【北京特级教师 同步复习精讲辅导】2014-2015高中数学 导数的应用（讲义+课后练习）（打包9套）新人教版选修2-2
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【北京特级教师 同步复习精讲辅导】2014-2015高中数学 导数的应用（讲义+课后练习）（打包9套）新人教版选修2-2,北京,特级,教师,同步,复习,温习,辅导,高中数学,导数,应用,利用,运用,讲义,课后,练习,打包,新人,选修
- 内容简介：
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- 0 - 专题：导数的应用 判断单 调性 引入 ( ) 0 ( )f x f x 是 增的什么条件？ 重难点易错点解析 题一 题面：求下列函数的单调区间 （ 1） 2 1xy x ；（ 2） 2 1 )y x x ；（ 3） y= 金题精讲 题面： 设函数 f(x)=x3+cx(xR)，已知 g(x)= f(x)- f (x)是奇函数 （ ）求 b、 c 的值；（ ）求 g(x)的单调区间 题面：设 ()是函数 () ()y f x 和 ()y f x 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 题 面： 设 ( ), ( )f x g x 分 别是 定义 域为 R 的 奇函 数和 偶函 数， 当 0x 时，( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x f x g x ，且 ( 3) 0g ，则不等式 ( ) ( ) 0f x g x 的解集为 题面： 若 x 0， )，则下列不等式恒成立的是 ( ) A x B 11 x1 12x 14 12D x)x 18x2 y x O y x O y x O y x O A B C D - 1 - 题面： 已知函 数 f(x) (k 为常数， e 是自然对数的底数 )，曲线 y f(x)在点 (1, f(1)处的切线与 x 轴平行 (1)求 k 的值； (2)求 f(x)的单调区间； (3)设 g(x) (x)f (x)，其中 f (x)为 f(x)的导函数，证明：对任意 x0， g(x)1 e 2 思维拓展 题一 题面：试求 ( ) ( 4 ) xf x x e 与 431() 4g x x x两函数的单调区间并分别 作出其图象 学习提醒 导函数看正负，原函数看增减 - 2 - 讲义参考答案 重难点易错点解析 题一 答案：（ 1）函数在 ( , 1), (1, ) 上单调递减，在 ( 1,1) 上单 调 递增；（ 2）函数在 R 上单调递增；（ 3）在 ( 2 , 2 2 ) , Nk k k 和 ( 2 , 2 ) , 0 Zk k k k 且上单调递增，在( 2 , 2 ) , Nk k k 和 ( 2 + , 2 2 ) , 0 Zk k k k 且上单调递减 金题精讲 答案： （ ） b=3， c=0；（ ） 单调递增区间： ( , 2 ) , ( 2 , ) ，单调递减区间： ( 2, 2) 答案： D 答案： 3, 0 3, ) 答案： C 答案： (1) k 1； (2) f(x)的单调递增区间为 (0,1)，单调递减区间为 (1， )； (3)见详解 思维拓展 题一 答案：单调区间都为： 3, ) 上单调递增； ( ,3 上单调递减，图略 - 0 - 【北京特级教师 同步复习精讲辅导】 2014中数学 导数的应用 判断单调性课后练习一 新人教版选修 2下列函数的单调区间： (1)y 122x 5； (2)y 2 设函数 f(x) 1b(a0) (1)求 f(x)在 0， )内的最小值； (2)设曲线 y f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程为 y 32x，求 a， b 的值 设函数 y 图象上的点 (x， y)处的切线 斜率为 k，若 k g(x)，则函数 k g(x)的图象大致为 ( ) 已知 3立，则 下列正确的是（ ） A x+y 0 B x+y 0 C 0 D 0 已知 x R,求证： x+1 设函数 f (x) x 0， (1)讨论 f (x)的单调性； (2)设 f (x)1 a 的取值范围 已知函数 f（ x） = 32a x b x c x d 的图象如图所示，则实数 b 的取值范围是 什么？ - 1 - - 2 - 课后练习详解 答案：见详解 详解 : (1) y 3x 2 (3x 2)(x 1)， 令 y 0， 得 x ， 23 (1， )当 y 0，得 x 12， 函数的增区间为 12， ，函数的减区间 为 0， 12 答案： (1) 当 0 a 1 时 ， 最小值为 f( 2 b； a1时 ， 最小值为 f(0) a 1a b ； (2)a 2b 12 详解 : (1)f (x) 1 当 f (x) 0，即 x ， f(x)在 ( )上递增； 当 f (x) 0，即 x ， f(x)在 ( ， 递 减； 当 0 a 1 时， 0， f(x)在 (0， 递减，在 ( )上递增，从而 f(x)在 )0， 上的最 小值为 f( 2 b； 当 a1时， ， f(x)在 )0， 上递增， 从而 f(x)在 0， )上的最小值为 f(0) a 1a b (2)依题意 f (2) 132，解得 2 或 12(舍去 ) 所以 a 2入原函数可得 2 12 b 3，即 b 12故 a 2b 12 答案： B 详解 : k g(x) y 函数 k g(x)为奇函数，排除 A、 C；又当 x (0， 2)时， g(x)0 答案： B 详解：构造函数 f（ x） =3 y=3x 为增函数， y=5减函数， 由函数单调性的性质“增” -“减” =“增”得到函 数 f（ x） 为增函数 又 ，即 3 ，故 x y 即 x+y 0故选 B - 3 - 答案：见详解 证明：设 f（ x） =x 1,则 f （ x） =1 当 x=0 时， f （ x） =0,f（ x） =0 当 x 0 时， f （ x） 0, f（ x）在（ 0,+）上是增函数 f（ x） f（ 0） =0 当 x 0 时， f （ x） 0,f（ x）在（ ,0）上是减函数， f（ x） f（ 0） =0 对 x R 都有 f（ x） 0 x+1 答案：见详解 详解 : (1)f (x) a 当 a1时， f (x)0，且仅当 a 1， x 2时， f (x) 0，所以 f(x)在0， 上是增函数； 当 a0时， f (x)0，且仅当 a 0， x 0 或 x 时， f (x) 0，所以 f(x)在 0， 上是减函数； 当 00， f(x)是增函数； 当 x (， a， f (x)0， f(x)是增函数 (2)由 f(x)1 f()1， 11，所以 a2 令 g(x) 2x 0x2 ，则 g (x) 2 当 x 0， ， g (x)0； 当 x 2 时， g (x)0 又 g(0) g 2 0，所以 g(x)0，即 2x 0x2 当 a2时，有 f(x)2x 当 0x2时， 2x，所以 f(x)1 当 2x时， f(x)2x 1 2 x 2 x 2 1 综上， a 的 取值范围是 ， 2 答案： b ( ， 0) 详解： 由图象可知，当 x 0 时， f (0) a03 b0 c0+d 0 d 0， f (x) x(c) 又 当 x 1， x 2 时， f (1) f (2) 0 1,2 是方程 c 0 的两根 021 又 由图象可知， a 0， b 0 b ( ， 0) - 0 - 【北京特级教师 同步复习精讲辅导】 2014中数学 导数的应用 判断单调性课后练习二 新人教版选修 2断下列命题的正误 (1)y (0， 5)上是单调递增函数 ( ) (2)函数 f(x) x 1( ) (3)函数 f(x) 无数个极值点 ( ) (4)当 a 1 时， f(x) 21x (0， 1是增函数 ( ) 函数 f (x) x 1, 00) (1)若 m 1，求曲线 y f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程； (2)若函数 f(x)在区间 (2m 1， m 1)上单调递增，求实数 m 的取值范围 - 2 - 课后练习详解 答案：错误；错误；正确；正确 详解 : (1)要特 别注意函数的定义域，函数的定义域为 (0， )因为 y 1，令 y 0，得 x1e；令 y 1，所以 f(x)在 ( ， 0)和 (0， )上是单调递增函数，没有极值 (3)f (x) f (x) 0，当 0 时，有 x，作出函数 y yx 的图象 (图略 )，可知方程 x 有无数个解，所以函数 f(x) 