2017年吉林省延边州高考数学仿真试卷（理科）含答案解析

2017 年吉林省延边州高考数学仿真试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知集合 A=3a， 3， B=a， 4， A B=3，则 A B 等于（ ） A 3， 5 B 3， 4 C 9， 3 D 9， 3， 4 2复数 z 满足 i（ i 为虚数单位），则 z 等于（ ） A i C i D i 3已知向量 ， ，且 | |=2 ， 与 的夹角为 ， （ 3 ），则 | |等于（ ） A 6 B 6 C 12 D 12 4等差数列 前 n 项和为 15， a2+ 2，则公差 d 等于（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 5如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 6某公司在 2012 2016 年的收入与支出情况如表所示： 收入 x（亿元） 出 y（亿元） 据表中数据可得回归直线方程为 =，依次估计如果 2017 年该公司收入为 7 亿元时的支出为（ ） A 元 B 元 C 元 D 元 7已知 a=2 b=c= a， b， c 的大小关系是（ ） A c b a B c a b C a b c D a c b 8若 x， y 满足 ，且当 z=y x 的最小值为 12，则 k 的值为（ ） A B C D 9已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 10设函数 f（ x） =2x+ ）（ x 0， ），若方程 f（ x） =a 恰好有三个根，分别为 则 x2+值为（ ） A B C D 11如图，在三棱柱 ，底面为正三角形，侧棱垂直底面， ，若 E， F 分别是棱 的点，且 1E， 异面直线 成角的余弦值为（ ） A B C D 12设函数 f（ x） = x，若不等式 f（ x） 0 在 2，+ ）上有解 ，则实数 a 的最小值为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . 13若（ 1 2x） 5=a0+ = 14设等比数列 前 n 项和为 ，则 15我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何 ”其意思为 “今有人持金出五关，第 1 关收税金 ，第 2 关 收税金为剩余金的 ，第 3 关收税金为剩余金的 ，第 4 关收税金为剩余金的 ，第 5 关收税金为剩余金的 ， 5 关所收税金之和，恰好重 1 斤，问原来持金多少？ ”若将题中 “5关所收税金之和，恰好重 1 斤，问原来持金多少？ ”改成假设这个原来持金为 x，按此规律通过第 8 关，则第 8 关需收税金为 x 16已知抛物线 y= A， B 是该抛物线上两点，且 |24，则线段 中点 P 离 x 轴最近时点的纵坐标为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17（ 12 分）设 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 c=2 ， （ 1）若 C= ，求 a， b 的值； （ 2）若 ，求 面积 18（ 12 分）如图，在棱柱 ，点 C 在平面 的射影点为的 点 O， C= 0 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 A B 的正弦值 19（ 12 分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇， 2016 年双 11 期间，某网络购物平台推销了 A， B， C 三种商品，某网购者决定抢购这三种商品 ，假设该名网购者都参与了 A， B， C 三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对 A， B， C 三件商品抢购成功的概率分别为 a， b，已知三件商品都被抢购成功的概率为 ，至少有一件商品被抢购成功的概率为 （ 1）求 a， b 的值； （ 2）若购物平台准备对抢购成功的 A， B， C 三件商品进行优惠减免， A 商品抢购成功减免 2百元， 比百元， 百元求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望 20（ 12 分）已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右 焦点分别为 椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成一个等边三角形它的面积为 4 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）已知动点 B（ m， n）（ 0）在椭圆上，点 A（ 0， 2 ），直线 x 轴于点 D，点 B为点 B 关于 x 轴的对称点，直线 x 轴于点 E，若在 y 轴上存在点 G（ 0， t），使得 点 G 的坐标 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =2311x （ 1）求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） （ a 3） 2a 13） x+1 恒成立，求整数 选修 4标系与参数方程选讲 22（ 10 分）已知曲线 极坐标方程为 2，曲线 极坐标方程为，曲线 交于 A、 B 两点 （ ）求 A、 B 两点的极坐标； （ ）曲线 直线 （ t 为参数）分别相交于 M， N 两点，求线段长度 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|2x a|+a （ 1）当 a=3 时，求不等式 f（ x） 6 的解集； （ 2）设函数 g（ x） =|2x 3|， x R， f（ x） +g（ x） 5，求 a 的取值范围 2017 年吉林省延边州高考数学仿真试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知集合 A=3a， 3， B=a， 4， A B=3，则 A B 等于（ ） A 3， 5 B 3， 4 C 9， 3 D 9， 3， 4 【考点】 交集及其运算；并集及其运算 【分析】 利用交集性质求出 a= 3，从而求出集合 A 和 B，由此能求出 A B 【解答】 解： 集合 A=3a， 3， B=a， 4， A