国际数学奥林匹克试题分类解析—a数论_a3数字问题

A 整数 A3 数字问题 A3001 在数 3000003 中，应把它的百位数字和万位数字 0 换成什么数字，才能使所得 的数能被 13 整除？ 【题说】 1950 年1951 年波兰数学奥林匹克三试题 2 【解】 设所求数字为 x 和 y，则有 因为 106、10 4、10 2 除以 13 时，分别得余数 1、3、9，所以 n33x9y33（2x3y） （mod 13） 当且仅当 x3y2 被 13 整除，即 x3y213m（m 为自然数） （1） 时，n 被 13 整除由于 x3y2939238 所以 m 只能取 1 或 2 当 m1 时，由方程（1）及 0x，y9，解得 x8，y1；x5，y2；x2，y3 当 m2 时，解得 x9，y 5；x6，y6；x3，y7；x0，y8 故本题共有 7 个解：3080103，3050203，3020303，3090503，3060603，3030703，3000803 A3002 求出所有这样的三位数，使其被 11 整除后的商数等于该三位数各位数字的平方和 【题说】 第二届（1960 年）国际数学奥林匹克题 1本题由保加利亚提供 【解】 设这个三位数除以 11 以后的商为 10ab，其中 a 是商的十位数，b 是商的个位数若 ab10，则原数为 100（a1）10（a b10）b 若 ab10，则原数为 100a10（ab）b 以下对这两种情形分别讨论 先考虑第一种情形由题设有 （a1） 2（a b10） 2b 210a b （1） 若 ab10，则有 （a1） 2（a b10） 2b 2（a 1） 21 （11a） 2 故若（1）式成立，只能有 ab10 将 b10a 代入（1）解得唯一的一组正整数解 a7，b3 再考虑第二种情形此时由题设有 a2（ab） 2b 210a b （2） 若 ab5，则有 a2（ab） 2b 22（a b ）a2b 210ab 故若（2）成立，只能有 ab5注意在（2）式中左边和 10a 都是偶数；因此 b 也是偶 数若 ab5，则 b 只能为 2，将 b2 代入（2）得不到整数解，因此只能有 ab5 将 b5a 代入（2）得唯一的一组正整数解 a5，b0 综上所述，合乎要求的三位数只有 550，803 A3003 下面是一个八位数除以一个三位数的算式，试求商，并说明理由 【题说】 1958 年上海市赛高三题 1 【解】 原式可写成： 其中所有未知数都表示数字，且下标为 1 的未知数都不等于零x 1x2x3 等表示 x1102x 210x 3 等 （1）因为得到商的第一个数字 7 后，同时移下两个数字 a5、a 6，所以 y20，同理 y40 （2）四位数 a1a2a3a4 与三位数 b1b2b3 之差为两位数 c1c2，所以 a11，a 20，b 19，同理， c11，c 20，d 19，于是 a4b 3，b 29，a 30 （3）由 7x1x2x399b 3，所以 x11，x 24990714010，所以 x32，b 34，从而 a4b 34 （4）由 c11，c 20 可知 y37 （5）y 5142 是四位数，所以 x58又因 y5142 的末位数字是 8，所以 y59 于是商为 70709，除数 142，从而被除数为 10040678 A3004 证明：在任意 39 个连续的自然数中，总能找到一个数，它的数字之和被 11 整除 【题说】 1961 年全俄数学奥林匹克八年级题 3 【证】 在任意 39 个连续自然数中，一定有三个数末位数字为 0，而前两个数中一定有一个十 位数字不为 9，设它为 N，N 的数字之和为 n，则 N，N1，N2，N 9，N19 这 11 个 数的数字之和依次为 n，n1，n2，n9，n10，其中必有一个是 11 的倍数 【注】 39 不能改为 38例如 999981 至 1000018 这 38 个连续自然数中，每个数的数字和都不 被 11 整除本题曾被改编为匈牙利 1986 年竞赛题、北京市 1988 年竞赛题 A3005 求有下列性质的最小自然数 n：其十进制表示法以 6 结尾；当去掉最后一位 6 并把它 写在剩下数字之前，则成为 n 的四倍数 【题说】 第四届（1962 年）国际数学奥林匹克题 1本题由波兰提供 【解】 设 