2015-2016学年山东省菏泽市定陶县九年级上学期期中数学试卷.doc

2015-2016 学年山东省菏泽市定陶县九年级（上）期中数学 试卷 一、精挑细选，火眼金睛（每小题 3 分，共 24 分） 1如图，已知 BCDE，则下列说法不正确的是( ) A两个三角形是位似图形 B点 A 是两个三角形的位似中心 CAE：AD 是相似比 D点 B 与点 E，点 C 与点 D 是对应位似点 2下列说法正确的是( ) A对应边都成比例的多边形相似 B对应角都相等的多边形相似 C边数相同的正多边形相似 D矩形都相似 3如图：点 A、B、C、D 的坐标分别是（1，7） 、 （1，1） 、 （4，1） 、 （6，1） ，以点 C、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似，则点 E 的坐标不可能是( ) A （6，0） B （6，3） C （6，5） D （4，2） 4在ABC 中， C=90，cosA= ，那么 sinA 的值等于( ) A B C D 5ABC 中， A，B 均为锐角，且有 +（2sinA ） 2=0，则 ABC 是( ) A直角（不等腰）三角形 B等腰直角三角形 C等腰（不等边）三角形 D等边三角形 6如图，O 是ABC 的外接圆，连接 OA、OB，OBA=50，则C 的度数为( ) A30 B 40 C50 D80 7如图，在ABC 中， ACB=90，ABC=30，AB=2 将 ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋 转 60得 ABC，则点 B 转过的路径长为( ) A B C D 8如图，P 为 O 外一点， PA、PB 分别切O 于 A、B，CD 切O 于点 E，分别交 PA、PB 于点 C、D，若 PA=5，则 PCD 的周长为( ) A5 B 7 C8 D10 二、认真填写，试一试自己的身手（每小题 3 分，共 18 分） 9如图，在ABC 中，P 是 AC 上一点，连接 BP要使ABPACB，则必须有 ABP=_或 APB=_或 =_ 10如图，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=3 ，E 是 AD 的中点，CF BE 于点 F，则 CF=_ 11在 RtABC 中， C=90，a=1，b=2，则 cosA=_ 12如图，为了测得电视塔的高度 AB，在 D 处用高为 1 米的测角仪 CD，测得电视塔顶端 A 的仰角为 30，再向电视塔方向前进 100 米达到 F 处，又测得电视塔顶端 A 的仰角为 60， 则这个电视塔的高度 AB（单位：米）为_米 13一个点到圆上的最近距离为 6cm，最远距离为 10cm，则圆的半径是_ 14过O 内一点 M 的最长弦为 10 cm，最短弦长为 8 cm，那么 OM 的长为 _cm 三、认真解答，一定要细心呦！（本题共 5 小题，满分 38 分，要写出必要的计算、推理、 解答过程） 15计算： （1） sin60cos45+2tan60（ ） 1+（2） 2（ 1） 0 （2）2 1+（3.14） 0+sin60| | 16如图，D 是ABC 的边 AC 上的一点，连接 BD，已知ABD= C，AB=6，AD=4，求 线段 CD 的长 17如图，在O 中，弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E，若 BAD=30，且 BE=2 （1）求O 半径； （2）求弦 CD 的长 18如图：学校旗杆附近有一斜坡小明准备测量学校旗杆 AB 的高度，他发现当斜坡正 对着太阳时，旗杆 AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面 上的影长 BC=20 米，斜坡坡面上的影长 CD=8 米，太阳光线 AD 与水平地面成 30角，斜 坡 CD 与水平地面 BC 成 30的角，求旗杆 AB 的高度 19如图，在ABC 中， ACB=90，D 是 AB 的中点，以 DC 为直径的O 交ABC 的边 于 G，F，E 点 求证：（1）F 是 BC 的中点； （2）A=GEF 四、综合解答题（本题共 4 小题，满分 40 分，要写出必要的计算、推理、解答过程） 20如图，矩形 ABCD 为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在 E 点位置， AE=60cm如果小丁瞄准 BC 边上的点 F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到 D 点位 置 （1）求证：BEF CDF； （2）求 CF 的长 21如图，在O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 P，连接 AC、DB （1）求证：PACPDB； （2）当 为何值时， =4？ 