B=3， ，解得 a= 3， A= 9， 3， B=3， 4， A B= 9， 3， 4 故选： D 【点评】 本题考查交集、并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用 2复数 z 满足 i（ i 为虚数单位），则 z 等于（ ） A i C i D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： i， 故选： A 【点评】 本题考查复数代数形 式的乘除运算，是基础的计算题 3已知向量 ， ，且 | |=2 ， 与 的夹角为 ， （ 3 ），则 | |等于（ ） A 6 B 6 C 12 D 12 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 【分析】 利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得 | | 【解答】 解： | |=2 ， 与 的夹角为 ， （ 3 ）， （ 3 ） =3 =312 2 | |0， | |=12， 故选： C 【点评】 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础 题 4等差数列 前 n 项和为 15， a2+ 2，则公差 d 等于（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列前 n 项和公式、通项公式列出方程组，由此能求出公差 【解答】 解： 等差数列 前 n 项和为 15， a2+ 2， ， 解得 2， d=4 故选： B 【点评】 本题考查公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 5如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【考点】 程序框图 【分析】 执行程序框图，依次写出每次循环得到的 s， a， n 的值，当 s= 时，不满足条件，退出循环，输出 n 的值即可 【解答】 解： s=0， a=2， n=1； s=2， a= ， n=2； s= ， a= ， n=3； s= 3， a= ； 输出 n=3； 故选： C 【点评】 本题主要考查了算法和程序框图，属于基本知识的考查 6某公司在 2012 2016 年的收入与支出情况如表所示： 收入 x（亿元） 出 y（亿元） 据表中数据可得回归直线方程为 =，依次估计如果 2017 年该公司收入为 7 亿元时的支出为（ ） A 元 B 元 C 元 D 元 【考点】 线性回归方程 【分析】 根据表中数据，计算 、 以及回归系数，写出回归方程， 利用回归方程计算 x=7 时 的值即可 【解答】 解：根据表中数据，计算 = （ =4， = （ =2， =2 4= 回归直线方程为 = 计算 x=7 时 =7 元）， 即 2017 年该公司收入为 7 亿元时的支出为 元 故选： B 【点评】 本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题 7已知 a=2 b=c= a， b， c 的大小关系是（ ） A c b a B c a b C a b c D a c b 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 a=2 1， b=+c=+ 0，可得 b c即可得出 【解答】 解： a=2 1， b=+c=+ 0， b c b c a 故选： D 【点评】 本题考查了对数函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 8若 x， y 满足 ，且当 z=y x 的最小值为 12，则 k 的值为（ ） A B C D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，根据目标是的最小值建 立不等式关系进行求解即可 【解答】 解：由 z=y x 得 y=x+z， 要使 z=y x 的最小值为 12， 即 y=x 12， 则不等式对应的区域在 y=x 12 的上方， 先作出 对应的图象， 由 得 ，即 C（ 12， 0）， 同时 C（ 12， 0）也在直线 y+3=0 上， 则 12k+3=0，得 k= ， 故选： D 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键 9已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图知该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体， 结合图中数据即可求出它的体积 【解答】 解：根据几何体的三视图知， 该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体， 画出直观图如图所示； 则几何体的体积为 V 几何体 =V 三棱柱 +V 三棱锥 = 2+ 2 = 故选： C 【点评】 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目 10设函数 f（ x） =2x+ ）（ x 0， ），若方程 f（ x） =a 恰好有三个根，分别为 则 x2+值为（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由 x 0， 求出 2x+ 的范围，由正弦函数的图象画出函数的大致图象，由函数的图象，以及正弦图象的对称轴求出 x1+x2+值，即可求出 x2+值 【解答】 解：由题意 x 0， ，则 2x+ ， ， 画出函数的大致图象： 由图得，当 时，方程 f（ x） =a 恰好有三个根， 由 2x+ = 得 x= ，由 2x+ = 得 x= ， 由图知，点（ 0）与点（ 0）关于直线 对称， 点 （ 0）与点（ 0）关于直线 对称， x1+， x2+， 即 x2+ = ， 故选 C 【点评】 本题考查正弦函数的图象，以及正弦函数图象对称性的应用，考查整体思想，数形结合思想 11如图，在三棱柱 ，底面为正三角形，侧棱垂直底面， ，若 E， F 分别是棱 的点，且 1E， 异面直线 成角的余弦值为（ ） A B C D 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 以 C 为原点， x 轴，在平面 过作 垂线为 y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 成角的余弦值 