2017年北师大版小学数学1-6年级总复习知识点汇总

2017 年北师大版小学 1-6 年级总复习知识点 第一部分：数与代数 一、数的认识 1、整数 2、小数、分数、百分数 二、数的运算 1、数的意义 2、计算与应用 3、估算 4、运算律 三、式与方程 四、正、反比例 五、常见的量 六、探索规律 第二部分：图形与几何 一、图形的认识 二、图形与测量 三、图形的运动 四、图形与位置 第三部分：统计与概率 一、统计 二、可能性 第四部分：解决问题的策略 - 1 - 第一部分：数与代数（教材第 63 88 页） 一、数的认识 （一）整数（教材第 6367 页） 知识点 1：整数 1整数的定义：像-3，-2，-1,0,1,2,3，这样的数称为整数。整数的个数是无限的。在 整数中，大于零的数称为正整数，小于零的数称为负整数。正整数、零与负整数统称为整数。 0 既不是正整数，也不是负整数。 2整数的计数单位和数位。 （1）整数数位顺序表。 数级 亿级 万级 个级 数位 千 亿 位 百 亿 位 十 亿 位 亿 位 千 万 位 百 万 位 十 万 位 万 位 千 位 百 位 十 位 个 位 计数单位 千亿 百亿 十亿 亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 一 （2）数的分级：按照我国的计数习惯，整数从个位起，每四个数位是一级。个位、十位、 百位、千位是个级，表示多少个一；万位、十万位、百万位、千万位是万级，表示多少个万； 亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级，表示多少个亿 （3）计数单位：一（个） 、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千 亿 都是整数的计数单位。 （4）数位：在计数时，计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫数位。 3整数的读法：先分级，再读数，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的 0 都不读 出来，其他数位连续有几个 0 都只读一个零。 4整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个计数单位也没有，就在 哪一个数位上写 0。 知识点 2：自然数 1自然数的定义：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的 0,1,2,3,4,5，叫作自然数。 “0”是最小的自然数，自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。 - 2 - 2自然数的基本单位：任何非“0”的自然数都是由若干个“1”组成的，因此“1”是自然 数的基本单位。 3 “0“的含义：一个物体也没有，用“0“ 表示，但并不是说“0”只表示没有物体，它还有多 方面的含义。如在表示温度时，它是正、负温度的分界线；在刻度尺上，它是起点；在数轴 上，它是正数和负数的划分点；在计数中， “0”起占位作用。还可以从运算的角度认识 “0“，如任何数加 “0”都等于任何数， “0“和任何数相乘都得 0， “0”不能作除数等。 知识点 3：正数和负数 1正数的意义：像 5,6,12.3，这样的数叫正数。 正数的读、写法：正数前面可以加“+” ，读作“正” 。如“+5 ”读作 “正五” 。 “+”一般可以 省略不写。 2负数的意义：像-5，-0.3，这样的数叫负数。 负数的读、写法：“-”是负号，读数时直接读成 “负几” 。如“-5”读作“负五” 。写数时在 数的前面写“-” 。 30 既不是正数，也不是负数。 4在生活中运用正负数表示相反意义的量时有的是约定俗成的习惯规定如：零上温度用正 数，零下温度用负数表示；海平面以上用正数表示，而海平面以下用负数表示；存折上的收 入用正数表示，而支出用负数表示。而一些则是事先规定的哪个量是正（或负）如表示方向 或上升下降等。 知识点 5：整数的改写 把一个较大的多位数改写成用“万 或“亿”做单位的数的方法： （1）直接改写时，先把原数的小数点向左移 4 位或 8 位（若小数部分末尾有 0，则要划掉） ， 再在数的后面加写“万”字或“亿”字，与原数相等，用“=”连接。 （2）省略尾数改写时， 根据需要先用“四舍五入”法省略万位或亿位后面的尾数，再加上相应的计数单位“万”字 或“亿”字，得到近似数与原数近似相等，用“”连接。 知识点 6：倍数和因数 1倍数和因数的定义：像 3x6= 18，3 和 6 是 18 的因数，18 是 3 和 6 的倍数。倍数和因数 是相互依存的。 2倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍 数。 