2009年江西高考数学卷(理科数学)

2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1若复数 2(1)(zxi 为纯虚数，则实数 x的值为 A B 0 C 1 D 1或 答案：A 【解析】由 21xx 故选 A 2函数 2 ln()34yx 的定义域为 A (4,1) B (,1) C (1,) D (1, 答案：C 【解析】由 2043xxx .故选 C 3已知全集 UA中有 m 个元素， ()UAB中有 n 个元素若 ABI非空，则 I的元素 个数为 A mn B n C D m 答案：D 【解析】因为 ()UU，所以 共有 个元素,故选 D 4若函数 ()13tan)cosfxx， 02x ，则 ()fx的最大值为 A1 B 2 C 1 D 3答案：B 【解析】因为 ()13tan)cosfxx= sinx= 2cos()3x 当 3 x 是，函数取得最大值为 2. 故选 B 5设函数 2()fgx ，曲线 ()ygx在点 1,()处的切线方程为 21yx，则曲线yx 在点 1,处切线的斜率为 A 4 B 4 C 2 D 2 答案：A 【解析】由已知 (1)g，而 ()fxgx，所以 (1)214fg故选 A 6过椭圆 21xyab ( 0)的左焦点 1F作 x轴的垂线交椭圆于点 P， 2F为右焦点，若120FP ，则椭圆的离心率为 A B 3 C 2 D 13 答案：B 【解析】因为 2(,)bPca ，再由 1260FP 有 ,ba 从而可得 3cea ，故选 B 7 (1) naxy 展开式中不含 x的项的系数绝对值的和为 243，不含 y的项的系数绝对值的和为 32， 则 ,b的值可能为 A 2,5n B 2,1,6abn C 1,6abn D 1,5abn 答案：D 【解析】 5(1)43nb ， 5()3n ，则可取 ,25，选 D 8数列 na的通项 22cosi)n ，其前 n项和为 nS，则 30为 A 470 B 490 C 495 D 10答案：A 【解析】由于 22cosin3 以 3 为周期,故22222 23014589()(6)(30)S221 103151()547k kk 故选 A 9如图，正四面体 ABCD的顶点 ， B， C分别在两两垂直的三条射线 Ox， y， z上，则在下列 命题中，错误的为 A O是正三棱锥 B直线 O平面 ADC直线 与 B所成的角是 45 D二面角 为 45 答案：B 【解析】将原图补为正方体不难得出 B 为错误，故选 B 10为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了 3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐 3种 卡片可获奖，现购买该种食品 5袋，能获奖的概率为 y x z O A B C D 第 3 页 共 9 页 A 318 B 381 C 481 D 501 答案：D 【解析】 55(2)03P 故选 D 11一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径” ，封闭区域边界曲线的长度与区域 直径之比称为区域的“周率” ，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为 1234,，则 下列关系中正确的为 A 143 B 312 C 423 D 341 答案：C 【解析】前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，所以 2、2 、 3，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比， 所以 4，则 4231，选 C 12设函数 ()(0)fxabxc的定义域为 D，若所有点 (,),)sftD构成一个正方形区 域，则 a的值为 A 2 B 4 C 8 D不能确定 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：B 【解析】 12max|()xf， 224bacb ， |a， 4，选 B 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。请把答案填在答题卡上 13已知向量 (3,1)a ， (,)b ， (,7)ck ，若 ()ac b，则 k= 答案： 5 【解析】 65k 14正三棱柱 1ABC内接于半径为 2的球，若 ,AB两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 答案： 8 【解析】由条件可得 2 AOB ，所以 2A， O到平面 ABC的距离为 23 ，所以所求体积等于8 15若不等式 29()xk 的解集为区间 ,ab,且 2,则 k答案： 2 【解析】由数形结合，直线 2yx在半圆 9yx之下必须 3,1ba，则直线(2)ykx 过点（ 1,） ，则 k 16设直线系 :cos()sin1(02)My,对于下列四个命题： A 中所有直线均经过一个定点 B存在定点 P不在 M中的任一条直线上 C对于任意整数 (3)n，存在正 边形,其所有边均在 中的直线上 D 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 答案： ,BC 【解析】因为 cos(2)sin1xy所以点 (0,2)P到 M中每条直线的距离 22 1cosind 即 M为圆 C: 2 的全体切线组成的集合,从而 中存在两条平行直线,所以 A 错误 又因为 (0,)点不存在任何直线上,所以 B 正确 对任意 3n,存在正 边形使其内切圆为圆 C,故 正确 中边能组成两个大小不同的正三角形 AC和 EF,故 D 错误, 故命题中正确的序号是 B,C 三.