2012年北京市中考数学试卷解析版

2012 年北京市中考数学试卷 一、选择题（每小题 4 分，共 32 分） 1 （2012北京） 9 的相反数是（ ） A B C 9 D 9 2 （2012北京）首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于 2012 年 6 月 1 日闭幕，本届京交会期间签 订的项目成交总金额达 60 110 000 000 美元将 60 110 000 000 用科学记数法表示应为（ ） A 6.011109 B 60.11109 C 6.0111010 D 0.60111011 3 （2012北京）正十边形的每个外角等于（ ） A 18 B 36 C 45 D 60 4 （2012北京）右图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A 长方体 B 正方体 C 圆柱 D 三棱柱 5 （2012北京）班主任王老师将 6 份奖品分别放在 6 个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等 6 位获 “爱集体标兵” 称号的同学这些奖品中 3 份是学习文具，2 份是科普读物，1 份是科技馆通票小英从中随机抽取 一份奖品，恰好取到科普读物的概率是（ ） A B C D 6 （2012北京）如图，直线 AB，CD 交于点 O，射线 OM 平分 AOC，若BOD=76 ，则BOM 等于（ ） A 38 B 104 C 142 D 144 7 （2012北京）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了 20 户家庭某月的用电量，如表所示： 用电量（度） 120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2 A 180，160 B 160，180 C 160，160 D 180，180 8 （2012北京）小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头所示方向经过点 B 跑到点 C，共用 时 30 秒他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程设小翔跑步的时间为 t（单位：秒） ，他与教练的 距离为 y（单位：米） ，表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这个个定位置可能是图 1 中的（ ） A 点 M B 点 N C 点 P D 点 Q 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 9 （2012北京）分解因式：mn 2+6mn+9m= _ 10 （2012北京）若关于 x 的方程 x22xm=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 _ 11 （2012北京）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使 斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上已知纸板的两条直角边 DE=40cm，EF=20cm，测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5m，CD=8m，则树高 AB= _ m 12 （2012北京）在平面直角坐标系 xOy 中，我们把横、纵坐标都是正数的点叫做整点已知点 A（0，4） ，点 B 是 x 轴正半轴上的整点，记 AOB 内部（不包括边界）的整点个数为 m当 m=3 时，点 B 的横坐标的所有可能 值是 _ ；当点 B 的横坐标为 4n（n 为正整数）时，m= _ （用含 n 的代数式表示） 三、解答题（每小题 5 分，共 30 分） 13 （2012北京）计算：（ 3） 0+ 2sin45（ ） 1 14 （2012北京）解不等式组： 15 （2012北京）已知 ，求代数式 的值 16 （2012北京）已知：如图，点 E，A ，C 在同一直线上，ABCD，AB=CE，AC=CD 求证：BC=ED 17 （2012北京）如图在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y= （x0）的图象与一次函数 y=kxk 的图象的交点为 A（m，2） （1）求一次函数的解析式； （2）设一次函数 y=kxk 的图象与 y 轴交于点 B，若点 P 是 x 轴上一点，且满足PAB 的面积是 4，直接写出 P 点 的坐标 18 （2012北京）列方程或方程组解应用题： 据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作 用已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的 2 倍少 4 毫克，若一年滞尘 1000 毫 克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘 550 毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量 四、解答题（每小题 5 分，共 20 分） 19 （2012北京）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 E，BAC=90， CED=45，DCE=30 ， DE= ，BE=2 求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积 20 （2012北京）已知：如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，OD BC 于点 D，过点 C 作O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连接 BE （1）求证：BE 与O 