辽宁省大连市2017届高考第一次模拟考试数学理科试题含答案

大连市 2017年高三第一次模拟考试 数学（理科）能力测试 第 卷（共 60分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 有一项是符合题目要求的 . 2 ，则 （ ） A 5 B 54i C D 34i | 2 3 0 A x x x ， 1 | 0，则 （ ） A |1 3 B | 1 3 C | 1 0 0 3 x x x 或 D | 1 0 3 x x x 或 1 “ |”是“ 33”的（ ） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件 为抛物线 2 1:2C x y上的动点， F 为抛物线 C 的焦点，则 |最小值为（ ） A 2 B 12C. 14D ，1 5a ，则1 2 6| | | | | |a a a （ ） A 9 C. 18 D 30 , )足不等式 30100 ，则 2z x y的最大值是（ ） A 6 B 4 C. 2 D 0 其体积为（ ） A 4 B 73C. 43D n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于 1516，则 n 的最小值为（ ） A 4 B 5 C. 6 D 7 输出结果为（ ） A 118B 54C. 32D s 2 )6在 0, 2x 上有两个不相等的实数解12,12（ ） A2B4C. 3D 233,1)， ( 1,3) ， O C m O A n O B( 0, 0)，若1, 2 ，则 |取值范围是（ ） A 5,2 5 B 5, 2 10) C. ( 5, 10) D 5, 2 10 上的函数 2( ) ( 0 )xf x e m x m m ，当121时，不等式12( ) ( 0 ) ( ) (1 )f x f f x f 恒成立，则实数1 ） A ( ,0) B 1(0, )2C. 1( ,1)2D (1, ) 第 卷（共 90分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 张连号的电影票分给甲乙等 5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有 种不同的分法（用数字作答） ) x e x 的图象在点 (0, (0)f 处的切线方程是 子算法 中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在 100至 200之间，那么这个数是 2 1 ( 0 , 0 )xy 的焦点 F 且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于 , 2A ，则双曲线的离心率为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知点 ( 3,1)P ， ( Q x x ， O 为坐标原点，函数 ()f x O P Q P. （ 1）求函数 ()x 的值； （ 2）若 A 为 的内角， ( ) 4， 3，求 的周长的最大值 . 18. 某手机厂商推出一次智能手机，现对 500名该手机使用者（ 200名女性， 300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下： （ 1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）； （ 2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20名用户中，从评分不低于 80分的用户中任意取 3名用户，求 3名用户评分小于 90分的人数的分布列和期望 . 19. 如图，在四棱锥 P 中，底面 正方形， 底面 P ，E 为棱 点 . （ 1）求证： 平面 （ 2）若 F 为 点， ( 0 1 )P M P C ，试确定 的值，使二面角 P 的余弦值为 33. 20. 已知点 P 是长轴长为 22的椭圆 Q ： 22 1 ( 0 )xy 上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点， A 为椭圆的右顶点，点 M 为线段 中点，且直线 斜率之积恒为 12. （ 1）求椭圆 Q 的方程； （ 2）设过左焦点1l 交椭圆于 ,段 垂直平分线与 x 轴交于点 G ，点 G 横坐标的取值范围是 1 ,0)4，求 |最小值 . 21. 已知函数 2( ) ( 2 ) ( 2 )xf x x e a x ( 0)x . （ 1）若 ()0, ) 的单调递增函数，求实数 a 的取值范围； （ 2）当 1(0, )4a时，求证：函数 ()求函数 () 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 ， 以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1 ，直线 l 的参数方程为2515515 （ t 为参数） . （ 1）求曲线1l 的普通方程； （ 2）若曲线2 （ 为参数），曲线1 的极角为4， Q 为曲线2 中点 M 到直线 l 距离的最大值 . 等式选讲 已知 0, 0，函数 ( ) | | | 2 |f x x a x b 的最小值为 1. （ 1）求证： 22 ； （ 2）若 2a b 恒成立，求实数 t 的最大值 . 