不动点法求数列的通项

不动点法求数列的通项 记函数 f(x)的定义域为 D，若存在 D，使 f( )成立，则称 （ ， ）为坐标的点为函数 f(x)图象上的不动点。以此类推，在数列a n中， an+1=f(an) (n N+)，若存在 满足方程 f( )，称 为不动点方程 f( ) 的根。下面介绍的一些数列，可先求生成函数（递推式）的不动点，通过换元 后，化为等比数列，再求这些数列的通项，这一方法，我们不妨称为不动点法。 一、递推式为 an+1=aan+b(a 0,a 1,a,b 均为常数)型的数列 由递推式 an+1=aan+b 总可变形为 an+1 =a（a n ） （） （） 式中的 与系数 a,b 存在怎样的关系呢？ 由（）得 an+1=aan a b= a 即 a +b （） 关于 的方程（）刚好是递推式 an+1=aan+b 中的 an， an+1都换成 得到的 不动点方程。 令 bn=an 代入（）得 bn+1=abn 一般来说，可先求等比数列b n的通项，再求数列a n的通项。 例：在数列a n中，已知 a1=1,an+1=1 an (n N+),求 a 。21limn 解：令 x=1 x 得 x=213 an+1 =1 an = (an )23 令 bn=an ，则 bn+1= bn1 数列b n成首项为 b1=a1 =1 = ，公比为 q 的等比数列，于21 是有 bn= ( )n 1即 an ( )n13232 2 a n= 1 ( )n321 a =limn 二、递推式为 an+1= （c 0,a,b,c,d 为常数）型的数列dbn an+1 = =cncadn)( dca bn)( 令 可化得db （）ca 关于 的方程（）刚好是递推式 an+1= 中的 an，a n+1都换成 后的dcbn 不动点方程。 当方程（）有两个不同根 ， 时，有 1 an+1 dcan)(11 an+1 n)(22 21n21c21na 令 bn= 有 bn bn2a21 一般来说，可先求等比数列b n的通项，后求数列a n的通项。 例：数列a n由 a =2，a n+1= （n1）给出，求 a 。131n limn 解：令 x= ,得 x1 =1,x2 =-1，于是有3 an+1- 1 = 3)(nna 3 an+1+1 = 3)1(43nna = 1n21n 设 bn= ,则 bn+1 = bna 这样数列b n成首项为 b1 = = ,公比为 的等比数列, 于是 bn = a32131 ,1)2(n 由 bn= 得 an= =b11)2(3n a =1limn 当方程（）出现重根同为 时， 2 由 an+1 得dcan)( 1n )(nc)(nacd 设 cn= 得 cn cnaad 即数列c n的递推式总可化为“c n ac n+b （a，b 为常数）型” ，又一 次运用不动点法求得数列c n的通项，从而求数列a n的通项。 例:在数列a n中，a n=1, a = (n=1,2)。求 a 。12n n 解：令 x= ,得 x1=x2=0 设 bn= ,则由 a = 可得 b =bn+11nn12 b n成为首项为 1,公差为 的等差数列,于是2 4 b =1+n21 a = 需要指出的是，上述方法同样适用于方程（）两根不同的情形。对例 ，可设 cn= （或 cn= ） ，我们运用上述方法来求数列a n的通项。1a1 例另解：令 x= ,得 x1 =1,x2 =-1，于是有3 an+1- 1 = )(nna = = +1n)1(23n2n 令 bn= ，则 b1= =1，b n+1=2bn+ aa21 令 2 + 得 2 bn+1+ =2bn+ + =2(bn+ ) b n + 成首项为 b1+ = ，公比为的等比数列，于是有 bn+ =21321 2n-123 b n= 2n-1- = (32n-1-1)3 代入 bn= 得 an=1+ =1+ =1+1b123n1)2(3n a =1limn 三、递推式为 an+1= (b,d 为常数)型的数列dbn2 先看 2007 年普通高考广东数学理科卷压轴题第 21 题： 已知函数 f (x)=x2+x1, , 是方程 f(x)的两个根（）, 5 f/（x）是 f (x)的导数，a 1 =1,an+1=an (n=1,2)(naf (1) 求 , 的值; (2) 证明:对任意的正整数 n,都有 an ; (3) 记 b n =ln (n=1,2), 求数列b n的前 n 项和 sn 。na 这道题第(3)小题可以按如下来求 b n: an+1= = =12n12na2512 5)(2nna = = () )51(na)(2n 同理 an+1 = = ()12n12)(na ()()得: = 于是得1n2)(n ln =2 ln1nana 设 bn= ln ,则 bn+1=2bn，故数列b n成首项为 b1=ln =4lnn 25 ，251 公比为 2 的等比数列,故 b n=2n+1 ln ，当然由 bn=2ln 可求 a 251)251(na n 。 6 方程 f (x)=x2+x1=0 的两根 , 与递推式 an+1=an = 有)(naf12 何关系呢? 仔细推敲,方程 x2+x1=0 正好是不动点方程 x= 的变形，, 也是12x 不动点方程 x= 的两根。1 2 是不是所有递推式形如“a n+1 = ”的数列都可）dcbacan为 常 数,(2 用上述换元方法求 an通项呢？下面举一反例给予否定。 例如：对 an+1= (n=1,2)，令 x= 解得 x 1=1, x2= -13 2n 323 an+1 1= 1 = 2n 232na 显然 a n2 3an+2 ( an 1)2 。 当系数 a,b,c,d 怎样时，才可运用上述换元方法求呢？ an+1- = dcabdcabnnn )(22 令 an2 + (a c) a n + (b d) = ( a n ) 2 = 2n 由恒等式得： a C= 2 a = 0 c =2 b d = 2 2 + db =0 () 把()式中 改为 x 得: x 2 + d x b =0 () 7 方程（）正好是当 a=0,c=2 时递推式“a n+1= ”的不动点方程 x= dabn2 的变形。dxb2 所以,对已知初始值 a1(或数列a n的某一项),递推式为 an+1= （b,ddbn2 为常数，n 为正整数）的数列a n ，设 , 是不动点方程 x= 的两根,x 可按下列方法求数列a n的通项： 当 a1= 或 ，数列a n为常数数列，a n= 或 ； 1 当 a1 且 a1 ，若 ，设 bn=ln| | , 证 bn为等比数列， 2 na 后求 an ； 当 a1 = 时，由不动点方程 x= 得 x 2 + d x b =0 3 b2 = d2+4b=0 b = 4 此时 a n+1= = dbn2421