中考专题复习之直角三角形、勾股定理、面积

1 中考专题复习之直角三角形、勾股定理、面积 知识考点： 了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关 性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。 精典例题： 【例 1】如图，在四边形 ABCD 中，A60 0，B D90 0，BC2，CD3，则 AB？ 分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。 答案： 38 例 1图 32 E D CB A 例 2图 Q P CB A 【例 2】如图，P 为ABC 边 BC 上一点，PC2PB，已知ABC 45 0，APC60 0，求ACB 的度数。 分析：本题不能简单地由角的关系推出ACB 的度数，而应综合运用条件 PC2PB 及APC60 0 来构造出含 300 角的直角三角形。这是解本题的关键。 答案：ACB 75 0（提示：过 C 作 CQAP 于 Q，连结 BQ，则 AQBQCQ） 探索与创新： 【问题一】如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30 0，点 A 处有一所中学，AP160 米，假设 汽车行驶时，周围 100 米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声的 影响？如果受影响，已知汽车的速度为 18 千米小时，那么学校受影响的时间为多少秒？ 分析：从学校（A 点）距离公路（ MN）的最近距离（AD80 米）入手，在距 A 点方圆 100 米的范围内，利用 图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。 略解：作 ADMN 于 D，在 RtADP 中，易知 AD80。所以这所学校会受到噪声的影响。以 A 为圆心，100 米为半径作圆交 MN 于 E、F，连结 AE、AF，则 AEAF 100，根据勾股定理和垂径定理知： EDFD60，EF120，从而学校受噪声影响的时间为： （小时）24（秒）15082t 评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。 问 题 一 图 F E D A QP N M C B A 问 题 二 图 【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏 力如图 12，据气象观测，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米的 B 处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级，每 远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以 15 千米时的速度沿北偏东 300 方向往 C 移动，且台 2 风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。 （1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。 （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长? （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级? 解：（1）如图 1，由点 A 作 ADBC，垂足为 D。 AB220，B30AD110（千米）。 由题意知，当 A 点距台风中心不超过 160 千米时，将会受到台风的影响。故该城市会受到这次台风的影响。 （2）由题意知，当 A 点距台风中心不超过 160 千米时，将会受到台风的影响。则 AEAF 160。当台风中心从 E 处移到 F 处时，该城市都会受到这次台风的影响。由勾股定理得： 。EF60 （千米）D15 该台风中心以 15 千米时的速度移动。这次台风影响该城市的持续时间为 （小时）。15460 （3）当台风中心位于 D 处时， A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为 12 6.5（级）。2 评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义， 由题意可分析出，当 A 点距台风中心不超过 160 千米时，会受台风影响，若过 A 作 ADBC 于 D，设 E，F 分别表 示 A 市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则 AEAF 160；当台风中心位于 D 处时，A 市受台风影响的 风力最大。 跟踪训练： 一、填空题： 1、如果直角三角形的边长分别是 6、8、 ，则 的取值范围是 。x 2、如图，D 为ABC 的边 BC 上的一点，已知 AB13，AD12，BD5，ACBC，则 BC 。 第 2题 图 1312 5 DC B A 第 3题 图 D CB A 第 5题 图 D CB A 3、如图，四边形 ABCD 中，已知 ABBCCDDA2231，且B90 0，则DAB 。 4、等腰ABC 中，一腰上的高为 3cm，这条高与底边的夹角为 300，则 。ABCS 5、如图，ABC 中，BAC90 0，B2C，D 点在 BC 上，AD 平分BAC ，若 AB1，则 BD 的长为 。 6、已知 RtABC 中，C90 0，AB 边上的中线长为 2，且 ACBC6，则 。ABC 7、如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，腰长为 8cm，AC、BD 相交于 O 点，且AOD60 0，设 E、F 分别为 CO、AB 的中点，则 EF 。 3 第 7题 图 F E O D CB A 第 8题 图 E Q P D CB A 第 9题 图 D C B A 8、如图，点 D、E 是等边 ABC 的 BC、AC 上的点，且 CDAE，AD 、BE 相交于 P 点，BQAD。已知 PE1，PQ3，则 AD 。 9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm，则正方 形 A、B、C 、 D 的面积的和是 。 二、选择题： 1、如图，已知ABC 中，AQPQ，PRPS，PRAB 于 R，PS AC 于 S，则三个结论： ASAR ； QPAR； BRPQSP 中（ ） A、全部正确 B、仅和正确 C、仅正确 D、仅和正确 2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的 2 倍，并且有一个角是 300，那么这个三角形的形状是（ ） A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定 3、在四边形 ABCD 中，ADCD，AB13，BC12，CD4，AD 3，则ACB 的度数是（ ） A、大于 900 B、小于 900 C、等于 900 D、不能确定 第 1题 图 SR Q P CB A 第 4题 图 O CB A 4、如图，已知ABC 中，B90 0，AB3，BC ，OAOC ，则OAB 的度数为（ ）36 A、10 0 B、15 0 C、20 0 D、25 0 三、解答题： 1、阅读下面的解题过程：已知 、 、 为ABC 的三边，且满足abc 422acba ，试判断ABC 的形状。4b 解： 422cba )()( 22ba 22c ABC 是直角三角形。 问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 。 2、已知ABC 中，BAC75 0，C60 0，BC ，求 AB、AC 的长。3 3、如图，ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DCBE，DG CE 于 G。 （1）求证：G 是 CE 的中点； 4 （2）B2BCE 。 第 3题 图 G E D CB A 第 4题 图 C BA 4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，ACB90 0，BC60 米，A36 0。 （1）若入口 E 在边 AB 上，且与 A、B 等距离，请你在图中画出入口 E 到 C 点的最短路线，并求最短路线 CE 的长（保留整数）； （2）若线段 CD 是一条水渠，并且 D 点在边 AB 上，已知水渠造价为 50 元米，水渠路线应如何设计才能使造 价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。 参考数据：sin36 00.5878， sin5400.8090 5、已知ABC 的两边 AB、AC 的长是方程 的两个实数根，第三边 BC5。023)2(2kxkx （1） 为何值时，ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形；k （2） 为何值时，ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。 参考答案 一、填空题： 1、10 或 ；2、16.9；3、135 0；4、 cm2；5、 ；6、5；