2006年高考北京卷文科综合试题及参考答案

2006 年普通高等学校夏季招生考试数学(文史类)北京卷(新课程) 一、选择题 ( 本大题 共 8 题, 共计 40 分) 1、(5 分) (1)设集合 A= ，B= ，则 AB 等于 (A) (B) (C) (D) 2、(5 分) (2)函数 y=1+cosx的图象 (A)关于 x轴对称 (B)关于 y轴对称 (C)关于原点对称 (D)关于直线 x= 对称 3、(5 分) (3)若 a与 b-c都是非零向量，则“ab=ac”是“a(b-c)”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 4、(5 分) (4)在 1，2，3，4，5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有 (A)36个 (B)24 个 (C)18个 (D)6 个 5、(5 分) (5)已知 f(x)= 是(-，+)上的增函数，那么 a的取值范围是 (A)(1，+) (B)(-，3) (C) ，3 (D)(1，3) 6、(5 分) (6)如果-1，a，b，c，-9 成等比数列，那么 (A)b=3，ac=9 (B)b=-3，ac=9 (C)b=3，ac= -9 (D)b= -3，ac= -9 7、(5 分) (7)设 A，B，C，D 是空间四个不同的点在下列命题中，不正确的是 (A)若 AC与 BD共面，则 AD与 BC共面 (B)若 AC与 BD是异面直线，则 AD与 BC是异面直线 (C)若 AB=AC，DB=DC，则 AD=BC (D)若 AB=AC，DB=DC，则 ADBC 8、(5 分) (8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型在某高峰时段，单位时间进出路口 A，B，C 的机动车辆数如 图所示，图中 x1，x 2，x 3分别表示该时段单位时间通过路段 ， ， 的机动车辆数(假设：单位时间 内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则 (A)x1x2x3 (B)x1x3x2 (C)x2x3x1 (D)x3x2x1 二、填空题 ( 本大题 共 6 题, 共计 30 分) 1、(5 分) (9)若三点 A(2，2)，B(a，0)，C(0，4)共线，则 a的值等于_. 2、(5 分) (10)在(x- )7的展开式中，x 3的系数是_.(用数字作答) 3、(5 分) (11)已知函数 f(x)=ax-4a+3反函数的图象经过点(-1，2)，那么 a的值等于_. 4、(5 分) (12)已知向量 a=(cos，sin)，b=(cos，sin)且 ab，那么 a+b与 a-b的夹角的大小是 _. 5、(5 分) (13)在ABC 中，A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c.若 sinAsinBsinC=578，则 abc=_，B 的大小是_. 6、(5 分) (14)已知点 P(x，y)的坐标满足条件 点 O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于 _，最大值等于_. 三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 80 分) 1、(12 分) (15)已知函数 f(x)= . ()求 f(x)的定义域； ()设 是第四象限的角，且 tan= ，求 f()的值. 2、(13 分) (16)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx在点 x0处取得极大值 5，其导函数 y=f(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)， 如图所示.求： ()x 0的值； ()a，b，c 的值. 3、(14 分) (17)如图，ABCD-A 1B1C1D1是正四棱柱. ()求证：BD平面 ACC1A1； ()若二面角 C1-BD-C的大小为 60，求异面直线 BC1与 AC所成角的大小. 4、(13 分) (18)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过： 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互 之间没有影响求： ()该应聘者用方案一考试通过的概率； ()该应聘者用方案二考试通过的概率 5、(14 分) (19)椭圆 C： =1(ab0)的两个焦点为 F1，F 2，点 P在椭圆 C上，且 PF1F 1F2，|PF 1|= ，|PF 2|= . ()求椭圆 C的方程； ()若直线 l过圆 x2+y2+4x-2y=0的圆心 M，交椭圆 C于 A，B 两点，且 A，B 关于点 M对称，求直线 l的 方程. 6、(14 分) (20)设等差数列a n的首项 a1及公差 d都为整数，前 n项和为 Sn. ()若 a11=0，S 14=98，求数列a n的通项公式； ()若 a16，a 110，S 1477，求所有可能的数列a n的通项公式. 2006 年普通高等学校夏季招生考试数学(文史类)北京卷(新课程) 一、选择题 ( 本大题 共 8 题, 共计 40 分) 1、(5 分) A 解析：A=x|x1,则 AB=x|x1x|-3x2=x|-3x1 2、(5 分) B 解析：y=cosx 图象关于 y轴对称，而 y=1+cosx是由 y=cosx向上平移 1个单位而得，其对称性不改变. 3、(5 分) C 解析：由 均为非零向量 cos=0 即 夹角为 90， 反之若 则 即 - =0 = 故“ = ”是 的充分必要条件. 4、(5 分) A 解析：若各位数字之和为偶数 则需 2个奇数字 1 个偶数字 奇数字的选取为 C 偶数字的选取为 C 所求为 C C A =36 5、(5 分) D 解析：当 x1 时，（3-a）x-4a 为增函数 则需 3-a0 a3 当 x1 时， log ax为增函数，则需 a1 综合可知 1a3. 6、(5 分) B 解析：由等比数列的对称性可知 b 2=(-1)(-9)=9,ac=(-1)(-9)=9 b=3 而 b=(-1)q20 b=3 舍 b=-3,ac=9 7、(5 分) C 解析：对于选项（A）若 AC与 BD共面，不妨设共面于 ，则 A、B、C、D 这样 AD ，BC 则 AD与 BC共面. 选项（B） 假设 AD与 BC为共面直线，由上述（A）的解析可知 AC与 BD共 面这与前提“AC 与 BD为异面直线”矛盾，故 AD与 BC是异面直线. 