5年级数学-逻辑推理

逻辑推理 一、例题 【例 1】 甲、乙、丙每人有两个外号，人们有时以“数学博士” 、 “短跑健将” 、 “跳高冠军” 、 “小画家” 、 “大作家”和“歌唱家”称呼他们。此外：数学博士夸跳高冠军跳得高； 跳高冠军和大作家常与甲一起去看电影；短跑健将请小画家画贺年卡；数学博 士和小画家很要好；乙向大作家借过书；丙下象棋常赢乙和小画家。你知道甲、 乙、丙各有哪两个外号吗？ 【分析】 由知，甲不是跳高冠军和大作家；由知，乙不是大作家；由知，丙、乙都不是 小画家。由此可得到下表： 因为甲是小画家，所以由、知甲不是短跑健将和数学博士，推知甲是歌唱家。因为 丙是大作家，所以由知丙不是跳高冠军，推知乙是跳高冠军。因为乙是跳高冠军，所 以由知乙不是数学博士。将上面的结论依次填入上表，便得到下表： 所以，甲是小画家和歌唱家，乙是短跑健将和跳高冠军，丙是数学博士和大作家。 需要注意的是：第一步应将题目条件给出的关系画在表上，然后再依次将分析推理出 的关系画在表上；每行每列只能有一个“” ，如果出现了一个“” ，它所在的行和 列的其余格中都应画“” 。 前铺 小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师 年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。问：谁是工人？谁是农民？谁是教 师？ 分析 由题目条件可以知道：小李不是教师，小王不是农民，小张不是农民。由此得到左下 表。表格中打“”表示肯定，打“”表示否定。 因为左上表中，任一行、任一列只能有一个“” ，其余是“” ，所以小李是农民，于 是得到右上表。 因为农民小李比小张年龄小，又小李比教师年龄大，所以小张比教师年龄大，即小张不 是教师。因此得到左下表，从而得到右下表，即小张是工人，小李是农民，小王是教师。 例题中采用列表法，使得各种关系更明确。为了讲解清楚，例题中画了几个表，实际解 题时，不用画这么多表，只在一个表中先后画出各种关系即可。 【例 2】 （ 年湖北省“创新杯”初赛）六年级四个班进行数学竞赛，小明猜想比赛的结果207 是： 班第一名， 班第二名， 班第三名， 班第四名。小华猜想比赛的结果是：3214 班第一名， 班第二名， 班第三名， 班第四名。结果只有小华猜到的 班为第二43 4 名是正确的。那么这次竞赛的名次是_班第一名，_班第二名， _班第三名，_班第四名。 【分析】 依题意， 班不为第一名也不为第三名，那么 班为第四名。同样， 班不为第二名332 也不为第一名，那么 班为第三名。 班不为第三名也不为第四名，那么 班为第一211 名。故第一名到第四名依次为 班， 班， 班， 班。42 巩固 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序。在未公布顺 序前每人都对出赛顺序进行了猜测。甲猜：乙第三，丙第五。乙猜：戊第四，丁第五。 丙猜：甲第一，戊第四。丁猜：丙第一，乙第二。戊猜：甲第三，丁第四。老师说每 人的出赛顺序都至少被一人所猜中，则出赛顺序中，第一是_；第三是 _。 分析 题中每个人都猜了另外两个人的出场顺序，每个人的出场顺序也都被另外两个人猜过， 其中戊被乙和丙猜的都是第四，由于每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，所以戊是 第四（否则戊的出赛顺序没有人猜中） ，由于戊是第四，则丁不能第四，所以丁的出 赛顺序被乙猜中，为第五，则丙不能是第五，丙只能是第一，甲不能是第一，故甲是 第三，乙是第二，所以答案为：第一是丙，第三是甲。 【例 3】 甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工 人、演员。已知：甲不是辽宁人，乙不是广西人；辽宁人不是演员，广西人是教 师；乙不是工人。 求这三人各自的籍贯和职业。 【分析】 由题意可画出下面三个表： 将表 补全为表 。由表 知，工人是辽宁人，而乙不是工人，所以乙不是辽宁人，由34 此可将表 补全为表 。15 所以，甲是广西人，职业是教师；乙是山东人，职业是演员；丙是辽宁人，职业是工人。 【例 4】 甲、乙、丙、丁四个人的职业分别是教师、医生、律师、警察。已知：教师不知道 甲的职业；医生曾给乙治过病；律师是丙的法律顾问（经常见面） ；丁不是律 师；乙和丙从未见过面。那么甲、乙、丙的职业依次是：_。 【分析】 律师、教师、警察。由可以知道丙不是律师，但是他见过律师，再由知乙不是律 师，又由可知甲是律师。于是由和知丙不是教师，由和知丙不是医生，从 而丙是警察。再由知乙是教师，丁是医生。 