3因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 - 3 - 知识点 7：最大公因数、最小公倍数和互质数 1最大公因数的定义：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数，其中最大的一个，叫 作这几个数的最大公因数。 2最小公倍数的定义：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫 作这几个数的最小公倍数。 3互质数：公因数只有 1 的两个数，叫作互质数。1 和任何自然数互质。相邻的两个自然数 互质。两个不同的质数互质。 4求两个数的最大公因数及最小公倍数的方法： （1）短除法： 5求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况。 （1）两个数成倍数关系时，最小公倍数是较大数，最大公因数是较小数。 （2）两个数是互质数时，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的积。 6几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。 知识点 8：2,5,3 的倍数的特征 12 的倍数的特征：个位上是 0,2,4,6 或 8 的数是 2 的倍数。 25 的倍数的特征：个位上是 0 或者 5 的数是 5 的倍数。 33 的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 4同时是 2,5,3 的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是 3 的倍数，且个位上是 0， 这个数一定同时是 2,5,3 的倍数。 知识点 9：奇数、偶数 1奇数：不是 2 的倍数的数叫作奇数，也就是生活中常说的单数。 2偶数：是 2 的倍数的数叫作偶数，也就是生活中常说的双数。0 也是偶数（小学不研究） 。 3数的奇偶性：（1）两个相同性质的数（都是偶数或都是奇数）相加减，结果是偶数。 （2）两个不同性质的数（一个是奇数，另一个是偶数）相加减，结果是奇数。 知识点 10：质数、合数 1质数的含义：一个数只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫作质数或素数。 2合数的含义：一个数除了 1 和它本身以外还有别的因数，这样的数叫作合数 31 既不是质数，也不是合数；最小的质数是 2，最小的合数是 4。 4判断一个数是质数还是合数的方法：需要看这个数的因数的个数，只有两个因数的数一 定是质数，有 3 个或 3 个以上因数的数是合数。 - 4 - 520 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。 （二）小数、分数、百分数（教材第 68、69 页） 知识点 1：小数 1小数的意义：分母是 10，100，1000的分数可以用小数表示小数的计数单位是“十 之一，百分之一，干分之一，分别写作 0.1，0. 01，0.001，每相邻两个计数单位之 间的进率是 10。 2小数的读、写法。 （3）数位顺序表。 整数部分 小 数 点 小数部分 亿 级 万 级 个 级 数 位 十 亿 位 亿 位 千 万 位 百 万 位 十 万 位 万 位 千 位 百 位 十 位 个 位 . 十分 位 百 分 位 千 分 位 万 分 位 计 数 单 位 十 亿 亿 千 万 百 万 十 万 万 千 百 十 一（个） 十 分 之 一 百 分 之 一 千 分 之 一 万 分 之 一 由表中可以看出，小数部分的最高计数单位是“十分之一” ，整数部分的最低计数单位是 “一” ，它们之间的进率也是 10。 3小数的大小比较：比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就 大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数相同的，百分位上数大 的那个数就大 4求小数的近似数：按照“四舍五入”的方法。 5小数化成分数、百分数的方法。 （1） 小数化成分数的方法：先把小数改写成分母是 10、100、1000.的分数，再化简成最 简分数。 （2） 小数化成百分数的方法：先将小数点向右移动两位，再在后面添上“%” 。 6小数的分类 - 5 - （1）按小数部分分类，可以分为有限小数和无限小数两类。 有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如：41.7、0.23 都是有限小数。 无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如：4.333.1415926。 （2）无限小数的分类。无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数。 无限循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫 做循环小数。