江西省2016届高三第二次联考数学试卷（文科）含答案解析

2015年江西省红色七校高三（下）第二次联考数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=R，集合 A=x|y= ，集合 B=y|y=2x， x R，则（ B=（ ） A x|x 2 B x|0 x 1 C x|1 x 2 D x|x 0 2已知复数 z= （ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数是（ ） A i B 1+i C i D 1 i 3 已知各项均为正数的等比数列 ， 3 2等差数列，则 =（ ） A 27 B 3 C 1 或 3 D 1 或 27 4已知平面向量 =（ 0， 1）， =（ 2， 2）， | + |=2，则 的值为（ ） A 1+ B 1 C 2 D 1 5已知 x， y 的取值如表所示，若 y 与 x 线性相关，且 =a，则 a=（ ） x 0 1 3 4 y 已知命题 p： x R，使 2x 3x；命题 q： x（ 0， ）， 列是真命题的是（ ） A（ p） q B（ p） （ q） C p （ q） D p （ q） 7如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ） A 2016 B 2 C D 1 8一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 9已知函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期是 ，若将其图象向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称，则函数 f（ x）的图象（ ） A关于直 线 x= 对称 B关于直线 x= 对称 C关于点（ ， 0）对称 D关于点（ ， 0）对称 10已知变量 x， y 满足以下条件： x， y R， ， z=ax+y，若 z 的最大值为 3，则实数 a 的值为（ ） A 2 或 5 B 4 或 2 C 2 D 5 11定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） +f（ x） 2， 1） =2e+4，则不等式f（ x） +2（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A（ 1， + ） B（ ， 0） （ 1， + ） C（ ， 0） （ 0， + ）D（ ， 1） 12已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左右焦点为 椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点，使得 等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 13点 P（ x， y）是圆 y 1） 2=1 内部的点，则 y x 的概率 14设数列 足 a2+0，点 n， 任意的 n N+，都有向量 =（ 1， 2），则数列 前 n 项和 15在半径为 10球面上有 A、 B、 C 三点，如果 ， 0，则球心 O 到平面 距离为 16已知函数 f（ x） =x3+bx+c 有两个极值点 f（ =关于 x 的方程 的不同实根个数为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 60 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，函数 f（ x） =2x A）（ x R）在 处取得最小值 （ 1）求角 A 的大小 （ 2）若 a=7 且 ，求 面积 18某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 40 名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第 1 组 75， 80），第 2 组 80， 85），第 3 组 85， 90），第 4组 90， 95），第 5 组 95， 100，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在 85 分以上（含 85 分）的学生为 “优秀 ”，成绩小于 85 分的学生为 “良好 ”，且只有成绩为 “优秀 ”的学生才能获得面试资格 （ 1）求出第 4 组的频率，并补全频率分布直方图； （ 2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数； （ 3）如果用分层抽样的方法从 “优秀 ”和 “良好 ”的学生 中选出 5 人，再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是 “优秀 ”的概率是多少？ 