22如图，在ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 M，MN AC 于点 N （1）求证：MN 是O 的切线； （2）若BAC=120，AB=2，求图中阴影部分的面积 23如图，AB 是 O 的直径，AC 是弦， BAC 的平分线 AD 交O 于点 D，DEAC，交 AC 的延长线于点 E，OE 交 AD 于点 F （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 = ，求 的值 2015-2016 学年山东省菏泽市定陶县九年级（上）期中数学试卷 一、精挑细选，火眼金睛（每小题 3 分，共 24 分） 1如图，已知 BCDE，则下列说法不正确的是( ) A两个三角形是位似图形 B点 A 是两个三角形的位似中心 CAE：AD 是相似比 D点 B 与点 E，点 C 与点 D 是对应位似点 【考点】位似变换 【分析】直接利用位似图形的性质与定义分别分析得出答案 【解答】解：BCDE ，且 CD 与 BF 相交于点 A， A、两个三角形是位似图形，正确，不合题意； B、点 A 是两个三角形的位似中心，正确，不合题意； C、AE：AB 是相似比，故此选项错误，符合题意； D、点 B 与点 E，点 C 与点 D 是对应位似点，正确，不合题意； 故选：C 【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键 2下列说法正确的是( ) A对应边都成比例的多边形相似 B对应角都相等的多边形相似 C边数相同的正多边形相似 D矩形都相似 【考点】相似图形 【专题】几何图形问题 【分析】根据相似图形的定义，对选项一一分析，排除错误答案 【解答】解：A、对应边都成比例的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误； B、对应角都相等的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误； C、边数相同的正多边形，形状相同，但大小不一定相同，故正确； D、矩形属于形状不唯一确定的图形，故错误 故选 C 【点评】本题考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形 3如图：点 A、B、C、D 的坐标分别是（1，7） 、 （1，1） 、 （4，1） 、 （6，1） ，以点 C、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似，则点 E 的坐标不可能是( ) A （6，0） B （6，3） C （6，5） D （4，2） 【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质 【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断 【解答】解：ABC 中， ABC=90，AB=6，BC=3，AB：BC=2 A、当点 E 的坐标为（6，0）时， CDE=90，CD=2，DE=1 ，则 AB：BC=CD ：DE， CDEABC，故本选项不符合题意； B、当点 E 的坐标为（6，3）时， CDE=90，CD=2，DE=2，则 AB：BCCD：DE， CDE 与ABC 不相似，故本选项符合题意； C、当点 E 的坐标为（6，5）时， CDE=90，CD=2，DE=4，则 AB：BC=DE：CD， EDCABC，故本选项不符合题意； D、当点 E 的坐标为（4，2）时， ECD=90，CD=2，CE=1，则 AB：BC=CD：CE ， DCEABC，故本选项不符合题意； 故选：B 【点评】本题考查了相似三角形的判定，难度中等牢记相似三角形的判定定理是解题的 关键 4在ABC 中， C=90，cosA= ，那么 sinA 的值等于( ) A B C D 【考点】同角三角函数的关系 【分析】根据公式 cos2A+sin2A=1 解答 【解答】解：cos 2A+sin2A=1，cosA= ， sin2A=1 = ， sinA= 故选 B 【点评】本题考查公式 cos2A+sin2A=1 的利用 5ABC 中， A，B 均为锐角，且有 +（2sinA ） 2=0，则 ABC 是( ) A直角（不等腰）三角形 B等腰直角三角形 C等腰（不等边）三角形 D等边三角形 【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方 【分析】一个数的绝对值以及平方都是非负数，两个非负数的和是 0，因而每个都是 0，就 可以求出 tanB，以及 sinA 的值进而得到 A， B 的度数判断ABC 的形状 【解答】解： +（2sinA ） 2=0， 根据非负数的性质，tanB= ；2sinA =0 B=60，A=60 则C=60，ABC 为等边三角形 故选 D 【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现， 题型以选择题、填空题为主 【相关链接】非负数的性质（之一）：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零， 即若 a1，a 2，a n 