解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 设函数 ()xef 求函数 f的单调区间； 若 0k，求不等式 ()1)(0fxkfx 的解集 解： (1) 22fee , 由 ()fx ,得 1. 因为 当 0x时, ()f ； 当 01x时, 0 ； 当 时, ()0fx ； 所以 ()f的单调增区间是: ,)； 单调减区间是: (,)， . 由 21)(xxkfxkfe210xke , 得： (1)0xk. 第 5 页 共 9 页 故：当 01k时, 解集是： 1xk ；当 1时，解集是： ；当 1k时, 解集是：x 18 （本小题满分 12 分） 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设 评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 12 .若某人获得两个“支持” ，则给予 10 万元的创业资助； 若只获得一个“支持” ，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持” ，则不予资助，令 表示该公司的资助 总额 (1) 写出 的分布列； (2) 求数学期望 E 解：（1） 的所有取值为 0,51,2,30 ()64P ()P 15()64P 5()16P 2 32 （2） 315153500056464264E . 19 （本小题满分 12 分） ABC中， ,所对的边分别为 ,abc， sintcoABC , sin()cosAC. （1）求 ； （2）若 3ABCS,求 ac. 解：(1) 因为 sintaoB ，即 sinisnocoCAB ， 所以 sincicii， 即 snssncCAB， 得 si()i()B. 所以 CA,或 ()ABC(不成立). 即 2, 得 3 ，所以. 23 又因为 1sin()cos2BAC ，则 6 BA ，或 56 （舍去） 得 5,412AB (2) 16si328ABCSacac 又 sini acAC , 即 3ac ， 得,3. 20 （本小题满分 12 分） 在四棱锥 PABD中，底面 ABC是矩形， P平面 BD，4 ， 2. 以 的中点 O为球心、 AC为直径的球面交 于点 M，交 于点 N. （1）求证：平面 AB平面 PCD； （2）求直线 C与平面 所成的角的大小； （3）求点 N到平面 的距离. 解：方法一：（1）依题设知，AC 是所作球面的直径，则 AMMC。 又因为 P A平面 ABCD，则 PACD，又 CDAD， 所以 CD平面，则 CDAM，所以 A M平面 PCD， 所以平面 ABM平面 PCD。 （2）由（1）知， MPD，又 ，则 是 PD的中点可得A ， 23C 则 1262ACS 设 D 到平面 ACM 的距离为 h，由 DAMDV即 8h， 可求得 263h ，设所求角为 ，则 6sin3 ， arcsin3 。 可求得 PC=6。因为 ANNC，由 PNAC ，得 PN 8 。所以 :5:9NCP。 故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的 59 。 又因为 M 是 PD 的中点，则 P、D 到平面 ACM 的距离相等，由（2）可知所求 距离为 5106927h 。 方法二：（1）同方法一； （2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 (0,)A， N O D M CB P A y x z D M CB P A NO 第 7 页 共 9 页 (0,4)P， (2,0)B， (,40)C， (,)D， (0,2)M；设平面 ACM的一个法向量 (,)nxyz， 由 ,nAM 可得： 2 xyz ，令 1，则(2,1) 。设所求角为 ，则 6sin3CD ， 所以所求角的大小为 6arcsin3 。 （3）由条件可得， AN.在 RtPA中， 2PNC,所以 8 ,则 10NCP , 59NCP ，所以所求距离等于点 到平面 M距离的 59 ，设点 到平面 AM距离为 h则263nh ，所以所求距离为 5106h927 。 21 （本小题满分 12 分） 已知点 10(,)Pxy为双曲线 218xyb （ b为正常数）上任一 点, 2F为双曲线的右焦点,过 1P作右准线的垂线,垂足为 A,连接A 并延长交 y轴于 2. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 求线段 1P2的中点 的轨迹 E的方程; 设轨迹 E与 x轴交于 BD、 两点,在 上任取一点1,(0)Qy（ ） ,直线 Q， 分别交 y轴于 MN， 两点.求证:以 为直径的圆过两定点. 解： (1) 由已知得 20 83FbA（ ， ） ， （ ， ） ,则直线 2FA的方程为: 03()yxb , 令 0x得 09y,即 20(,)Py, 设 Pxy（ ， ） ,则 00 52xy ,即 25xy 代入 2018xyb 得: 24185xyb , 即 的轨迹 E的方程为 21xb 2F1OyxA2P (2) 在 2215xyb 中令 0y得 2xb,则不妨设 -2020BbDb（ ， ） ， （ ， ） , 于是直线 QB的方程为: 1() , 直线 Q的方程为: 1(-)yx , 则 112-200bybyMNxx（ ， ） ， （ ， ） , 则以 为直径的圆的方程为: 2112- 0-ybyxbx（ ） （ ） , 令 0y得: 21byx ,而 1,Qy（ ） 在 225 上,则 22115y , 于是 5,即以 MN为直径的圆过两定点 (,0)b. 22 （本小题满分 14 分） 各项均为正数的数列 na， 12,，且对满足 mnpq的正整数 ,mnpq都有.(1)()pqmna （1）当 4,25b 时，求通项 ;na （2）证明：对任意 a，存在与 有关的常数 ，使得对于每个正整数 n，都有 1.na 解：（1）由 ()1()1 pqmna 得 121.()()nna 将 12 4,5