【解答】 解以 C 为原点， x 轴，在平面 过作 垂线为 y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 在三棱柱 ，底面为正三角形，侧棱垂直底面， ， ， E， F 分别是棱 的点，且 1E， 4， 0， 6）， E（ 2， 2 ， 3）， F（ 0， 0， 4）， A（ 4， 0， 0）， =（ 2， 2 ， 3）， =（ 4， 0， 4）， 设异面直线 成角所成角为 ， 则 = = 异面直线 成角的余弦值为 故选： D 【点评】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 12设函数 f（ x） = x，若不等式 f（ x） 0 在 2，+ ）上有解，则实数 a 的最小值为（ ） A B C D 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 依题意，可得 2a x 2），构造函数 g（ x） = = ， 利用导数法可求得 g（ x）的极小值 g（ 1） =1+ 6+2 = ，也是最小值，从而可得答案 【解答】 解： f（ x） = x 0 在 2， + ）上有解 2 x 在 2， + ）上有解 2a x 2） 令 g（ x） = = ， 则 g（ x） =3x 6 =（ x 1）（ 3x+6+ ）， x 2， + ）， 当 x 2， 1）时， g（ x） 0， g（ x）在区间 2， 1）上单调递减； 当 x （ 1， + ）时 g（ x） 0， g（ x）在区间（ 1， + ）上单调递增； 当 x=1 时， g（ x）取得极小值 g（ 1） =1+ 6+2 = ，也是最小值， 2a ， a 故选： C 【点评】 本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想，突出分离参数法、构造法与导数法的综合运用，属于难题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . 13若（ 1 2x） 5=a0+ = 2 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 由通项公式可得： = （ 2x） r=（ 2） r 别令 r=3， r=2，即可得出 【解答】 解：由通项公式可得： = （ 2x） r=（ 2） r r=3，则 = 80；令 r=2，则 =40 = = 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14设等比数列 前 n 项和为 ，则 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， ， q= ， =2，解得 则 = 故答案为： 【点评】 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 15我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何 ”其意思为 “今有人持金出五关，第 1 关收税金 ，第 2 关收税金为剩余金的 ，第 3 关收税金为剩余金的 ，第 4 关收税金为剩余金的 ，第 5 关收税金为剩余金的 ， 5 关所收税金之和，恰好重 1 斤，问原来持金多少？ ”若将题中 “5关所收税 金之和，恰好重 1 斤，问原来持金多少？ ”改成假设这个原来持金为 x，按此规律通过第 8 关，则第 8 关需收税金为 x 【考点】 数列的应用 【分析】 第 1 关收税金： x；第 2 关收税金： （ 1 ） x= x；第 3 关收税金： （ 1 ） x= x； ，可得第 8 关收税金 【解答】 解：第 1 关收税金： x；第 2 关收税金： （ 1 ） x= x；第 3关收税金： （ 1 ） x= x； ，可得第 8 关收税金： x，即 x 故答案为： 【点评】 本题考查了数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 16已知抛物线 y= A， B 是该抛物线上两点，且 |24，则线段 中点 P 离 x 轴最近时点的纵坐标为 8 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求得抛物线的焦点坐标，由三角形的性质丨 丨 +丨 利用抛物线的性质可知 y1+16，根据中点坐标可得线段 中点 P 离 x 轴最近时点的纵坐标 【解答】 解：抛物线的标准方程 6y，焦点 F（ 0， 4），设 A（ B（ 由丨 丨 +丨 =（ ） +（ ） =y1+ y1+16，则线段 中点 P 点的纵坐标 y= 8， 线段 中点 P 离 x 轴最近时点的纵坐标 8， 故答案为： 8 【点评】 本题考查抛物线的简单几何性质，三角形的两边之和大于第三条边，考查数形结合思想，属于中档题 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17（ 12 分）（ 2017延边州模拟）设 内角 A， B， C 的对边分别为 a，b， c，若 c=2 ， （ 1）若 C= ，求 a， b 的值； （ 2）若 ，求 面积 【考点】 正弦定 理 【分析】 （ 1）由已知及正弦定理可得 b=2a，利用余弦定理可求 a 的值，进而可求 b； （ 2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 b=2a，利用余弦定理可解得 c=2a，从而可求 a， b，利用三角形面积公式即可计算得解 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1） C= ， 由正弦定理可得： b=2a， 2 分 c=2 ， 由余弦定理可得： c2=a2+2： 12=2 解得： a=2， b=46 分 （ 2） ， = ， 又 b=2a， 由余弦定理可得： c2=a2+2得： c=2a， 9 分 c=2 ，可得： a= ， b=2 ， S = 12 分 【点评】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18（ 12 分）（ 2017延边州模拟）如图，在棱柱 ，点 C 在平面 的射影点为的 点 O， C= 0 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 A B 的正弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）推导出 1而 平面由 证明 平面 （ 2）以 C 