【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第1-2章（习题课+章末检测+模块综合检测）（打包14套）北师大版必修2
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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第1-2章（习题课+章末检测+模块综合检测）（打包14套）北师大版必修2,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,习题,检测,模块,综合,打包,14,北师大,必修
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1 模块综合检测（ A） (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1直线 x 0 的倾斜角是 ( ) A 90 B 60 C 30 D不存在 2圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点 (1,2)的圆的方程是 ( ) A (y 2)2 1 B (y 2)2 1 C (x 1)2 (y 3)2 1 D (y 3)2 1 3方程 y 1 ) 4若 l、 m、 n 是互不相同的空间直线， 、 是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 ( ) A若 ， l ， n ，则 l n B若 ， l ，则 l C若 l n， m n，则 l m D若 l ， l ，则 5直线 x 2y 3 0 与圆 (x 2)2 (y 3)2 9 交于 E， F 两点，则 是原点 )的面积为 ( ) A 32 B 34 C 2 5 D 6 55 6直线 x 2y 1 0 关于直线 x 1 对称的直线方程是 ( ) A x 2y 1 0 B 2x y 1 0 C 2x y 3 0 D x 2y 3 0 7过圆 4 外一点 M(4， 1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是 ( ) A 4x y 4 0 B 4x y 4 0 C 4x y 4 0 D 4x y 4 0 8以等腰直角三角形 边 的高 折痕，将 成二面角 C B 为多大时，在折成的图形中， 等边三角形 ( ) A 90 B 60 C 45 D 30 9经过点 M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是 ( ) A x y 2 B x y 1 C x 1 或 y 1 D x y 2 或 x y 10若圆 2x 4y 0 的圆心到直线 x y a 0 的距离为 22 ，则 a 的值为 ( ) A 2 或 或 2 B 12或 23C 2 或 0 D 2 或 0 11直线 3x y 2 3 0 截圆 4 得的劣弧所对的圆心角是 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 12在平面直角坐标系中，与点 A(1,2)距离为 1，且与点 B(3,1)的距离为 2 的直线共有 ( ) A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 2 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13已知点 A( 2,3,4)，在 y 轴上有一点 B，且 | 3 5，则点 B 的坐标为 _ 14圆 x 6y 3 0 上两点 P、 Q 关于直线 y 4 0 对称，则 k _ 15如图，某几何体的三视图，其中主视图是腰长为 2 的等腰三角形，左视图是半径为1 的半圆，则该几何体的体积为 _ 16已知圆 C： 4x 6y 8 0，若圆 C 和坐标轴的交点间的线段恰为圆 C 直径，则圆 C 的标准方程为 _ 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 ) 17 (10 分 )已知 边所在直线方程为 3x 4y 12 0， 4x 3y 16 0，2x y 2 0求 上的高所在的直线方程 18 (12 分 )求经过点 P(6， 4)且被定圆 O： 20 截得的弦长为 6 2的直线 3 19 (12 分 ) 如图所示，在四棱锥 P ，底面 正方形， E 为侧棱 中点，求证 平面 20 (12 分 )如图所示，在四棱柱 (侧棱垂直于底面的四棱柱 )知 22 (1)求证 (2)设 E 是 一点，试 确定 E 的位置，使 平面 说明理由 21 (12 分 )已知 M 与两定点 O(0,0)、 A(3,0)的距离之比为 12 (1)求 M 点的轨迹方程； (2)若 M 的轨迹为曲线 C，求 C 关于直线 2x y 4 0 对称的曲线 C 的方程 4 22 (12 分 ) 如图，在五面体 ，四边形 正方形， 平面 1， 2 2， 45 (1)求异面直线 成角的余弦值； (2)证明 平面 (3)求二面角 B A 的正切值 模块综合检测 (A) 答案 1 D 1，且 512， ( 512)2 1 且 0， 依题意得 22 ， 所以 1. (2)由 (1)知 f(x) 22 2x 4 12， 所以 g(x) f(2x) 22 4x 4 12. 