为非负数，且 a1+a2+an=0，则必有 a1=a2=an=0 6如图，O 是ABC 的外接圆，连接 OA、OB，OBA=50，则C 的度数为( ) A30 B 40 C50 D80 【考点】圆周角定理 【专题】几何图形问题 【分析】根据三角形的内角和定理求得AOB 的度数，再进一步根据圆周角定理求解 【解答】解：OA=OB， OBA=50， OAB=OBA=50， AOB=180502=80， C= AOB=40 故选：B 【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半 7如图，在ABC 中， ACB=90，ABC=30，AB=2 将 ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋 转 60得 ABC，则点 B 转过的路径长为( ) A B C D 【考点】旋转的性质；弧长的计算 【专题】几何图形问题 【分析】利用锐角三角函数关系得出 BC 的长，进而利用旋转的性质得出 BCB=60，再 利用弧长公式求出即可 【解答】解：在ABC 中，ACB=90，ABC=30，AB=2， cos30= ， BC=ABcos30=2 = ， 将 ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60得ABC， BCB=60， 点 B 转过的路径长为： = 故选：B 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点 B 转过的路径形状是解题 关键 8如图，P 为 O 外一点， PA、PB 分别切O 于 A、B，CD 切O 于点 E，分别交 PA、PB 于点 C、D，若 PA=5，则 PCD 的周长为( ) A5 B 7 C8 D10 【考点】切线长定理 【专题】计算题 【分析】由切线长定理可得 PA=PB，CA=CE，DE=DB，由于PCD 的周长 =PC+CE+ED+PD，所以PCD 的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA ，故可求得三角形的周 长 【解答】解：PA 、PB 为圆的两条相交切线， PA=PB， 同理可得：CA=CE，DE=DB PCD 的周长=PC+CE+ED+PD， PCD 的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA， PCD 的周长=10， 故选 D 【点评】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用 二、认真填写，试一试自己的身手（每小题 3 分，共 18 分） 9如图，在ABC 中，P 是 AC 上一点，连接 BP要使ABPACB，则必须有 ABP=C 或APB=ABC 或 = 【考点】相似三角形的判定 【专题】压轴题；开放型 【分析】要使ABPACB，已知有一组公共角，则根据两组对应边的比相等且相应的夹 角相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定 【解答】解：要使ABPACB，已知A= A，则必须有ABP= C 或 ABP=ABC 或 AB：AP=AC：AB 【点评】考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用 10如图，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=3 ，E 是 AD 的中点，CF BE 于点 F，则 CF=2.4 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质 【分析】根据相似三角形的判定与性质得出ABE FCB，得出 = ，进而得出答案 【解答】解：ADBC， AEB=CBF， A=90，CFB=90， ABEFCB， = ， AB=2，BC=3，E 是 AD 的中点， BE=2.5， = ， 解得：FC=2.4 故答案为：2.4 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出ABEFCB 是解题关 键 11在 RtABC 中， C=90，a=1，b=2，则 cosA= 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】首先求得 c 的长度，然后由余弦函数的定义求解即可 【解答】解：在 RtABC 中，由勾股定理得： c= = = cosA= = 故答案为： 【点评】本题主要考查的是勾股定理和锐角三角函数的定义，掌握余弦函数的定义是解题 的关键 12如图，为了测得电视塔的高度 AB，在 D 处用高为 1 米的测角仪 CD，测得电视塔顶端 A 的仰角为 30，再向电视塔方向前进 100 米达到 F 处，又测得电视塔顶端 A 的仰角为 60， 则这个电视塔的高度 AB（单位：米）为 50 +1 米 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】设 