无数个极值点 (4)f (x) 2a 2为 y 20， 1上是减函数，所以 22，又 a 1，所以 f (x) 2 2 0， 所以 f(x)在 (0， 1上是增函数 答案：单调区间 f (x)的单调递增区间 是 (0， )和 32 ， 2 ，单调递减区间是 ， 32 ； 极小值为 f 32 32 ，极大值为 f () 2 详解 :由 f(x) x 1,00 所以 f(x)的单调递减区间为 ( ， 1)，单调递增区间为 (1， ) - 4 - (2)设点 P(f(，曲线 y f(x)在点 P 处的切线方程为 y f (x f( 令 g(x) f(x) f (x f(故曲线 y f(x)在点 P 处的切线与曲线只有一个公共点 g(x)有唯一零点 因为 g( 0，且 g (x) f (x) f ( 2a(x 若 a0，当 x ， g (x) 0，则 x ， g(x) g( 0； 当 x ， g (x) 0，则 x ， g(x) g( 0故 g(x)只有唯一零点 x 由于 有任意性，不符合 P 的唯一性，故 a0不合题意 若 a 0，令 h(x) 2a(x 则 h( 0， h (x) 2a 令 h (x) 0，得 x 2a)，记 x* 2a)，则当 x ( ， x*)时， h (x) 0，从而 h(x)在 ( ， x*)内单调递 减；当 x (x*， )时， h (x) 0，从而 h(x)在 (x*， )内单调递增 (i)若 x*，由 x ( ， x*)时， g (x) h(x)h(x*) 0； x (x*， )时， g (x) h(x) h(x*) 0知 g(x)在 R 上单调递增 所以函数 g(x)在 R 上有且只有一个零点 x x* ( x*，由于 h(x)在 (x*， )内单调递增，且 h( 0，则当 x (x*， 有 g (x)h(x) h( 0， g(x) g( 0；任取 (x*， g( 0 又当 x ( ， ，易知 g(x) (e f (x f( ( (e f (x f( ( c， 其中 b (e f (， c f( ( 由于 a 0，则必存在 得 c 0 所以 g( 0，故 g(x)在 (存在零点即 g(x)在 R 上至少有两个零点 ( x*，仿 (利用 可证函数 g(x)在 R 上至少有两个零点 综上所述，当 a 0 时，曲线 y f(x)上存在唯一点 P( 2a)， f( 2a)，曲线在该点处的切线 与曲线只有一个公共点 P 答案： (1)15x 3y 25 0； (2) m 的取值范围是 m|1 f (x)， f(x)的变化情况如下表： x ( ， 3m) 3m ( 3m， m) m (m， ) f (x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以函数 f(x)的单调递增区间是 ( ， 3m)和 (m， ) 要使 f(x)在区间 (2m 1， m 1)上单调递 增， 应有 m 1 3m 或 2m 1 m， 解得 m 14或 m1 又 m0 且 m 12m 1，所以 1m2 - 5 - 即实数 m 的取值范围是 m|1m2 - 0 - 专题 ：导数的应用 含参问题 引入 我们在前面学习了很多几何知识，这里面用到高中数学一个重要的思想方法 数形结合，今天我们就来学习另一个重要的思 想方法 分类讨论 重难点易错点解析 题 一 题面： 已知函 数 3211( ) ( 0 )32f x x a x x b a ， () （ ） 设 函数 f (x)的图象与 x 轴交点为 A，曲线 y=f (x)在 A 点处的切线方 程是 33，求 , （ ） 若函数 ( ) ( )x e f x，求函数 () 金题精讲 题面： 已知函数 f(x) 1(a0)， g(x) (1)若曲线 y f(x)与曲线 y g(x)在它们的交点 (1， c)处具有公共切线，求 a， b 的值； (2)当 4b 时，求函数 f(x) g(x)的单调区间，并求 其在区间 ( ， 1上的最大值 题面：已知函数 ( ) x ax x， ( ) e 3x x，其中 aR （）求 )(极值；（）若存在区间 M ，使 )( () 上具有相同的单调性，求 a 的取值范围 题面：已知函数 2( ) ( 2 ) l nf x a x a x x （）当 a=1 时，求曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程； （）当 a0 时，函数 f(x)在区间 1， e上的最小值为 a 的取值范围 ； （）若对任意 12, ( 0 , ) ， 12，且 1 1 2 2( ) + 2 ( ) + 2f x x f x x 恒成立，求 a 的取值范围 思维拓展 题 一 题面： 2 2 1 0ax x ，这个不等式的解集可能有几种情况？ - 1 - 学习提醒 一想分类缘由，二想分类个数 - 2 - 讲义参考答案 重难点易错点解析 题 一 答案： （ ） 1a ， 611b ； （ ） 当 0a 时， ()0, ) ，单调递减区间为 ( ,0) ；当 02a 时， (), )，单调递减区间为( ,0) ；当 2a 时， () , ) ；当 2a 时， ()递 增区间为22( ,0)，单 调递 减区间为 (0, ) ，22( , ) 金题精讲 答案： (1) 3, 3； (2) 在 ( , ) , ( , )26 上 单调递增，在 ( , )26上单调递减；当 a (0,2 时，最大值为24；当 a (2, ) 时，最大值为 1 答案：（）当 0a 时， )(有极大值，也没有极小值；当 0a 时， )(极小值为1 ； 没有极大值；（） ( , 3 ) ( 0 , ) 答案：（） 2y ；（） 1a ；（） 08a 思维拓展 题一 答案： 5 种情况， 0 , 0 , 1 , 1 , 1 0a a a a a - 0 - 专题：导数的应用 含参问题 已知函数 f (x) (a 1)1讨论函数 f(x)的单调性 已知 a0，函数 f (x) 1(其中 e 为自然对数的底数 ) (1)求函数 f (x)在区间 (0， e上的最小值； (2)设 g(x) 24，当 a 1 时，若对任意 (0， e)，存在 1,3，使得 f (g(求实数 b 的取值范围 已知函数 f (x) (x k)2 (1)求 f (x)的单调区间； (2)若对于任意的 x (0， )，都有 f (x)1e，求 k 的取值范围 已知 f (x) g(x) 3 (1)求函数 y f (x)的最小值； (2)对一切 x (0， )， 2f (x) g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围 设 f(x) 中 a 为正实数 (1)当 a 43时，求 f(x)的极值点； (2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 - 1 - 课后练习详解 答 案：见详解 详解 : f (x)的定义域为 (0， ) f (x) a 1x 22a 1x 当 a0时， f (x)0，故 f (x)在 (0， )上单调递增； 当 a 1 时， f (x)0；当 x a 12a ， 时， f (x)2 详解 : (1)令 f (x) 1x 0，得 x a 当 a数 f (x)在区间 (0， e是减函数， f (x) 当 02 答案：见 详解 详解 : (1) f (x) 1k(0， 当 k0 时， f (x)的增区间为 ( ， k)和 (k， )， f (x)的减区间为 ( k， k)， 当 ， f(k 1 ) 11e，所以不会有任意 x (0， )， f(x)1e 当 f (x)单调递增，所以函数 f (x)最小值为 f 1e 1e (2)由 2f (x) g(x)，得 2 3，则 a2x 3x 设 h(x) 2x 3x( x0)，则 h(x) (x 3)(x 1) 当 x (0， 1)时， h(x)0， h (x)单调递增， 所以 h(x)h (1) 4因为对一切 x (0， )， 2f (x) g(x)恒 成立，所以 ah(x)4 答案： (1) 32是极小值点， 12是极大值点； (2)0 a1 详解： 对 f(x)求导得 f (x) 21 2 (1)当 a 43时，若 f (x) 0，则 48x 3 0，解得 32， 12 综合 ，可知 x ， 12 12 12， 32 32 32， f (x) 0 0 f (x) 极大值 极小值 所以， 32是极小值点， 12是极大值点 (2)若 f (x)为 R 上的单调函数，则 f (x)在 R 上不变号， 结合与条件 a 0，知 210在 R 上恒成立 因此 44a 4a(a 1)0，由此并结合 a 0，知 0 a1 - 0 - 专题：导数的应用 含参问题 