当 0 x 16时， 4 4 x 4 2 ， 所以 22 4x 4 1. 因此 1 g(x) 1 22 . 故 g(x)在区间 0， 16 上的最小值为 1. 21解 (1)f(x) 2x 14 x x 2 2x 2x 2x， f( 1112 ) 2 116 ) 2 6 3. (2)g(x) x x 2x 4) x 0， 4)， 2x 4 4 ， 34 ) 当 x 8 时， g(x)2，当 x 0 时， g(x)1. 22解 (1) |a| 1， |b| 1， |a b|2 |a|2 2a b |b|2 |a|2 |b|2 2( ) 1 1 2 )， |a b|2 (2 55 )2 45， 2 2 ) 45得 ) 35. (2) 2 0 2 ， 0 . 由 ) 35得 ) 45， 由 513得 1213. 9 ) ) ) 45 1213 35( 513) 3365. 1 模块综合检测（ B） (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1在某几何体的三视图中，主视图、左视图、左视图是三个全等的圆，圆的半径为 R，则这个几何体的体积是 ( ) A 13 B 23 C D 43 已知水平放置的 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 B O C O 1， A O 32 ，那么 一个 ( ) A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D三边互不相等的三角形 3已知直线 m、 n 与平面 、 ，给出下列三个语句： 若 m ， n ，则 m n； 若 m ， n ，则 n m； 若 m ， m ，则 其中正确的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 4已知两点 A( 1,3)， B(3,1)，当 C 在坐标轴上，若 90 ，则这样的点 C 的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 5三视图如图所示的几何体的全面积是 ( ) A 2 2 B 1 2 C 2 3 D 1 3 6已知圆心为 (2， 3)，一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则圆的方程是 ( ) A (x 2)2 (y 3)2 5 B (x 2)2 (y 3)2 21 C (x 2)2 (y 3)2 13 D (x 2)2 (y 3)2 52 7如右图，在正四棱柱 E、 F 分别是 以下结论中 不成立 的是 ( ) 2 A B 直 C 面 D 8过圆 4 上的一点 (1， 3)的圆的切线方程是 ( ) A x 3y 4 0 B 3x y 0 C x 3y 0 D x 3y 4 0 9若 x、 y 满足 2x 4y 20 0，则 ) A 5 5 B 5 5 C 30 10 5 D无法确定 10若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x 3y 0 和 x 轴都相 切，则该圆的标准方程是 ( ) A (x 3)2 (y 73)2 1 B (x 2)2 (y 1)2 1 C (x 1)2 (y 3)2 1 D x 32 2 (y 1)2 1 11设 r0，两圆 (x 1)2 (y 3)2 16 可能 ( ) A相离 B相交 C内切或内含或相交 D外切或外离 12一个三棱锥 S 三条侧棱 两互相垂直，且长度分别为 1， 6，3，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为 ( ) A 16 B 32 C 36 D 64 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13已知 2x 1 0 与 y 3x 1，若两直线平行，则 m 的值为 _ 14如图所示，已知 平面 图中互相垂直的平面有 _ 15已知直线 5x 12y a 0 与圆 2x 0 相切，则 a 的值为 _ 16过点 P(1， 2)的直线 l 将圆 C： (x 2)2 4 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 l 的斜率 k 为 _ 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 ) 17 (10 分 )已知 ， 90 ， 平面 求证： 