AG=x，分别在 RtAEG 和 RtACG 中，表示出 CG 和 GE 的长度，然后根据 DF=100m，求出 x 的值，继而可求出电视塔的高度 AH 【解答】解：设 AG=x， 在 RtAEG 中， tanAEG= ， EG= = x， 在 RtACG 中， tanACG= ， CG= = x， x x=100， 解得：x=50 则 AB=50 +1（米） 故答案为：50 +1 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函 数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法 13一个点到圆上的最近距离为 6cm，最远距离为 10cm，则圆的半径是 2cm 或 8cm 【考点】点与圆的位置关系 【分析】分类讨论：点在圆内，点在圆外，根据线段的和差，可得直径，根据直径与半径 的关系，可得答案 【解答】解：点在圆内，圆的直径为 6+10=16cm，半径为 8cm， 点在圆外圆的直径为 106=4cm，半径为 2cm； 故答案为：2cm 或 8cm 【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断关键要记住若半径为 r，点到圆心的距 离为 d，则有：当 dr 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上，当 dr 时，点在圆内 14过O 内一点 M 的最长弦为 10 cm，最短弦长为 8 cm，那么 OM 的长为 3cm 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】根据垂径定理及勾股定理即可求出 【解答】解：由已知可知，最长的弦是过 M 的直径 AB 最短的是垂直平分直径的弦 CD 已知 AB=10cm，CD=8cm 则 OD=5cm，MD=4cm 由勾股定理得 OM=3cm 【点评】此题主要考查学生对垂径定理及勾股定理的运用 三、认真解答，一定要细心呦！（本题共 5 小题，满分 38 分，要写出必要的计算、推理、 解答过程） 15计算： （1） sin60cos45+2tan60（ ） 1+（2） 2（ 1） 0 （2）2 1+（3.14） 0+sin60| | 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】计算题；实数 【分析】 （1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用负整数指数幂法则计 算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果； （2）原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用 特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果 【解答】解：（1）原式= +2 3+4= 1； （2）原式= +1+ = 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 16如图，D 是ABC 的边 AC 上的一点，连接 BD，已知ABD= C，AB=6，AD=4，求 线段 CD 的长 【考点】相似三角形的判定与性质 【专题】计算题 【分析】由已知角相等，加上公共角，得到三角形 ABD 与三角形 ACB 相似，由相似得比 例，将 AB 与 AD 长代入即可求出 CD 的长 【解答】解：在ABD 和ACB 中，ABD=C，A= A， ABDACB， = ， AB=6，AD=4， AC= = =9， 则 CD=ACAD=94=5 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本 题的关键 17如图，在O 中，弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E，若 BAD=30，且 BE=2 （1）求O 半径； （2）求弦 CD 的长 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】 （1）连接 OD，设O 的半径为 r，则 OE=r2，再根据圆周角定理得出 DOE=60， 由直角三角形的性质可知 OD=2OE，由此可得出 r 的长； （2）再 RtOED 中根据勾股定理求出 DE 的长，进而可得出结论 【解答】解：（1）连接 OD，设O 的半径为 r，则 OE=r2， BAD=30， DOE=60， CDAB， CD=2DE，ODE=30， OD=2OE，即 r=2（r 2） ，解得 r=4； （2）由（1）知 r=4，BE=2， OE=42=2， DE= = =2 ， CD=2DE=4 【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条 弧是解答此题的关键 18如图：学校旗杆附近有一斜坡小明准备测量学校旗杆 AB 