相切； （2）连接 AD 并延长交 BE 于点 F，若 OB=9，sinABC= ，求 BF 的长 21 （2012北京）近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011 年北京市又调整修订了 2010 至 2020 年轨道交通线网的发展规划以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部 分 北京市轨道交通已开通线路相关数据统计表（截止 2010 年底） 开通时间 开通线路 运营里程（千米） 1971 1 号线 31 1984 2 号线 23 13 号线 41 2003 八通线 19 2007 5 号线 28 8 号线 5 10 号线 25 2008 机场线 28 2009 4 号线 28 房山线 22 大兴线 22 亦庄线 23 昌平线 21 2010 15 号线 20 （1）补全条形统计图并在图中标明相应数据； （2）按照 2011 年规划方案，预计 2020 年北京市轨道交通运营总里程将达到多少千米？ （3）要按时完成截至 2015 年的轨道交通规划任务，从 2011 到 2015 年这 4 年中，平均每年需新增运营里程多少 千米？ 22 （2012北京）操作与探究： （1）对数轴上的点 P 进行如下操作：先把点 P 表示的数乘以 ，再把所得数对应的点向右平移 1 个单位，得到点 P 的对应点 P 点 A，B 在数轴上，对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 AB，其中点 A，B 的对应点分别为 A，B如图 1，若点 A 表示的数是 3，则点 A表示的数是 _ ；若点 B表示的数是 2，则点 B 表示的 数是 _ ；已知线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得到的对应点 E与点 E 重合，则点 E 表示的数是 _ （2）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐 标都乘以同一个实数 a，将得到的点先向右平移 m 个单位，再向上平移 n 个单位（m0，n0） ，得到正方形 ABCD及其内部的点，其中点 A，B 的对应点分别为 A，B 已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作 后得到的对应点 F与点 F 重合，求点 F 的坐标 五、解答题（共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23 （2012北京）已知二次函数 y=（t+1）x 2+2（t+2）x+ 在 x=0 和 x=2 时的函数值相等 （1）求二次函数的解析式； （2）若一次函数 y=kx+6 的图象与二次函数的图象都经过点 A（ 3，m） ，求 m 和 k 的值； （3）设二次函数的图象与 x 轴交于点 B，C （点 B 在点 C 的左侧） ，将二次函数的图象在点 B，C 间的部分（含点 B 和点 C）向左平移 n（n0）个单位后得到的图象记为 G，同时将（2）中得到的直线 y=kx+6 向上平移 n 个单 位请结合图象回答：当平移后的直线与图象 G 有公共点时，求 n 的取值范围 24 （2012北京）在 ABC 中， BA=BC，BAC= ，M 是 AC 的中点，P 是线段 BM 上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 得到线段 PQ （1）若 =60且点 P 与点 M 重合（如图 1） ，线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全图形，并写出CDB 的 度数； （2）在图 2 中，点 P 不与点 B，M 重合，线段 CQ 的延长线于射线 BM 交于点 D，猜想CDB 的大小（用含 的 代数式表示） ，并加以证明； （3）对于适当大小的 ，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时，能使得线段 CQ 的延长 线与射线 BM 交于点 D，且 PQ=QD，请直接写出 的范围 25 （2012北京）在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1（x 1，y 1）与 P2（x 2，y 2）的“ 非常距离”，给出如 下定义： 若|x 1x2|y1y2|，则点 P1 与点 P2 的“非常距离” 为|x 1x2|； 若|x 1x2|y 1y2|，则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为|y 1y2| 例如：点 P1（1，2） ，点 P2（3，5） ，因为|13| |25|，所以点 P1 与点 P2 的“非常距离”为|25|=3 ，也就是图 1 中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值（点 Q 为垂直于 y 轴的直线 P1Q 与垂直于 x 轴的直线 P2Q 交点） （1）已知点 A（ ，0） ，B 为 y 轴上的一个动点， 若点 A 与点 B 的“ 非常距离”为 2，写出一个满足条件的点 B 的坐标； 直接写出点 A 与点 B 的“ 非常距离”的最小值； （2）已知 C 是直线 y= x+3 上的一个动点， 如图 2，点 D 的坐标是（0，1） ，求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相应的点 C 的坐标； 如图 3，E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，求点 C 与点 E 的“ 非常距离”的最小值及相应的点 E 与点 C 的坐标 2012 年北京市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 4 分，共 32 分） 1 （2012北京） 9 的相反数是（ ） A B C 9 D 9 考点： 相反数。