2012高中数学复习讲义(通用版全套)第四章 平面向量与复数

2012 高中数学复习讲义 第四章 平面向量与复数 【知识图解】 .平面向量知识结构表 .复数的知识结构表 【方法点拨】 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份” ，使它成为了中学数学知识的一 个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很 好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解 析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综 合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新 的高度来认识和理解向量。 1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问 题时注意用数形结合思想的应用. 2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向 量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决. 4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法. 第 1 课 向量的概念及基本运算 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件 件件两个向量垂直的充要条件 件件 数系的扩充与 复数的引入 复数的概念 复数的运算 数系的扩充 O A P Q B a b 第 4 题 【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题：若 ab，则 ；若 A、B、C、D 是不共线的四点，则 DCAB是四边形为平 行四边形的充要条件；若 ,c，则 a； b的充要条件是 ab且 /；若 /ab，/bc ，则 /。其中，正确命题材的序号是 2. 化简 AC BDA 得 0 3.在四边形 ABCD 中， =a+2b， BC=4 ab ， D= 5a3b ，其中 a、b 不共线，则四边形 ABCD 为 梯形 4.如图，设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点， 若 OAa， Bb，则 O 213ab， 123 (用 a、b 表示) 【范例导析】 例 1 .已知任意四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F， 求证： 2ABDCEF. 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接 EB 和 EC ， 由 和 B可得， EABF （1） 由 EDC和 EFC可得， DC （2） （1 ） +（ 2）得， 2AD （3 ） E、 F 分别为 AD 和 BC 的中点， 0E， 0FB， 代入（3）式得， 2BCF 点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形. 例 2.已知 ,OAB不共线， PaOAbB,求证：A,P,B 三点共线的充要条件是 1ab 分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明. D C E F A B 例 1 第 3 页 【辅导专用】共 12 页 解：先证必要性：若 A,P,B 三点共线，则存在实数 ，使得 APB,即 OABO,1,OPAOB PaAbOB, 1,ab， 1.ab 再证充分性：若 1.ab则 = , 与 共线，A,P,B 三点共线. 点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题. 【反馈练习】 1已知向量 a 和 b 反向，则下列等式成立的是（C） A. |a| |b|=|a b| B. |a| b|=|a+b| C.|a|b|=|a b| D. |a| b|=|a+b| 2.设四边形 ABCD 中，有 1,2DABC则这个四边形是（C） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 3.设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点，试化简： ， D， OACB。 解析：原式= ()CDA； 原式= 0B； 原式= ()()()0OAOBCAB。 4.设 x为未知向量， a、 b为已知向量， x满足方程 2 (5a+3 x4b)+ 21a3 =0， 则 = 92（用 、 表示） 5.在四面体 O-ABC 中， ,B,C,Dc为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则 OE=14abc （用 a，b ，c 表示） 6 如图平行四边形 OADB 的对角线 OD,AB 相交于点 C，线段 BC 上有一点 M 满足 BC=3BM,线段 CD 上有一 点 N 满足 CD 3CN,设 OA,O,Nab试 用 表 示 解： 111BM=CB=A-B=3666ab5+ab . DCDCN324,322ONDAO MO- 第 2 课 向量的数量积 【考点导读】 1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义. 第 6 题 2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律. 3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式. 4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题. 【基础练习】 1.已知 ,ab均为单位向量，它们的夹角为 06，那么 3ab1 2.在直角坐标系 xOy中， ,ij分别是与 x轴， y轴平行的单位向量，若直角三角形 ABC中，2ABij ， 3Ck，则 的可能值个数为 2 个 3. 