例如：3.5550.033312.109109，简称“循环小数” 。无限不循环小 数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。例 如：。一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如：3.99的循环节是”9” ，0.5454的循环节是”54” 。 写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的 首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。 7小数化成分数、百分数的方法：（1）小数化成分数：原来有几位小数，就在 1 的后面写 几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分；（2）小数化成百分数： 只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 8小数点位置的移动引起小数大小的变化：（1）小数点向右移动一位，就扩大到原来的 10 倍；小数点向右移动两位，就扩大到原来的 100 倍；小数点向右移动三位，就扩大到原来的 1000 倍（2）小数点向左移动一位，就缩小到原来的十分之一；小数点向左移动两位， 就缩小到原来的百分之一（3）小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0”补足位。 知识点 2：分数 1分数的意义 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。表示其中的一份的 数就是这个分数的分数单位。 2分数的分类 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于 1。 假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于 1。 带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。 3分数化成小数、百分数的方法：（1）分数化成小数：用分子除以分母。能除尽的就化成 有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留两位小数。 （2）分数化成百分数： 通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留两位小数） ，再把小数化成百分数。 （3）判断 一个分数能否化成有限小数的方法：一个分数在最简分数的情况下，如果它的分母只含有 2 - 6 - 和 5 两个质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母除了含有 2 和 5 以外质因数，那么 这个分数就不能化成有限小数。 4分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外） ，分数的大小不 变。 5最简分数：分子和分母的公因数只有 1 的分数叫作最简分数。 6分数与除法的关系：（1）分数的分子相当于除法中的被除数，分数的分母相当于除法中 的除数，分数线相当于除法中的除号。 （2）在除法中，除数不能为“0“；在分数中，分母不 能为“0” ，否则无意义。 （3）分数值：分数的分子除以分母所得的商就是这个分数的分数 值。 10约分与通分。 （1）约分：把一个分数化成最简分数的过程叫约分。约分的方法：用分子 和分母的公因数（1 除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。 （2）通分：把 异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。通分的方法：先求出原来的 几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 7常见分数化小数： 1/2=0.5 1/4=0.25 3/4=0.75 1 /5=0.2 2/5=0.4 3/5=0.6 4/5=0.8 1/8=0.125 3/8=0.375 5/8=0.625 7/8=0.875 1/20=0.05 1/25=0.04 1/50=0.02 知识点 3：百分数 1百分数的意义：像 3 %，27% ，150%，这样的分数叫百分数，也叫百分比或百分率。 表示一个数是另一个数的百分之几。 2百分数化成小数、分数的方法：（1）百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分 号去掉，同时把小数点向左移动两位。 （2）百分数化成分数：先把百分数改写成分母为 100 的分数，能约分的要约成最简分数。 3分数和百分数的联系与区别：（1）联系：百分数是分数的特殊情况，分数表示一个数是 另一个数的几分之几时，百分数和分数的意义相同，可以互换。 （2）区别：分数既可以表示 一个数，也可以表示两个数的比；而百分数表示一种关系，它表示一个数占另一个数的百分 比，不能用来表示具体数。因此分数可以带单位，百分数不能带单位。 二、数的运算 （一）运算的意义（教材第 70、71 页） 知识点 1：四则运算的意义 1加法的意义，把两个数合并成一个数的运算。 - 7 - 2减法的意义，已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。减法是加法的 逆运算。 3整数乘法的意义，求几个相同加数的和的简便运算；小数乘法的意义，一个数乘小数就 是求这个数的十分之几，百分之几是多少；分数乘法的意义，一个数乘分数就是求这个 数的几分之几是多少。在乘法里，0 和任何数相乘都得 0。1 和任何数相乘都的任何数。 4除法法的意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。除法是乘法 的逆运算。在除法里，0 不能做除数。因为 0 和任何数相乘都得 0，所以任何一个数除以 0， 均得不到一个确定的商。 5乘方（平方）：求几个相同因数的积的运算叫做乘方。6=6636。 知识点 2：四则运算中各部分的关系 1减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。 2关系式。 （1）加数十加数=和； 和一一个加数 =另一个加数。 （2）被减数一减数=差；被减数一差 =减数；减数+差= 被减数。 （3）乘数乘数=积； 积一个乘数 =另一个乘数。 （4）被除数除数=商；被除数 商= 除数； 除数商=被除数；除数商+余数=被除数。 （二）计算与应用（教材第 7276 页） 知识点 1：四则运算的法则 1加、减法的计算法则。 （1）整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一 位进一。 （2）整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，就从它的前 一位退一作十，和本位上的数加在一起，再减。 （3）小数加、减法：计算小数加、减法时，先把小数点对齐（也就是相同数位对齐） ，再按 照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点。 （4）分数加、减法：同分母的分数相加、减，分母不变，只把分子相加、减；异分母的分 数相加、减，先通分，然后按照同分母分数加、减法的法则进行计算。 2乘法的计算法则。 （1）整数乘法的计算法则：从低位到高位分别用一个乘数的每一位去乘另一个多位数；用 一个乘数的哪一位去乘，求得的数的末位就要和哪一位对齐。 - 8 - （2）小数乘法的计算法则：计算小数乘法，先按照整数乘法的法则算出积，再看乘数中一 共有几位小数，就从积的右边起，数出几位，点上小数点。如果位数不够，那么要在前面用 0 补足。 （3）分数乘法的计算法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变； 分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的要约分。 3除法的计算法则。 （1）整数除法的计算法则：从被除数的高位除起，除数有几位就先看被除数的前几位，如 果被除数的前几位比除数小，那么就多取一位再除，除到哪一位，商就写在哪一位的上面； 每次除得的余数必须比除数小；在求出商的最高位以后，被除数的哪一位上不够商 1，就在 哪一位上写“0” 。 （2）小数除法的计算法则：除数是整数时，按整数除法的计算法则计算，商的小数点要和 被除数的小数点对齐。除数是小数时，先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点 向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够时，末尾用“0”补足） ，然后按 照除数是整数的小数除法法则进行计算。 （3）分数除法的计算法则：甲数除以乙数（0 除外） ，等于甲数乘乙数的倒数。求倒数的方 法是把这个数的分子和分母调换位置。1 的倒数是它本身，0 没有倒数。倒数是对两个数来 说的，并不是孤立存在的。 4商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变。 知识点 2：四则混合运算 1加法和减法称为第一级运算。乘法和除法称为第二级运算。 2没有括号的混合运算：同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减 法。 3有括号的混合运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 知识点 3：分数、百分数应用题 1甲是乙的几分之几（百分之几） ， 用甲除以乙。 