的高度，他发现当斜坡正 对着太阳时，旗杆 AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面 上的影长 BC=20 米，斜坡坡面上的影长 CD=8 米，太阳光线 AD 与水平地面成 30角，斜 坡 CD 与水平地面 BC 成 30的角，求旗杆 AB 的高度 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】延长 AD 交 BC 于 E 点，则 BE 即为 AB 的影长然后根据物长和影长的比值计 算即可 【解答】解：延长 AD 交 BC 于 E 点，则AEB=30 作 DQBC 于 Q 在 RtDCQ 中， DCQ=30，DC=8 DQ=4，QC=8cos30= 在 RtDQE 中，QE= =4 （米） BE=BC+CQ+QE=20+8 （米） 在 RtABE 中，AB=BEtan30= （米） 答：旗杆的高度约为 米 【点评】本题查了解直角三角形的应用解决本题的关键是作出辅助线得到 AB 的影长 19如图，在ABC 中， ACB=90，D 是 AB 的中点，以 DC 为直径的O 交ABC 的边 于 G，F，E 点 求证：（1）F 是 BC 的中点； （2）A=GEF 【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】 （1）因为在直角ABC 中，D 是 AB 的中点，所以 BD=DC，由因为 CD 是O 的 直径，所以 DFBC；根据等腰三角形的性质可证， F 是 BC 的中点； （2）根据中位线定理，可证A= BDF；再由圆周角定理得 BDF=GEF，所以 A=GEF，即证 【解答】证明一： （1）连接 DF，ACB=90，D 是 AB 的中点， BD=DC= AB， DC 是O 的直径， DFBC， BF=FC，即 F 是 BC 的中点； （2）D，F 分别是 AB，BC 的中点， DFAC， A=BDF， BDF=GEF（圆周角定理） ， A=GEF 证明二： （1）连接 DF，DE， DC 是O 直径， DEC=DFC=90 ECF=90， 四边形 DECF 是矩形 EF=CD，DF=EC D 是 AB 的中点， ACB=90， EF=CD=BD= AB DBFEFC BF=FC，即 F 是 BC 的中点 （2）DBFEFC ， BDF=FEC，B= EFC ACB=90（也可证 ABEF，得A=FEC） ， A=FEC FEG=BDF（同弧所对的圆周角相等 ） ， A=GEF （此题证法较多，大纲卷参考答案中，又给出了两种不同的证法，可供参考 ） 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，中位线的性质，圆周角性质 四、综合解答题（本题共 4 小题，满分 40 分，要写出必要的计算、推理、解答过程） 20如图，矩形 ABCD 为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在 E 点位置， AE=60cm如果小丁瞄准 BC 边上的点 F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到 D 点位 置 （1）求证：BEF CDF； （2）求 CF 的长 【考点】相似三角形的应用 【专题】几何综合题 【分析】 （1）利用“两角法” 证得这两个三角形相似； （2）由（1）中相似三角形的对应边成比例来求线段 CF 的长度 【解答】 （1）证明：如图，在矩形 ABCD 中：DFC= EFB，EBF= FCD=90， BEFCDF； （2）解：由（1）知，BEFCDF = ，即 = ， 解得：CF=169 即：CF 的长度是 169cm 【点评】本题考查了相似三角形的应用此题利用了“相似三角形的对应边成比例”推知所 求线段 CF 与已知线段间的数量关系的 21如图，在O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 P，连接 AC、DB （1）求证：PACPDB； （2）当 为何值时， =4？ 【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理 【分析】 （1）利用圆周角定理的推论，同弧所对的圆周角相等，可以得到三角形的相似 （2）利用面积比等于相似比的平方求解即可 【解答】 （1）证明：A=D ， C=B， PACPDB； （2）解：由（1）PACPDB，得 ，即 =4， =2， 当 =2 时， =4 【点评】此题考查了圆周角定理的推论和相似三角形的判定以及相似三角形的性质：相似 三角形面积的比等于相似比的平方 22如图，在ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 M，MN AC 于点 N （1）求证：MN 是O 的切线； （2）若BAC=120，AB=2，求图中阴影部分的面积 【考点】切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形 【专题】