19如图在直角梯形 ， 2D=4，现以 后沿边 矩形 折，使平面 平面 直 （ 1）求证： 平面 （ 2）若点 D 到平面 距离为 ，求三棱锥 F 体积 20如图，椭圆 的离心率为 ，其左焦点到椭圆上点的最远距离为 3，点 P（ 2， 1）为椭圆外一点，不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且线段 直线 分 （ 1）求椭圆 C 的标准方程 （ 2）求 积最大值时的直线 l 的方程 21已知函数 （ 1）当 时，讨论 f（ x）的单调性 （ 2）设 g（ x） =2当 时，若对任意 （ 0， 2），存在 1， 2，使 f（ g（ 求实数 b 取值范围 选做题：请在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑 选修 4何证明选讲 22如图， O 于点 B，直线 O 于 D， E 两点， 足为 C （ ）证明： （ ）若 ，求 O 的直径 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 x ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）在以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆 C 的方程为 （ ）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （ ）若点 P 坐标为 ，圆 C 与直线 l 交于 A， B 两点，求 |值 选修 4等式选讲 24已知关于 x 的不等式 |x+a| b 的解集为 x|2 x 4 （ ）求实数 a， b 的值； （ ）求 + 的最大值 2015年江西省红色七校高三（下）第二次联考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=R，集合 A=x|y= ，集合 B=y|y=2x， x R，则（ B=（ ） A x|x 2 B x|0 x 1 C x|1 x 2 D x|x 0 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 由全集 U=R，集 合 A=x|y= =x|2x 0=x|0 x 2，求出x|x 0，或 x 2，再由 B=y|y=2x， x R=y|y 0，能求出（ B 【解答】 解： 全集 U=R， 集合 A=x|y= =x|2x 0=x|0 x 2， x|x 0，或 x 2， B=y|y=2x， x R=y|y 0， （ B=x|x 2 故选 A 2已知复数 z= （ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数是（ ） A i B 1+i C i D 1 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解： 复数 z= = = = i， 则 z 的共轭复数 i 故选： A 3已知各项均为正数的等比数列 ， 3 2等差数列，则 =（ ） A 27 B 3 C 1 或 3 D 1 或 27 【考点】 等比数列的性质 【分析】 由题意可得公比 q 的方程，解得方程可得 q，可得 =值计算可得 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， 由题意可得 +2q 解得 q=3，或 q= 1（舍去）， = =7 故选： A 4已知平面向量 =（ 0， 1）， =（ 2， 2）， | + |=2，则 的值为（ ） A 1+ B 1 C 2 D 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 求出 的坐标，代入模长公式列出方程解出 【解答】 解： =（ 2， 2 ）， | |=2， 22+（ 2 ） 2=4，解得 =2 故选： C 5已知 x， y 的取值如表所示，若 y 与 x 线性相关，且 =a，则 a=（ ） x 0 1 3 4 y 考点】 线性回归方程 【分析】 由图表求得 =2， =入回归直线方程得答案 【解答】 解：由图表知， =2， = 代入 =a，得 2+a，解得 a= 故选： A 6已知命题 p： x R，使 2x 3x；命题 q： x（ 0， ）， 列是真命题的是（ ） A（ p） q B（ p） （ q） C p （ q） D p （ q） 【考点】 复合命题的真假 【分析】 对于命题 p，容易发现 x= 1 时， 2x 3x 成立，所以命题 p 是真命题；对于 x ， ，所以便可得到 以命题q 是真命题，然后根据 p， p q， p q 的真假和 p， q 真假的关系即可找出正确选项 【解答】 解： x= 1 时， 2x 3x， 命题 p 是真命题； ， x ； 0 1， 0； ， ； 即 命题 q 是真命题； p 是假命题，（ p） q 是假命题， q 是假命题，（ p） （ q）是假命题， p （ q）是假命题， p （ q）为真命题 故选 D 7如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ） A 2016 B 2 C D 1 【考点】 程序框图 【分析】 执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S， k 的值，当 k=2016 时，不满足条件 k 2016，退出循环，输出 S 的值为 2 【解答】 解：执行程序框图，可得 S=2， k=0 满足条件 k 2016， S= 1， k=1 满足条件 k 