 45，求 CE 的长 5如图是多面体 ABCA1B1C1和它的三视图 (1)线段 CC1上是否存在一点 E，使 BE平面 A1CC1？若不存在，请说明理由，若存在， 请找出并证明； (2)求平面 C1A1C 与平面 A1CA 所成的角(锐角)的余弦值 6如图，在 Rt ABC 中， AB BC4，点 E 在线段 AB 上过点 E 作 EF BC 交 AC 于点 F，将 AEF 沿 EF 折起到 PEF 的位置(点 A 与 P 重合)，使得 PEB60. (1)求证： EF PB； 3 (2)试问：当点 E 在线段 AB 上移动时，二面角 PFCB 的平面角的余弦值是否为定值？ 答 案 1解：(1)证明：如图，连接 AC 交 BD 于 O 点，则 O 为 AC 的中点，连接 OG， 点 G 为 FC 的中点， OG AF. AF平面 BDG， OG平面 BDG， AF平面 BDG. (2)取 AD 的中点 M， BC 的中点 Q，连接 MQ，则 MQ AB EF， M， Q， F， E 共面 作 FP MQ 于 P， EN MQ 于 N，则 EN FP 且 EN FP. 连接 EM， FQ， AE DE BF CF， AD BC， ADE 和 BCF 全等， EM FQ， ENM 和 FPQ 全等， MN PQ1， BF CF， Q 为 BC 的中点， BC FQ， 又 BC MQ， FQ MQ Q， BC平面 MQFE， PF BC， PF平面 ABCD. 以 P 为原点， PM 为 x 轴， PF 为 z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 则 A(3,1,0)， B(1,1,0)， C(1，1,0)， 得Error! 令 z11，得 x10， y12， 同理得平面 BCF 的一个法向量为 n2(2,0,1)， cos n1， n2 ， n1n2|n1|n2| 155 15 4 平面 ABF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值为 . 15 2.解：(1)证明：如图，作 FM CD 交 PC 于 M，连接 ME. 点 F 为 PD 的中点， FM CD. 12 AE AB FM， 12 AEMF 为平行四边形， AF EM. AF平面 PEC， EM平面 PEC， 直线 AF平面 PEC. (2)连接 DE， DAB60， DE DC. 如图所示，建立坐标系，则 P(0，0,1)， C(0,1,0)， E ， A ， ，0， B( 32， 0， 0) 32 12 ，( 32， 12， 0) Error! 取 x1，则 z ，平面 PAB 的一个法向量为 n . 32 (1， 0， 32) 5 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为 . 4214 3.解：(1)证明：连接 D1C，则 D1C平面 ABCD， D1C BC. 在等腰梯形 ABCD 中，连接 AC， AB2， BC CD1， AB CD， BC AC， BC平面 AD1C， AD1 BC. (2)法一： AB CD， D1DC ， 3 CD1， D1C .3 在底面 ABCD 中作 CM AB，连接 D1M，则 D1M AB， D1MC 为平面 ABC1D1与平面 ABCD 所成角的一个平面角 在 Rt D1CM 中， CM ， D1C ， 32 3 D1M ，cos D1MC ，CM2 D1C2 152 55 即平面 ABC1D1与平面 ABCD 所成角(锐角)的余弦值为 . 55 法二：由(1)知 AC， BC， D1C 两两垂直， AB CD， D1DC ， 3 CD1， D1C .3 在等腰梯形 ABCD 中， AB2， BC CD1， AB CD， AC ，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C(0,0,0)， A( ，0,0)， B(0,1,0)，3 3 D1(0,0， )，3 设平面 ABC1D1的法向量 n( x， y， z)， 可得平面 ABC1D1的一个法向量 n(1， ，1)3 6 平面 ABC1D1与平面 ABCD 所成角(锐角)的余弦值为 . 55 4.解：(1)证明：在 ABC 中， AC2 AB2 BC22 ABBCcos 603， 所以 AB2 AC2 BC2， 由勾股定理知 ACB90，所以 BC AC. 又因为 EC平面 ABCD， BC平面 ABCD，所以 BC EC. 又因为 AC EC C，所以 BC平面 ACEF， 又 AF平面 ACEF，所以 BC AF. (2)因为 EC平面 ABCD，又由(1)知 BC AC， 以 C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz. 设 CE h，则 C(0,0,0)， A( ，0,0)， F ， D（ ， ，0） ，3 ( 32， 0， h) 32 12 设平面 DAF 的法向量为 n1( x， y， z)， 令 x ，所以 n1 .3 (3， 3， 32h) 又平面 AFEC 的一个法向量 n2(0,1,0)， 所以 cos 45 ，解得 h ， |n1n2|n1|n2| 22 64 所以 CE 的长为 . 64 5解： 7 (1)由题意知 AA1， AB， AC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， A1(0,0,2)， B(2,0,0)， C(0，2,0)， C1(1，1,2)，则 (1,1,2)， (1，1,0)， (0，2，2) 设 E(x， y， z)，则 ( x， y2， z)， (1 x，1 y,2 z) 则Error! 则 E ， .( 1 ， 2 1 ， 21 ) (2 1 ， 2 1 ， 21 ) 得Error! 解得 2， 所以线段 CC1上存在满足条件 的一点 E，使 BE平面 A1CC1. (2)设平面 C1A1C 的法向量为 m( x， y， z)， 取 x1，则 y1， z1，故 m(1，1,1) 而平面 A1CA 的一个法向量为 n(1,0,0)， 则 cos m， n ， mn|m|n| 13 33 故平面 C1A1C 与平面 A1CA 所成的角(锐角)的余弦值为 . 33 6解：(1)证明：在 Rt ABC 中， EF BC， EF AB， EF EB， EF EP. 又 EB EP E， EB， EP平面 PEB， EF平面 PEB. 又 PB平面 PEB， EF PB. (2)在平面 PEB 内，过点 P 作 PD BE 于点 D， 由(1)知 EF平面 PEB， EF PD， 8 又 BE EF E， BE， EF平面 BCFE， PD平面 BCFE. 在平面 PEB 内过点 B 作直线 BH PD，则 BH平面 BCFE. 如图所示，以 B 为坐标原点， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向 建立空间直角坐标系 设 PE x(0 x4)，又 AB BC4， BE4 x， EF x. 在 Rt PED 中， PED60， PD x， DE x， BD4 x x4 x， 32 12 12 32 C(4,0,0)， F(x,4 x,0)， P .(0， 4 32x， 32x) 从而 ( x 4,4 x,0)， .( 4， 4 32x， 32x) 设 n1( x0， y0， z0)是平面 PC