2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A= 1， 0， 1， 2，集合 B=y|y=2x 3， x A，则 A B 中元素的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 2已知点 A（ 0， 1）， B（ 3， 2），向量 ，则向量 =（ ） A（ 10， 7） B（ 10， 5） C（ 4， 3） D（ 4， 1） 3若直线 y+m=0 与直线 3 m 1） y+7=0 平行，则 m 的值为（ ） A 7 B 0 或 7 C 0 D 4 4 已 知 命 题 p ： x ， y R ， x+y ） =命题，则下列判断正确的是（ ） A命题 p q 是假命题 B命题 p q 是真命题 C命题 p （ q）是假命题 D命题 p （ q）是真命题 5曲线 与 的交点横坐标所在区间为（ ） A B C D 6阅读图的程序框图，运行相应的程序，当输入 x 的值为 36 时，输出 x 的值为（ ） A 0 B 1 C 3 D 15 7如果实数 x、 y 满足条 件 ，那么 2x y 的最大值为（ ） A 2 B 1 C 2 D 3 8清代著名数学家梅彀成在他的增删算法统宗中有这样一歌谣： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”其译文为： “远远望见 7 层高的古塔，每层塔点着的灯数，下层比上层成倍地增加，一共有 381盏，请问塔尖几盏灯？ ”则按此塔各层灯盏的设置规律，从上往下数第 4 层的灯盏数应为（ ） A 3 B 12 C 24 D 36 9连续掷两次骰子，以先后得到的点数 m， n 为点 P 的坐标（ m， n），那么点 x2+7 内 部（不包括边界）的概率是（ ） A B C D 10某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的棱长为（ ） A B 1 C 2 D 11已知抛物线 y=x a 1（ a R），恒过第三象限上一定点 A，且点 A 在直线 3mx+=0（ m 0， n 0）上，则 的最小值为（ ） A 4 B 12 C 24 D 36 12已知函数 f（ x） =| x ， ）， g（ x）为 4， 4上的奇函数，且，设方程 f（ f（ x） =0， f（ g（ x） =0， g（ g（ x） =0的实根的个数分别为 m、 n、 t，则 m+n+t=（ ） A 9 B 13 C 17 D 21 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上 13已知函数 f（ x） =，若 f（ a） =8，则 f（ a） = 14已知数列 任意的 n N*都有 =2 ，则 15已知 顶点都在球 O 的球面上， ， ， 0，三棱锥 O 0 ，则该球的表面积等于 16已知双曲线 右焦点为 F， P 为双曲线左支上一点，点 ，则 长的最小值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知：复数 a+c） i， +2i，且 z1=中 A、 B、C 为 内角， a、 b、 c 为角 A、 B、 C 所对的边 （ ）求角 B 的大小； （ ） 若 ，求 面积 18如图，在直三棱柱 ， C=， D 为 的点， 平面 （ ）求证： 平面 （ ）若 ，且 D=1，求三棱锥 A 体积 19某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量 X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知 X 0， 120），历年中日泄流量在区间 30， 60）的年平均天数为 156，一年按 364 天计 （ ）请把频率分布直方图补充完整； （ ）已知一台小型发电机，需 30 万立方米以上的日泄流量才能运行，运行一天可获利润为 4000 元，若不运行，则每天亏损 500 元；一台中型发电机，需 60万立方米以上的日泄流量才能运行，运行一天可获利 10000 元，若不运行，则每天亏损 800 元；根据历年日泄流量的水文资料，水电站决定安装一台发电机，为使一年的日均利润值最大，应安装哪种发电机？ 