平面 3 18 (12 分 )已知 顶点 A(5,1)， 上的中线 在直线方程为 2x y 50， 上的高线 在直线方程为 x 2y 5 0，求 (1)顶点 C 的坐标； (2)直线 方程 19 (12 分 )已知点 P(0,5)及圆 C： 4x 12y 24 0，若直线 l 过点 P 且被圆 3，求 l 的方程 20 (12 分 )沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开，可将侧面展到一个平面上，所得的矩形称 为圆柱的侧面展开图，其中矩形长与宽分别是圆柱的底面圆周长和高 (母线长 )，所以圆柱的侧面积 S 2 中 r 为圆柱底面圆半径， l 为母线长现已知一个圆锥的底面半径为R，高为 H，在其中有一个高为 x 的内接圆柱 (1)求圆柱的侧面积； (2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？ 4 21 (12 分 ) 如图，长方体 1， 2，点 P 为 求证： (1)直线 平面 (2)平面 平面 (3)直线 平面 22 (12 分 )已知方程 2x 4y m 0 (1)若此方程表示圆，求 m 的取值范围； (2)若 (1)中的圆与直线 x 2y 4 0 相交于 M、 N 两点，且 为坐标原点 )，求m； (3)在 (2)的条件下，求以 直径的圆的方程 5 模块综合检测 (B) 答案 1 D 由三视图知该几何体为半径为 R 的球， 知 V 43 2 A 3 C 中 m 与 n 可能相交，也可能异面， 错误 4 C 由题意，点 C 应该为以 直径的圆与坐标轴的交点以 直径的方程是(x 1)(x 3) (y 3)(y 1) 0，令 x 0，解得 y 0 或 4；令 y 0，解得 x 0 或 2所以该圆与坐标轴的交点有三个： (0,0)， (0,4)， (2,0) 5 A 由所给三视图可知该几何体为四棱锥，为正方体的一部分如图所示 故全面积 S 2 2 6 C 该圆过原点 7 D 连接 E 是 EA 1B， A 1 1 故 D 不成立 8 A 过圆 切线方程为 9 C 配方得 (x 1)2 (y 2)2 25，圆心坐标为 (1， 2)，半径 r 5，所以 5 5，故可求 0 10 5 10 B 设圆心为 (a， b)，由题意知 b r 1， 1 |4a 3|32 42，又 a0 ， a 2， 圆的标准方程为 (x 2)2 (y 1)2 1 11 C 由于点 (1， 3)在圆 16 内，所以内切或内含或相交 12 A 以三棱锥的三条侧棱 棱长构造长方体，则长方体的体对角线即为球的直径，长为 4 球半径为 2， S 球 4 16 6 13 23 14平面 平面 面 平面 面 平面 15 8 或 18 解析 |51 120 a|52 122 1，解得 a 8 或 18 16 22 解析 当直线与 直时，劣弧所对的圆心角最小，故直线的斜率为 22 17证明 90 ， C 又 平面 面 C 又 C A， 平面 面 D 又 D ， C C， 平面 平面 平面 18解 (1)由题意，得直线 方程为 2x y 11 0 解方程组 2x y 5 02x y 11 0 ， 得点 C 的坐标为 (4,3) (2)设 B(m， n)， M m 52 ， n 12 于是有 m 5 n 12 5 0， 即 2m n 1 0 与 m 2n 5 0 联立， 解得 B 点坐标为 ( 1， 3)， 于是有 6x 5y 9 0 19解 如图所示， | 4 3，设 D 是线段 中点，则 B ， | 2 3， | 4 在 ，可得 | 2 设所求直线 l 的斜率为 k， 则直线 l 的方程为： y 5 即 y 5 0由点 C 到直线 距离公式： | 2k 6 5|1 2，得 k34，此时直线 l 的方程为 3x 4y 20 0 又直线 l 的 斜率不存在时，也满足题意，此时方程为 x 0 所求直线 l 的方程为 x 0 或 3x 4y 20 0 20解 (1)画圆锥及内接圆柱的轴截面 (如图所示 ) 7 设所求圆柱的底面半径为 r， 它的侧面积 S 圆柱侧 2 因为 H 所以 r R RHx 所以 S 圆柱侧 2 2 x 2 (2)因为 S 圆柱侧 的表达式中 以这个二次函数有最大值 这 时圆柱的高 x 故当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大 21 证明 (1)设 D O，连接 在 中， P 、 O 分别是 中点， D 1， 又 面 平面 直线 平面 (2)长方体 1， 底面 正方形， D 又 平面 面 D 1 又 D 1 D， 面 面 平面 面 平面 平面 (3) 2， 3， 5， C 是直角三角形， C 同理 A ， 又 C P， 面 面 直线 平面 22解 (1)(x 1)2 (y 2)2 5 m， m5 (2)设 M( N( 则 4 24 2 则 16 8( 4 N ， x 10 16 8( 50 由 x 4 22x 4y m 0 得 516y m 8 0 y 1 