710842 分析： 根据只有符号不同的两个数互为相反数解答 解答： 解：9 的相反数是 9 故选 D 点评： 本题考查了互为相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键 2 （2012北京）首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于 2012 年 6 月 1 日闭幕，本届京交会期间签 订的项目成交总金额达 60 110 000 000 美元将 60 110 000 000 用科学记数法表示应为（ ） A 6.011109 B 60.11109 C 6.0111010 D 0.60111011 考点： 科学记数法表示较大的数。710842 分析： 科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝 对值1 时，n 是负数 解答： 解：60 110 000 000=6.01110 10， 故选：C 点评： 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示 时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （2012北京）正十边形的每个外角等于（ ） A 18 B 36 C 45 D 60 考点： 多边形内角与外角。710842 专题： 常规题型。 分析： 根据正多边形的每一个外角等于多边形的外角和除以边数，计算即可得解 解答： 解：360 10=36， 所以，正十边形的每个外角等于 36 故选 B 点评： 本题考查了正多边形的外角和、边数、外角度数之间的关系，熟记正多边形三者之间的关系是解题的关 键 4 （2012北京）右图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A 长方体 B 正方体 C 圆柱 D 三棱柱 考点： 由三视图判断几何体。710842 分析： 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状 解答： 解：根据主视图和左视图为矩形判断出是锥体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱锥 故选 D 点评： 考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查主视图、左视图、 俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形 5 （2012北京）班主任王老师将 6 份奖品分别放在 6 个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等 6 位获 “爱集体标兵” 称号的同学这些奖品中 3 份是学习文具，2 份是科普读物，1 份是科技馆通票小英从中随机抽取 一份奖品，恰好取到科普读物的概率是（ ） A B C D 考点： 概率公式。710842 分析： 根据根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生 的概率即可求出答案 解答： 解：从中随机抽取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是 = 故选 B 点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果， 那么事件 A 的概率 P（A）= 6 （2012北京）如图，直线 AB，CD 交于点 O，射线 OM 平分 AOC，若BOD=76 ，则BOM 等于（ ） A 38 B 104 C 142 D 144 考点： 对顶角、邻补角；角平分线的定义。710842 专题： 常规题型。 分析： 根据对顶角相等求出AOC 的度数，再根据角平分线的定义求出 AOM 的度数，然后根据平角等于 180列 式计算即可得解 解答： 解：BOD=76 ， AOC=BOD=76， 射线 OM 平分 AOC， AOM= AOC= 76=38， BOM=180AOC=18038=142 故选 C 点评： 本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键 7 （2012北京）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了 20 户家庭某月的用电量，如表所示： 用电量（度） 120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2 A 180，160 B 160，180 C 160，160 D 180，180 考点： 众数；中位数。710842 分析： 根据众数和中位数的定义就可以解决 解答： 解：在这一组数据中 180 是出现次数最多的，故众数是 180； 将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数是 160，160，那么由中位数的定义可知，这组 数据的中位数是（160+160）2=160 故选 A 点评： 本题为统计题，考查众数与中位数的意义众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从 小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数 8 （2012北京）小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头所示方向经过点 B 跑到点 C，共用 时 30 秒他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程设小翔跑步的时间为 t（单位：秒） ，他与教练的 距离为 y（单位：米） ，表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这个个定位置可能是图 1 中的（ ） A 点 M B 点 N C 点 P D 点 Q 考点： 动点问题的函数图象。