山西省晋中市2017届高考适应性调研考试数学试题(文)含答案

2017 年 3 月高考适应性调研考试 高三文科数学 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 设 ， 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 A ， | 1B x x，则 B （ ） A 1,2 B 1,0,1 C 2, 1,0 D 2, 1, 0,1 2. 在复平面中，复数21(1 ) 1i对应的点在（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3.“ 1x ”是“ 2 20”的（ ） A 充分 不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 4. 若 1 )3，且2 ，则 （ ） A 223B 223C. 429D 4295. 执行下面的程序框图，则输出 K 的值为（ ） A 98 B 99 C. 100 D 101 6. 李冶（ 1192 1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘 与方田四边之间的面积为 ，若方田的四边形到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注： 240 平方步为 1 亩，圆周率按 3 近似计算） A 10 步， 50 步 B 20 步， 60 步 ， 70 步 D 40 步， 80步 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 16 B 20 C. 52 D 60 8. 已知函数 ( ) s i n ( 2 ) c o s 26f x x x ，则 () ） A 7 , 12 12B 5 , 12 12C. 2 , 33D 5 , 66 的底面 边长为 6 的正方形，且 P A P B P C P D ，若一个半径为 1 的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（ ） A 6 B 5 C. 92D 9410. 若 , ，则 23yz x 的最小值为（ ） A B 23C. 125D 2472l n (1 ) , 0()l n (1 ) , 0x x x x x x ，若 ( ) ( ) 2 (1 )f a f a f ，则实数 a 的取值范围是（ ） A ( , 1 1, ) B 1,0 C. 0,1 D 1,1 12. 已知双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy 的左右焦点分别为12,点1x 轴的直线与该双曲线的左支交于 ,2,y 轴于 ,2周长为 12，则 得最大值时该双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3 C. 233D 322第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 设样本数据1 2 2 0 1 7, , ,x x ，若 2 1 ( 1 , 2 , , 2 0 1 7 )x i ，则1 2 2 0 1 7, , ,y y 1 2a ，5 4a ，则3a 中，角 ,对边分别为 , 6a ， 2b ， 45B ，则角 C 的大小为 16. 非零向量 ,且满足 | | | | ( 0 )，向量组1 2 3,x x m 和两个 n 排列而成，向量组1 2 3,y y m 和一个 n 排列而成，若1 1 2 2 3 3x y x y x y所有可能值中的最小值为 24m ，则 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知等差数列 n 项和为1 4 ， 0，2 14 （ 2m 且*） . （ 1）求 m 的值； （ 2）若数列 na b*()，求数列 ( 6) 的前 n 项和 18. 如图，三棱柱 中，侧面 边长为 2 的菱形，且3，212，点 F 在平面 的正投影为 G ，且 G 在 ， 3，点 M 在线段 ，且 14F （ 1）证明：直线 /面 （ 2）求三棱锥 M 的体积 19. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通 6 座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为 a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率 也就是越高，具体浮动情况如下表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 1下浮 10% 2下浮 20% 3下浮 30% 40% 5上浮 10% 6上浮 30% 某机构为了 某一品牌普通 6 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 60 辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型 110 5 5 20 15 5 （ 1）求一辆普通 6 座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的概率； （ 2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损 5000 元，一辆非事故车盈利 10000 元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致 ，完成下列问题： 若该销售商店内有六辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车恰好有一辆为事故车的概率； 若该销售商一次购进 120 辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值 20. 已知椭圆 C ： 22 1 ( 0 )xy 的左、右顶点分别为 ,长轴长为 8， T 为椭圆上一点，直线 ,斜率之积为 34 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设 O 为原点，过点 (0,2)M 的动直线与椭圆 C 交于 , O P O Q M P M Q的取值范围 21. 