165 ， 8 8 代入 得， m 85 (3)以 直径的圆的方程为 (x x (y y 0 即 (x2)x (y2)y 0 所求圆的方程为 85x 165y 0 1 模块综合检测（ C） (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1如图所示，桌面上放着一个圆锥和一个长方体，其左视图是 ( ) 2如图所示，一个空间几何体的主视图、左视图、左视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为 1，那么这个几何体的体积为 ( ) A 1 B 12 C 13 D 16 3直线 (2m 3)x (m)y 4m 1 在 x 轴上的截距为 1，则 m 等于 ( ) A 1 B 2 C 12 D 2 或 12 4直线 4x 3y 2 0 与圆 24y 12 0 总有两个不同的交点，则 a 的取值范围是 ( ) A 3 5， 圆 C 与直线 y 2x 4 不相交， t 2 不符合题意，舍去 圆 C 的方程为 (x 2)2 (y 1)2 5 1 【步步高 学案导学设计】 2014年高中数学 第一章 立体几何初步习题课一北师大版必修 2 【课时目标】 1能熟练应用直线、平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明 2进一步体会化归思想在证明中的应用 a、 b、 c 表示直线， 、 、 表示平面 位置 关系 判定定理 (符号语言 ) 性质定理 (符号语言 ) 直线与平面平行 ab 且 _a a ， _ab 平面与平面平行 a ， b ，且 _ ， _ab 直线与平面垂直 la ， lb ， _l a ， b _ 平面与平面垂直 a ， _ ， a， _b 一、选择题 1不同直线 m、 n 和不同平面 、 给出下列推论： m ； m n ； m， n 异面； m m 其中错误的有 ( ) A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 2下列说法中： (1)平行于同一直线的两个平面平行； (2)平行于同一平面的两个平面平行； (3)垂直于同一直 线的两直线平行； (4)垂直于同一平面的两直线平行其中正确的个数有 ( ) A 4 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 3若 a、 b 表示直线， 表示平面，下列推论中正确的个数为 ( ) a ， b ab ； a ， ab b ； a ， ab b A 1 B 2 C 3 D 0 4过平面外一点 P： 存在无数条直线与平面 平行； 存在无数条直线与平面 垂直； 有且只有一条直线与平面 平行； 有且只有一条直线与平面 垂直， 其中正确的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 5如图所示，正方体 P 在侧面 且总是保持 D 1，则动点 P 的轨迹是 ( ) 2 A线段 线段 D 中点与 6三棱锥 D 三个侧面分别与底面全等，且 3， 2，则二面角 AD 的大小为 ( ) A 90 B 60 C 45 D 30 二、填空题 7下面四种说法中正确的是 _(填序号 ) (1)如果平面 M 平面 N，且 MN a，点 A 在平面 M 内，经 A 作直线 ba ，则 b 平面N； (2)如果直线 a 平面 M，直线 a 平面 N，则平面 M 平面 N； (3)如果直线 a 平面 M，平面 M 平面 N，则直线 a 平面 N； (4)如果平面 M 垂直于三角形 一边，则平面 M 垂直于 在平面 8如果一条直线与一个平面垂直，那么 ，称此直线与平面构成一个 “ 正交线面对 ” ，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 “ 正交线面对 ” 的个数是 _ 9如图所示，在正方体 P 为 该正方体各个面上的正射影可能是 _ (填序号 ) 三、解答题 10如图所示， 正三角形， 平面 E ，且 2M 是 求证： (1) (2)平面 平面 (3)平面 平面 3 11如图，棱柱 1B (1)证明：平面 平面 (2)设 D 是 1B 平面 能力提升 12四棱锥 P 顶点 P 在底面 的投影恰好是 A，其三视图如图： (1)根据图中的信息，在四棱锥 P 侧面、底面和棱中，请把符合要求的结论填写在空格处 (每空只要求填一种 )： 一对互相垂直的异面直线 _； 一对互相垂直的平面 _； 一对互相垂直的直线和平面 _ 13如图，在多面体 ，四边 形 正方形， 22， B ， B ， 90 ， H 为 中点 (1)求证： 平面 (2)求证： 平面 转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为 4 即利用线线平行 (垂直 )，证明线面平行 (垂直 )或证明面面平行 (垂直 )；反过来，又利用面面平行 (垂直 )，证明线面平行 (垂直 )或证明线线平行 (垂直 )，甚至平行与垂直之间的转化这样，来来往往，就如同运用 “ 四渡赤水 ” 的战略战术，达到了出奇制胜的目的 习题课 (一 ) 答案 知识梳理 位置 关系 判定定理 (符号语言 ) 性质定理 (符号语言 ) 直线与平面平行 a b 且 a ， b a a ， a ， ba b 平面与平面平行 a ， b ，且 a ， b ，a b P ， a， ba b 直线与平面垂直 l a， l b， 且 a ， b ，a b Pl a ， b a b 平面与平面垂直 a ， a ， a， b a， b b 作业设计 1 D 推论 正确，面面平行的性质；推论 不正确，也可能 n ；推论 不正确，如果 m、 n 有一条是 、 的交线，则 m、 n 共面；推论 不正确， m 与 的关系不确定 2 C (2)和 (4)对 3 A 正确 4 B 正确 5 A 连接 D， 面 同理可证 面 P ，始终 A 6 A 5 由题意画出图形，数据如图，取 中点 E， 连接 知 二面角 A D 的平面角 可求得 2，由此得 故 90 7 (2)(4) 解析 (1)错误考查两个平面垂直的性质定 理：若点 A a，则推不出该结论 (2)正确由线面平行的性质定理，直线 a 平行于过 a 的平面与平面 M 的交线 b，则 ， b 垂直于平面 M 与 N 的交线，由面面垂直判定得知该说法正确 (3)错误若两个平面的交线与直线 a 不垂直，该说法就不成立 (4)正确因为 在的平面经过平面 M 的一条垂线，即三角形的某一边由两个平面互相垂直的判定定理知该说法正确 8 36 解析 正方体的一条棱长对应着 2 个 “ 正交线面对 ” ， 12 条棱长共对应着 24 个 “ 正交线面对 ” ；正方体的一条面对角线对应着 1 个 “ 正交线面对 ” ， 12 条面对角线对应着 12 个“ 正交线面对 ” ，共有 36 个 9 10证明 (1)如图所示， 取 中点 F，连接 平面 由已知得 在 ， 12 故 (2)取 中点 N，连接 则 12 N 在平面 ， 平面 平面 面 平面 平面 即平面 平面 (3) 12 12 平行四边形， 平面 平面 面 平面 平面 11 (1)证明 因为侧面 所以 6 又 且 B， 所以 平面 又 面 以平面 平面 (2)解 设 1C 于点 E，连接 则 平面 1交线 因为 平面 以 又 E 是 以 D 为 即 1 12 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 13证明 (1)如图，设 于点 G，则 G 为 中点连接 于 H 为 中点， 故 12 又 12 四边形 平行四边形 而 面 平面 平面 (2)由四边形 正方形，得 又 而 平面 又 H 为 中点， 平面 又 又 G， 平面 1 【步步高 学案导学设计】 2014年高中数学 第一章 立体几何初步习题课二北师大版必修 2 【课时目标】 熟练掌握空间几何体的结构，以三视图为载体，进一步巩固几何体的体积与表面积计算 1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面面积公式 2空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱 ) S 表面积 S 侧 2S 底 V _ 锥 体 (棱锥和圆锥 ) S 表面积 S 侧 S 底 V _ 台体 (棱台和圆台 ) S 表面积 S 侧 S 上 S 下 V _ 球 S _ V 43 、选择题 1圆柱的轴截面是正方形，面积是 S，则它的侧面积是 ( ) A 1 S B S C 2 S D 4 S 2若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( ) A 12 B 23 C 1 D 2 3如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 12，则该几何体的俯视图可以是 ( ) 2 4一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为 ( ) A 280 B 292 C 360 D 372 5棱长为 a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 ( ) A B C D已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是 323 ，则这个三棱柱的体积是 ( ) A 96 3 B 16 3 C 24 3 D 48 3 二、填空题 7一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 _ 8若某几何体的三视图 (单位： 图所示，则此几何体的体积是 _ 3 9圆柱形容器内盛有高度为 8 水，若放入三个相同的球 (球的半径与圆柱的底面半径相同 )后，水恰好淹没最上面的球 (如图所示 )，则球的半径 是 _ 三、解答题 10如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在下面画出 (单位： (1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积； 4 11如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9 6米铁丝，再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和 下底面 (不安装上底面 ) (1)当圆柱底面半径 r 取何值时， S 取得最大值？