710842 专题： 应用题。 分析： 分别假设这个位置在点 M、N、P、Q ，然后结合函数图象进行判断利用排除法即可得出答案 解答： 解：A、假设这个位置在点 M，则从 A 至 B 这段时间，y 不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选 项错误； B、假设这个位置在点 N，则从 A 至 B 这段时间，y 不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错 误； C、 ， 假设这个位置在点 P，则由函数图象可得，从 A 到 C 的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经 过 30 秒时教练到小翔的距离，而点 P 不符合这个条件，故本选项错误； D、经判断点 Q 符合函数图象，故本选项正确； 故选 D 点评： 此题考查了动点问题的函数图象，解答本题要注意依次判断各点位置的可能性，点 P 的位置不好排除，同 学们要注意仔细观察 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 9 （2012北京）分解因式：mn 2+6mn+9m= m （n+3） 2 考点： 提公因式法与公式法的综合运用。710842 分析： 先提取公因式 m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 解答： 解：mn 2+6mn+9m =m（n 2+6n+9） =m（n+3） 2 故答案为：m（n+3 ） 2 点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方 法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 10 （2012北京）若关于 x 的方程 x22xm=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 1 考点： 根的判别式。710842 分析： 根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为 0，据此求出 m 的值即可 解答： 解： 关于 x 的方程 x22xm=0 有两个相等的实数根， =0， （ 2） 241（m）=0 ， 解得 m=1 点评： 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 11 （2012北京）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使 斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上已知纸板的两条直角边 DE=40cm，EF=20cm，测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5m，CD=8m，则树高 AB= 5.5 m 考点： 相似三角形的应用。710842 分析： 利用直角三角形 DEF 和直角三角形 BCD 相似求得 BC 的长后加上小明同学的身高即可求得树高 AB 解答： 解：DEF=BCD=90D= D DEFDCB = DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m， = BC=4， AB=AC+BC=1.5+4=5.5 米， 故答案为 5.5 点评： 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型 12 （2012北京）在平面直角坐标系 xOy 中，我们把横、纵坐标都是正数的点叫做整点已知点 A（0，4） ，点 B 是 x 轴正半轴上的整点，记 AOB 内部（不包括边界）的整点个数为 m当 m=3 时，点 B 的横坐标的所有可能 值是 3 或 4 ；当点 B 的横坐标为 4n（n 为正整数）时，m= 6n3 （用含 n 的代数式表示） 考点： 点的坐标。710842 专题： 规律型。 分析： 根据题意画出图形，再找出点 B 的横坐标与 AOB 内部（不包括边界）的整点 m 之间的关系即可求出答 案 解答： 解：如图： 当点 B 在（3，0）点或（4， 0）点时， AOB 内部（不包括边界）的整点为（ 1，1） （1，2） （2，1） ，共 三个点， 所以当 m=3 时，点 B 的横坐标的所有可能值是 3 或 4； 因为AOB 内部（不包括边界）的整点个数=（点 B 的横坐标 1）（点 A 的纵坐标 1）32， 所以当点 B 的横坐标为 4n（ n 为正整数）时，m= （4n1）（41）32=6n3； 故答案为：3 或 4，6n3 点评： 此题考查了点的坐标，关键是根据题意画出图形，找出点 B 的横坐标与 AOB 内部（不包括边界）的整点 m 之间的关系，考查数形结合的数学思想方法 三、解答题（每小题 5 分，共 30 分） 13 （2012北京）计算：（ 3） 0+ 2sin45（ ） 1 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。710842 专题： 计算题。 分析： 分别根据零指数幂、二次根式的化简、负整数指数幂的运算，得出各部分的最简值，继而合并可得出答 案 解答： 解：原式=1+3 2 8 =7+2 点评： 此题考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数幂的运算法则是关键，另外要求我们熟练记忆一些特殊角 的三角函数值 14 （2012北京）解不等式组： 考点： 解一元一次不等式组；不等式的性质；解一元一次不等式。710842 专题： 计算题。 分析： 根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可 解答： 解： ， 解不等式得： x1， 解不等式得：x5， 不等式组的解集为：x5 点评： 本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组）的应用，解此题的关键是根据找不等式组解集的规律 找出不等式组的解集 15 （2012北京）已知 ，求代数式 的值 考点： 分式的化简求值。