2求甲比乙多几分之几（百分之几） （甲乙）乙100% 求乙比甲少几分之几（百分之几） （甲乙）甲100% 以上可以统一用公式：几（百）分之几=（大数小数）比后面的数 口诀：“一减一除” （大的减小的除以比后面的量） 3解分数或百分数乘、除法应用题的步骤和解题技巧（一找二看三计算四检验） 找单位“1” 。 “ 是、比、占、相当于”后面的量， “的”前面的量一般是单位“1” 。 看 - 9 - 单位“1” ，已知用乘法，未知用除法（或方程） 。列式计算。用“已知量（或）未知 量所对应的（百）分率=未知量。 检验作答。注意：比单位“1”多，用加法：1+ ；比单 位“1”少，用减法：1-。 知识点 4：本金、利率、利息 1存入银行的钱叫做本金。取款时银行多支付的钱叫做利息。利息与本金的比值叫做利率。 （利率是由银行规定的，有按年计算的，有按月计算的。利率按年计算的通常称作年利率， 利率按月计算的通常叫作月利率） 。 2利息=本金利率 时间 知识点 5：常用的数量关系式 1每份数份数总数 总数每份数份数 总数份数每份数 2速度时间路程 路程速度时间 路程时间速度 3单价数量总价 总价单价数量 总价数量单价 4工作效率工作时间工作总量 工作总量工作效率工作时间 工作总量工作时间工作效率 知识点 6：简单应用题 1解题步骤：（1）审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时， 不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题 意。 （2）选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求什么 着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行 解答并标明正确的单位名称。 （3）检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式 和计算过程是否正确，是否符合题意。如果发现错误，马上改正。 2解答乘法应用题： （1）求一个数的几分之几（百分之几）是多少。 （2）求百分率用除法。 出粉率面粉的重量小麦的重量 合格率合格的产品数产品总数 出勤率出勤人数总人数 命中率命中次数总次数 优秀率优秀人数总人数 发芽率发芽的种子数种子总数 知识点 7：复杂及典型应用题 3行程问题： 同时同地相背而行：路程=速度和 时间。 同时异地相向而行：相遇时间=路程 速度和 - 10 - （三）估算（教材第 77、78 页） 1 “四舍五人 法：要保留到哪一位就要看它后一位，如果后一位上的数是 4 或者比 4 小， 那么就把它舍去；如果后一位上的数是 5 或者比 5 大，那么也把它舍去，但要同时向保留部 分的末位进 l，这种方法叫作“四舍五入”法。 （四）运算律（教材第 79 页） 知识点 1：运算定律 1加法交换律： a+b=b+a。 2加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c ） 。 3乘法交换律： ab=ba。 4乘法结合律：（ab）c=a （b c） 。 5乘法分配律：（a+b）c=ac+b c。 知识点 2：运算性质 1减法的性质： a-b-c=a-（b+c） 。 2除法的性质： abc=a(bc) 。 三、式子与方程（教材第 8082 页） 知识点 1： 等式和方程 1等式的意义：表示相等关系的式子叫作等式。 2方程的意义：含有未知数的等式叫作方程。 3等式与方程的关系：所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程。 知识点 4：方程的解和解方程 1方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 2解方程：求方程的解的过程叫作解方程。 知识点 5：列方程解应用题的一般步骤 1分析题意，明确题中的数量关系。 2用字母如 x 或 y，表示题中的未知数。 3找出题中数量间的等量关系，并根据等量关系列出方程。 4解方程，求出未知数的值。 5检验并写出答语。 四、比、比例尺、正比例与反比例（教材第 8385 页） - 11 - 知识点 1：比的意义和性质 1比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 “：”是比号，读作”比” 。比号前面的数叫 做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的后项不能是零。比的前项除以后项所得的商， 叫做比值。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。 2比、除法与分数的关系：相同的是，比的前项相当于分数的分子和被除数；比的后项相 当于分数的分母和除数；比号相当于分数线和除号；比值相当于分数值和商。不同的是，比 是两个量的关系，除法是运算，分数是一种数。 3比的性质：比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0 除外） ，比值不变，这叫做比 的基本性质。 