并求出该最大值 (结果精确到 0 01 平方米 )； (2)若要制作一个如图放置的、底面半径为 0 3 米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图 (作图时，不需考虑骨架等因素 ) 能力提升 12设某几何体的三视图如下 (尺寸的长度单位为 m)则该几何体的体积为 _ 13如图所示，在直三棱柱 面为直角三角形， 90 ， 6， 2， P 是 _ 5 1空间几何体是高考必考的知识点之一，重点考查空间几何体的三视图和体积、表面积的计算，尤其是给定三视图求空间几何体的体积 或表面积，更是近几年高考的热点 其中组合体的体积和表面积有加强的趋势，但难度也不会太大，解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力，由三视图得到正确立体图，进行准确计算 2 “ 展 ” 是化折为直，化曲为平，把立体几何问题转化为平面几何问题，多用于研究线面关系，求多面体和旋转体表面的两点间的距离最值等等 习题课 (二 ) 答案 知识梳理 2 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱 ) S 表面积 S 侧 2S 底 V 体 (棱锥和圆锥 ) S 表面积 S 侧 S 底 V13体 (棱台和圆台 ) S 表面积 S 侧 S 上 S 下 V13(S 上 S 下 下 )h 球 S 4 43 业设计 1 B 设圆柱底面半径为 r，则 S 4 S 侧 2 r2 r 4 S 2 C 由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为 1和 2，三棱柱的高为 2，所以该几何体的体积 V 121 2 2 1 3 C 当俯视图为 A 中正方形时，几何体为边长为 1 的正方体，体积为 1；当俯视图为 B 中圆时，几何体为底面半径为 12，高为 1 的圆柱，体积为 4 ；当俯视图为 C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为 1 的等腰直角三角形，高为 1，体积为 12；当俯视图为 D 中扇形时，几何体为圆柱的 14，且体积为 4 4 C 由三视图可知该几何体是由下面一个 长方体，上面一个长方体组合而成的几何体 下面长方体的表面积为 8102 282 1022 232，上面长方体的表面积为 862 282 262 152，又 长方体表面积重叠一部分， 几何体的表面积为 232 152 262 360 5 C 连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为 22 a 的正四棱锥组成，正四棱锥的高为 八面体的体积为 V 2 13( 22 a)2 6 D 由 43 323 ，得 R 2 正三棱柱的高 h 4 6 设其底面边长为 a，则 13 32 a 2， a 4 3 V 34 (4 3)24 48 3 7 103 解析 该几何体是上面是底面边长为 2 的正四棱锥，下面是底面边长为 1、高为 2 的正四棱柱的组合体，其体积为 V 112 132 21 103 8 144 解析 此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而 V 正四棱台 13(82 42 824 2)3 112， V 正四棱柱 442 32， 故 V 112 32 144 ( 9 4 解析 设球的半径为 r 则 43 r 解得 r 4 ( 10解 (1)如图所示 (2)所求多面体体积 V V 长方体 V 正三棱锥 446 13 1222 2 2843 ( 11解 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为 82 1 2 2r， 塑料片面积 S 2 r(1 2 2r) 2 4 r 4 3 2 4 r 3( 0 8r) 3( r 0 4)2 0 48 当 r 0 4 时， S 有最大值 0 48 ，约为 1 51 平方米 (2)若灯笼底面半径为 0 3 米，则高为 1 2 20 3 0 6(米 )制作灯笼的三视图如图 12 4 解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为 2，底面三角形的一边长 