2016， S= ， k=2 满足条件 k 2016， S=2， k=3 满足条件 k 2016， S= 1， k=4 观察可知 S 的取值周期为 3，由 2016=672 3 满足条件 k 2016， S= ， k=2015 满足条件 k 2016， S=2， k=2016 不满足条件 k 2016，退出循环，输出 S 的值为 2 故选： B 8一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可 【解答】 解：由题 设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2 的正方形，故其底面积为 =2 由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形 由于此侧棱长为 ，对角线长为 2，故棱锥的高为 =3 此棱锥的体积为 =2 故选 B 9已知函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期是 ，若将其图象向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称，则函数 f（ x）的图象（ ） A关于直线 x= 对称 B关于直线 x= 对称 C关于点（ ， 0）对称 D关于点（ ， 0）对称 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可 【解答】 解： 函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期是 ， T= =，解得 =2， 即 f（ x） =2x+）， 将其图象向右平移 个单位后得到 y=（ x ） +=2x+ ）， 若此时函数关于原点对称， 则 = = +k Z， | ， 当 k= 1 时， = 即 f（ x） =2x ） 由 2x = ， 解得 x= + ， k Z， 故当 k=0 时，函数的对称轴为 x= ， 故选： B 10已知变量 x， y 满足以下条件： x， y R， ， z=ax+y，若 z 的最大值为 3，则实数 a 的值为（ ） A 2 或 5 B 4 或 2 C 2 D 5 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，分别将角点的坐标代入求出 a 的值即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由 ，解得 A（ 1， 1）， 由 ，解得 B（ 2， 1）， z=ax+y，若 z 的最大值为 3， 即 ax+y=3，将 A（ 1， 1）代入得： a 1=3，解得： a= 4， 将 B（ 2， 1）代入得： 2a 1=3，解得： a= 2， 故选： B 11定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） +f（ x） 2， 1） =2e+4，则不等式f（ x） +2（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A（ 1， + ） B（ ， 0） （ 1， + ） C（ ， 0） （ 0， + ）D（ ， 1） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 构造辅助函数，求导，由函数的单调性与导数的关系，求得函数的单调性，则原不等式转化成 F（ x） F（ 1），利用函数 的单调性即可求得不等式的解集 【解答】 解：设 F（ x） =x） 2 x R）， 求导 F（ x） =x） + x） 2ex=exf（ x） +f（ x） 2， f（ x） +f（ x） 2， f（ x） +f（ x） 2 0， F（ x） 0， y=F（ x）在定义域上单调递增， x） 2，即 F（ x） 4， 又 F（ 1） =1） 2e=4， F（ x） F（ 1）， x 1， 故选 A 12已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左右焦点为 椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点，使得 等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 分等腰三角形 底和以 一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为 2c 的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于 a、 c 的不等式，解之即可得到椭圆 C 的离心率的取值范围 【解答】 解： 当点 P 与短轴的顶点重合时， 成以 底边的等腰三角形， 此种情况有 2 个满足条件的等腰 当 成以 一腰的等腰三角形时， 以 为等腰三角形的底边为例， 1P， 点 P 在以 圆心，半径为焦距 2c 的圆上 因此，当以 圆心，半径为 2c 的圆与椭圆 C 有 2 交点时， 存在 2 个满足条件的等腰 在 ， 2c+2c 2a 2c， 由此得知 3c a所以离心率 e 当 e= 时， 等边三角形，与 中的三角形重复，故 e 同理，当 等腰三角形的底边时，在 