设函数 f (x) 13c，其中 a 0，曲线 y f (x)在点 P(0， f (0)处的切线方程为 y1 (1)确定 b， c 的值； (2)设曲线 y f (x)在 点 (f (， (f (处的切线都过点 (0， 2) 证明：当 ， f (f ( 设 )(定义在区间 ),1( 上的函数，其导函数为 )( 如果存在实数 a 和函数 )(其中 )(任意的 ),1( x 都有 )(0，使得 )1)()( 2 则称函数 )( (1)设函数 )(l n ( 1 )1 ，其中 b 为实数 (i)求证：函数 )(有性质 )( (函数 )(单调区间 (2)已知函数 )(有性质 )2(P 给定 1 2 1 2, (1 , ) , ,x x x x 设 m 为实数， 21 )1( ， 21)1( ，且 1,1 ， 若 | )()( |0， - 3 - 所以对任意的 ),1( x 都有 ( ) 0 ， ()1, ) 上递增 又 1 2 1 2, ( 2 1 ) ( )x x m x x 当 1 ,12时， 且 1 1 2 2 1 2( 1 ) ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 )x m x m x x m x m x ， 221 2 1 2( ) ( ) ( 1 ) ( ) 0x x m x x 12 或 12 若 12 ，则 12( ) ( ) ( ) ( )f f x f x f ， 12| ( ) ( ) | | ( ) ( ) |g g g x g x ，不合题意 12 即1 1 21 2 2(1 )(1 )x m x m xm x m x x ，解得 m 0， 10 2m 综合以上讨论得：所求 m 的取值范围是（ 0， 1） 答案： 见详解 详解 ： (1)由函数 f (x)图象过点 ( 1， 6)，得 m n 3 由 f (x) 2，得 f (x) 32n， 则 g(x) f (x) 6x 3(2m 6)x n 而 g(x)图象 关于 y 轴对称，所以 2m 623 0 所以 m 3，代入 得 n 0 于是 f (x) 36x 3x(x 2)由 f (x) 0 得 x 2 或 x 0， 故 f (x)的单调递增区间是 ( ， 0), (2， )； 由 f (x) 0 得 0 x 2，故 f (x)的单调递减区间是 (0, 2) (2)由 (1)得 f (x) 3x(x 2)，令 f (x) 0 得 x 0 或 x 2， 当 x 变化时， f (x)、 f (x)的变化情况如 下表： x ( ， 0) 0 (0,2) 2 (2， ) f(x) 0 0 - 4 - f(x) 极大值 极小值 由此可得： 当 0 a 1 时， f (x)在 (a 1， a 1)内有极大值 f (0) 2，无极小值； 当 a 1 时， f (x)在 (a 1， a 1)内无极值； 当 1 a 3 时， f (x)在 (a 1， a 1)内有极小值 f (2) 6，无极大值； 当 a 3 时， f (x)在 (a 1， a 1)内无极值 综上得：当 0 a 1 时， f (x)有极大值 2，无极小值； 当 1 a 3 时， f (x)有极小值 6，无极大值； 当 a 1 或 a 3 时， f (x)无极值 答案： (1)12； (2) F(x)m 14 m 14 F(x)m 2 m 14 详解 ： (1)因为 f (x) 6x 1， g(x) 1x由题意知 61 1 61 0， 解得， 12或 13因为 ，所以 12 (2)若曲线 y f (x)与 y g(x)相切且在交点处有公共切线， 由 (1)得切点横坐标为 12，所以 f 12 g 12 ，所以 34 12 m m 14 作出函数 f(x)与 g(x)的图象 (图略 )，可知， m= 14 ， f(x)与 g(x)有公共切线 又 F(x) 6x 1 1x 6x 1x (3x 1)(2x 1)x ， 则 F(x)与 F(x)在区间 13， 1 的变化如下表： x 13， 12 12 12， 1 F(x) 0 F(x) 极小值 又因为 F 13 m F(1) 2 mF 13 ， 所以当 x 13， 1 时， F( x)F 12 m 14 m 14 F(x)F(1) m 2 m 14 答案：见详解 详解 :( 1)当 a 2 时， f (x) ( 2x) f (x) ( 