n10m 6，则 610pm4（10m6） ，其中 p 为 m 的位数于是 m2（10 p4）/13，要使 m 为整数，p 至少为 5，此时，n153846 A3006 公共汽车票的号码由六个数字组成若一张票的号码前三个数字之和等于后三个数字 之和，则称它是幸运的证明：所有幸运车票号码的和能被 13 整除 【题说】 1965 年全俄数学奥林匹克八年级题 4 【证】 设幸运车票的号码是 A，则 A999999A 也是幸运的，且 AA 因为 AA9999999991001 含因数 13而所有幸运号码都能如此两两配对所以所有幸运号 码之和能被 13 整除 A3007 自然数 k 有如下性质：若 n 能被 k 整除，那末把 n 的数字次序颠倒后得到的数仍能被 k 整除证明：k 是 99 的因子 【题说】 第一届（1967 年）全苏数学奥林匹克十年级题 5 【证】 k 与 10 互质事实上，存在首位为 1 且能被 k 整除的数，把它的数字倒过来也能被 k 整 除，而此数的末位数字为 1 取以 500 开头的且被 k 整除的数：500abcz， （a，b，c ，z 是这个数的数字） ，则以下的数 均被 k 整除： （1）zcba005 （2）和 （3）把（2）中的和倒过来 zcba00010abcz （4）差 由此看出，99 能被 k 整除 A3008 计算由 1 到 109 的每一个数的数字之和，得到 109 个新数，再求每一个新数的数字之 和；这样一直进行下去，直到都是一位数为止那么，最后得到的数中是 1 多，还是 2 多？ 【题说】 1964 年全俄数学奥林匹克八年级题 3考虑整数被 9 除的余数 【解】 一个正整数与其数字之和关于 9 是同余的，故最后所得的一位数为 1 者，是原数被 9 除 余 1 的数，即 1，10，19，999999991 及 109 同理，最后所得一位数为 2 者，原数被 9 除余 2，即 2，11，20，999999992 二者相比，余 1 者多一个数，因此，最后得到的一位数中以 1 为多 A3009 求出具有下列性质的所有三位数 A：将数 A 的数字重新排列，得出的所有数的算术平 均值等于 A 【题说】 第八届（1974 年）全苏数学奥林匹克九年级题 5 由此可得 222（abc ）6（100a 10bc） ，即 7a3b4c，将这方程改写成 7（ab）4（c b） 当 0b2 时，abc ，或 ab4 且 cb7 当 7b9 时，ba4，bc7，从而 A111，222，999，407，518，629，370，481，592 显然这 15 个三位数都合乎要求 A3010 当 44444444 写成十进制数时，它的各位数字之和是 A，而 B 是 A 的各位数字之和，求 B 的各位数字之和（所有的数都是十进制数） 【题说】 第十七届（1975 年）国际数学奥林匹克题 4本题由原苏联提供 【解】 因为 44444444 的位数不超过 4444417776，所以 A177760 B15946，B 的数字和 C4913 由于一个数与它的数字和 mod 9 同余，所以 CBA4444 44447 4444 （7 3） 148171 17817 7（mod 9） 故 C7，即数 B 的各位数字之和是 7 A3011 设 n 是整数，如果 n2 的十位数字是 7，那么 n2 的个位数字是什么？ 【题说】 第十届（1978 年）加拿大数学奥林匹克题 1 【解】 设 n10xy，x、y 为整数，且 0y9，则 n2100x 220xyy 2 20Ay 2（A 为正整数） 因 20A 的十位数字是偶数，所以要想使 n2 十位数字是 7，必须要 y2 的十位数字是奇数，这只有 y216 或 36从而 y2 的个位数字，即 n2 的个位数字都是 6 A3013 下列整数的末位数字是否组成周期数列？ 