已知 函数 ( ) x m x ， ( ) ( 0 )1xg x （ 1）当 1m 时，求曲线 ( ) ( )y f x g x 在 1x 处的切线方程； （ 2）讨论函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x在 (0, ) 上的单调性 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，曲线 C 的参数方程为 c o ss a （ 0a ， 为参数），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程3c o s ( )32 （ 1）若曲线 C 与 l 只有一个公共点，求 a 的值； （ 2） , 上的两点，且3，求 的面积最大值 等式选讲 设函数 ( ) | 1 | | 2 1 |f x x x 的最大值为 m （ 1）作出函数 () （ 2）若 2 2 223a c b m ，求 2ab 的最大值 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 4 14. 22 15. 75 16. 83三、解答题 17. （ 1）由已知得：1 4m m S ， 且1 2 2 14m m m ma a S S ， 设数列 d ，则有 2 3 1 4， 2d ， 由 0，得1 ( 1 ) 202 ，即1 11 ( 1 ) 2 1 4ma a m m 5m （ 2）由（ 1）知，1 4a ， 2d ， 26， 23 lo g ，得 32. 32( 6 ) 2 2 2b n n 设数列 ( 6) 前 n 项和为1 0 3 21 2 2 2 ( 1 ) 2 2n n 0 1 2 12 1 2 2 2 ( 1 ) 2 2n n ，得： 1 0 2 12 2 2 2 1 12 (1 2 ) 212n 111222 1*1( 1 ) 2 ( )2n n N 18.（ 1）证明：因为点 F 在平面 的正投影为 G ，则 平面 E ， 又因为 212F， 3， 32 其中 边长为 2 的菱形，且3， 2，则 12 过 G 点作 /D 交 H 点，并连接 E ， 32，且由 14F ，得 32M F ， 易证 / / / /G H F， 平行四边形，即 /H 又因为 平面 /面 （ 2）由上问 /面 则有M D E F G D E ， 又因为 1 1 3 33 3 4 4G D E F F D E G D E G D A F G S F G S 34M . 19.（ 1）一座普通 6 座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为 15 5 160 3 ， （ 2）由统计数据可知，该销售商店内的六辆该品牌车龄已满三年的二手车有两辆事故车，设为12,四辆非事故车设为1 2 3 4, , ,a a a a，从六辆车中随机挑选两辆车共有12( , )1( , )2( , )3( , )4( , ) 21( , )2( , )3( , )4( , )2( , )3( , )4( , )3( , )4( , )4( , )共 15 种情况 . 其中两辆车恰有一辆事故车共有11( , )2( , )3( , )4( , )1( , )2( , )3( , )4( , )共 8 种情况， 所以该顾客在店内随机挑选的两辆车恰好有一辆事故车的概率为 815. 由统计数据可知，该 销售商一次购进 120 辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车 40 辆，非事故车 80 辆，所以一辆车盈利的平均值为 1 ( 5 0 0 0 ) 4 0 1 0 0 0 0 8 0 5 0 0 0120 元 20.（ 1）设 ( , )T x y ，则直线 斜率为1 4yk x ，直线 斜率为2 4yk x 于是由12 34，得 34 4 4，整理得： 22116 12（ 2）当直线 斜率存在时，设直线 方程为 2y ，点 , 2 2( , ), ( , )x y x Q 与椭圆方 程联立，得 22( 4 3 ) 1 6 3 2 0k x k x 所以，12 21643k ，12 23243xx k ， 从而 O P O Q M P M Q 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 2 ) ( 2 ) x x y y x x y y 2 1 2 1 22 (1 ) 2 ( ) 4k x x k x x 228 0 5 243 2820 43k 当直线 率不存在时， O P O Q M P M Q 20 ， 综上所述， O P O Q M P M Q 的取值范围为 20, ) . 21.（ 1）当 1m 时，曲线 ) ( )1f x g x x， 22( 1 l n ) ( 1 ) l n l n 1( 1 ) ( 1 )x x x x x xy ， 1x 时，切线的斜率为 12，又切线过点 (1,0) ， 所以切线方程为 2 1 0 . （ 2） () 21() ( 1)gx x ， 21( ) ( ) ( ) ( 1 )mF x f x g x 22( 1 ) ( 2 1 )( 1 ) ( 1 )m x x m x m x mx x x x 当 0m 时， ( ) 0，函数 ()0, ) 上单调递减 当 0m 时，令 2( ) ( 2 1 )k x m x m x m ， 22( 2 1 ) 4 1 4m m m ， 当 0 时，即 14m， ( ) 0， 此时 ( ) 0，函数 ()0, ) 上单调递增 当 0 时，即 104m， 方程 2 ( 2 1 ) 0m x m x m 有两个不等实根12 12121 2 1 221 所以1201 ，（1(1 2 ) 1 42m ，2(1 2 ) 1 42m ） 此时，函数 (), )x，2( , )x 上单调递增，在12( , ) 综上所述，当 0m 时， ()0, ) 当 104m时， ()1 2 ) 1 4 (1 2 ) 1 4( , )22m m m ，单增区间是 (1 2 ) 1 4( 0 , )2 ， (1 2 ) 1 4( , )2 当 14m时， ()0, ) 22.（ 1）曲线 C 是以 ( ,0)a 为圆心，以 a 为半径的圆， 直线 l 的直角坐标方程为 3 3 0 ， 由直线 l 与圆 C 只有一个公共点，则可得 | 3 |2a a ， 解得： 3a （舍）， 1a ， 所以 1a . （ 2）曲线 C 的极坐标方程为 2 ， ( 0)a 设 A 的极角为 ， B 的极角为3， 则1 | | | | s i A O B 3 | 2 c o s | | 2 c o s ( ) |4323 | c o s c o s ( ) |3a 21 3 1 c o s 2 1 3c o s c o s ( ) c o s s i n c o s s i