列表如下（列表的好处在于直观明了，不会犯错误）： 教师 医生 律师 警察 甲 否， 否 是 否 乙 是 否， 否， 否 丙 否， 否， 否， 是 丁 否 是 否， 否 【例 5】 张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知： 张明不在北京工作，席辉不在上海工作；在北京工作的不是教师；在上海工作 的是工人；席辉不是农民。 问：这三人各住哪里？各是什么职业？ 【分析】 这道题的关系要复杂一些，要求我们通过推理，弄清人物、工作地点、职业三者之间 的关系。三者的关系需要两两构造三个表，即人物与地点，人物与职业，地点与职业 三个表。 我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示，由条件得到表 ，由条件得1 到表 ，由条件、得到表 。23 因为各表中，每行每列只能有一个“” ，所以表 可填全为表 。34 因为席辉不在上海工作，在上海工作的是工人，所以席辉不是工人，他又不是农民， 所以席辉是教师。再由表 知，教师住在天津，即席辉住在天津。至此，表 可填全为4 1 表 。5 对照表 和表 ，得到：张明住在上海，是工人；席辉住在天津，是教师；李刚住在54 北京，是农民。 用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设。如果推出矛盾，那 么假设不成立；如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立。 【例 6】 （ 年太原福布斯迎奥运数学展示活动） 名运动员参加一项比赛，赛前，甲说：207 4 “我肯定是最后一名。 ”乙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名。 ”丙说： “我绝对不会得最后一名。 ”丁说：“我肯定得第一名。 ”赛后，发现他们 人的预测4 中只有一人是错误的。请问谁的预测是错误的？ 【分析】 假设甲的预测是错的，那么其他三人的预测都是对的，那么甲不是最后一名，乙和丙 也不是最后一名，丁是第一名，这样的话没有人是最后一名，矛盾。所以甲的预测是 对的，甲是最后一名，那么丙的预测也是对的。如果乙的预测是错的，那么乙是第一 名，而丁的预测是对的，丁也是第一名，矛盾。所以乙的预测是对的，丁的预测是错 的。 前铺 甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，甲说：“我最高。 ”乙说：“我不最矮。 ”丙说： “我没甲高，但还有人比我矮。 ”丁说：“我最矮。 ”实际测量的结果表明，只有一人 说错了。请将他们按身高次序从高到矮排列出来。 分析 丁不可能说错，否则就没有人最矮了。由此知乙没有说错。若甲也没有说错，则没有人 说错，矛盾。所以只有甲一人说错。所以丁是最矮的，甲不是最高的，丙没甲高，但还 有人比他矮，那么只能是甲第二高，丙第三高，乙最高。所以他们的身高次序为乙、甲、 丙、丁。 【例 7】 （ 年春武汉明心奥数挑战赛） 名谋杀案的嫌疑人，在犯罪现场被警察询问，2075 其中有一名是凶手。下面 个人的供述中，只有 句是对的：3 说： 是杀人犯；AD 说：我是无辜的；B 说： 不是杀人犯；CE 说： 在说谎； 说： 说的是实话。 在这 个人中，_是凶手。5 【分析】 与 判断相同，要么都对，要么都错。BE 假设 与 都错，即凶手是 ，那么 也错，就出现了 句错的，与“有 句是对的”BA33 矛盾。所以 与 都是对的。 余下的 人中还有 人判断是对的，由于 与 互相矛盾，所以这两个人中必有一个31D 是对的，一个是错的，由于只有 句是对的，那么 必定是错的，所以 是凶手。3CE 前铺 一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问。 四人分别供述如下： 甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中。 ” 乙说：“我没有作案，是丙偷的。 ” 丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯。 ” 丁说：“乙说的是事实。 ” 经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话。 同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？ 分析 如果甲说的是假话，那么剩下三人中有一人说的也是假话，另外两人说的是真话。可是 乙和丁两人的观点一致，所以在剩下的三人中只能是丙说了假话，乙和丁说的都是真话。 