4求比值和化简比的方法：用比的前项除以后项，求比值的结果是一个整数、小数或分数。 但化简比的结果必须是比。 知识点 2：比例的意义、性质及应用 1比例的意义：表示两个比相等的式子叫作比例。 2比例的意义的应用：根据比例的意义，可以判断两个比能不能组成比例。两个比能否组 成比例，要看它们的比值是否相等。 3比例的基本性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积（交叉相乘积相等） 。 知识点 4：比例尺 1比例尺的意义：图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。比例尺没有单位。 关系式：图上距离时间距离=比例尺 。 2比例尺的分类：比例尺实际上是表示一个比，它可以用数值比的形式来表示，叫数值比 例尺；也可以用画出的线段来表示，叫线段比例尺 31：100 的意思是图上 1 厘米代表实际距离 100 厘米。 4千米化厘米添 5 个“0” ，厘米化千米去掉 5 个“0” 。 5解决有关比例尺的问题，要统一化成低级单位。 知识点 5：正比例和反比例的意义 1正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中 相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作 正比例关系。即：两个量同时扩大，同时缩小，比值不变。用 x 和 y 来表示两个相关联的量， 用 k 表示它们的比值（商）正比例关系式可以用下面关系式表示：x/y=k（一定） 。 2反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相 对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。即： - 12 - 一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩而另一种量则扩大，积不变。如果用字母 x 和 y 表示 两种相关联的量，用 k 表示它们的积，反比例关系可以用下面关系式表示：xy=k（一定） 。 知识点 6：正比例、反比例关系的判断 方法：一找、二看、三判断 1找变量：分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。 2看定量：分析这两种相关联的量，它们之间的关系是比值（商）一定，还是积一定。 3判断：如果比值（商）一定，那么就成正比例；如果积一定，那么就成反比例；如果商 或积都不是定量，那么就不成比例。 知识点 7：正比例和反比例的图像 1正比例的图像是一条直线，直线上的每个点都对应了成正比例的两个量的值。 2反比例的图像是一条曲线。 知识点 8：用正比例、反比例知识解答应用题 1按比例分配问题。 （1）按比例分配应用题：把一个数量按照一定的比分配成几部分，求每部分数量各是多少 的应用题叫作按比例分配应用题。 （2）解题方法。 一般方法：把比转化为分数，用分数方法解答，即先求总份数，然后求出各部分量占总量的 几分之几，最后按照求一个数的几分之几是多少的方法，分别求出各部分的量是多少。 归一法：把比看作分得的份数，先求出总份数，然后用“总量总份数=平均每份的量（归 一）“，再用“l 份的量 各部分量所对应的份数 ”求出各部分的量。 用比例知识解答：先设未知量为 x，然后根据题中已知比等于相对应的量的比作为等量关系 式，列出含有 x 的比例式，再解比例求出 x。 2用正、反比例知识解答应用题的步骤。 （1）分析数量关系，判断成什么比例。 （2）找等量关系，如果是成正比例，那么按“等比”找等量关系式；如果是成反比例，那 么按“等积”找等量关系式。 （3）列比例式。设未知数为 x，并代入等量关系式，得正比例式或反比例式。 （4）解比例。 （5）检验并写出答语。 知识点 9：图形的放大与缩小 1一个图形的相似图形与原图比较：形状相同，大小不同。 2画一个图形的相似图形的步骤：先按给定的比计算出相似图形中相应的各边长度，再按 - 13 - 新边长画出原图形的相似图形。 3只有把原图的长和宽放大或缩小相同的倍数，才能画得像。 五、常见的量（教材第 86 页） 知识点 1：人民币的单位 1人民币的单位：元、角、分。 2人民币单位间的进率：相邻两个人民币单位间的进率是 10， 1 元=10 角，1 角=10 分。 3元、角、分之间的改写。 元与角的改写：元的数量进率(10)=角的数量； 元与分的改写：元的数量进率(100)=分的数量； 角与分的改写：角的数量进率(10)=分的数量； 角与元的改写：角的数量进率(10)=元的数量； 分与元的改写：分的数量进率(100)=元的数量； 分与角的改写：分的数量进率(100)=角的数量。 知识点 2：24 时计时法 124 时计时法的意义：采用从 0 时到 24 时的计时法通常叫作 24 时计时法。 2普通计时法与 24 时计时法的换算。24 时计时法中，时针走第一圈时，钟面上的数与普通 计时法相同。