e 且 e 时也存在 2 个满足条件的等腰 样，总共有 6 个不 同的点 P 使得 等腰三角形 综上所述，离心率的取值范围是： e （ ， ） （ ， 1） 二、填空题：本大题共 4 小题每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 13点 P（ x， y）是圆 y 1） 2=1 内部的点，则 y x 的概率 【考点】 几何概型 【分析】 求出圆 y 1） 2=1 的面积为 ，满足 y x 在圆内部分的面积为 + ，即可得出概率 【解答】 解：圆 y 1） 2=1 的面积为 ， 满足 y x 在圆内部分的面积为 + ， 所求概率为 ， 故答案为： 14设数列 足 a2+0，点 n， 任意的 n N+，都有向量 =（ 1， 2），则数列 前 n 项和 【考点】 数列与向量的综合 【分析】 由已知得 差数列，公差 d=2，将 a2=，代入 a2+0，中，得，由此能求出 前 n 项和 【解答】 解： n， （ n+1， ）， =（ 1， =（ 1， 2）， ， 差数列，公差 d=2，将 a2=， a4= 代入 a2+0 中， 解得 ， +（ n 1） 2=2n 1， = 故答案为： 15在半径为 10球面上有 A、 B、 C 三点，如果 ， 0，则球心 O 到平面 距离为 6 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 设 A、 B、 C 三点所在圆的半径为 r，圆心为 O，从而可解得 r=8；从而求答案 【解答】 解：设 A、 B、 C 三点所在圆的半径为 r，圆心为 O， 则 0， 20； 则在等腰三角形 ， =8； 即 r=8； 故球心 O 到平面 距离为 =6（ 故答案为： 6 16已知函数 f（ x） =x3+bx+c 有两个极值点 f（ =关于 x 的方程 的不同实根个数为 3 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 由函数 f（ x） =x3+bx+c 有两个极值点 得 f（ x） =3ax+b=0有两个不相等的实数根，必有 =412b 0而方程 3（ f（ x） 2+2x） +b=0的 1= 0，可知此方程有两解且 f（ x） = 分别讨 论利用平移变换即可解出方程 f（ x） = f（ x） =得个数 【解答】 解： 函数 f（ x） =x3+bx+c 有两个极值点 f（ x） =3ax+b=0 有两个不相等的实数根， =412b 0解得 ， + ， 而方程 ，即方程 3（ f（ x） 2+2x） +b=0 的 1= 0， 此方程有两解且 f（ x） = 不妨取 0 f（ 0 把 y=f（ x）向下平移 单位即可得到 y=f（ x） 图象， f（ = 知方程 f（ x） =两解 把 y=f（ x）向下平移 单位即可得到 y=f（ x） 图象， f（ = f（ 0，可知方程 f（ x） =有一解 综上 可知：方程 f（ x） = f（ x） =有 3 个实数解即关于 x 的方程3（ f（ x） 2+2x） +b=0 的只有 3 不同实根 故答案为 3 三、解答题：本大题共 5 小题，共 60 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，函数 f（ x） =2x A）（ x R）在 处取得最小值 （ 1）求角 A 的大小 （ 2）若 a=7 且 ，求 面积 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得 f（ x） =2x A），由已知及正弦函数的性质可得 2 A=2，结合 A 的范围即可得解 A 的值 （ 2）由已知及正弦定理得 ，解得 b+c=13，由余弦定理可得0，进而利用三角形面积公式即可计算得解 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1） f（ x） =2x A） =2+22x A）， ， ， A （ 0， ）， （ 2）由正弦定理 ，得 即 = ， 可得： b+c=13， 由余弦定理 a2=b2+2得： b+c） 2 22得： 49=169 3 可得： 0， 18某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 40 名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第 1 组 75， 80），第 2 组 80， 85），第 3 组 85， 90），第 4组 90， 95），第 5 组 95， 100，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在 85 分以上（含 85 分）的学生为 “优秀 ”，成绩小于 85 分的学生为 “良好 ”，且只有成绩为 “优秀 ”的学生才能获得面试资格 （ 1）求出第 4 组的频率，并补全频率分布直方图； （ 2）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数； （ 3）如果用分层抽样的方法从 “优秀 ”和 “良好 ”的学生中选出 5 人，再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是 “优秀 ”的概率是多少？ 