巧用法向量求多面体中的距离

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 巧用法向量求多面体中的距离 向量是高中数学中的重要概念之 一，利用法向量求多面体中的距离，既 是高考考查的重点又是学生的难点，就 此，尝试运用向量法解题很有必要。 中国论文网 /7/view-13020232.htm 下面，谈谈利用法向量求多面体 中的距离。解题方法指导：（1）设 n 是平面 的法向量，AB 是 的一条斜 线，A，则点 B 到平面 的距离为 d=|AB n|n| ；（2）设 n 是两条异面 直线 L1、L2 的公垂线的法向量，又 C、D 分别是 L1、L2 的任一点，则 L1、L2 的距离 d=|CD n|n| 。 一、 利用平面的法向量求空间 的异面直线间的距离（线线距） -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 例 1：M、N 是棱长为 1 的正方 体 ABCDA1B1C1D1 的棱 A1B1、BB1 的中 c，求异 面直线 AM 与 CN 间的距离。 解析：建立空间直角坐标系如图 1，设 AM 与 CN 的公垂线上的法向量 为 n=（x，y，z ） ，由 A（ 1，0，0） 、 M（1，12 ，1） 、N （1，1，12 ） 、 C（0， 1，0） AM=（0，12 ，1） 、 CN=（1，0，12 ） ，则 AM n=0 且 CN n=0 得 12 y+z=0，且 x+12 z=0，令 z=2，则 x=-1，y=-4 所以 n=（-1 ，-4， 2） ，AC=（- 1，1，0） 故异面直线 AM 与 CN 距离 d=|AC n|n| =|-1（-1）+（-4 ） 1+20|（-1）2+ （-4）2+22 =217 二、利用法量求点到平面的距离 （点面距） 例 2：已知正方形 ABCD 的边长 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 为 1，PD平面 ABCD，且 PD=1，E、F 分别为 AB、BD 的中点， 求点 D 到平面 PEF 的距离。 解析：建立空间直角坐标系如图 2，由 P（0， 0，1） ，E （1，12 ，0） ， F（12 ，1，0） ，PE=（1，12 ，-1） ， PF=（ 12 ，1，-1 ） ，设 n=（x， y， z）是平面 PEF 的一个法向量，则 PE n=0 且 PF n=0，得 x+12 y-z=0 且 12 x+y-z=0 令 x=y=2，则 z=3，所以 n=（2，2，3） 又 PD=（0，0，-1）故 d=|PD n|n| =31717 三、利用法向量求平行直线到平 面的距离（线面距） 例 3：正三棱柱 ABCA1B1C1 的九条棱均相等，D 是 BC 上一点， ADC1D，若 AB=2，求直线 A1B 与 截面 ADC1 的距离。 解析：易证 ADBC，连结 A1C -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 交 AC1 于 E，由 A1BDE 可得 A1B面 ADC1，建立空间 直角坐标系如图 3：由 B（1，0，0） ， A（0，-5，0） ，C1（-1，0，2） ， AD=（ 0，5，0） ，C1D=（1，0，-2） ， 高 n=（x，y，z ）是面 ADC1 的 一个法向量，则 AD n=0 且 C1D n=0， 得5y=0 且 x-2z=0，令 z=1，则 x=2，所以 n=（2，0，1） ，BD=（- 1，0，0） ，故 d=|BD n|n| =25 =255 四、利用法向量求平行平面间的 距离（面面距） 例 4：棱长为 1 的正方体 ABCD- A1B1C1D1 中，M 、N、E、F 分别是棱 A1B1、A1D1、B1C1 、 C1D1 的中点， 求平面 AMN 与平面 EFDB 的距离。 解析：建立空间直角坐标系如图 4 由 A（1，0，0） ，M（1，12 ，1） ，N（12 ，0，1） ，B（1，1，0） ， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 AM（0，12 ，1） ，AN=（-12 ，0，1） 设两平面的法向量为 n=（x，y，z ） ，则有 AM n=0 且 AN n=0，即 12 y+z=0 且 -12 x+z=0 令 x=2，则 y=-2，z=1，得 n=（2，-2，1） ， 又 AB=（0，1，0）故 d=|AB n|n| =24+4+1 =23 注：例 3、例 4 可转化为点到平 面的距离来求。 在多面体中求有关距