而时针走第二圈时，就等于用钟面上的数分别加上 12，也就是比普通计时法的 下午时刻多 12 时，这样，下午 l 时就是 13 时，最后到夜里 12 时，就是 24 时，也就是 第二天的 0 时。 知识点 3：时间单位 1时间单位：世纪、年、季度、月、日、时、分、秒。 2时间单位问的进率：1 世纪=100 年 一年=365 天（平年）或 366 天（闰年） 一年 =12 个月 1 季度 =3 个月 1 日=24 时 l 时=60 分 1 分 =60 秒 3大月和小月：大月有一月、三月、五月、七月、八月、十月、十二月，每月各有 31 天； 小月有四月、六月、九月、十一月，每月各有 30 天。 4二月：平年二月有 28 天，闰年二月有 29 天。 5确定闰年的方法：公历纪年法中，是 4 的倍数的年份是闰年；公历年份是整百数的，必 须是 400 的倍数才是闰年。例如：1900 年是平年，2000 年是闰年。 知识点 4：质量单位 1 质量单位：克、千克、吨。 - 14 - 2 质量单位间的进率：相邻两个质量单位间的进率 1000，即 1 吨=1000 千克，1 千克=1000 克。 知识点 5：单位换算方法 高级单位换算成低级单位就乘进率；低级单位换算成高级单位就除以进率。 口诀为：大化小乘进率，小数点向右移；小化大除以进率，小数点向左移。进率是 10 移一 位，进率 100 移两位，进率 1000 移三位。 第二部分：图形与几何（教材第 89101 页） 一、图形的认识（教材第 8292 页） 知识点 1：直线、射线、线段 1线段。 （1）意义：直线上两点间的一段叫作线段。 （2）特点：线段是直线的一部分，有两个端点，可以用直尺度量线段的长度。 2射线。 （1）意义：把线段的一端无限延长，就得到一条射线。 （2）特点：射线只有一个端点，它是无限长的，无法度量其长度。 3直线。 （1）意义：把线段的两端无限延长，就可以得到一条直线。 （2）特点：直线没有端点，它是无限长的，无法度量其长度。 知识点 2：角 1角的定义：从一点引出两条射线，就组成一个角。角的大小与边的长短无关，与两边叉 开的大小有关。 2角的分类。 （1）锐角：大于 0，小于 90的角叫锐角。 （2）直角：等于 90的角叫直角。 （3）钝角：大于 90，小于 180的角叫钝角。 （4）平角：等于 180的角叫平角。 （5）周角：等于 360的角叫周角。 3用量角器画角的方法。 - 15 - （1）先画一条射线；（2）注意量角器的中心点要和角的顶点重合，零刻度线与射线重合； （3）根据角的度数找准点；（4）再画一条射线。也可以利用三角板画特殊度数的角。 4用量角器量角的方法。 （1）量角器的中心点一定要和角的顶点重合；（2）零刻度线一定要和角的一条边重合； （3）读准度数。 知识点 3：垂直与平行 1垂直的意义：两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直。其中一条直线叫作另一 条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。由直线外一点到直线所引的所有线段中，垂直 线段最短。 2平行线的意义：在同一平面肉，不相交的两条直线叫作平行线。两条平行线之间的距离 处处相等。 3点到直线的距离：从直线外的一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这个点到直 线的距离。 知识点 4：三角形 1三角形的分类。 （1）按角分为三类：锐角三角形（三个角都是锐角） 、直角三角形（有一个角是直角） 、钝 角三角形（有一个角是钝角） 。 （2）按边分为两类：不等边三角形（三条边都不相等） 、等腰三角形（有两条边或三条边相 等） 。等边三角形是特殊的等腰三角形。 2三角形的特性：三角形具有稳定性。 3三角形任意两边之和大于第三边。 4三角形的内角和是 180。 知识点 5：四边形 1四边形的分类：不规则四边形、平行四边形、长方形、正方形和梯形。 3长方形、正方形、平行四边形、梯形的特点。 （1）长方形：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角。 （2）正方形：正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 （3）平行四边形：平行四边形的两组对边分别平行且相等。平行四边形容易变形，不稳定。 长方形和正方形都是特殊的平行四边形。 （4）梯形：只有一组对边平行。 - 16 - 知识点 6：圆 1圆的意义：圆是由一条曲线围成的封闭图形。将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆 中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 圆心到圆上任意一点的线段叫作半径，用字母 r 表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就 是圆的半径。