710842 专题： 计算题。 分析： 将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，然后由已知的等式用 b 表 示出 a，将表示出的 a 代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值 解答： 解： （a 2b） = （a 2b） = ， = 0，a= b， 原式 = = = = 点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算 关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约 分 16 （2012北京）已知：如图，点 E，A ，C 在同一直线上，ABCD，AB=CE，AC=CD 求证：BC=ED 考点： 全等三角形的判定与性质。710842 专题： 证明题。 分析： 首先由 ABCD，根据平行线的性质可得BAC= ECD，再有条件 AB=CE，AC=CD 可证出 BAC 和ECD 全等，再根据全等三角形对应边相等证出 CB=ED 解答： 证明：AB CD， BAC=ECD， 在BAC 和ECD 中 ， BACECD（SAS） ， CB=ED 点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等 的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件 17 （2012北京）如图在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y= （x0）的图象与一次函数 y=kxk 的图象的交点为 A（m，2） （1）求一次函数的解析式； （2）设一次函数 y=kxk 的图象与 y 轴交于点 B，若点 P 是 x 轴上一点，且满足PAB 的面积是 4，直接写出 P 点 的坐标 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。710842 专题： 计算题。 分析： （1）将 A 点坐标代入 y= （x0） ，求出 m 的值为 2，再将（2，2）代入 y=kxk，求出 k 的值，即可得到 一次函数的解析式； （2）将三角形以 x 轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加 解答： 解：（1）将 A（m，2）代入 y= （x0）得， m=2， 则 A 点坐标为 A（2，2） ， 将 A（2，2）代入 y=kxk 得，2kk=2， 解得 k=2，则一次函数解析式为 y=2x2； （2）一次函数 y=2x2 与 x 轴的交点为 C（1，0） ，与 y 轴的交点为（0， 2） ， 2CP+ 2CP=4，解得 CP=2， 则 P 点坐标为（3，0） ， （ 1，0） 点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出函数解析式并熟悉点的坐标与图形的关系是解题的关 键 18 （2012北京）列方程或方程组解应用题： 据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作 用已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的 2 倍少 4 毫克，若一年滞尘 1000 毫 克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘 550 毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量 考点： 分式方程的应用。710842 分析： 首先设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 x 毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x4）毫克，根 据关键语句“若一年滞尘 1000 毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘 550 毫克所需的国槐树叶的片数相同， ”可得方程 = ，解方程即可得到答案，注意最后一定要检验 解答： 解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 x 毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x4）毫克，由 题意得： = ， 解得：x=22， 经检验：x=22 是原分式方程的解 答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 22 毫克 点评： 此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找到题目中的关键语句，列出方程列分式方程解应 用题的一般步骤：设、列、解、验、答必须严格按照这 5 步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完 整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等 四、解答题（每小题 5 分，共 20 分） 19 （2012北京）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 E，BAC=90， CED=45，DCE=30 ， DE= ，BE=2 求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积 考点： 勾股定理；含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形。