其中a表示数 a 的整数部分 【题说】 第十七届（1983 年）全苏数学奥林匹克九年级题 4 由于 不循环小数，所以a 2k1 从而 an不是周期数列 在二进制中的末位数字显然，b n 为偶数时，r n0，b n 为奇数时，r n1仿（a）可证r n不是 周期的，从而b n也不是周期数列 A3014 设 an 是 122 2n 2 的个位数字，n1，2， 3，试证：0.a 1a2an是有理数 【题说】 1984 年全国联赛二试题 4 【证】 将（n1） 2， （n2） 2， （n100） 2 这 100 个数排成下表： （n1） 2 （n2） 2 （n10） 2 （n11） 2 （n12） 2 （n20） 2 （n91） 2 （n92） 2 （n100） 2 因 k2 与（k10） 2 的个位数字相同，故表中每一列的 10 个数的个位数字皆相同因此，将这 100 个数相加，和的个位数字是 0 所以，a n100 a n 对任何 n 成立 A3015 是否存在具有如下性质的自然数 n：（十进制）数 n 的数字和等于 1000，而数 n2 的数 字和等于 10002？ 【题说】 第十九届（1985 年）全苏数学奥林匹克八年级题 2 【解】 可用归纳法证明更一般的结论： 对于任意自然数 m，存在由 1 和 0 组成的自然数 n，它的数字和 S（n）m ，而 n2 的数字和 S（n 2）m 2？ 当 m1，n1 时，显然满足要求 设对自然数 m，存在由 1 和 0 组成的自然数 n，使得 S（n）m，S（n 2）m 2 设 n 为 k 位数，取 n1n10 k1 1，则 n1 由 0，1 组成并且 S（n 1）S（n）1m1 S（n 2102k2 ）S （2n10 k1 ）S （1） S（n 2）2S（n）1 m 22m1 （m1） 2 因此命题对一切自然数 m 均成立 这说明 0.a1a2a3是循环小数，因而是有理数 A3017 设自然数 n 是一个三位数由它的三个非零数字任意排列成的所有三位数的和减去 n 等于 1990求 n 【题说】 1989 年芜湖市赛题 3 2090222（abc ）1990n2989 而 209022291998，2221022201990230 2221124421990452，2221226641990674 2221328861990896，2221431082989 经验证：abc 11 时，n452 符合题意 A3018 定义数列a n如下：a 11989 1989，a n 等于 an1 的各位数字之和， a5 等于什么？ 【题说】 第二十一届（1989 年）加拿大数学奥林匹克题 3 【解】 由 a110000 1989b 1，而 b1 的位数是 4198917957，知 a210800080000，所 以 a2 最多是 5 位数，从而 a35945，a 44913，因此 a5 一定是一位数 另一方面，由 9|1989，知 9|a1，因而 9 可整除 a1 的数字和，即 9|a2，又因此有 9|a3， 9|a4，9|a 5所以 a59 A3019 某州颁发由 6 个数字组成的车牌证号（由 09 的数字组成） ，且规定任何两个牌号至 少有两个数字不同（因此，证号“027592”与“020592”不能同时使用） ，试确定车牌证号最多 有多少个？ 【题说】 第十九届（1990 年）美国数学奥林匹克题 1 【解】 至多可造出不同的五位证号 a1a2a3a4a5105 个令 a6 是 a1a 1a 3a 4a 5 的个位数字，所 成的六位数便满足要求因为如果两个数的前五位中只有一个数字不同，那么第 6 位数字必然 不同 另一方面，任何 1051 个 6 位数中，总有两个前五位数字完全相同 因此，符合题目要求的车牌证号最多有 105 个 A3020 设 A9999（81 位全为 9） ，求 A2 的各位数字之和 【题说】 1991 年日本数学奥林匹克预选赛题 1 【解】 由 A10 811 知 A210 162210 811 9998001 162 位 82 位 故 A2 各位数字之和9（162 82）81729 4A3021 如果一个正整数的十进制表示中至少有两个数字，并且每个数字都比它右边的数字 小，那么称它为“上升”的这种“上升”的正整数共有多少个？ 【题说】 第十届（1992 年）美国数学邀请赛题 2 【解】 符合条件的正整数中的数字，都是不同的非零数码，即集合 S1，2，3，9 的二 元或二元以上的子集反过来，S 的每个二元或二元以上的子集，将它的数码从小到大排列， 也得到一个符合条件的正整数S 的子集共有 29 =512 个，其中只含一个元素的子集有 9 个，一个空集故符合条件的正整数共有 51210=502 个 A3023 求方程 的各个正根的乘积的最后三