若 1a, b， a与 的夹角为 06，若 (3+5)ab()m，则 的值为 238 4.若 |,|,c，且 c，则向量 与 的夹角为 120 【范例导析】 例 1.已知两单位向量 a与 b的夹角为 012，若 ,3cabda，试求 c与 d的夹角的余弦值。 分析:利用 2及 cos求解. 解：由题意， 1ab，且 a与 b的夹角为 012，所以， 1cos20ab，2247c ，同理可得 2413dbac 而 d2()(3)73a，设 为 c与 的夹角，则1791cos82 点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。 例 2.已知平面上三个向量 a、 b、 c的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120， （1）求证： () ；（2）若 |k)(Rk，求 的取值范围. 分析:问题（1）通过证明 ()0证明 abc,问题（2）可以利用2|kabck 解：（1） |1c，且 、 、 之间的夹角均为 120， 00()|os1|os1 ab 0 （2 ） |k，即 2|kc 也就是 22abc 1abc， 02k 所以 0k或 第 5 页 【辅导专用】共 12 页 解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决. 例 3.如图，在直角ABC 中，已知 BCa，若长为 2的线段 PQ以点 A为中点，问 BCPQ与 的夹角 取 何值时 CQBP的值最大？并求出这个最大值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得 ()()AAC ,再结合直角三 角形和各线段长度特征法解决问题 解： ,0.B,()()PQPBQCAAC 222()1cos.aPBQCa 20,(),2PBCBPCQa 故 当 即 与 方 向 相 同 时 最 大 其 最 大 值 为 点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题, 不仅可以用向量语言加 以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解, 从而把抽象的问题转化为具体的向量运算. 【反馈练习】 1.已知向量 a,b满足 14,2=,abA且 ,则 与 b的夹角为 3 2.如图，在四边形 ABCD 中， |4,BDC0,ABDC 4| CDBA ，则 )(的值为 4 3.若向量 a,b满足 =1,ab的夹角为 60，则 a+b= 32 4.若向量 2且 -,则 6 5.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= 1 ,求： ab ；(2ab) (a+3 b) 解：（1）| a+b|2=（a+b） 2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2， 2210abA 例 3 D C BA 第 2 题 （2 ） （2ab）（a+3b）=2a 2+5ab3b 2=2|a|2+5ab3|b |2=242+5（10）35 2=93. 6.已知 a 与 b 都是非零向量，且 a+3b 与 7a-5b 垂直，a 4b 与 7a 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角. 解：且 a+3b 与 7a-5b 垂直，a 4b 与 7a 2b 垂直， （a+3b ）（7 a-5b）=0 ， （a 4b）（7 a 2b）=0 7a216 ab15 b2=0，7a 230 ab8 b2=0， b 2=2 ab，|a|=|b| 1cos 60 第 3 课 向量的坐标运算 【考点导读】 1. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2. 会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算. 3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题. 【基础练习】 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若 OA= )8,(， B= )2,7(，则 31AB= (,2) 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量 ab中，若 4， b=1，且 5a，则向量 b= 43(,)5 3.已知向量 (,1)(,5)(,10)kOCk ，且 A、B 、C 三点共线，则 k= 2 4.已知平面向量 3， 3x，且 ，则 x1 【范例导析】 例 1.平面内给定三个向量 ,21,4,abc，回答下列问题： （1 ）求满足 mbnc的实数 m,n； （2 ）若 /ak，求实数 k； （3 ）若 d满足 a，且 5dc，求 d 分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件. 解：（1）由题意得 1,42,3nm 所以 24n，得 985 （2 ） 2,5,3abkcka 第 7 页 【辅导专用】共 12 页 136,025432kk （3 ）设 ,dxy，则 4,2,4bayxcd 由题意得 51422 得 13yx或 3,d或 ， 点拨:根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。 例 2.已知ABC 的顶点分别为 A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，BC 边上的高为 AD，求 AD及点 D 的 坐标、 分析:注意向量坐标法的应用 ,及平行、垂直的充要条件. 解：设点 D 的坐标为(x ,y) AD 是边 BC 上的高， ADBC， A BC 又C、B 、D 三点共线， 又 A=(x2,y1), BC=(6,3)B =(x3,y2) 0)3()2(61 解方程组，得 x= 59,y= 7 点 D 的坐标为( ， )， AD的坐标为( 51， 2) 点拨:在解题中要注意综合运用向量的各种运算解决问题. 