即“丙是盗窃犯” 。这样一来，甲说的也是对的，不是假话。这样，前后就产生了矛盾。 所以甲说的不可能是假话，只能是真话。同理，剩下的三人中只能是丙说真话。乙和丁 说的是假话，即丙不是罪犯，乙是罪犯。又由甲所述为真话，即甲不是罪犯。再由丙所 述为真话，即丁是罪犯。所以乙和丁是盗窃犯。 【例 8】 甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地。 甲说：“我和乙都住在北京，丙住在天津。 ” 乙说：“我和丁都住在上海，丙住在天津。 ” 丙说：“我和甲都不住在北京，何伟住在南京。 ” 丁说：“甲和乙都住在北京，我住在广州。 ” 假定他们每个人都说了两句真话，一句假话。问：不在场的何伟住在哪儿？ 【分析】 因为甲、乙都说“丙住在天津， ”我们可以假设这句话是假话，那么甲、乙的前两句 应当都是真话，推出乙既住在北京又住在上海，矛盾。所以假设不成立，即“丙住在 天津”是真话。 因为甲的前两句话中有一句假话，而甲、丁两人的前两句话相同，所以丁的第三句话 “我住在广州”是真的。由此知乙的第二句话“丁住在上海”是假话，第一句“我住 在上海”是真话；进而推知甲的第二句是假话，第一句“我住在北京”是真话；最后 推知丙的第二句话是假话，第三句“何伟住在南京”是真话。所以，何伟住在南京。 前铺 甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。 甲说：“丙第 名，我第 名。 ”乙说：“我第 名，丁第 名。 ”丙说：“丁第 名，13142 我第 名。 ”成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？3 分析 我们以“他们每人只说对了一半”作为前提，进行逻辑推理。 假设甲说的第一句话“丙第 名”是对的，第二句话“我第 名”是错的。由此推知乙13 说的“我第 名”是错的， “丁第 名”是对的；丙说的“ 丁第 名”是错的， “丙第142 名”是对的。这与假设“丙第 名是对的”矛盾，所以假设不成立。31 再假设甲的第二句话“我第 名”是对的，那么丙说的第二句“我第 名”是错的，3 3 从而丙说的第一句话“丁第 名”是对的；由此推出乙说的“丁第 名”是错的， “我2 4 第 名”是对的。至此可以排出名次顺序：乙第 名、丁第 名、甲第 名、丙第 名。1 1234 【例 9】 甲，乙，丙，丁四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了 解情况，四人分别回答如下。 甲：“丙、丁两人中有人做了好事。 ” 乙：“丙做了好事，我没做。 ” 丙：“甲、丁中只有一人做了好事。 ” 丁：“乙说的是事实。 ” 最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。到 底是谁做了好事？ 【分析】 我们用假设法来解决。题目说四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。 注意，此处的“与事实有出入”表示不完全与事实相符，比如，当乙、丙都做了好事， 或乙、丙都没做好事，或乙做了好事而丙没做好事时，乙说的话都与事实有出入。 因为乙与丁说的是一样的，所以只有两种可能，要么乙与丁正确，甲与丙错；要么乙 与丁错，甲与丙正确。 假设乙与丁说的话正确。这时丙做了好事，甲说丙、丁两人中有人做了好事，甲说的 话也正确，这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾。所以假设错误。 假设甲与丙说的话正确。那么做好事的是甲与丙，或乙与丁，或丙与丁。若做好事 的是甲与丙，或丙与丁，则乙说的话也正确，与题意不符；若做好事的是乙与丁，则乙 说的话与事实不符，符合题意。 综上所述，做好事的是乙与丁。 【例 10】 （ 年台湾第一届小学数学世界邀请赛）在期末考试前，学生 、 、 、 分207 WXYZ 别预测他们的成绩是 、 、 或 ，评分标准是 比 好， 比 好， 比 好。ABCDABCD 说：“我们的成绩都将不相同。若我的成绩得 ，则 将得 。 ”WY 说：“若 的成绩得 ，则 将得 。 的成绩将比 好。 ”XYWZ 说：“若 的成绩不是得到 ，则 将得 。若我的成绩得到 ，则 的成绩将不Z 是 。 ”D 说：“若 的成绩得到 ，则我将得到 。若 的成绩不是得到 ，则我也将不会ZABXB 得到 。 ”B 当期末考试的成绩公布，每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测。请问这四位 学生的成绩分别是什么？ 