20已知椭圆 的离心率为 ，点 M， N 是椭圆 C 上的点，且直线 斜率之积为 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设动点 P（ 足 = +2 ，是否存在常数 ，使得 P 是椭圆上的点 21 已知函数 （ a R） （ ）若函数在区间 上单调递减，求实数 a 的取值范围； （ ）试讨论函数 f（ x）在区间（ 0， + ）内极值点的个数 选修 4标系与参数方程 22已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）以原点 O 为极点， （ 1）求曲线 C 的极坐标方程； （ 2）若直线 l： =（ 0， ）， R）与曲线 C 相交于 A， B 两点，设线段中点为 M，求 |最大值 选修 4等式选讲 23设函数 f（ x） =a（ x 1） （ ）当 a=1 时，解 不等式 |f（ x） |+|f（ x） | 3x； （ ）设 |a| 1，当 |x| 1 时，求证： 2017 年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A= 1， 0， 1， 2，集合 B=y|y=2x 3， x A，则 A B 中元素的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 交集及其运算 【分析】 有题目给出的已知条件，用列举法表示出集合 B，取交集运算后答案可求 【解答】 解：由 A= 1， 0， 1， 2，集合 B=y|y=2x 3， x A= 5， 3，1， 1 所以 A B= 1， 1 所以 A B 中元素的个数为 2 故选 B 2已知点 A（ 0， 1）， B（ 3， 2），向量 ，则向量 =（ ） A（ 10， 7） B（ 10， 5） C（ 4， 3） D（ 4， 1） 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 根据题意，由点 A、 B 的坐标，计算可得向量 的坐标，又由 = + ，代入坐标计算可得答案 【解答】 解：根据题意，点 A（ 0， 1）， B（ 3， 2）， 则向量 =（ 3， 1）， 又由 ， 则向量 = + =（ 4， 3）； 故选： C 3若直线 y+m=0 与直线 3 m 1） y+7=0 平行，则 m 的值为（ ） A 7 B 0 或 7 C 0 D 4 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 由 m（ m 1） =3m 2，求出 m 值，再进行检验即可 【解答】 解： 直线 y+m=0 与直线 3 m 1） y+7=0 平行， m（ m 1） =3m 2， m=0 或 7， 经检验都符合题意 故选： B 4 已 知 命 题 p ： x ， y R ， x+y ） =命题，则下列判断正确的是（ ） A命题 p q 是假命题 B命题 p q 是真命题 C命题 p （ q）是假命题 D命题 p （ q）是真命题 【考点】 复合命题的真假 【分析】 分别判断出 p， q 的真假，从而判断出复合命题的真假即可 【解答】 解：令 x=0， y= ，显然满足 x+y） = 故命题 p 是真命题； x 0， ， ， 故命题 q 是假命题， 故命题 p （ q）是真命题， 故选： D 5曲线 与 的交点横坐标所在区间为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 方法一：分别画出 与 的图象，由图象，结合各选项即可判断 方法二：构造函数，利用函数零点存在定理，即可判断 【解答】 解：方法一：分别画出 与 的图象，如图所示， 由图象可得交点横坐标所在区间为（ ， ）， 方法二：设 f（ x） =（ ） x x ， f（ ） =（ ） 0， f（ ） =（ ） （ ） 0， f（ ） f（ ） 0， 根据函数零点存在定理可得点函数零点所在区间为（ ， ）， 即交点横坐标所在区间为（ ， ）， 故选： B 6阅读图的 程序框图，运行相应的程序，当输入 x 的值为 36 时，输出 x 的值为（ ） A 0 B 1 C 3 D 15 【考点】 程序框图 【分析】 根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当 |x| 1 时跳出循环，输出结果 【解答】 解：当输入 x= 36 时， |x| 1，执行循环， x=6 2=4； |x|=4 1，执行循环， x=2 2=0， |x|=0 1，退出循环， 输出的结果为 x=1 1=0 故选： A 7如果实数 x、 y 满足条件 ，那么 2x y 的最大值为（ ） A 2 B 1 C 2 D 3 【考点】 简单 线性规划的应用 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=2x y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可 【解答】 解：先根据约束条件画出可行域， 当直线 2x y=t 过点 A（ 0， 1）时， t 最大是 1， 故选 B 8清代著名数学家梅彀成在他的增删算法统宗中有这样一歌谣： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”其译文为： “远远望见 7 层高的古塔，每层塔点着的灯数，下层比上层成倍地增加，一共有 381盏，请问塔尖几盏灯？ ”则按 此塔各层灯盏的设置规律，从上往下数第 4 层的灯盏数应为（ ） A 3 B 12 C 24 D 36 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以 首项，以 2 为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得 可求出 【解答】 解：依题意知，此塔各层的灯盏数构成公比 q=2 的等比数列，且前 7项和 81， 由 ，解得 ， 故 故选： C 9连续掷两次骰子，以先后得到的点数 m， n 为点 P 的坐标（ m， n），那么点 x2+7 内部（不包括边界）的概 率是（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 基本事件总数 N=6 6=36，再利用列举法求出点 P 在圆 x2+7 内部（不包括边界）包含的基本事件个数，由此能求出点 P 在圆 x2+7 内部（不包括边界）的概率 【解答】 解：连续掷两次骰子，以先后得到的点数 m， n 为点 P 的坐标（ m， n）， 基本事件总数 N=6 6=36， 点 P 在圆 x2+7 内部（不包括边界）包含的基本事件有： （ 1， 1），（ 1， 2），（ 1， 3），（ 2， 1），（ 2， 2），（ 2， 3） ，（ 3， 1），（ 3， 2），共 8个， 点 P 在圆 x2+7 内部（不包括边界）的概率是 p= = 故选： D 10某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的棱长为（ ） A B 1 C 2 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 依题意知该工件为圆锥，底面半径为 ，高为 2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体 【解答】 解：依题意知该工件为圆锥，底面半径为 ，高为 2， 要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为 2x，则有 ，解得 ，故 2x=1，即新工件棱长为 1 故选 B 11已知抛物线 y=x a 1（ a R），恒过第三象限上一定点 A，且点 A 在直线 3mx+=0（ m 0， n 0）上，则 的最小值为（ ） A 4 B 12 C 24 D 36 【考点】 基本不等式；二次函数的性质 【分析】 抛物线 y=x a 1（ a R），恒过第三象限上一定点 A，得到 A（1， 3），再把点 A 代入直线方程得到 m+n= ，再把 “1”整体代入所求的式子，利用基本不等式求出最小值 【解答】 解：抛物线 y=x a 1（ a R），恒过第三象限上一定点 A， A（ 1， 3）， ， 又 = = =12，当且仅当 m=n 时等号成立 故选： B 12已知函数 f（ x） =| x ， ）， g（ x）为 4， 4上的奇函数，且，设方程 f（ f（ x） =0， f（ g（ x） =0， g（ g（ x） =0的实根的个数分别为 m、 n、 t，则 m+n+t=（ ） A 9 B 13 C 17 D 21 【考点】 正弦函数的图象 【分析 】 根据 x ， 时函数 f（ x） =|值域为 0， 1， 由函数 g（ x）的图象与性质得出其值域为 4， 4， 由方程 f（ x） =0 的根得出方程 f（ f（ x） =0 根的个数 m； 求出方程 f（ g（ x） =0 的实根个数 n； 由方程 g（ x） =0 的实根情况得出方程 g（ g（ x） =0 的实根个数 t； 从而求出 m+n+t 的值 【解答】 解：因 x ， ，所以函数 f（ x） =|值域为 0， 1， 函数 g（ x） = 的图象如图示， 由图象知，其值域为 4， 4， 注意到方程 f（ x） =0 的根为 0， ， ， 所以方程 f（ f（ x） =0 的根为方程 f（ x） =0 或 f（ x） = ， f（ x） = 的根， 显然方程 f（ x） =0 有 3 个实根， 因 ， 0， 1，所以 f（ x） = ，与 f（ x） = 均无实根； 所以方程 f（ f（ x） =0 的实根的个数为 3，即 m=3； 方程 f（ g（ x） =0 的实根为方程 g（ x） =0 或 g（ x） = ， g（ x） = 的根， 方程 g（ x） = ， g（ x） = 各有 3 个根，同时方程 g（ x） =0 也有 3 个根， 从而方程 f（ g（ x） =0 根的个数为 9，即 n=9； 方程 g（ x） =0 有三个实根 3、 0、 3， 方 程 g（ g（ x） =0 的实根为方程 