例 3已知向量 3cos,in,cos,in,22xxab且 2,0x 求（1） b及 ；（2）若 fab的最小值是 3，求 的值。 分析:利用向量的坐标运算转化为函数的最值问题求解. 解：（1） 33cossinicos22xxa 例 2 ， 2233cossinixxab .cos2sx0,c2xab 。 （2） 12cos21cs4os24cos xxxf1,0,0x （1） 当 ,时， 12,cosminxf 25,32 （2） 当 0时， 3,0inf （3） 当 1时， 185241cosmi x 综上所述： 25。 点拨:注意运用不同章节知识综合处理问题,对于求二次函数得分最值问题,注意分类讨论. 【反馈练习】 1已知向量 (5,6)a， (,5)b，则 a与 b （A） A垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向 2.与向量 a= 71,2b= ,的夹解相等，且模为 1 的向量是 43,55或 3.已知向量 (4,6)(3,5)O且 ,/,OAB则向量 OC等于 214,7 4.已知向量 1,|,(),2abcabcac若 则 与 的 夹 角 为 120 5.若 (,2)(2)ABC，试判断则ABC 的形状_直角三角形_ 6.已知向量 cos,in，向量 (3,1)b，则 的最大值是 4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7.若 ,ab是非零向量且满足 (2)a， (2)ab ，则 与 的夹角是 3 8.已知： 、 、 c是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2） （1）若| | 52，且 /，求 c的坐标； （2）若| b|= ,且 ab与 2垂直，求 a与 b的夹角 . 解：（1）设 ()cxy，由 /和 5可得： 第 9 页 【辅导专用】共 12 页 20 12yx 42yx 或 42yx (,4)c，或 (,)c （2） ab()0abA 即 2230,ab22|3| 5504， 所以 5b cos1,|ab ,0 . 9.已知点 O是 ，内 的 一 点 ， 009BOC5AABCA,OB,C,abc设 且2,13,abc 试用 ,abc和 表 示 . 解：以 O 为原点， OC，OB 所在的直线为 x轴和 y轴建立如图 3 所示的坐标系. 由 OA=2， 02Ax，所以 ,1-,20sin,1o0，即A， 易求 3,C1-0B， ，设 .31-3 3,01-,O21 22即 即即即abc . 第 4 课 向量综合应用 【考点导读】 1. 能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法解决向量知识内部综合问题和与函数、不等式、三角函 数、数列等知识的综合问题. 2. 能从实际问题中提炼概括数学模型,了解向量知识的实际应用. 【基础练习】 1.已知 a（5，4） ，b（3，2） ，则与 2a3b 平行的单位向量为 52(,)e 第 9 题 2.已知 a1， b1，a 与 b 的夹角为 60，x2ab ,y3ba ，则 x 与 y 的夹角的余弦 值为 24 【范例导析】 例 1.已知平面向量 a( 3，1)， b( 21, 3). (1) 若存在实数 k 和 t，便得 xa(t 23)b, y ka tb，且 xy ，试求函数的关系式 kf（t） ； (2) 根据(1)的结论，确定 kf (t)的单调区间。 分析:利用向量知识转化为函数问题求解. 解:（1）法一：由题意知 x( 23t, 23t), y( 21t 3k， tk)，又 xy 故 x y 23t（ 1t k） t( tk)0。 整理得：t 33t4k0，即 k 4t3 t. 法二：a( ，1)，b( 21, ), . a2， b1 且 ab x y，x y0，即k a2t(t 23) b20，t 33t4k0,即 k 41t3 t (2) 由(1)知：kf (t) 41t3 t kf (t) t2 , 令 k 0 得1 t1；令 k0 得 t1 或 t1. 故 kf (t)的单调递减区间是(1, 1 )，单调递增区间是（ ，1）和（1，）. 点拨:第 1 问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向 量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数 量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意） 。第 2 问中求函数的极值 运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。 例 2.已知两个力（单位：牛） 1f与 2的夹角为 60，其中 1f（ 2， 0） ，某质点在这两个力的共同作用 下，由点 A（ 1， ） 移动到点 B（ 3， ） （单位：米） （1） 求 f； （2） 求 1与 2的合力对质点所做的功 分析:理解向量及向量数量积的物理意义,将物理中的求力和功的问题转化为向量问题解决.解 ： 0（ ， ） ， ， 令 （ ）f=ff=t2 第 11 页 【辅导专用】共 12 页 132=2， （ +1）tt（ 3+1， ）f()2 W（ ， ） （ ， ） （ ， ） =4fABf 点拨:学习向量要了解向量的实际背景,并能用向量的知识解决方一些简单的实际问题. 【反馈练习】 1.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3, 1)，B(1, 3)， 若点 C 满足 OAB， 其中 ， R 且 + =1，则点 C 的轨迹方程为 x2y5=0 2.已知 a,b 是非零向量且满足（a2b）a ， （b 2a）b，则 a 与 b 的夹角是 3 3. 已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点,且| O+ B|=| A- |,其中 O 为原点,则实数 a 的值 为 2 或-2 4.已知向量 a=(cos,in)，向量 b=( 3,1)，则|2ab|的最大值是 4 5如图， AB(61C(,D(2xy ， （1）若 D，求 x 与 y 间的关系； （2）在（1）的条件下