【分析】 由于每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测，所以 说：“ 的成绩将比XW 好”是正确的，这样 将不可能得 ， 不可能得 。这样 不可能得 （否则ZWDZAYC 得 ） 。WD 如果 得 ，那么 将得 。由于 的成绩不是得到 ，那么 将得 ，这与AYX 得 矛盾。所以 不得 。 如果 得 ，那么 将得到 。但这样 的成绩将不可能比 好，矛盾。所以YZBZ 不得 。 由于 、 、 均不得 ，那么只有 得 。A 如果 得 ，那么 的成绩将不是 。这样 的成绩将是 ， 的成绩将是 ，BDZCWD 矛盾。所以 不得 。由于 不得 、 、 ，所以 得 。YYCYD 由于 的成绩比 好，所以剩下的 和 只能是 得 ， 得 。WZBBZ 所以 、 、 、 的成绩分别是 、 、 、 。X 【例 11】 某参观团根据下列规则，从 、 、 、 、 五个地方选定参观点。选取原则为：AE 若去 地，也必须去 地； 、 两地至少去一地； 、 两地只去一地；ABDC 、 两地都去或都不去；若去 地， 、 两地也必须去。CD 该团最多能去哪几个地方？请你说明理由。 【分析】 最多只能去 、 两地。因为如果去 地， 、 两地也必须去，而去 地也必须CDEADA 去 地，而 、 是两地都去或两地都不去，这样就与条件“ 、 两地只去一地”B BC 相矛盾，所以不能去 地，只能是去 地，则也必须去 地，因而不能去 地也不E 能去 地，故只能去 、 两地。A 【例 12】 有六个大小相同的彩球，三个红，三个白，分别放入三个罐子里，一个罐里放两红球， 一个罐里放两白球，另一罐放一红一白。然后将写有“两红” 、 “两白” 、 “红白”的三 个标签贴在三个罐子上，由于粗心，三个标签全贴错了。试问此时最少要从罐子中取 出几个球，才能确定三个罐分别装的是什么彩球？ 【分析】 因为所有罐子上的标签都和罐中实物不符，所以在贴有“红白”标签的罐子中只能是 两红或两白。那么只需在“红白”罐子中取出一个彩球，若是红色球，则可知罐中是 两红，那么标有“两白”的罐子中就是“一红一白” ，标有“两红”的罐子中就是 “两白” ；若是白色球，则可知罐中是“两白” ，那么标有“两红”的罐子中就是“一 红一白” ，而标有“两白”的罐子中就是“两红” 。 【例 13】 四对夫妇坐在一起闲谈。四个女人中， 吃了 个梨， 吃了 个， 吃了 个，A3B2C4 吃了 个；四个男人中，甲吃的梨和他妻子一样多，乙吃的是妻子的 倍，丙吃的D1 是妻子的 倍，丁吃的是妻子的 倍。四对夫妇共吃了 个梨。问：丙的妻子是谁？34 【分析】 分别设 ， ， ， 的丈夫吃梨的个数为 ， ， 和 ，则有：ABCD3a2b4cd 242(31)2abcd 由题意知， ， ， ， 分别等于 ， ， ， 四个数之一，且互不相同。所以 ，得到 。所以 与 的奇偶性相同。10abc 由于 ，所以 ， 只能为 或 。438c12 如果 ，那么 ，由 得到 ，矛盾。所以 ，c32312ac ， ， 。因为丙吃的梨是妻子的 倍，而 ，所以丙的妻子是 。4bad dD 二、附加题 【附 1】 从 、 、 、 、 、 六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则，ABCDEF 参展产品满足下列要求： 、 两种产品中至少选一种； 、 两种产品不能同ABAD 时入选； 、 、 三种产品中要选两种； 、 两种产品都入选或都不能入选；BC 、 两种产品中选一种；若 种产品不入选，则 种也不能入选。问：哪几种DE 产品被选中参展？ 【分析】 用假设法。从条件开始，有三种情况： 假设选 不选 ，由知 不能入选，再由知 入选，再由推知 、 同时入ABCCB 选，与前面假设不选 矛盾。假设不成立。 假设选 不选 ，由知选 、 ，由知 入选，再由知 不入选，再由推EFD 知 、 都不入选，与假设选 矛盾。假设不成立。C 假设 ， 都入选，由知 不入选，由知 也不入选，再由知 入选，由ABDEF 知 入选。符合题意。因此， 、 、 、 选中参展。CABCF 【附 2】 第四届东亚男足邀请赛共有四支足球队进行单循环赛，即每两队之间都要进行一场比 赛，每场比赛胜者得 分，负者得 分，平局两队各得 分。比赛完成之后各队得分是301 四个连续的自然数，请计算出输给第一名的球队的得分是_分。 【分析】 由于每场比赛胜者得 分，负者得 分，平局两队各得 分，所以每场比赛两队的得分 之和为 分或者 分，四支球队进行单循环赛，共进行 场比赛，所以比赛完成之23 246C 后各队总得分至少为 分，最多为 分，又各队得分是四个连续的自然数，而1218 ， ， ，