具有时滞的传染病动力学模型

具有时滞的传染病动力学模型 专业：信息与计算科学 班级：信息 121 信息 122 摘 要： 2 : 具有时滞的传染病模型能较好反映传染病的潜伏期、免疫期等问题，对其研究 越来越受到重视。利用计算机模拟方法对具有时滞的传染病动力学模型进行了 分析，阐述了数值仿真的基本原则。采用时滞微分方程的数值解法对模型进行 了定性分析，给出了数值仿真的应用实例。结果表明该方法是有效的，并具有 潜在的应用价值。 关键词: 传染病模型；时滞微分方程；数值仿真 一、问题背景 近年来随着环境污染、生态破坏和频繁的国际交流，国内外重人传染病爆 发时有发生，如 SARS,禽流感和艾滋病等，这使得对传染病的研究越来越重要。 在对传染病的诸多研究中，利用数学模型对传染病进行定性研究是个重要课题。 由于具有时滞的传染病模型能更好与实际情况相符，所以近年来对其研究受到 了人们的广泛重视。随着计算机的发展，在研究方法上，除了传统的理论分析 外，计算机模拟也是研究的重要手段，一此重大发现就是通过数值仿真得到的。 虽然如此，但迄今为止利用计算机仿真方法研究时滞传染病模型的工作还很少。 我们试图在此方面对此尝试，将时滞微分方程数值算法应用于传染病模型研究， 取得了较好的结果，总结出了数值仿真的基本原则，说明该方法其有潜在的应 用价值。 二、模型建立 “时滞”在传染病中是个基本的因素，并在传染病的传播过程中起着重要 作用，它可以反映传染病的潜伏期，患者对疾病的感染期和恢复者对玖病的免 疫期等实际现象，因此使用时滞”模型更贴近实际。如 Busenberg 和 Cooke 将 时滞因素引入到由媒介传播疾病的 SEIS 模型中用时滞项来反映传染病的潜伏期， 建立了如图 1 所小的仓室框图。 1 3 此模型中，把传染病地区的人群分为三类：用 S(t), E (t),I(t分别表示易感者、 在潜伏期的感染者和染病者。箭头所指方向可以清楚的显小出各类人群流动的 情况，T0 是模型的时滞项，代表疾病在人群中的潜伏期，r 0 表小感染者被 治愈后返回到易感人群中的速率， 是易感者和传病媒介间的有效接触系数。由 仓库框图容易得到对应数学表达的动力学模型： （1） S()()()()dIttIESTttdItItI 上述传染病动力学模型实质上是个具有时滞的微分方程组，对该模型进行数值 仿真，就是对方程组(1)求解，通过研究该方程组解的变化，从而得到如传染 病的发展趋势等相关内容。 三、模型分析 通过对实际模型的多次数值仿真实验，得到了数值仿真的基本原则 1、 运算精度优先： 由于一般传染病模型对应的方程组维数不高，对非刚性的时滞传染病模 型应使用至少四阶精度的数值方法如果采用精度不高的数值方法，会造成较大 的误差，从而对理论分析造成很大的偏差。下面我们从实际的程序数值运行和 图示方法加以比较。 2、模型分析程序： 一阶 Euler 方法 #include #define N 10 float f(float a,float b) 4 float c; c=b-2*a/b; return c; main() int i; float h=0.2; float XN=0.0; float YN=1.0; for(i=1;i #define N 10 #define M 30 float f(float a,float b) float c; c=b-2*a/b; return c; main() int i; float h=0.2; float XN=0.0; float YN=1.0; float kM; 5 for(i=1;i0 表不隔离率，N 代表种群的死亡率。 下面利用数值仿真方法来解决这个问题。 程序 #include #include #define M 30 #define N 120 double f(double t,double i,double q,double r) double c; c=-0.6*i+0.8*(1-(i+r)/(1000-q)*i+t*0; return c; double g(double t,double i,double q,double r) double c; c=-0.2*q+0.4*i-0.4*i*(t-1)*exp(-0.2)+r*0; return c; double h(double t,double i,double q,double r) double c; c=-0.2*r+0.4*i*(t-1)*exp(-0.2)+q*0; return c; void main() /*double f(double t,double i,double q,double r); double g(double t,double i,double q,double r); 9 double h(double t,double i,double q,double r);*/ int i; double j=1.0; double kM,lM,mM; double TN=0.0000001; double IN=0.001; double QN=0.001; double