2011届高三数学单元测试：算法、复数、推理与证明

辽宁名校 2011 届高三数学单元测试 算法、复数、推理与证明 注意事项： 1本试题分为第卷和第 卷两部分，满分 150 分，考试时间为 120 分钟 2答第卷前务必将自己的姓名考号考试科目涂写在答题卡上考试结束，试题和答题卡一并 收回 3第卷每题选出答案后，都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ ABCD）涂黑，如需 改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案 第卷（选择题，共 50 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1学已知复数 z满足 (13)iz，则 z （ ） A 32i B 2 C 34i D 34i 2已知 i是虚数单位， m和 n都是实数，且 niim1)(，则 209)(im等于（ ） A B iC D 1 3已知定义在复数集 C上的函数 ()fx满足 (),()xfiR，则 ()fi （ ） A 2 B 0 C 3 D 2i 4某程序框图如左下图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 （ ） A 2()fx B 1()fx C e D sin 5根据右上边程序框图，若输出 y的值是 4，则输入的实数 x的值为 （ ） A 1 B 2 C 1或 2 D 1或 2 6数列 na，已知 1，当 n时 na，依次计算 a、 3、 4后，猜想 na的表达式 是 （ ） A 32 B 2 C 13n D n 7 若 x是实数， y是纯虚数，且满足 iyix)()(，则 ix等于 （ ） A 1 B 2 C 32 D 21 8读两段程序： 对甲、乙程序和输出结果判断正确的是 （ ） A程序不同，结果不同 B程序不同，结果相同 C程序相同，结果不同 D程序相同，结果相同 9黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第 n个图案中有白色地面砖的块数 是： （ ） A 42nB 42n C 24n D 3 阳光家教网 高三数学学习资料 10 关于 x的方程 03)12(imxi有实根，则实数 m的值是 （ ） A 41m B 4C 12 D 12 11对 a、 bR，运算“ ”、 “”定义为： ab= ,().， ab= ,().，则下列各式其 中恒成立的是 （ ） abab abab A 、 B 、 C 、 D、 12 （2009 浙江）10对于正实数 ，记 M为满足下述条件的函数 ()fx构成的集合： 12,xR且21x ，有 212121()()()xfxfx下列结论中正确的是 （ ） A若 )fM， g，则 2g B若 1(x， 2()x，且 ()0x，则 1()fx C若 )f， ，则 2f D若 1(， 2()g，且 12，则 12()fgM 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在横线上 13定义： abdcc，若复数 z满足 12ii，则 z等于 14数列 n的前 10项由如图所示的流程图依次输出的 a的值构成，则数列 na的一个通项公式 na 。 15观察下列等式： 1532C ，9739 ，1515332 ，971777C ， 由以上等式推测到一个一般的结论： 对于 *nN， 15941414nnn 16某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数 ()fx在 0,1上有意义,且 (0)1f,如果对于不同的12,0,x ,都有 1212()fxfx，求证： 12()fx。那么他的反设应该是 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本题满分 12 分）先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知 Ra21,， 121a， 求证 2121a 证明：构造函数 221)()()axxf， 212212)( axxf 因为对一切 R，恒有 )(xf0，所以 )(8420，从而得 2121a， （1）若 an,21 ， 21na ，请写出上述结论的推广式； （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明 18 （本题满分 12 分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如 图为一组蜂巢的截面图 其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三个图有 19 个蜂巢，按 此规律，以 ()fn表示第 幅图的蜂巢总数 （1 ） 试给出 4,5的值，并求 ()fn的表达式（不要求证明） ； （2 ） 证明： 14()233f 19 （本题满分 12 分）已知 2:1(0)xyCab 椭圆具有性质：若 ,MN是椭圆上关于原点 O对称的 两点，点 P是椭圆上任意一点，当直线 ,PMN的斜率都存在，并记为 ,Pk时，那么 PMk与 阳光家教网 高三数学学习资料PNk 之积是与点 的位置无关的定值，试写出双曲线 21xyab 具有类似特性的性质并加以证明 20 （本题满分 12 分）已知函数 321()()fxax ()aR，函数 ()gxf （1 ）判断方程 ()0gx的零点个数； （2 ）解关于 的不等式 ，并用程序框图表示你的求解过程 21 （本题满分 12 分）已知函数 )(xf是在 ),0上每一点均可导的函数，若 )(/xfxf 在0x 时恒成立 （1 ）求证：函数 xfg)(在 ),0上是增函数； （2 ）求证：当 ,021时，有 1212()fxffx； （3 ）请将（2 ）问推广到一般情况，并证明你的结论 22 （本题满分 14 分）已知二次函数 2fxabxc （1）若 0f，试判断函数 零点个数； （2）若对 12,xR且 12x， 12fxf，试证明 012,x，使0fff 成立。 （3）是否存在 ,abc，使 ()x同时满足以下条件对 ,(4)()xRffx，且()fx ；对 R,都有 210()()fx。若存在，求出 ,abc的值，若不存在， 请说明理由。 参考答案 阳光家教网 高三数学学习资料 一、选择题 1 【 解析】D 由 (13)iz得 13i(13)4iii,故选 D 2 【 解析】A 由 niim)(和复数相等的充要条件得 1mn，故209209()()1mniii 。 3 【 解析】C ()1(2)3fifif。 4 【 解析】D 满足 )0x的函数 x可以为奇函数 ,排除 A、C；而函数 1()fx不存在零点, 所 以选 D 5 【 解析】D 当 1时，若 4y，则 2；当 10时，若 4y，即 34，则 ； 当 0x， cosyx，不可能输出 。 6 【 解析】B 计算出 2a， 39， 46a猜想 2n，选 B 7 【 解析】D 设 )0,(mRiy，则 imix)3()1(， 1且 mx2， 解得 23x， 4， 2iyix故选 D 8 【 解析】B 程序甲是计数变量 从 开始逐步递增直到 0i时终止，累加变量从 0开始，这个程序 计算的是 110 ；程序乙计数变量从 1开始逐步递减到 1i时终止，累加变量从0 开始，这个程序计算的是 9 但这两个程序是不同的 两种程序的输出结果都是3S = 5 9 【 解析】A 观察可知除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第 n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以 6 为首项，公差是 4 的等差数列的第 n项” 。 或由图可知，当 1n时， ,a当 2n时， 10,a当 3n，有 14,a 由此推测，第 个图案中有白色地面砖的块数是： 2 10解析：C 设实根为 ，则 )(2imi，即 0m且 012a， 12m 。 11 【 解析 】C 由定义知、恒成立，不恒成立，正确答案 C 12 【 解析 】C 对于 212121()()()xfxfx，即有 21()fxf，令21()fxfk ，有 k，不妨设 M， 2g， 即有 11,fk22gk，因此有 1212fgk， 因此有 ()xM 二、填空题 13 【 解析 】 i1 根据定义 12zii，故 1zi，故 1iz。 14 【 解析 】 2)(n 这个数列的前 0项依次是 ,3,20 ，故这个数列的一 个通项公式是 (1)na。 15 【 解析 】 412n这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有n ，二项指数分别为 412,n，因此对于 *nN， 15941414nnnCC41212n 16 【 解析 】 “ 12,0,x，使得 1212()fxfx且 12()fxf” 反设是否定结论，故要保 留 12()ff，否定 ()。 三、解答题 17 【 解析 】 （1）若 Ran,21 ， 121na ， 求证： a12 ；4 分 （2 ）证明：构造函数 2221 )()()() nxxxf 2212( nnaanx 2a 8 分 因为对一切 xR，都有 )(xf0，所以= )(4221na 0，10 分 从而证得： n1221 12 分 18 【解析 】 （1 ） (4)37,(5)6.ff 由于 () 9726,f439,4)134f 2 分 因此，当 2n时，有 ()(,fnn3 分 所以 ()1()1()ffffff261 5 分 又 23f，所以 ()1f 6 分 （2 ）当 k时， 22()()313fkkkk 9 分 阳光家教网 高三数学学习资料 所以 11111()()()2(3)()323fffnn 43n 。12 分 19 【 解析 】可以通过横向类比得：若 ,MN是上述双曲线上关于原点 O对称的两点， 点 P是双曲线上任意一点，当直线 P的斜率都存在，并记为 ,PMNk时， 那么 Mk与 PN之积是与点 的位置无关的定值4 分 下面给出严格的证明： 设点 (,)mn，则 (,)n，其中 21mnab ，又设点 的坐标 为 ,yx，则 ,PMPNyykkxx， 2PMNynkxm ，8 分 注意到 12ba，点 ),(在双曲线 12ba上， 故 22(),yna ， 代入 2PMNykxm 可得：22()Pbbaa （常数） ， 即 MNk与点 的位置无关的定值12 分 20 【 解析 】 （1） 2()(1)fxx 2()gxa-1 分 24() 当 1时，方程 0gx有一个零点； 当 a时，方程 ()有两个零点；-3 分 （2 ）将不等式 x化为 ()10xa -5 当 1 时，原不等式的解集为 |x或 -6 分 当 a时，原不等式的解集为 |或 -7 分 当 时，原不等式的解集为 |1xR -8 分 求解过程的程序框图如下图： 12 分 21 【 解析 】 （1）由 xfg)(得 ,)()(2 /xffg 因为 )(/xfxf， 所以 0)(/x在 时恒成立，所以函数 f)(在 ,0(上是增函数3 分 （2 ）由（1 ）知函数 xfg)(在 ,0上是增函数，所以当 0,21x时， 有 22121 )(,)( ffxf 成立，5 分 从而 )()(,()( 21212121 xfxfxff ， 两式相加得 )21ffxf7 分 （3 ）推广到一般情况为： 若 )3,21(0nii ，则 )()()( 2121 nn xfxffxxf ，,Nn 8 分 以下用数学归纳法证明 （1 ）当 2时，有（2）已证成立，9 分 （2 ）假设当 )(k时成立，即 )()()( 2121 kk xfxffxxf 那么当 1n时， )()()( 121121 kkk ffxxf )(kxf 阳光家教网 高三数学学习资料 成立，即当 1kn时也成立 有（1） （2）可知不等式对一切 2,nN时都成立12 分 22 【解析】 （1） 0,0fabc ac2224()4()bac -2 分 当 时 ，函数 fx有一个零点；-3 分 当 c时， 0，函数 有两个零点。-4 分 （2）令 122gxffxf，则121112xffff 212212ffgxffxf ，12