【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第2章 数列（课时作业+单元测试）（打包13套）苏教版必修5
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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第2章 数列（课时作业+单元测试）（打包13套）苏教版必修5,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,数列,课时,作业,功课,单元测试,打包,13,苏教版,必修
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1 列 (一 ) 课时目标 并会用通项公式写出数列的任意一项； 会根据其前 n 项写出它的通项公式 1 按照一定次序排列的一列数称为 _， 数列中的每个数叫做这个数列的 _数列中的每一项都和它的序号有关 ， 排在第一位的数称为这个数列的第 1 项 (通常也叫做_项 )， 排 在第二位的数称为这个数列的第 2 项 ， ， 排在第 n 位的数称为这个数列的第 _项 2 数列的一般形式可以写成 ， ， 简记为 _ 3 如果数列 第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个公式来表示 ， 那么这个公式叫做这个数列的 _公式 一 、 填空题 1 已知数列 通项公式为 1 (n N*)， 那么 1120是这个数列的第 _项 2 已知数列 通项公式为 3n 则它的前 4 项依次为_ 3 已知数列 通项公式为 n 50， 则 8 是该数列的第 _项 12， 511， 37， 717， 一个通项公式是 _ 5 数列 ， 的一个通项公式是 _. 6 设 1n 1 1n 2 1n 3 12n (n N*)， 那么 1 _. 7 用火柴棒按下图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去 ， 则所用火柴棒数 n 之间的关系式可以是_ 8 传说古希腊毕达哥拉斯 (约公元前 570 年 公元前 500 年 )学派的数学家经常在 沙滩上研究数学问题 ， 他们在沙滩上画点或用小石子来表示数比如 ， 他们将石子摆成如图所示的三角形状 ， 就将其所对应石子个数称为三角形数 ， 则第 10 个三角形数是 _ 9由 1,3,5， ， 2n 1， 构成数列 数列 足 2， 当 n2 时 ， 1， 则 _. 10 已知数列 足： 3 1， 1 0， n N*， 则 09 _， 14 _. 二 、 解答题 11 根据数列的前几项 ， 写出下列各数列的一个通项公式： (1) 1,7， 13,19， (2) (3)12， 14， 58， 1316， 2932， 6164， 2 (4)32， 1， 710， 917， (5)0,1,0,1， 12 已知数列 99n 291 ； (1)求这个数列的第 10 项； (2)98101是不是该数列中的项 ， 为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间 (0,1)内； (4)在区间 13， 23 内有 、 无数列中的项？若有 ， 有几项？若没有 ， 说明理由 能力提升 13 根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律 ， 试猜测第 n 个图中有多少个点 3 14 在数列 ， 1， 1 1 0， 则此数列的前 2 010 项之和为 _ 1 与集合中元素的性质相比较 ， 数列中的项也有三个性质： (1)确定性：一个数在不在数列中 ， 即一个数 是不是数列中的项是确定的 (2)可重复性：数列中的数可以重复 (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的 “ 数 ” 有关 ， 而且与这些数的排列次序也有关 2 并非所有的数列都能写出它的通项公式例如 ， 的不同近似值 ， 依据精确的程度可形成一个数列 3, ， 它没有通项公式 3 如果一个数列有通项公式 ， 则它的通项公式可以有多种形式例如：数列 1,1， 1,1， 1,1， 的通项公式可写成 ( 1)n， 也可以写成 ( 1)n 2， 还可以写成 1 n 2k ，n 2k ， 其中 k N*. 第 2 章 数 列 数列 (一 ) 答案 知识梳理 1数列 项 首 n 2.作业设计 1 10 解析 1 1120， n(n 2) 1012 ， n 10. 2 4,7,10,15 3 7 解析 n 50 8，得 n 7 或 n 6(舍去 ) 4 n 23n 2 5 13(1 110n) 4 6 12n 1 12n 2 解析 1n 1 1n 2 1n 3 12n， 1 1n 2 1n 3 12n 12n 1 12n 2， 1 12n 1 12n 2 1n 1 12n 1 12n 2. 7 2n 1 解析 3， 3 2 5， 3 2 2 7， 3 2 2 2 9， ， 2n 1. 8 55 解析 三角形数依次为： 1,3,6,10,15， ，第 10 个三角形数为： 1 2 3 4 10 55. 9 33 解析 1， 3， 5， 9， 17， 33. 10 1 0 解析 09 03 3 1， 14 07 1 0. 11解 (1)符号问题可通过 ( 1) 1)n 1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 ( 1)n(6n 5)(n N*) (2)数列变形为 89(1 89(1 89(1 ， 89 1 110n (n N*) (3)各项的分母分别为 21,22,23,24， 易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 变为 2 32 ，因此原数列可化为 21 321 ，22 322 ，23 323 ，24 324 ， ， ( 1)n 2n 32n (n N*) (4)将数列统一为 32， 55， 710， 917， 对于分子 3,5,7,9， ，是序号的 2 倍加 1，可得分子的通项公式为 2n 1，对于分母 2,5,10,17， 联想到数列 1,4,9,16 即数列 可得分母的通项公式为 1， 可得它的一个通项公式为 2n 11(n N*) (5) 0 n N*)或 n N*) 12 (1)解 设 f(n) 99n 291 n nn n 3n 23n 1. 