RN=0.001; for(i=1;i=99;i+) Ti=Ti-1+j; for(i=0;i99;i+) ki=f(Ti,Ii,Qi,Ri); mi=h(Ti,Ii,Qi,Ri); ki+1=f(Ti+j/2.0,Ii+j/2.0*ki,Qi+j/2.0*li,Ri+j/2.0*mi); mi+1=h(Ti+j/2.0,Ii+j/2.0*ki,Qi+j/2.0*li,Ri+j/2.0*mi); ki+2=f(Ti+j/2.0,Ii+j/2.0*ki+1,Qi+j/2.0*li+1,Ri+j/2.0*mi+1); mi+2=h(Ti+j/2.0,Ii+j/2.0*ki+1,Qi+j/2.0*li+1,Ri+j/2.0*mi+1); ki+3=f(Ti+1,Ii+j*ki+2,Qi+j*li+2,Ri+j*mi+2); Ii+1=Ii+j/6.0*(ki+2*ki+1+2.0*ki+2+ki+3); li=g(Ti,Ii,Qi,Ri); li+1=g(Ti+j/2.0,Ii+j/2.0*ki,Qi+j/2.0*li,Ri+j/2.0*mi); li+2=g(Ti+j/2.0,Ii+j/2.0*ki+1,Qi+j/2.0*li+1,Ri+j/2.0*mi+1); li+3=g(Ti+1,Ii+j*ki+2,Qi+j*li+2,Ri+j*mi+2); Qi+1=Qi+j/6.0*(li+2*li+1+2.0*li+2+li+3); mi+3=h(Ti+1,Ii+j*ki+2,Qi+j*li+2,Ri+j*mi+2); Ri+1=Ri+j/6.0*(mi+2*mi+1+2.0*mi+2+mi+3); for(i=0;i=99;i+) printf(“I%d=%f Q%d=%f R%d=%fn“,i,Ii,i,Qi,i,Ri); 10 数据 I1=0.122121 Q1=0.134221 R1=0.069789 I2=0.149134 Q2=0.133561 R2=0.082639 I3=0.182112 Q3=0.089096 R3=0.147959 I4=0.222359 Q4=-0.011815 R4=0.279218 I5=0.271454 Q5=-0.186444 R5=0.494890 I6=0.331302 Q6=-0.457876 R6=0.819675 I7=0.404198 Q7=-0.856490 R7=1.286036 I8=0.492883 Q8=-1.421805 R8=1.936112 I9=0.600614 Q9=-2.204732 R9=2.824049 I10=0.731220 Q10=-3.270275 R10=4.018781 I11=0.889147 Q11=-4.700674 R11=5.607276 I12=1.079468 Q12=-6.598955 R12=7.698154 I13=1.307837 Q13=-9.092697 R13=10.425529 I14=1.580343 Q14=-12.337714 R14=13.952698 I15=1.903229 Q15=-16.521046 R15=18.475082 I16=2.282420 Q16=-21.862366 R16=24.221431 I17=2.722799 Q17=-28.612454 R17=31.451940 I18=3.227217 Q18=-37.047024 R18=40.451451 I19=3.795253 Q19=-47.453908 R19=51.515734 I20=4.421852 Q20=-60.111823 R20=64.929024 I21=5.096090 Q21=-75.259860 R21=80.932030 I22=5.800441 Q22=-93.058833 R22=99.681703 I23=6.510974 Q23=-113.548563 R23=121.207123 I24=7.198820 Q24=-136.608452 R24=145.369235 I25=7.832927 Q25=-161.930961 R25=171.834407 I26=8.383717 Q26=-189.017272 R26=200.071364 I27=8.826868 Q27=-217.200742 R27=229.377039 I28=9.146315 Q28=-245.697221 R28=258.930121 I29=9.335788 Q29=-273.674360 R29=287.863828 I30=9.398646 Q30=-300.327286 R30=315.344654 I31=9.346282 Q31=-324.947200 R31=340.643147 I32=9.195679 Q32=-346.972483 R32=363.186038 I33=8.966740 Q33=-366.017086 R33=382.584525 I34=8.679919 Q34=-381.876293 R34=398.639018 I35=8.354427 Q35=-394.513829 R35=411.324666 I36=8.007094 Q36=-404.036284 R36=420.763955 I37=7.651819 Q37=-410.660968 R37=427.192772 I38=7.299473 Q38=-414.682392 R38=430.925305 I39=6.958090 Q39=-416.441076 R39=432.321583 I40=6.633239 Q40=-416.296905 R40=431.759903 I41=6.328445 Q41=-414.607976 R41=429.615059 