7 为 4，且该边上的高为 3，故所求三棱锥的体积为 V 13 12342 4 ( 13 5 2 解析 将 1，如图 连接 为 点 C 作 D 点， 1， 1， 7 49 1 5 2 1 【步步高 学案导学设计】 2014年高中数学 第一章 立体几何初步章末总结北师大版必修 2 一、直观图和三视图的画法 直观图和三视图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们更好地把握空间几何体的性质，由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化，解决此类问题主要依据它们的概念和画法规则 例 1 一几何体的三视图如图所示 (1)说出该几何体的结构特征并画出直观图； (2)计算该几何体的体积与表面积 2 二、共点、共线、共面问题 1关于多点共线问题往往需要证明这些点在某两个平面的交线上 2多线共点问题的证明往往让其他线都过某两条线的交点 3多点共面问题的证明往往让其他点在某三点或四点确定的平面上 4多线共面问题的证明往 往让其他线在某两条直线确定的平面内 例 2 如图所示，空间四边形 ， E、 F 分别为 中点， G、 H 分别在 D 上，且 C C 12 求证： (1)E、 F、 G、 H 四点共面； (2) 交点在直线 三、平行问题 1空间平行关系的判定方法： (1)判定线线平行的方法 利用线线平行的定义证共面而且无公共点 (结合反证法 )； 利 用平行公理； 利用线面平行性质定理； 利用线面垂直的性质定理 (若 a ， b ，则 ab) ； 利用面面平行性质定理 (若 ， a， b，则 ab) (2)判断线面平行的方法： 线面平行的定义 (无公共点 )； 利用线面平行的判定定理 (a ， b ， ab a) ； 面面平行的性质定理 ( ， a a) ； 面面平行的性质 ( ， a ， a ， a a) (3)面面平行的判定方法有： 平面平行的定义 (无公共点 )； 判定定理 (若 a ， b ， a、 b ，且 ab A，则 ) ； 判定定理的推论 (若 aa ， bb ， a ， b 且 ab A， a ， b ，且 ab A ，则 ) ； 线面垂直性质定理 (若 a ， a ，则 ) ； 平面平行的性质 (传递性： ， ) 2平行关系的转化是： 3 例 3 如图， S 为矩形 在平面外一点， E、 F 分别是 的点，且 D C 求证： 平面 例 4 如图所示，直四棱柱 D ， C ， 2， 1， P、 Q 分别是 求证： 平面 四、垂直问题 1空间垂直关系的判定方法： (1)判定线线垂直的方法有： 计算所成的角为 90( 包括平面角和异面直线所成的角 )； 线面垂直的性质 (若 a ， b ，则 ab) ； 面面垂直的定义：两平面相交形成的二面角的平面角为 90 (2)判定线面垂直的方法有： 线面垂直定义 (一般不易验证任意性 )； 4 线面垂直的判定定理 (ab ， ac ， b ， c ， bc Ma) ； 平行线垂直平面的传递性质 (ab ， b a) ； 面面垂直的性质 ( ， l， a ， al a) ； 面面平行的性质 (a ， a) ； 面面垂直的性质 ( l， ， l) (3)面面垂直的判定方法有： 根据定义 (作两平面构成二面角的平面角，计算其为 90) ； 面面垂直的判定定理 (a ， a ) 2垂直关系的转化是： 例 5 如图所示，在四棱锥 P ，侧面 正三角形，且与底面 直，底面 边长为 2 的菱形， 60 ， N 是 中点，过 A， D， N 的平面交 M，E 为 中点求证： (1)平面 (2)平面 (3)平面 平面 第一章 章末总结 答案 重点解读 例 1 解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其直观图如图所示 (2)由三视图中的尺寸知，组合体下部是底面直径为 8 为 20 圆柱，上部为底面直径为 8 线长为 5 圆锥 易求得圆锥高 h 52 42 3( 体积 V 4 220 134 2 3 336()， 5 表面积 S 4 2 2420 45 196() 该几何体的体积为 336 ， 表面积为 196 点评 三视图画法：它包括主视图、左视图、俯视图三种画图时要遵循 “ 高平齐、长对正、宽相等 ” 的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线 例 2 证明 (1) E、 F、 G、 H 四点共面 (2) G， H 不是 中点， 平行，则必相交，设交点为 M M 面 M 面 M 在面 面 交线上 M 交点在直线 点评 证明线共点、点共线、线共面问题，重要是应用平面的基本性质，先证部分元素共点、共线、共面，再利用基本性质 1,2,3 证明其他元素也具有这个性质，要熟练地掌握这三个基本性质 例 3 证明 方法一 转化为证明面面平行 过 F 作 G，连接 故 又 A， 平面 平面 又 面 平面 方法二 转化为证明线线平行 过 E 作 G，连接 平面 平面 