选项（D）如图示取 BC中点 M，由 AB=AC DB=DC得 AMBC DMBC 又 AMDM=M BC面 AMD BCAD 选项（C）无法判断 8、(5 分) C 解析：设由路口 A直接进入路口 B的车辆为 a辆，则 x1=50+a x2=60+a x3=55+a 故 x 2x 3x 1 二、填空题 ( 本大题 共 6 题, 共计 30 分) 1、(5 分) 4 解析：由 A、B、C 三点共线 知 ，即（a-2,-2）(-2,2),则 2（a-2）=4 a=4. 2、(5 分) 84 解析：T r+1=C x7-r(- )r=(-2)rC x7-2r 令 7-2r=3 r=2 代回系数(-2) rC =(-2)2C =84 3、(5 分) 2 解析：由原函数与反函数的关系可知原函数必过点（2，-1），代入 f(x)=ax-4a+3得-1=a 2-4a+3 a=2 4、(5 分) 解析：| |= ，| |= ( + )（ - ）=| |2-| |2=0 设夹角为 则 cos= = 5、(5 分) 578 解析：由正弦定理 sinA:sinB:sinC=a:b:c=5:7:8 令 a=5k,b=7k,c=8k (k0) 则由余弦定理 cosB= ，又 B为三角形内角 B=60 6、(5 分) 解析：如图示可行域为ABC，其中 A（1，1），B（2，2），C（1，3） 则|PO| min=|AO|= |PO|max=|CO|= 三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 80 分) 1、(12 分) 解：()由 cosx0 得 xk+ ，(kZ)， 故 f(x)的定义域为x|xk+ ，kZ. ()因为 tan= - ，且 是第四象限的角， 所以 sin= - ，cos= ， 故 f()= = = = . 2、(13 分) 解法一： ()由图象可知，在(-，1)上 f(x)0，在(1，2)上 f(x)0， 在(2，+)上 f(x)0， 故 f(x)在(-，1)，(2，+)上递增，在(1，2)上递减， 因此 f(x)在 x=1处取得极大值，所以 x0=1. ()f(x)=3ax 2+2bx+c， 由 f(1)=0，f(2)=0，f(1)=5， 得 解得 a=2，b= -9，c=12. 解法二： ()同解法一. ()设 f(x)=m(x-1)(x-2)=mx 2-3mx+2m， 又 f(x)=3ax 2+2bx+c， 所以 a= ，b= - m，c=2m， f(x)= mx2+2mx. 由 f（1）=5， 即 m+2m=5， 得 m=6， 所以 a=2，b= -9，c=12 3、(14 分) 解法一： ()ABCD-A 1B1C1D1是正四棱柱， CC 1平面 ABCD， BDCC 1. ABCD 是正方形, BDAC. 又AC，CC 1 平面 ACC1A1，且 ACCC 1=C， BD平面 ACC1A1. ()设 BD与 AC相交于 O，连接 C1O. CC 1平面 ABCD，BDAC， BDC 1O， C 1OC是二面角 C1-BD-C的平面角， C 1OC=60. 连接 A1B. A 1C1AC， A 1C1B是 BC1与 AC所成角. 设 BC=a，则 CO= a，CC 1=COtan60= a，A 1B=BC1= a， A1C1= a. 在A 1BC1中，由余弦定理得 cosA1C1B= ， A 1C1B=arccos ， 异面直线 BC1与 AC所成角的大小为 arccos . 解法二： ()建立空间直角坐标系 D-xyz，如图. 设 AD=a，DD 1=b，则有 D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，C 1(0，a，b)， =(-a，-a，0)， =(-a，a，0)， =(0，0，b)， =0， =0， BDAC，BDCC 1. 又AC，CC 1 平面 ACC1A1，且 ACCC 1=C， BD平面 ACC1A1. ()设 BD与 AC相交于 O，连接 C1O，则点 O坐标为( )， =(- ). =0， BDC 1O，又 BDCO， C 1OC是二面角 C1-BD-C的平面角， C 1OC=60. tanC 1OC= ， b= a. =(-a，a，0)， =(-a，0，b)， cos= . 异面直线 BC1与 AC所成角的大小为 arccos . 4、(13 分) 解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A，B，C， 则 P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(C)=0.9 ()应聘者用方案一考试通过的概率 p1=P(AB )+P( BC)+P(A C)+P(ABC) =0.50.60.1+0.50.60.9+0.50.40.9+0.50.60.9 =0.03+0.27+0.18+0.27 =0.75 ()应聘者用方案二考试通过的概率 p2= P(AB)+ P(BC)+ P(AC) = (0.50.6+0.60.9+0.50.9) = 1.29 =0.43. 5、(14 分) 解法一： ()因为点 P在椭圆 C上，所以 2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3. 在 RtPF 1F2中，|F 1F2|= =2 ，故椭圆的半焦距 c= ， 从而 b2=a2-c2=4， 所以椭圆 C的方程为 . ()设 A，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 已知圆的方程为(x+2) 2+(y-1)2=5，所以圆心 M的坐标为(-2，1)， 从而可设直线 l的方程为 y=k(x+2)+1， 代入椭圆 C的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A，B 关于点 M对称， 所以 = -2， 解得 k= ， 所以直线 l的方程为 y= (x+2)+1， 即 8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意.) 解法二： ()同解法一. ()已知圆的方程为(x+2) 2+(y-1)2=5，所以圆心 M的坐标为(-2，1).设 A，B 的坐标分别为(x 1，y 1)， (x2，y 2).由题意 x1x 2且 ， . 由-得 =0. 因为 A，B 关于点 M对称， 所以 x1+x2= -4，y 1+y2=2， 代入得 ， 即直线 l的斜率为 ， 所以直线 l的方程为 y-1= (x+2)，