I42=6.045624 Q42=-411.715000 R42=426.242397 11 I43=5.785465 Q43=-407.930742 R43=421.967115 I44=5.547762 Q44=-403.533696 R44=417.077961 I45=5.331688 Q45=-398.765115 R45=411.824387 I46=5.136002 Q46=-393.828555 R46=406.416277 I47=4.959213 Q47=-388.891174 R47=401.025468 I48=4.799698 Q48=-384.086192 R48=395.788445 I49=4.655793 Q49=-379.516036 R49=390.809709 I50=4.525847 Q50=-375.255816 R50=386.165465 I51=4.408273 Q51=-371.356885 R51=381.907375 I52=4.301566 Q52=-367.850312 R52=378.066203 I53=4.204330 Q53=-364.750175 R53=374.655248 I54=4.115282 Q54=-362.056599 R54=371.673515 I55=4.033257 Q55=-359.758525 R55=369.108582 I56=3.957212 Q56=-357.836186 R56=366.939171 I57=3.886221 Q57=-356.263312 R57=365.137413 I58=3.819474 Q58=-355.009052 R58=363.670841 I59=3.756270 Q59=-354.039660 R59=362.504106 I60=3.696010 Q60=-353.319917 R60=361.600447 I61=3.638190 Q61=-352.814347 R61=360.922923 I62=3.582393 Q62=-352.488216 R62=360.435435 I63=3.528281 Q63=-352.308330 R63=360.103538 I64=3.475586 Q64=-352.243665 R64=359.895071 I65=3.424101 Q65=-352.265825 R65=359.780624 I66=3.373671 Q66=-352.349350 R66=359.733840 I67=3.324185 Q67=-352.471894 R67=359.731594 I68=3.275571 Q68=-352.614293 R68=359.754046 I69=3.227785 Q69=-352.760520 R69=359.784601 I70=3.180804 Q70=-352.897576 R70=359.809780 I71=3.134626 Q71=-353.015305 R71=359.819029 I72=3.089258 Q72=-353.106161 R72=359.804479 I73=3.044716 Q73=-353.164949 R73=359.760675 I74=3.001022 Q74=-353.188538 R74=359.684278 I75=2.958196 Q75=-353.175567 R75=359.573767 I76=2.916261 Q76=-353.126157 R76=359.429139 I77=2.875233 Q77=-353.041628 R77=359.251618 I78=2.835129 Q78=-352.924236 R78=359.043388 I79=2.795958 Q79=-352.776928 R79=358.807344 I80=2.757726 Q80=-352.603125 R80=358.546864 I81=2.720433 Q81=-352.406531 R81=358.265621 I82=2.684076 Q82=-352.190968 R82=357.967409 I83=2.648645 Q83=-351.960239 R83=357.656006 I84=2.614128 Q84=-351.718019 R84=357.335062 I85=2.580506 Q85=-351.467765 R85=357.008008 I86=2.547761 Q86=-351.212655 R86=356.677996 12 I87=2.515870 Q87=-350.955545 R87=356.347851 I88=2.484808 Q88=-350.698941 R88=356.020044 I89=2.454549 Q89=-350.444987 R89=355.696686 I90=2.425065 Q90=-350.195471 R90=355.379521 I91=2.396328 Q91=-349.951832 R91=355.069948 I92=2.368311 Q92=-349.715181 R92=354.769032 I93=2.340986 Q93=-349.486328 R93=354.477537 I94=2.314324 Q94=-349.265809 R94=354.195950 I