【考点】 茎叶图；分层抽样方法；频率分布表 【分析】 （ 1）根据频率分步直方图的性质，根据所给的频率分步直方图中小矩形的长和宽，求出矩形的面积，即这组数据的频率，根据各小组的频率之和为 1求出第四组的频率，进一步补全频率分布直方图 （ 2）第一、二两组的频率和为 三组的频率为 以中位数落在第三组，由此能求出笔试成绩的中位数 （ 3）根据概率公式计算，事件 “5 位同学中抽两位同学 ”有 10 种可能，而且这些事件的可能性相同 ，其中事件 “至少有一人是 “优秀 ”可能种数是 9，那么即可求得事件 M 的概率 【解答】 解：（ 1）其它组的频率为 （ 5= 所以第 4 组的频率为 频率分布图如图： （ 2）设样本的中位数为 x，则 5 x 85） 解得 ， 所以样本中位数的估计值为 （ 3）依题意良好的人数为 40 6 人，优秀的人数为 40 4 人 优秀与良好的人数比为 3： 2，所以采用分层抽样的方法抽取的 5 人中有优秀 3人，良好 2 人 记 “从这 5 人中选 2 人至少有 1 人是优秀 ”为事件 M， 将考试成绩优秀的三名学生记为 A， B， C，考试成绩良好的两名学生记为 a， b 从这 5 人中任选 2 人的所有基本事件包括： 10 个基本事件 事件 M 含的情况是： 9 个 所以 19如图在直角梯形 ， 2D=4，现以 然后沿边 矩形 折，使平面 平面 直 （ 1）求证： 平面 （ 2）若点 D 到平面 距离为 ，求三棱锥 F 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由已知利用面面垂直的性质可得 解直角三角形可得 由线面垂直的判断得答案； （ 2）设 DE=x，利用 E 得 x 值，再利用 B 得三棱锥 F 体积 【解答】 （ 1）证明：在正方形 ， 又 平面 平面 平面 平面 D， 平面 在直角梯形 ， D=2， ，可得 在 ， D=2 ， ， ， 平面 （ 2）解： 平面 ， 设 DE=x，则 = 又 ， 联立解得 x= 20如图，椭圆 的离心率为 ，其左焦点到椭圆上点的最远距离为 3，点 P（ 2， 1）为椭圆外一点，不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且线段 直线 分 （ 1）求椭圆 C 的标准方程 （ 2）求 积最大值时的直线 l 的方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由椭圆的几何性质可知 e= = ， a+c=3， b2=可求得 a 和b 的值，求得椭圆方程； （ 2）由 A 和 B 在椭圆上，将 A 和 B 点坐标代入椭圆方程，利用点差法求得直线斜率 直线 方程， y= ，代入椭圆方程，根据韦达定理求得 xA+xA弦长公式，点到直线的距离公式及三角形面积公式求 得 m=1 时， S 最大值，即可求得直线 l 的方程 【解答】 解：（ 1）由题意可知： e= = ， 左焦点（ c， 0）到椭圆上点的最远距离为 3， 即使 a+c=3，可解得： a=2， c=1， b2=， 所求椭圆 C 的方程为： ； （ 2）易得直线 方程： y= x， 设 A（ B（ R（ 其中 A， B 在椭圆上， ， = = 设直线 方程为 l： y= （ m 0）， 代入椭圆： ，整理得： 3 3mx+ 3=0 ，根据韦达定理可知： xA+xB=m， xA， | ， 点 P（ 2， 1）到直线 l 的距离为： d=丨 丨 =丨 丨， S d| |m 4| ， 当 m=1 时， S 最大值， 此时直线 l 的方程 y= +1 21已知函数 （ 1）当 时，讨论 f（ x）的单调 性 （ 2）设 g（ x） =2当 时，若对任意 （ 0， 2），存在 1， 2，使 f（ g（ 求实数 b 取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （ 2）问题等价于 g（ x）在 1， 2上的最小值不大于 f（ x）在（ 0， 2）上的最小值 ，根据函数的单调性分别求出函数 g（ x）的最小值和 f（ x）的最小值，得到关于 b 的不等式，解出即可 【解答】 解：（ 1）因为 所以 令 f（ x） =0，解得： x=1 或 1， 当 0 a 时， ， x （ 0， 1）时，此时 f（ x） 0，函数 f（ x）单调递减； 时，此时 f（ x） 0，函数 f（ x）单调递增； 时，此时 f（ x） 0，函数 f（ x）单调递减： （ 2）因为 ，由（ I）知， ， 当 x （ 0， 1）时， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递减； 当 x （ 1， 2）时， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递增， 所以 f（ x）在（ 0， 2）上的最小值为 由于 “对任意 （ 0， 2），存在 1， 2， 使 f（ g（ 价于 g（ x）在 1， 2上的最小值不大于 f（ x）在（ 0， 2）上的最小值 ”（ *） 又 g（ x） =（ x b） 2+4 x 1， 2， 所以 当 b 1 时，因为 g（ x） g（ 1） =5 2b 0 此时与（ *）矛盾， 当 1 b 2 时，因为 同样与（ *）矛盾， 当 b 2 时，因为 g