通过圆心并且两都在圆上的线段叫作直径，用字母 d 表示。在同一个圆或等圆 里 d=2r,r=d2。 方法三 用圆规画圆。 （1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径） 。 （2）把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上。 （3）把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 3圆的位置与大小：圆的位置是由圆心来决定的；圆的大小取决于半径的长短。 4圆的特征：圆是轴对称图形。圆的直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 5圆有无数条半径和直径。在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个 最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 8在同圆或等圆中，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数，而面 积扩大或缩小以上倍数的平方倍。但圆周率永远不变。两个圆的半径比等于直径比等于周长 比，而面积比等于以上比的平方。 知识点 7：长方体和正方体 1长方体的特点：长方体有 6 个面，12 条棱，8 个顶点。在长方体中，相对的面完全相同， 相对的棱的长度相等。特殊的长方体有一组相对的面是正方形。 2正方体的特点：正方体有 6 个面，12 条棱，8 个顶点。在正方体中，它的 6 个面是完全 相同的正方形（面积也都相等） ，12 条棱的长度也都相等。 3正方体与长方体的关系：正方体是特殊的长方体。 4长、宽、高的意义：相交于同一顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。 5长方体、正方体棱长总和的计算。 长方体的棱长总和=（长+宽+ 高）4，用字母表示是 C=(a+b+h)4。 正方体的棱长总和=12x 棱长，用字母表示是 C= 12a。 求一个框架的长度，也就是求这个图形的棱长总和。 知识点 8：圆柱和圆锥 1圆柱的特点：圆柱有三个面，上、下两个平面叫作底面，它们是完全相同的两个圆；另 - 17 - 一个曲面叫作圆柱的侧面。圆柱两个底面之间的距离叫作圆柱的高。圆柱有无数条高。并且 所有的高都相等。 2圆锥的特点：圆锥有两个面，它的底面是一个圆，它的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点 到底面圆心的距离是圆锥的高。 3圆柱的侧面沿高展开后是一个长方形（或正方形） ，长方形的长是圆柱的底面周长，长方 形的宽是圆柱的高。如果不是沿高剪开，有可能还会是平行四边形。圆锥的侧面展开图是一 个扇形。 4如果一个圆柱和圆锥等底等高，那么这个圆柱的体积是圆锥体积的 3 倍，圆锥的体积是 圆柱体积的 。 二、图形与测量（教材第 9396 页） 知识点 1：平面图形的周长和面积 1周长：围成一个图形的所有边长的总和叫作这个图形的周长。 2面积：物体的表面或围成的平面图形的大小叫作它的面积。尤其是求占地面积就是求底 面积。 知识点 2：平面图形的周长和面积的计算公式 1 公式： 长方形的周长=（长+宽）2 长方形的面积=长宽 正方形的周长=边长4 正方形的面积= 边长边长 平行四边形的面积=底高 三角形的面积= 底高2 梯形的面积=（上底+下底）高2 圆的周长=网周率直径=圆周率半径2 圆的面积=圆周率半径的平方 2长方形的长=周长2宽 圆的半径=圆的周长2 3圆的周长总是直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周 长和直径的比值叫做圆周率，用字母 表示。圆周率是一个无限不循环小数。 在计算时取 3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 4半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别 在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。 半圆的周长公式：d 2d 或 r2r 圆周长的一半= r - 18 - 5当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 面积相等时，圆的周长最小。 6把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近平行四边形或长方形。拼成的平 行四边形（长方形）的底（长）相当于圆周长的一半（r） ，高（宽）相当于 圆的半径（r） 。 7半圆的面积是圆的面积的一半，即 S=2。 8一个圆环，外圆的半径是 R，内圆的半径是 r，它的面积是 S= R 或 S= （R） 。 （其中 Rr 环的宽度。 ） 913.14