2017年大连市高三一模测试 数学（理科）参考答案与评分标准 一选择题 （ 1） A；（ 2） D；（ 3） A；（ 4） D；（ 5） C；（ 6） A；（ 7） D ；（ 8） A；（ 9） B；（ 10） C；（ 11） B；（ 12） D 二 （ 13） 48；（ 14） ；（ 15） 128 ；（ 16） 233 三 （ 17） 解：（ I） ( 3 , 1 ) , ( 3 c o s , 1 s i n )O P Q P x x ， ( ) 3 3 c o s 1 s i n 4 2 s i n ( )3f x x x x ， 当 2 ( )6x k k Z 时， () (2) ( )=4 23A ， 又 3， 2 2 2 22 c o b c b c ， 29 ( )b c 2()4， 23( ) 94， 23 ，当且仅当 = 三角形周长最大值为 3 2 3 . (18) 解： （）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图： 由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大 . （ ）运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，其中评分小于90 分的人数为 4 ，从 6 人人任取 3 人，记评分小于 90 分的人数为 X ，则 X 取值为 1,2,3 ， 1242361( 1 )5 ； 2142363( 2 )5 ； 3242361( 3 )5 . 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1535154 326 或 163 2555 . (19) 解： (I)证明： 底 面 底 面 B ， 又 底面 矩形， D ， D A ， 平面 平面 平面 又 平面 D ， P ， E 为 点 ， D ， B A ， 平面 平面 平面 (以 A 为原点，以 ,D ,正方向，建立空间直角坐标系 A ，令| | 2， 则 (0,0,0)A ， (2,0,0)B ， (0,0,2)P ， (2,2,0)C ， (0,1,1)E ， (1,0,0)F ， (1, 0, 2)， (2, 2, 2 )， ( 2 , 2 , 2 ) ， ( 2 , 2 , 2 2 )M 设平面 法向量1 1 1( , , )m x y z， =0=0m M ，即 202 2 2 0y z ，(2, 1,1)m 设平面 法向量2 2 2( , , )n x y z， =0=0n M ， 即 02 1 2 2 2 0xx y z ， (0, 1, )n 2213| c o s , |3| | | | 61 ，解得 12. (20) 解：（ ） 椭圆 Q 的 长轴长为 22， 2a 设00( , )P x y， 直线 斜率之积恒为 12， 0000122222 ， 2 200 12x y， 1b ， 故椭圆的方程为 2 2 12x y. ( ) 设 直线 l 方程为 ( 1 ) ( 0 )y k x k ，代入 2 212x y有2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k x k ， 设1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y， 点00( , )N x y， 221 2 1 24 2 2( ) ,1 2 1 2x x x . 20 1 2 0 02212( ) , ( 1 )2 1 2 1 2x x y k x 垂直平分线方程为001 ()y y x ， 令 0y ，得00 2112 4 2Gx x k y k 1 , 0)4， 21 1 14 2 4 2k ， 2 10 2k 4 2 22221 21 6 4 ( 2 1 ) ( 2 2 )| | 1 | | 121k k k x x 21 1 3 22 2 + 2 2 ( 2 1 ) 2k， m 2 (21) 解：（ ） ( 2 ) 2 4x e x e a x a 函数 )在区间 0+（ ， ） 上单调递增， 0 0 + 在 （ ， ） 上 恒 成 立. ( 2 ) 2 4 0x e a x a ， (1 )24x ， 令 (1 )()24 ， 222 ( 1 ) ( 2 4 ) 2 ( 1 ) ( 2 2 2 )( ) 0( 2 4 ) ( 2 4 )x x x xx e e x x e e x ， 1( ) (0)4g x g， 14a. （ ） 20xf x x e a = 0 +y f x 在 （ ， ） 上 单 调 递 增 0 = 4 1 0又 1 =6 0 =0t f t存 在 （ 0,1 ） 使 0 ， ） 时 ， 0 ， +（ ， ） 时 ， 0 = ， 2m i n = = - 2 + ( 2 )tf x f t t e a t（ ） = 2 ( 2 ) 0tf t e t a t 且 有 （ ） ， (1 )= 2( 2)t 由 （ ）知 (1 )= ( )=2 ( 2 )g 在 (0, )t 上单调递减 ， 1(0)= , (1)= 04且 10 4a ， (0,1)t 22m i n ( 1 ) ( 2 )= = - 2 + ( 2 )2 ( 2 ) 2t t tf x f t t e t （ ）， 2= ( 1 ) 02t t t ， (1) ( ) (0 )f f t f， ( ) 1e f t , () , 1)e (22) 解 ：（ ）由 221 : 4 0 ,C x y x : 2 3 0l x y . （ ） (2 2, ),4P 直角坐标为 (2,2) ， 1( 2 c o s , s i n ) , ( 1 c o s , 1 s i n )2 ， : 2 3 0l x y M 到 l 的距离 | 1 c o s 2 s i n 3 | 1 0 | s i n ( ) |545d ， 从而最大值为 105. (23) 解 ： （ ） 法一： ( ) | | | 2 | = | | | | | |22x x a x b x a x x ， | | | | | ( ) ( ) |2 2 2b b bx a x x a x a 且 | 02， ()2bf x a， 当2取等号 ，即 () 12， 22 . 法二 ： 2， 3,( ) | | | 2 | = ,23,2x a b x x x a x b x a b a a b x ， 显然 () , 2b上单调递减 ， () , )2b 上单调递增 ， ()22， 12， 22 . （ ） 2a b 恒成立， 2恒成立， 2 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( 2 ) ( 1 4 )22a b a b b a b a b a 1 2 9(1 4 2 )22 当 23时 ， 2得最小 值 92， 92 t， 即实数 t 的最大值为 92. 