710842 分析： 利用等腰直角三角形的性质得出 EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中 30所对边等于斜边的一半得出 CD 的长，求出 AC，AB 的长即可得出四边形 ABCD 的面积 解答： 解：过点 D 作 DHAC， CED=45，DH EC，DE= ， EH=DH=1， 又DCE=30， HC= ， DC=2， AEB=45， BAC=90， BE=2 ， AB=AE=2， AC=2+1+ =3+ ， S 四边形 ABCD= 2（3+ ）+ 1（3+ ）= 点评： 此题主要考查了解直角三角形和三角形面积求法，根据已知构造直角三角形进而得出直角边的长度是解题 关键 20 （2012北京）已知：如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，OD BC 于点 D，过点 C 作O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连接 BE （1）求证：BE 与O 相切； （2）连接 AD 并延长交 BE 于点 F，若 OB=9，sinABC= ，求 BF 的长 考点： 切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。710842 专题： 几何综合题。 分析： （1）连接 OC，先证明OCE OBE，得出 EBOB，从而可证得结论 （2）过点 D 作 DHAB，根据 sinABC= ，可求出 OD=6，OH=4，HB=5，然后由 ADHAFB，利用 相似三角形的性质得出比例式即可解出 BF 的长 解答： 证明：（1）连接 OC， ODBC， OC=OB，CD=BD（垂径定理） ， CDOBDO， OCD=OBD， 在OCE 和OBE 中， ， OCEOBE， OBE=OCE=90，即 OBBE， 故可证得 BE 与O 相切 （2）过点 D 作 DHAB， ODHOBD， = = 又 sinABC= ，OB=9 ， OD=6， OH=4，HB=5，DH=2 ， 又ADH AFB， = ， = ， FB= 点评： 此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握切线的判定定理，在第 二问的求解中，一定要注意相似三角形的性质的运用 21 （2012北京）近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011 年北京市又调整修订了 2010 至 2020 年轨道交通线网的发展规划以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部 分 北京市轨道交通已开通线路相关数据统计表（截止 2010 年底） 开通时间 开通线路 运营里程（千米） 1971 1 号线 31 1984 2 号线 23 13 号线 41 2003 八通线 19 2007 5 号线 28 8 号线 5 10 号线 25 2008 机场线 28 2009 4 号线 28 房山线 22 大兴线 22 亦庄线 23 昌平线 21 2010 15 号线 20 （1）补全条形统计图并在图中标明相应数据； （2）按照 2011 年规划方案，预计 2020 年北京市轨道交通运营总里程将达到多少千米？ （3）要按时完成截至 2015 年的轨道交通规划任务，从 2011 到 2015 年这 4 年中，平均每年需新增运营里程多少 千米？ 考点： 条形统计图；扇形统计图。710842 分析： （1）根据表格所给数据即可得出：2009 年运营路程为：2008 年运营总路程+28 求出即可； （2）根据扇形图得出：截止 2010 年已开通运营总路程占计划的百分比，进而得出答案； （3）根据截止 2015 年新增运营路程为：100036.7=367（千米） ；进而得出从 2011 到 2015 年这 4 年中， 平均每年需新增运营里程 解答： 解：（1）根据表格所给数据即可得出：2009 年运营路程为：200+28=228， 如图所示： （2）根据扇形图得出：截止 2010 年已开通运营总路程占计划的百分比，进而得出 预计 2020 年北京市轨道交通运营总里程将达到：33633.6%=1000（千米） ； （3）根据截止 2015 年新增运营路程为：100036.7=367（千米） ； 则从 2011 到 2015 年这 4 年中，平均每年需新增运营里程（36736）4=82.75 点评： 此题主要考查了扇形图与条形图综合应用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的 关键，此题难度较大应注意认真读图 22 （2012北京）操作与探究： （1）对数轴上的点 P 进行如下操作：先把点 P 表示的数乘以 ，再把所得数对应的点向右平移 1 个单位，得到点 P 的对应点 P 点 A，B 在数轴上，对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 AB，其中点 A，B 的对应点分别为 A，B如图 1，若点 A 表示的数是 3，则点 A表示的数是 0 ；若点 B表示的数是 2，则点 B 表示的数是 3 ；已知线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得到的对应点 E与点 E 重合，则点 E 表示的数是 （2）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐 标都乘以同一个实数 a，将得到的点先向右平移 m 个单位，再向上平移 n 个单位（m0，n0） ，得到正方形 ABCD及其内部的点，其中点 A，B 的对应点分别为 A，B 已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作 后得到的对应点 F与点 F 重合，求点 F 的坐标 考点： 坐标与图形变化-平移；数轴；正方形的性质；平移的性质。710842 专题： 应用题。 