g（ x） = 3 或 g（ x） =0 或 g（ x） =3 的根， 方程 g（ x） = 3 或 g（ x） =3 各有 3 个根，同时方程 g（ x） =0 也有 3 个根， 从而方程 g（ g（ x） =0 根的个数为 9，即 t=9； 综上， m+n+t=3+9+9=21 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上 13已知函数 f（ x） =，若 f（ a） =8，则 f（ a） = 6 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 本题利用函数的奇偶性，得到函数解析式 f（ x）与 f（ x）的关系，从面通过 f（ a）的值求出 f（ a）的值，得到本题结论 【解答】 解： 函数 f（ x） =， f（ x） =a（ x） 3+b（ x） +1= ， f（ x） +f（ x） =2， f（ a） +f（ a） =2 f（ a） =8， f（ a） = 6 故答案为 6 14已知数列 任意的 n N*都有 =2 ，则 【考点】 数列递推式 【分析】 由 =2 ，利用等差数列的通项公式即可得出 【解答】 解：由 =2 ， 故数列 是 ，公差 d=2 的等差数列， ， 故答案为： 15已知 顶点都在球 O 的球面上， ， ， 0，三棱锥 O 0 ，则该球的表面积等于 400 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 求出 在圆面的半径为 ，则由 得三棱锥的高 h=5 ，设球 O 的半径为 R，则由 2= R=10， 【解答】 解：依题意知 直角三角形，其所在圆面的半径为 ， 设三棱锥 O 高为 h，则由 得 h=5 ， 设球 O 的半径为 R，则由 2= R=10，故该球的表面积为 400 故答案为 400 16已知双曲线 右焦点为 F， P 为双曲线左支上一点，点 ，则 长的最小值为 4（ 1+ ） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 周长 l=|2a+|+|要 周长最小，只需 |最小，如图，当 A、 P、 F 三点共线时取到，即可得出结论 【解答】 解：由题意，点 ， 周 长l=|2a+|+|要 周长最小，只需 |最小， 如图，当 A、 P、 F 三点共线时取到， 故 l= 故答案为： 4（ 1+ ） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知：复数 a+c） i， +2i，且 z1=中 A、 B、C 为 内角， a、 b、 c 为角 A、 B、 C 所对的边 （ ）求角 B 的大小； （ ） 若 ，求 面积 【考点】 三角形中的几何计算 【分析】 （ ）根据复数相等得到 2+2据两角和余弦公式和诱导公式，即可求出 B 的大小； （ ）由余弦定理可以及 a+c=4，可得 根据三角形的面积公式计算即可 【解答】 解：（ ） z1= 2+2 ， a+c=4 ， 由 得 2（ = 1 即 ， ， 0 B ； （ ） ，由余弦定理得 b2=a2+2a2+， ， 由 得 a2+6 由 得 ， = 18如图，在直三棱柱 ， C=， D 为 的点， 平面 （ ）求证： 平面 （ ）若 ，且 D=1，求三棱锥 A 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）连结 明： 可证明 平面 （ ）若 ，且 D=1，利用体 积公式求三棱锥 A 体积 【解答】 （ ）证明：连结 平面 平面 D， 平面 E 为 点， D 为 点， C， ， 由 平面 平面 ， 由 及 平面 的两条相交直线， 得 平面 （ ）解：由 得 ， 由（ ）知 ，又 A=1 得 ， = 19某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量 X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知 X 0， 120），历年中日泄流量在区间 30， 60）的年平均天数为 156，一年按 364 天计 （ ）请把频率分布直方图补充完整； （ ）已知一台小型发电机，需 30 万立方米以上的日泄流量才能运行，运行一天可获利润为 4000 元，若不运行，则每天亏损 500 元；一台中型发电机，需 60万立方米以上的日泄流量才能运行，运行一天可获 利 10000 元，若不运行，则每天亏损 800 元；根据历年日泄流量的水文资料，水电站决定安装一台发电机，为使一年的日均利润值最大，应安装哪种发电机？ 