2017年3月石景山高三一模数学理科试题

2017 年北京市石景山区高三一模 数学（理）试卷 第一部分（选择题 共 40分） 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项 1已知集合 ， ，那么 等于（ ）210Ax1BxAB A B 0x C D202x 2已知实数 满足 ，则 的最大值是（ ）,xy 60zxy A4 B6 C10 D12 3直线 被圆 所截得的弦长为（ ）1cos2 A1 B C2 D4 3 4设 ， “ ”是“ ”的（ ）Rsinccos0 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5我国南宋数学家秦九韶（约公元 12021261年）给出了求 次多项式(N)n 当 时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九110nnaxax 0x 韶算法” 例如，可将 3次多项式改写为： 之后进行求3210a3210()axxa 值运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值 A 4324xx B 5 C 32x D 4 6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） A B C D525254 7如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在边 上，ABCD2BCEBFCD 若 ，则 的值是（ ）2F EF A B1 C D 222 8如图，将正三角形 分割成 个边长为 1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱Am 形可以分割成 个边长为 1的小正三角形若 ，则三角形 的边长是（ n:47:5nABC ） A10 B11 C12 D13 第二部分（非选择题 共 110分） 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分. 9若复数 是纯虚数，则实数 1aia 10在数列 中， ， ，那么 等于 n112nA(,3) 8a 11若抛物线 的焦点与双曲线 的右顶点重合，则 2ypx14xyp 12如果将函数 的图象向左平移 个单位所得到的图象关()sin3)(0)f12 于原点对称，那么 13将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分 法的总数是 （用数字做答） 14已知 42(),(),axaf 当 时， ，则 ；1a()3fx 当 时，若 有三个不等实数根，且它们成等差数列，则 a 三、解答题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 15已知 分别是 的三个内角 的三条对边，且 ,abcABC,ABC22cb （）求角 的大小； （）求 的最大值 os 16某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的 1200个数据（数据均在区间 内）中，按照 5%的比例进行分层抽样，统计结果按 ， ， ，0,5 0,1,20,3 ， 分组，整理如下图：34,0 （）写出频率分布直方图（图乙）中 的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售a 量的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小（只需写出结论） ；21s21s （）从甲种酸奶日销售量在区间 的数据样本中抽取 3个，记在 内的数据个数0, 0,1 为 ，求 的分布列；X （）估计 1200个日销售量数据中，数据在区间 中的个数0,1 17 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四 个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 如图，在阳马 中，侧棱 底面 ，且 ， 为 中点，点PABCDPABCDPEPC 在 上，且 平面 ，连接 ， FEFE （）证明： 平面 ；DEPBC （）试判断四面体 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论） ；若F 不是，说明理由； （）已知 ， ，求二面角 的余弦值2AFADB 18已知函数 ()1nfx （）求曲线 在点 处的切线方程；y(,)f （）求证：当 时， ；0x1x （）若 对任意 恒成立，求实数 的最大值1naa 19已知椭圆 过点 ，且离心率为 2:1(0)yEb(,1)32 （）求椭圆 的方程； （）设直线 与椭圆 交于 、 两点，以 为对角线作正方形 ，:2lyxmEACABCD 记直线 与 轴的交点为 ，问 、 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不NB 是，请说明理由 20已知集合 对于12(,),0,1,2nniRXxxin () ， ，定义 与 之间的距离为12(,)Aa nBbR AB 12,)ndBba 1iab （）写出 中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；2R （）若集合 满足： ，且任意两元素间的距离均为 2，求集合 中元素个数的M3RM 最大值并写出此时的集合 ； （）设集合 ， 中有 个元素，记 中所有两元素间的距离的平均值为nP(2)mP ，证明 ()d()21) 试卷答案 一、选择题 1-5:DCBAA 6-8:BCC 二、填空题 91 10-2 114 12 1336 4 144， 6 三、解答题 15解：（）因为 ，所以 22cab 221cosabcC 又因为 ，所以 (0,)C3 （）由（）知 ，又 ，AB 所以 且 ，23B2(,) 故 coscos3A 22ins3A13cosinsi()26A 又 ， ，2(0,)3A5(,)6A 所以当 即 时， 的最大值为 13cosB 16解：（）由图（乙）知， 解得 ，10(.203.5.0)a0.1a 21s （） 的所有可能取值 1， 2，3X 则 ， ， ， 12436()5CP21436()5CPX304261()5CPX 其分布列如下： X 1 2 3P53515 （）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取 个，4620 其中有 4个数据在区间 内，0,1 又因为分层抽样共抽取了 个数据，25%60 乙种酸奶的数据共抽取 个，64 由（）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间 内的频率为 0.1，,1 故乙种酸奶的日销售量数据在区间 内有 个0,0.4 故抽取的 60个数据，共有 个数据在区间 内48, 所以，在 1200个数据中，在区间 内的数据有 160个,1 17 （）因为 面 ， 面 ，所以 PDABCABCDP 因为四边形 为矩形，所以 ，所以 面 C 面 ， ，EE 在 中， ， 为 中点，所以 PDPCDEPC ，B 所以 面 （）四面体 是鳖臑，其中 ， EF2BF2BFD （）以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，DACPxyz(0,)D ， ， ， (2,0)(,20)(,2)(,0)B 设 ，则 PFB , 得 解得 所以 D0 A1423(,)4F 设平面 的法向量 ，(,)nxyz 令 得 ， nFDA 123040x1z0x3y 平面 的法向量 ，(,1)n 平面 的法向量 ，B2P ， cosn 01DA 二面角 的余弦值为 FB0 18解:（） ， ，1()fx()f 又 ，所以切线方程为 ；(1)0f yx （）由题意知 ，令 x1()()gf 1nx21()gx 令 ，解得 0x 易知当 时， ，易知当 时， 1x()g01x()0gx 即 在 单调递减，在 单调递增()g,(,) 所以 ， min()0xxg 即 ，即 1()f1()fx （）设 ，依题意，对于任意 ， 恒成立nhxax1()0hx ，()1axhx 时， ， 在 上单调递增，()0()h1, 当 时， ，满足题意xx 时，随 变化， ， 的变化情况如下表：1a()xx1,aa(,)a()h 0 +x 极小值 在 上单调递减，所以()1,a()10ga 即当 时，总存在 ，不合题意()0 综上所述，实数 的最大值为 1 19解：（）设椭圆的半焦距为 c 因为点 在椭圆 上，所以 故 (0,1)Cb21a 又因为 ，所以 ， 32cea3c 所以椭圆 的标准方程为: C 214xy （）设 ， ，线段 中点为 1(,)Axy2(,)AC0(,)Mxy 联立 和 ，得: 2m022m 由 ，可得 22()4()84 所以 ， 12x12x 所以 中点为 AC(,)Mm 弦长 ，2211xy2115()44xx205m 又直线 与 轴的交点 ，l(,0)N 所以 22215()(4MNmm 所以 2BACMN 所以 、 两点间距离为定值 102 20解：（） ，2(,),(),R ， 2,ABmax,d （） 中含有 8个元素，可将其看成正方体的 8个顶点，已知集合 中的元素所对应的3 M 点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以 (0,)1,(,0),1M 或 ，() 集合 中元素个数