分析： （1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点 A，设点 B 表示的数为 a，根据题意列 出方程求解即可得到点 B 表示的数，设点 E 表示的数为 b，根据题意列出方程计算即可得解； （2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点 F 的坐标为（x，y） ，根据平移规律列出方程组求解即可 解答： 解：（1）点 A：3 +1=1+1=0， 设点 B 表示的数为 a，则 a+1=2， 解得 a=3， 设点 E 表示的数为 b，则 a+1=b， 解得 b= ； 故答案为：0，3， ； （2）根据题意得， ， 解得 ， 设点 F 的坐标为（x，y） ， 对应点 F与点 F 重合， x+ =x， y+2=y， 解得 x=1，y=4， 所以，点 F 的坐标为（1，4） 点评： 本题考查了坐标与图形的变化，数轴上点右边的总比左边的大的性质，读懂题目信息是解题的关键 五、解答题（共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23 （2012北京）已知二次函数 y=（t+1）x 2+2（t+2）x+ 在 x=0 和 x=2 时的函数值相等 （1）求二次函数的解析式； （2）若一次函数 y=kx+6 的图象与二次函数的图象都经过点 A（ 3，m） ，求 m 和 k 的值； （3）设二次函数的图象与 x 轴交于点 B，C （点 B 在点 C 的左侧） ，将二次函数的图象在点 B，C 间的部分（含点 B 和点 C）向左平移 n（n0）个单位后得到的图象记为 G，同时将（2）中得到的直线 y=kx+6 向上平移 n 个单 位请结合图象回答：当平移后的直线与图象 G 有公共点时，求 n 的取值范围 考点： 二次函数综合题；解一元一次方程；根的判别式；一次函数图象上点的坐标特征；平移的性质。710842 专题： 计算题。 分析： （1）把 x=0 和 x=2 代入得出关于 t 的方程，求出 t 即可； （2）把 A 的坐标代入抛物线，即可求出 m，把 A 的坐标代入直线，即可求出 k； （3）求出点 B、C 间的部分图象的解析式是 y= （x3） （ x+1） ，得出抛物线平移后得出的图象 G 的解析式 是 y= （x3+n ） （x+1+n） ，n1x 3n，直线平移后的解析式是 y=4x+6+n，若两图象有一个交点时，得出 方程 4x+6+n= （x 3+n） （x+1+n）有两个相等的实数解，求出判别式=6n=0，求出的 n 的值与已知 n0 相矛盾，得出平移后的直线与抛物线有两个公共点， 设两个临界的交点为（n 1， 0） ， （3n，0） ，代入直线的解析式，求出 n 的值，即可得出答案 解答： （1）解：二次函数 y=（t+1）x 2+2（t+2）x+ 在 x=0 和 x=2 时的函数值相等， 代入得：0+0+ =4（t+1 ）+4（t+2）+ ， 解得：t= ， 二次函数的解析式是 y= x2+x+ （2）解：把 A（3，m）代入 y= x2+x+ 得：m= （ 3） 23+ =6， 即 A（3， 6） ， 代入 y=kx+6 得：6= 3k+6， 解得：k=4， 即 m=6，k=4 （3）解：由题意可知，点 B、C 间的部分图象的解析式是 y= （x3） （x+1） ， 1x3， 则抛物线平移后得出的图象 G 的解析式是 y= （x3+n） （ x+1+n） ，n 1x3n， 此时直线平移后的解析式是 y=4x+6+n， 如果平移后的直线与平移后的二次函数相切， 则方程 4x+6+n= （x 3+n） （ x+1+n）有两个相等的实数解， 即 x2（ n+3）x n2 =0 有两个相等的实数解， 判别式=（n+3） 24（ ）（ n2 ）=6n=0， 即 n=0， 与已知 n0 相矛盾， 平移后的直线与平移后的抛物线不相切， 结合图象可知，如果平移后的直线与抛物线有公共点， 则两个临界的交点为（n 1， 0） ， （3n，0） ， 则 0=4（ n1）+6+n， n= ， 0=4（3 n）+6+n， n=6， 即 n 的取值范围是： n6 点评： 本题考查了二次函数和一次函数的性质，平移的性质，根的判别式等知识点的应用，通过做此题培养了学 生的分析问题和解决问题的能力，题目综合性比较强，有一定的难度 24 （2012北京）在 ABC 中， BA=BC，BAC= ，M 是 AC 的中点，P 是线段 BM 上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 得到线段 PQ （1）若 =60且点 P 与点 M 重合（如图 1） ，线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全图形，并写出CDB 的 度数； （2）在图 2 中，点 P 不与点 B，M 重合，线段 CQ 的延长线于射线 BM 交于点 D，猜想CDB 的大小（用含 的 代数式表示） ，并加以证明； （3）对于适当大小的 ，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时，能使得线段 CQ 的延长 线与射线 BM 交于点 D，且 PQ=QD，请直接写出 的范围 考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。710842 分析： （1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出CMQ 是等边三角形，即可得出答案； （2）首先利用已知得出APDCPD，进而得出 PAD+PQD=PQC+PQD=180，即可求出； （3）由（2）得出CDB=90 ，且 PQ=QD，进而得出PAD=PCQ=PQC=2CDB=1802，得出 的取 值范围即可 解答： 解：（1）BA=BC，BAC=60 ，M 是 AC 的中点， BMAC，AM=MC ， 将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 得到线段 PQ， AM=MQ，AMQ=120， CM=MQ，CMQ=60， CMQ 是等边三角形， ACQ=60， CDB=30； （2）连接 PC，AD， A