又 6 四边形 平行四边形 平面 点评 本题的证明体现了证明线面平行的常用方法，解决此类问题关键是选择或添加适当的辅助线 (或面 )，使问题得以转化证明线面平行常用的方法是利用线面平行的定义和线面平行的判定定理 例 4 证明 连接 P、 Q 分别是 平面 平面 又 1， 四边形 平面 又 平面 平面 面 平面 例 5 证明 (1)因为 面 平面 以 平面 又平面 平面 所以 以 因为 N 为 中点，所以 M 为 中点， 所以 12 又 E 为 中点， 所以 四边形 平行四边形 所以 又 平面 面 所以 平面 (2)因为 边长为 2 的菱形，且 60 ， 所以 因为 E， 所以 平面 因为 以 平面 (3)由 (2)知 又因为 N 为 中点， 所以 A， 所以 平面 又 面 所以平面 平面 点评 立体几何的证明，我们要牢牢抓住 “ 转化 ” 这一思想，线与线，线与面，面与面之间的垂直与平行都可互相转化，转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、性质定理等 1 第一章 立体几何初步 (A) (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1下列推理错误的是 ( ) A A l， A ， B l， B l B A ， A ， B ， B l ， A lA D A l， l A 2给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中，为真命题的是 ( ) A 和 B 和 C 和 D 和 3一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 的正三角形，原三角形的面积为 ( ) A 64 B 34 C 32 D 62 4如图，若 是长方体 去几何体 中 E 为线段 1的点， F 为线段 1的点，且 下列结论中不正确的是 ( ) A 四边形 矩形 C 是棱柱 D 是棱台 5某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的 “ 走马灯 ” ，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了 “ 年 ” 字，当灯旋转时， 正好看到 “ 新年快乐 ” 的字样，则在 、 、 处应依次写上 ( ) A快、新、乐 B乐、新、快 C新、乐、快 D乐、快、新 6已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是( ) A 16 B 20 C 24 D 32 7圆锥的表面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( ) A 120 B 150 C 180 D 240 8已知 m， n 是不同的直线， ， 是不重合的平面，则下列命题中正确的是 ( ) 2 A若 m ， m n，则 n B若 m ， n ，则 n m C若 m ， m ，则 D若 ， m ，则 m 9把 3 个半径为 R 的铁球熔成一个底面半径为 R 的圆柱，则圆柱的高为 ( ) A R B 2R C 3R D 4R 10一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积 (单位： ( ) A 48 12 2 B 48 24 2 C 36 12 2 D 36 24 2 11如图所示，在正方体 M、 N 分别是 中点则图中阴影部分在平面 ) 12如图所示，在正方体 E 是 直线 直于 ( ) A B C D 、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13等边三角形的边长为 a，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为_ 14如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 _ 3 15若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 _ 16如图所示，在直四棱柱 底面四边形 _时，有 ：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况 ) 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 ) 17 (10 分 )某个几何体的三视图如图所示 (单位： m)， (1)求该几何体的表面积 (结果保留 ) ； (2)求该几何体的体积 (结果保留 ) 4 18 (12 分 )如图是一个空间几何体的三视图，其中主视图和左视图都是边长为 2 的正三角形，左视图是一个正方形 (1)在给定的直角坐标系中作出这
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