【考点】 频率分布直方图 【分析】 （ ）根据频率，组距的关系求出 a 的，再画图即可， （ ）根据不同泄流量，分别安装运行一台小型发电机或一台小型发电机的利润，比较即可 【解答】 解：（ ）在区间 30， 60）的频率为 ， ， 设在区间 0， 30）上， ， 则 ， 解得 ， 补充频率分布直方图如右； （ ）当日泄流量 X 30（万立方米）时，小型发电机可以运行，则一 年中一台小型发电机可运 行的天数为： （天）； 当日泄流量 X 60（万立方米）时，中型发电机可以运行，则一年中一台中型发电机可运行的天数为： （天）； 若 运 行 一 台 小 型 发 电 机 ， 则 一 年 的 日 均 利 润 值 为 ：（或 ）（元） 若 运 行 一 台 中 型 发 电 机 ， 则 一 年 的 日 均 利 润 值 为 ：（或 ）（元） 因为 ，故为使水电站一年的日均利润值最大，应安装中型发电机 20已知椭圆 的离心率为 ，点 M， N 是椭圆 C 上的点，且直线 斜率之积为 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设动点 P（ 足 = +2 ，是否 存在常数 ，使得 P 是椭圆上的点 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）由椭圆 的离心率为 ，求出 a=2，由此能求出椭圆的标准方程 （ ）设 M（ N（ 则由 = ，得 x0=y0=点 M， N 在椭圆 =1 上，由直线 斜率之积为 ，由此能求出存在常数 =5，使得 P 点在椭圆 上 【解答】 解：（ ） 椭圆 的离心率为 ， e= ，解得 ， 又 ，解得 a=2， 故椭圆的标准方程为 =1 （ ）设 M（ N（ 则 由 = ， 得 x0=y0= 又点 M， N 在椭圆 =1 上， ， ， 设 别为直线 斜率，由题意知： = ， ， = ， 因此，存在常数 =5，使得 P 点在椭圆 上 21已知函数 （ a R） （ ）若函数在区间 上单调递减，求实数 a 的取值范围； （ ）试讨论函数 f（ x）在区间（ 0， + ）内极值点的个数 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）由题意可知 f（ x） = + 0， a ，则构造辅助函数，求导，根据函数函数的单调性即可求得 最大值，即可求得实数 a 的取值范围； （ ）方法 1：构造辅助函数， g（ x） = ，求导 g（ x） = ，根据函数的单调性即可求得 g（ x）最小值，根据函数的单调性及极值的判断求得函数的 f（ x）的极值点的个数；方法 2：分类讨论，根据当 a 1 时，根据函数的单调性f（ x）在区间（ 0， + ）递增， f（ x）无极值，当 a 1 时，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性与极值的关系，即可求得 f（ x）的极值个数 【解答】 解：（ ）由题意可知：对 x ， f（ x） = + 0， 即 a ，对 x 恒成立， 令 g（ x） = ，求导 g（ x） = ， 当 0 x 1 时， g（ x） 0，当 x 1， g（ x） 0， 函数 g（ x）在 ， 1上单调递减，在（ 1， e上单调递增， g（ ） = ， g（ e） =1，由 1 ， 在区间 上 g（ x） 1， a 1， （ ）解法 1：由 f（ x） = + = = ， g（ x） = ， g（ x） = ， 当 0 x 1 时， g（ x） 0，当 x 1 时， g（ x） 0， 函数 g（ x）在（ 0， 1）单调递减，在（ 1， + ）单调递增， g（ x） g（ 1） =e， 当 a e 时， g（ x） a 恒成立， f（ x） 0， 函数 f（ x）在区间（ 0， + ）单调递增， f（ x）无极值点， 当 a e 时， g（ x） g（ 1） =e a， 故存在 （ 0， 1）和 （ 1， + ），使得 g（ =g（ =a， 当 0 x f（ x） 0，当 x ， f（ x） 0，当 x f（ x） 0， 函数 f（ x）在（ 调递减，在（ 0， （ + ）， 函数 f（ x）的极大值点， 函数 f（ x）的极小值 点， 综上可知； a e 时，函数 f（ x）无极值点，当 a e 时，函数 f（ x）有两个极值点 方法 2： f（ x） = ，设 h（ x） =x 0），则 h（ x） =a，由 x 0，1， （ 1）当 a 1 时， h（ x） 0， h（ x）递增， h（ x） h（ 0） =1， 则 f（ x） 0， f（ x）递增， f（ x）在区间（ 0， + ）内无极值； （ 2）当 a 1 时，由 h（ x） =a 0，则 x 可知 h（ x）在（ 0， 递减，在（ + ）单调递增， h（ x） h（ =a（ 1 当 1 a e 时， h（ x） h（ x） 0， 则 f（ x） 0， f（ x）单调递增， f（ x）在区间（ 0， + ）内无极值； 当 a e 时， h（ x） 0，