福建省漳州市八校2017届高三3月联考文科数学试卷含答案

2017 届高三年漳州八校第三次联考 数学试卷（文） 一、选择题：（ 每小题 5 分 ,共 60 分） 0 , 1 , 2 , 1 1 ,M N x x x Z ，则 M N 为（ ） A 0,1 B 0,1 C 0,1 D 3 b 的实部和虚部相等，则 z ( ) A 2 B 3 C 22 D 32 3. 命题 p:x R 且满足 q:x R 且满足 .则 p是 ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4已知点 P 的坐标（ x， y）满足 ，过点 P 的直线 l 与圆 C： x2+6 相交于 A，B 两点， 则 |最小值为 （ ） A B C D 5.“微信抢红包”自 2015 年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为 9 元，被随机分配为 ， ， ， ， ，共5 份，供甲、乙等 5 人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率是（ ） A. 25B. 12C. 43D. 656设方程 2x|1 有两个不等的实根 （ ） A 0 B C 1 D 0 1 7某程序 框图如右图所示，其中21()gx ，若输出的 20162017S ， 则判断框内应填入的条件为 （ ） A. 2017n B. 2017n C. 2017n D. 2017n 8. 某几何体的三视 图如图所示，则刻几何体的体积 为 （） A 23B 2 c o s 3 s i n 2y x x的图象，只需将函数 2 1的图像 （ ） A向左平移 12个长度单位 B向右平移 12个长度单位 C向左平移 512个长度单位 D向右平移 512个长度单位 是抛物线 C ： 2 2 ( 0 )y p x p上一点 ， F 是抛物线 C 的焦点 ， 若 |MF p ，K 是抛物线 C 的准线与 x 轴的交点 ， 则 （ ） A 60 B 45 C 30 D 15 九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设 个内角 A B C、 、 所对的边分别为 a b c、 、 ，面积为 S ，则 “三斜求积”公式为22 2 222142a c bS a c 222s i n 4 s i n 1 2a C A a c b ，则用“三斜求积”公式求得 的面积为（ ） A. 3 D. 6 ) c 3 ( si n c ( 4 1 )2f x x a x x a x 在 ,02上单调递增，则实数 ） A1 ,17B1 1, 7C. 1( , 1, )7 D1, )二、填空题（每题 5 分，满分 20 分 ） 13 函数 x x 在 1x 处的切线方程是 _ | 1a ， | | 2b ， c a b ，且 ，那么 a 与 b 的夹角为 15. 在锐角 中，内角 ,对边分别为 , 2 s a B b ，2 , 4a b c ，则 的面积 = 16. 已知双曲线 22 1的左右 焦点分别为12, 点2支于 ,1以 A 为直角顶点的等腰三角形，则12 面积 为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .） 17. (本小题满分 12 分 )已知数列 2 1a a . （ 1）求数列 （ 2）设 )a(，求数列 n 项和18. (本小题满分 12 分 ) 某中学高三年级有学生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人。为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，统计了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，再将两组的分数分成 5 组： 1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 0 , 1 2 0 , 1 2 0 , 1 3 0 , 1 3 0 , 1 4 0 , 1 4 0 , 1 5 0分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。 （ I）从样本分数小于 110 分的学生中随机抽取 2 人，求两人恰为一男一女的概率； （ 规定分数不小于 130 分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成 2 2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“数学尖子生与性别有关” ? 附表： 19（本小题满分 12 分） 如图所示，四棱锥 P 底面为直角梯形， C 的中点 （ ）求证： 平面 （ ）已知平面 底面 C在棱 是否存在点 F，使 说明理由 20. (本小题满分 12 分 )已知圆 O ： 221过椭圆 C ： 12222 0 )的短轴端点， P ， Q 分别是圆 O 与椭圆 C 上任意两点 ， 且线段 度的最大值为 3 （）求椭圆 C 的方程 ； （）过点 (0, )t 作圆 O 的一条切线交椭圆 C 于 M ， N 两点 ， 求 的面积的最大值 21 （本小题满分 12 分） 设函数 2( ) l nf x x a x a x ， a 为正实数 （ 1）当 2a 时，求 曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程； （ 2） 求证： 1( ) 0； （ 3）若函数 ()只有 1 个 零点，求 a 的值 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 已知 曲线 C 的极坐标方程是 2 ，若 以极点为平面 直角坐标系 的 原点 ， 极轴 为 x 轴的 正半轴 且取相同的单位长度， 建立 平面 直角 坐标系， 则直线 l 的 参数方程 的 是32 (12x t 为参数 ). （ 1） 求 曲线 C 的 直角 坐标方程 和 直线 l 的 普通 方程 ； （ 2） 设点 ,0 若 直线 l 与 曲线 C 交于 ,，且 1 求 实数 m 的 值 . 