2x 2)( 2x)( 2) 令 f (x) 0，即 ( 2)0， 0， 2 0，解得 2 x 2 - 5 - 函数 f (x)的单调递增 区间是 ( 2， 2) (2)若函数 f (x)在 R 上单调递减，则 f (x)0对 x R 都成立，即 (a 2)x a对 xR 都成立 0， (a 2)x a0对 x R 都成立 (a 2)2 4a0，即 40，这是不可能的 故函数 f (x)不可能在 R 上单调递减 若函数 f (x)在 f (x)0对 x R 都成立， 即 (a 2)x a对 x R 都成立 0， (a 2)x a0对 x R 都成立 而 (a 2)2 4a 4 0，故函数 f (x)不可能在 R 上单调递增 综上可知函数 f (x)不可能是 R 上的单调函数 （ 3） 1)当 a 0 时， f (x) f (x) ( 2x) 令 f (x)0，得 20，即当 x ( ， 2)或 x (0， )时，函数 f (x)单调递减 2)当 a0时， f (x) (a 2)x a g(x) (a 2)x a (a 2)2 4a 40， g(x)有两个零点 当 g(x)0 时， f (x)单调递增，即当 a 2 4 xa 2 4 ， f (x)单调递增，故 f (x)的单调增区间 为 a 2 4 a 2 4 同理可求 f (x)的单调减区间为 ， a 2 4 a 2 4 - 0 - 专题： 导数的应用 极值与最值 引入 极值点和导函数的零点是什么关系？ 重难点易错点解析 题一 题面：函数 3 在 4,4 上的最大值是 题二 题面： 设函数 f (x)在 R 上可导，其导函数为 f (x)，且函数 y (1 x)f (x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( ) A 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B函数 f(x)有极大值 f( 2)和极小值 f(1) C函数 f(x)有极大 值 f(2)和极小值 f( 2) D函数 f(x)有极大值 f( 2)和极小值 f(2) 金题精讲 题面： 设函数 2( ) ( , , )f x a x b x c a b c R ，若 1x 为函数 ()xf 一个极值点，则下列图象不可 能为 ()y f x 的图象 的 是 （ ） 题面：设函数 ( ) l n bf x x a x x 在 1x 处取得极值 （）求 a 与 b 满足的关系式； - 1 - （ ）若 1a ，求函数 () （）若 3a ，函数 22( ) 3g x a x，若存在 12 1, , 2 2，使得 12( ) ( ) 9f m g m成立，求 a 的取值范围 题面： 设函数 2( ) 2 2 l n ( 1 )f x x x x ( )求函数 单调区间； ( )当 1 1, 1 时 ， 是否存在整数 m ，使不等式 222m f x m m e 恒成立？若 存在，求整数 m 的值；若不存在，请说明理由 题面： 已知函数 32( ) 2 3f x a x x，其中 0a （） 求证：函数 )(区间 ( ,0) 上是增函数； （）若 函数 ( ) ( ) ( ) ( 0 , 1 )g x f x f x x 在 0x 处取得最大值， 求 a 取值范围 思维拓展 题一 题面：1 , 0(),0 有极值点吗？ 学习提 醒 分清极值最值，用好图象表格 - 2 - 讲义参考答案 重难点易错点解析 题一 答案： 1 题二 答案： D 金题精讲 答案： D 答案：（） 1 （ 2a 且 1b ）； （ ） 当 2a 时，单调 递 增区间为 )1,0( ， ),1( a ，单调递减区间为 )1,1( a ；当 21 a 时，单调递增区间为 )1,0( a ， ),1( ，单调递减区间为 )1,1( a ；（） (3,4)a 答案： ( ) 递增区间是 0, ， 递减区间是 1,0 ； ( )存在 ， 1m 答案：（）证明略；（） a （ 89,0 思维拓展 题一 答案：有， x=0 处取极小值 - 0 - 专题：导数的应用 极值与最值 设 f(x) 21的导数为 f (x)，若函数 y f (x)的图象关于直线 x 12对称，且 f (1) 0 (1)求实数 a， b 的值； (2)求函数 f(x)的极值 f(x)的导函数 f (x)的图象如图所示，则函数 f(x)的图象最有可能的是图中的 ( ) 设 ，若函 数 x ， 有大于零的极值点，则（ ） A 1a B 1a C D 设 B x R |23(1 a)x 6a0， D AB (1)求集合 D(用区间表示 )； (2)求函 数 f(x) 23(1 a)6 D 内的极值点 已知函数 f(x) x ln(x a)的最小值为 0，其中 a 0 (1)求 a 的值； (2)若对任意的 x 0， )，有 f(x)立，求实数 k 的最小值； - 1 - 已知函数 f (x) 的图象在点 ( 2， f ( 2)处的切线方程为 16x y20 0 (1)求实数 a、 b 的值； (2)求函数 f(x)在区间 1,2上的最 大值； 已知函数 f (x) (a 6)x 1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是 ( ) A 1 a 2 B 3 a 6 C a 3 或 a 6 D a 1 或 a 2 - 2 - 课后练习详解 答案： (1) a 3， b 12； (2) 极大值 21，极小值 6 详解 ： (1)因为 f(x) 21，故 f (x) 62b 从而 f (x) 6 x b 即 y f (x)的图象关于直线 x 从而由题设条件知 12，解得 a 3 又由于 f (1) 0，即 6 2a b 0，解得 b 12 (2)由 (1)知 f(x) 2312x 1， f (x) 66x 12 6(x 1)(x 2) 令 f (x) 0，即 6(x 1)(x 2) 0，解得 2， 1 当 x ( ， 2)时， f (x) 0，故 f(x)在 ( ， 2)上为增函数； 当 x ( 2， 1)时， f (x) 0，故 f(x)在 ( 2， 1)上为减函数； 当 x (1， )时， f (x) 0，故 f(x)在 (1， )上为增函数 从而函数 f(x)在 2 处取得极大值 f( 2) 21， 在 1 处取得极小值 f(1) 6 答案： A 详解 : x ( ， 2) (0， )时 f (x)0) x0 时， 0 且 23(1 a)x 6a0 令 h(x) 23(1 a)x 6a， 9(1 a)2 48a 3(3a 1)(a 3) 当 130， B R于是 D AB A (0， ) 当 a 13时， 0，此时方程 h(x) 0 有唯一解， 4 3 1 134 1， B ( ， 1) (1， ) 于是 D AB (0,1) (1， ) - 3 - 当 时方程 h(x) 0 有两个不同的解 3 3a 4 ， 3 3a 4 B ( ， ( )又 a0，所以 i)当 0a 且 3a 4 1， a D,1D 由表可得， x a 为 f(x)在 D 内的极大值点 当 a0 时， D ( )且 由表可得， f(x)在 D 内单调递增 因此 f(x)在 D 内没有极值点 答案： (1) a 1； (2) 12 详解 :(1)f(x)的定义域为 ( a， ) f (x) 1 1x a x a 1x a 由 f (x) 0，得 x 1 a a 当 x 变化时， f (x)， f(x)的变化情况如下表： - 4 - x ( a,1 a) 1 a (1 a， ) f (x) 0 f(x) 极小值 因此， f(x)在 x 1 a 处取得最小值，故由题意 f(1 a) 1 a 0，所以 a 1 (2)当 k0时，取 x 1，有 f(1) 1 0，故 k0 不合题意 当 k 0 时，令 g(x) f(x) g(x) x x 1) g (x) 1 2 x2x 1 令 g (x) 0，得 0， 1 2 1 当 k12时， 1 20， g (x) 0 在 (0， )上恒成立，因此 g(x)在 0， )上单调递减，从而对任意的 x 0， )，总有 g(x)g(0) 0，即 f(x) 0， )上恒成立，故 k12符合题意 当 0 k 12时， 1 2 0, 对于 x 0， 1 2 g (x) 0，故 g(x)在 0， 1 2单调递增，因此当取 0， 1 2， g( g(0) 0，即 f(立，故 0 k 12不合题意 综上， k 的最小值为 12 答案： (1) a 1， b 0； (2) 当 c 2f(x)在 1, 2上的最大值为 2；当 c 2f(x)在 1, 2上的最大值为 详解 : (1)当 ， f (x) 1, 2上单调递增，且 f(2) 令 