2017年大连市高三一模测试 数学（理科）参考答案与评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对解答题，当考生的 解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一选择题 （ 1） A；（ 2） D；（ 3） A；（ 4） D；（ 5） C；（ 6） A；（ 7） D ；（ 8） A；（ 9） B；（ 10） C；（ 11） B；（ 12） D 二 （ 13） 48；（ 14） ；（ 15） 128 ；（ 16） 233 三 （ 17） (本小题满分 12 分 ) 解：（ I） ( 3 , 1 ) , ( 3 c o s , 1 s i n )O P Q P x x ， 3 分 ( ) 3 3 c o s 1 s i n 4 2 s i n ( )3f x x x x ， 5分 当 2 ( )6x k k Z 时， () 6分 (2) ( )=4 23A ， 7分 又 3， 2 2 2 22 c o b c b c ， 29 ( )b c 9 分2()4， 23( ) 94， 10分 23 ，当且仅当 = 三角形周长最大值为 3 2 3 . 12分 (18)(本小题满分 12分 ) 解： （）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图： 12分 4 分 由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大 . 6分 （ ）运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，其中评分小于90 分的人数为 4 ，从 6 人人任取 3 人，记评分小于 90 分的人数为 X ，则 X 取值为 1,2,3 ， 评分频率组距100908070600 0250 0150 0050 04O 50 评分频率组距100908070600 0250 0150 0050 04O 501242361( 1 )5 ； 2142363( 2 )5 ； 3242361( 3 )5 .9 分 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1535154 326 或 163 2555 .12 分 (19)(本小题满分 12 分 ) 解： (I)证明： 底 面 底 面 底面 形， ， 平面 平面 平面 又 平面 P， D 中点 ， ， 平面 平面 平面 6 分 (以 A 为原点，以 ,D ,正方向，建立空间直角坐标系 A ，令| | 2， 则 (0,0,0)A ， (2,0,0)B ， (0,0,2)P ， (2,2,0)C ， (0,1,1)E ， (1,0,0)F ， (1, 0, 2)， (2, 2, 2 )， ( 2 , 2 , 2 ) ， ( 2 , 2 , 2 2 )M 设平面 法向量1 1 1( , , )m x y z， =0=0m M ，即 202 2 2 0y z ，(2, 1,1)m 设平面 法向量2 2 2( , , )n x y z， =0=0n M ，即 02 1 2 2 2 0xx y z ，(0, 1, )n 2213| c o s , |3| | | | 61 ，解得 12. (20) （本小题满分 12分） 解：（ ） 椭圆 Q 的 长轴长为 22， 2a 设00( , )P x y， 直线 斜 率 之 积 恒 为 12，0000122222 ， 2分 2 200 12x y， 1b ， 故椭圆的方程为 2 2 12x y. 4分 ( ) 设 直线 l 方 程 为 ( 1)( 0 )y k x k ，代入 2 2 12x y有2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k x k ， 5分 设1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y， 点00( , )N x y， 221 2 1 24 2 2( ) ,1 2 1 2x x x . 6分 20 1 2 0 02212( ) , ( 1 )2 1 2 1 2x x y k x 7 分 垂直平分线方程为001 ()y y x ， 令 0y ，得00 2112 4 2Gx x k y k 9分 1 , 0)4， 21 1 14 2 4 2k ， 2 10 2k 10分 4 2 22221 21 6 4 ( 2 1 ) ( 2 2 )| | 1 | | 121k k k x x 21 1 3 22 2 + 2 2 ( 2 1 ) 2k， m 2 12分 (21)（本小题满分 12 分） 解：（ ） ( 2 ) 2 4x e x e a x a 1分 ) 0 +函 数 （ 在 区 间 （ ， ） 上 单 调 递 增， 0 0 + 在 （ ， ） 上 恒 成 立. ( 2 ) 2 4 0x e a x a ， (1 )24 ， 2分 令 (1 )()24 ， 222 ( 1 ) ( 2 4 ) 2 ( 1 ) ( 2 2 2 )( ) 0( 2 4 ) ( 2 4 )x x x xx e e x x e e x ， 1( ) (0)4g x g， 14a. 4分 （ ） 20xf x x e a = 0 +y f x 在 （ ， ） 上 单 调 递 增 0 = 4 1 0又 1 =6 0 =0t f t存 在 （ 0,1 ） 使 0 ， ） 时 ， 0 ， +（ ， ） 时 ， 0 = ， 2m i n = = - 2 + ( 2 )tf x f t t e a t（ ） 6分 = 2 ( 2 ) 0tf t e t a t 且 有 （ ） ， (1 )= 2( 2)t 6分 由 （ ）知 (1 )= ( )=2 ( 2 )g 在 (0, )t 上单调递减 ， 1(0)= , (1)= 04且 10 4a ， (0,1)t 8 分