等式选讲 已知函数 2 1 2f x x x 的 最小值为 m . （ 1） 求 实数 m 的 值 ； （ 2） 若 ,满足 a b c m ，求 证 : 2 2 2 3b c aa b c . 参考答 案 一、选择题 : 、填空题 : 13 1 14. 0120 . 15 3 2 三、解答题 : 17. 解： (1) 112 1, 1 2 1n n n na a a a ,若 10，则1 1，又1 2 12 , 2 1 3 , 1 0na a a a 1 1 2,1 数列 1 为以 1 为首项， 2 为公比的等比数列， 111 1 2 ， 121 . (2) 1n a,由（ 1）可知， 112 1 , 2b n ，又211 2 3 . . . , 1 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 nn n nS b b b b S ， 232 2 2 2 3 2 . . . 2 ， 由 - ，得 2 3 1 1 1 21 2 2 2 . . . 2 2 2 2 1 2 , 1 2 112nn n n n n nS n n n S n ）由已知得，抽取 的 100 名学生中，男生 60 名，女生 40 名， 分数小于等于 110 分的学生中，男生人有 60（人），记为 女生有 40（人），记为 2 分 从中随机抽取 2 名学生，所有的可能结果共有 10 种，它们是： （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果 共有 6 种，它们是： （ （ （ （ ，（ （ 2）； 4 分 故所求的概率为 P=63=105 6 分 （ ）由频率分布直方图可知， 在抽取的 100 名学生中，男生 605（人），女生 405（人）； 7 分 据此可得 22 列联表如下： 数学尖子生 非数学尖子生 合计 男生 15 45 60 女生 15 25 40 合计 30 70 100 （ 9 分） 所以得21212211222112 )(2100( 15 25 15 45 )= 0 30 70 ； 11 分 因为 所以没有 90%的把握认为 “数学尖子生与性别有关 ” 12 分 （ 1）证明：取 点 Q，连结 E 为 中点， Q= 又 B 四边形 平行四边形， 又 面 面 平面 6 分 （ 2）解：棱 存在点 F 为 中点，使 平面 底面 面 底面 D， 平面 平面 的射影， C， F， 12 分 ）圆 O 过椭圆 C 的短轴 端点 ， 1b ， 又 线段 度的最大值为 3， 13a ， 即 2a ， 椭圆 C 的标准方程为 2 2 14y x （）由题意可设切线 方程为 y kx t， 即 0kx y t ， 则2| 11， 得221 联立得方程组 22,14y kx ty x ，消去 y 整理得 2 2 2( 4 ) 2 4 0k x k t x t 其中 2 2 2( 2 ) 4 ( 4 ) ( 4 )k t k t 221 6 1 6 6 4 4 8 0 ， 设11( , )M x y，22( , )N x y， 则12 22 4k ， 212 244k ， 则 22221 6 1 6 6 4| | 14 将代入得24 3 | | 3t ， 21 2 3 | |1 | |23O M N t ， 而22 3 | | 2 3 133 |tt ， 等号成立当且仅当 3|t t， 即 3t 综上可知：m ) 1S 21 解 ： （ 1）当 2a 时， 2( ) l n 2 2f x x x x ，则 1( ) 4 2f x ， 所以 (1) 1f ，又(1) 0f ，所以曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程 为 10 （ 2） 因为 1 1 1( ) fa a a ，设函数 ( ) g x x x ，则 11( ) 1 ， 令 ( ) 0，得 1x ，列表如下： x (0,1) 1 (1 ) () 0 () 极大值 所以 ()大值 为 (1) 0g 所以 1 1 1( ) l n 1 0fa a a （ 3） 21 2 1( ) 2 a x a xf x a x ， 0x ， 令 ( ) 0，得 228844a a a a a ，因为 2 8 04a a ， 所以 () 8( 0 , )4a a 上单调增，在 2 8( , )4a a 上单调减 所以 2 8( ) ( )4a a af x f a 设 2084a a ax a ，因为 函数 () 个 零点， 而 (1) 0f ， 所以 1 是函数 ()一零点 当0 1x时， ( ) (1) 0f x f ， ()有 1 个 零点， 此时 2 8 14a a ，解得 1a 下证，当0 1x时， () 若0 1x，则0( ) (1) 0f x f，此时 2 8 14a a ，即 01a，则 1 1a 由（ 2）知， 1( ) 0，又函数 () 所以 在0) () 2 个零点，不符合题意； 若 0 1x ，则 0( ) (1) 0f x f，此时 2 8 14a a ，即 1a ，则 101a 同理可得，在 1x 之间存在 () () 2 个零点，不符合题意 因此 0 1x ，所以 a 的值为 1 22. 解： (1) 曲线 C 的极 坐标方程 是 2 ，化为 2 2 co s ，所以 曲线 C 的 直角 坐标方程 为 2 211 . 直线 l 的 参数 方程 是32 (12x t 为参数），消去参数 t 可得 直线 l 的 普通 方程30x y m . (2) 将32 (12x t 为参数）代入 方程 2 211 ，得 2 2311122t m t 223 3 2 0t m t m m ，解得 13m 12 2t t m m. 2121 , 2 1P A P B t t m m ，解得 1 2 ,1m ，所以 12m 或 1m 或 12m . 23. 解：（ 1）因为函数 2 1 2f x x x ，所以当 1x 时， 2 1 2 3 3 ,f x x x x ；当 12x 时， 2 1 2 4 3 , 6