2，则 c 2以当 c 2f (x)在 1,2上的最大值为 f (2) 当 0 2f(x)在 1, 2上的最大值为 答案： C 详解 :由于 f (x) (a 6)x 1， 有 f (x) 32(a 6) 若 f (x)有极大值和极小值，则 412(a 6) 0，从而有 a 6 或 a 3，故选 C - 0 - 专题：导数的应用 极值与最值 设 f(x) a ln x 12x 32x 1，其中 a R，曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线垂直于 y 轴 (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值 已知函数 f(x) 导函数 y f (x)的图象经过 点 (1,0)， (2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是 _ 当 x 32时，函数 f(x)取得极小值； f(x)有两个极值点； 当 x 2 时，函数 f(x)取得极小 值； 当 x 1 时，函数 f(x)取得极大值 若函数 f(x) (2 m)m 的图象如图所示，则 m 的范围为 ( ) A ( ， 1) B ( 1,2) C (1,2) D (0,2) 已知函数 f (x) x，其中 a0 (1 )若对一切 x R， f(x)1恒成立，求 a 的取值集合； (2)在函数 f (x)的图象上取定两点 A(f (， B(f (记直线 k问：是否存在 (使 f ( k 成立？若存在，求 取值范围；若不存在，请说明理由 - 1 - 已知函数 f(x)满足 f(x) f (1)1 f(0)x 12 (1)求 f(x)的解析式及单调区间； (2)若 f(x)12b，求 (a 1)b 的最 大值 已知函数 f (x) a(x)(a R) (1)讨论函数 f (x)的单调性； (2)若函数 y f (x)的图象在点 (2， f (2)处的切线的倾斜角为 45， 函数 g(x) f (x) 在区间 (2， 3)上总存在极值，求实数 m 的取值范围 已知函数 f(x) x 1 处取极值 10，则 f(2) _ - 2 - 课后练习详解 答案： (1) a 1； (2)极小值 f(1) 3，无极大值 详解 : (1)因 f(x) a ln x 12x 32x 1，故 f (x) 1232 由于曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线垂直于 y 轴，故该切线斜率为 0，即 f (1) 0， 从而 a 12 32 0，解得 a 1 (2)由 (1)知 f(x) ln x 12x 32x 1(x 0)， f (x) 1x 1232 32x 12 2 令 f (x) 0，解得 1， 13(因 13不在定义域内，舍去 ) 当 x (0,1)时， f (x) 0，故 f(x)在 (0,1)上为减函数； 当 x (1， )时， f (x) 0，故 f(x)在 (1， )上为增函数 故 f(x)在 x 1 处取得极小值 f(1) 3，无极大值 答案： 详解 : 从图象上可以看到：当 x ( ， 1)时， f (x) 0；当 x (1,2)时， f (x) 0；当 x (2， )时， f (x) 0，所以 f(x)有两个极值点 1 和 2，且当 x 2 时函数取得极小值，当 x 1 时函数取得极大值只有 不正确 答案： C 详解 : f (x) (m)(m 2)(m)2 (x m)(x m)(m 2)(m)2 由图知 m 2 0，且 m 0， 故 0 m 2， 又 m 1， m 1，因此 1 m 2，选 C 答案： (1) 1； (2) 取值范围为21211 ax a x x ， 详解 :(1)若 a 0，则对一切 x 0， f (x) x 1，这与题设矛盾又 a0，故 a 0 而 f (x) 1，令 f (x) 0 得 x 1 当 x 1f (x) 0， f(x)单调递减；当 x 1f (x) 0， f (x)单调递增 故当 x 1f(x)取最小值 f 1 1a 1 于是对一切 x R， f (x)1恒成立，当且仅当 1a 1 - 3 - 令 g(t) t t g (t)
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