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A B 的正弦值 【解答】 证明：（ 1） 点 C 在平面 内的射影点为 中点 O， C， 1 O 为 中点， ， 平面 平面 解：（ 2）以 C 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 设 ，则 ， ， ， = ， 则 C（ 0， 0， 0）， ， ）， A（ 1， 0， 0）， B（ 0， 1， 0）， =（ ， ）， =（ 1， 0， 0）， =（ 0， 1， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 y= ，得 =（ 0， ）， 同理得平面 法向量 =（ ）， 设二面角 A B 的平面角为 ， 则 = = ， 二面角 A B 的正弦值为 【点评】 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 19（ 12 分）（ 2017延边州模拟）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇， 2016 年双 11 期间，某网络购物平台推销了 A， B， C 三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了 A， B， C 三种商品的 抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对 A， B， C 三件商品抢购成功的概率分别为 a， b， ，已知三件商品都被抢购成功的概率为 ，至少有一件商品被抢购成功的概率为 （ 1）求 a， b 的值； （ 2）若购物平台准备对抢购成功的 A， B， C 三件商品进行优惠减免， A 商品抢购成功减免 2百元， 比百元， 百元求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）由题意利用相互独立及其对立事 件的概率计算公式可得 （ ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量 X（单位：百元），则 ， 2， 4， 6， 8， 10， 12再利用相互独立事件的概率计算公式即可得出 【解答】 解：（ ）由题意，得 ， 因为 a b，解得 （ 4 分） （ ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量 X（单位：百元）， 则 X 的值可以为 0， 2， 4， 6， 8， 10， 12 而 ； ； ； ； （ 9分） 所以 X 的 分布列为： X 0 2 4 6 8 10 12 P 于是有 （ 12分） 【点评】 本题考查了相互独立及其对立事件的概率计算公式、分布列及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20（ 12 分）（ 2017延边州模拟）已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成一个等边三角形它的面积为 4 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）已知动点 B（ m， n）（ 0）在椭圆上，点 A（ 0， 2 ），直线 x 轴 于点 D，点 B为点 B 关于 x 轴的对称点，直线 x 轴于点 E，若在 y 轴上存在点 G（ 0， t），使得 点 G 的坐标 【考点】 直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）利用椭圆的短轴的一个端点和两个焦点构成等边三角形的三个顶点，它的面积为 4 建立方程关系，求出 a， b，即可得椭圆方程 （ 2）设 D（ 0）， E（ 0）由 A， D， B，三点共线得 同理可得 又 由于，故 【解答】 解：（ 1）由已知得 ， ， 椭圆 C 的方程： （ 2）设 D（ 0）， E（ 0） 由 A， D， B，三点共线得 ，即 同理可得 又 2 ，且 n 0， ， 由于 ， ， t= 4，点 G 的坐标为（ 0， 4） 【点评】 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，方程思想是解题的关键，属于中档题 21（ 12 分）（ 2017榆林二模）已知函数 f（ x） =2311x （ 1）求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） （ a 3） 2a 13） x+1 恒成立，求整数 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出原函数的导函数，得到 f（ 1），进一步求出 f（ 1），代入直线方程的点斜式，化简可得曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）令 g（ x） =f（ x）（ a 3） 2a 13） x 1=2 2 2a） x 1，求其导函数 g（ x） = 可知当 a 0 时， g（ x）是（ 0， + ）上的递增函数结合 g（ 1） 0，知不等式 f（ x） （ a 3） 2a 13） x+1 不恒成立；当 a 0 时， g（ x） = 求其零点，可得 g（ x）在（ 0， ）上是增函数，在（ ， + ）上是减函数得到函数 g（ x）的最大值为 g（ ） = 0令 h（ a） = 由单调性可得 h（ a）在（ 0， + ）上是减函数，结合 h（ 1） 0，可得整数 a 的最小值为 1 【解答】 解：（ 1） f（ x） = ， f（ 1） = 15， f（ 1） = 14， 曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为： y 14= 15（ x 1），即y= 15x+1； （ 2）令 g（ x） =f（ x）（ a 3） 2a 13） x 1=2 2 2a） x 1， g（ x） = 当 a 0 时， x 0， g（ x） 0，则 g（ x）是（ 0， + ）上的递增函数 又 g（ 1） = a+2 2a 1=1 3a 0， 不等式 f（ x） （ a 3） 2a 13）x+1 不恒成立； 当 a 0 时， g（ x） = 令 g（ x） =0，得 x= ， 当 x （ 0， ）时， g（ x） 0；当 x （ ， + ）时， g（ x） 0 因此， g（ x）在（ 0， ）上是增函数，在（ ， + ）上是减函数 故函数 g（ x）的最大值为 g（ ）