令 n 10，得第 10 项 f(10) 2831. (2)解 令 3n 23n 1 98101，得 9n 300. 此方程无正整数解，所以 98101不是该数列中的项 (3)证明 3n 23n 1 3n 1 33n 1 1 33n 1， 又 n N*， 076n83. 76n83. 又 n N*， 当且仅当 n 2 时，上式成立，故区间 13， 23 上有数列中的项，且只有一项为 47. 13解 图 (1)只有 1 个点，无分支；图 (2)除中间 1 个点外，有两个分支，每个分支有1 个点；图 (3)除中间 1 个点外，有三个分支，每个分支有 2 个点；图 (4)除中间 1 个点外，有四个分支，每个分支有 3 个点； ；猜测第 n 个图中除中间一个点外，有 n 个分支，每个分支有 (n 1)个点，故第 n 个图中点的个数为 1 n(n 1) n 1. 14 1 003 解析 1 1， 1， 0， 1， 0， 1， ， n 为偶数时， 0； n 为奇数时，除 1 外， 1. 10 ( (08 09) 10 1 ( 1)1 004 0 1 003. 1 列 (二 ) 课时目标 明确递推公式与通项公式的异同； 能用函数的观点研究数列 1 如果数列 第 1 项或前几项已知 ， 并且数列 任一项 1(或前几项 )间的关系可以用一个式子来表示 ， 那么这个式子就叫做这个数列的递推公式 2 数列可以看作是一个定义域为 _(或它的有限子集 1,2,3， ， k)的函数 ， 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时 ， 对应的一列 _ 3 一般地 ， 一个数列 如果从第 2 项起 ， 每一项都大于它的前一项 ， 即 1么这个数列叫做递增数列如果从第 2 项起 ， 每一项都小于它的前一项 ， 即 1100 的 n 的最小值是 _ 5 如果一个 数列 足 1 H (H 为常数 ， n N )， 则称数列 等和数列 ， 已知等和数列 ， 1， H 3， 则 09等于 _ 6 已知数列 足 0， 1 331(n N )， 则 _ 7 已知数列 足： 1， n ， n N*， 则实数 的最小值是 _ 8 已知数列 足 1 2 0 1)， 则图象呈上升趋势 ， 即数列递增 ， 即 增 1n (n N*)都成立类似地 ， 有 减 1 . 所以，数列 前 30 项中最大的项是 小的项是 11 (1)证明 3 1 12 1 11 11 1 11 11 11 11 1 1 11 1 1 1 11 1 (1 3 (2)解 由 (1)知数列 周期 T 3， 4 12， 1， 2. 又 10 70 2， 10 2. 12解 因为 1 910 n 1( n 2) 910 n( n 1) 910 n 1 n 109 n 910 n 1 8 则 当 n7 时， 910 n 1 8 0， 当 n 8 时， 910 n 1 8 0， 当 n9 时， 910 n 1 8 n9 ， 故数列 在最大项，最大项为 99108. 13 1n 解析 1 1n n ， 112 ； 123 ； 134 ； 1 1n n； 以上各式累加得， 112 12 3 1n n 1 12 12 13 1n 1 1n 1 1n. 1 1 1n， 1n. 14 1n 解析 (n 1)1 1 0， (n 1)1 ( 1 0， ， 10， (n 1)1 0. 方法一 11. 1 12 23 34 45 n 1n ， 1n. 5 又 1， 11n. 方法二 (n 1)1 0， (n 1)1 1 1， 1， 1n. 1 差数列的概念 (一 ) 差数列的通项公式 (一 ) 课时目标 1 如果一个数列从第二项起 ， 每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数 ， 那么这个数列就叫做 _数列 ， 这个常数叫做等差数列的 _， 公差通常用字母d 表示 2 若三个数 a， A， b 构成等差数列 ， 则 A 叫做 a 与 b 的 _， 并且 A _. 3 若等差数列的首项为 公差为 d， 则其通项 _. 4 等差数列 ， 若公差 d0， 则数列 递增数列；若公差 n N*时 ， 有 121 11 2设 1n N*. (1)求证：数列 等差数列 (2)试问 的项？如果是 ， 是第几项； 如果不是 ， 请说明理由 1 判断一个数列 否是等差数列 ， 关键是看 1 n 无关的常数 2 由等差数列的通项公式 (n 1)d 可以看出 ， 只要知道首项 d， 就可以求出通项公式 ， 反过来 ， 在 d、 n、 只要知道其中任意三个 量 ， 就可以求出另一个量 3 三个数成等差数列可设为： a d， a， a d 或 a， a d， a 2d；四个数成等差数列可设为： a 3d， a d， a d， a 3d 或 a， a d， a 2d， a 3d. 等差数列 2 差数列的概念 (一 ) 2 差数列的通项公式 (一 ) 答案 知识梳理 1等差 公差 a (n 1)d 作业设计 1 2 2. 3 3 60 4 52 5 14n 1 解析 a (3 a) 2(2a 1)， a 54. 3 这个等差数列的前三项依次为 54， 32， 74. d 14， 54 (n 1) 14 1. 析 2x a b，2b x 2x， ab32x. 13. 析 n m 313(n m) 又 n m 414(n m) 3 n n m 43. 8 2 解析 设前三项分别为 a d， a， a d，则 a d a a d 12 且 a(a d)(a d) 48，解得 a 4 且 d 2 ，又 增， d0，即 d 2， 2. 得：831， n N*时， 121 11 21 221 11 12 21111 4 1 4，且 15. 等差数列，且公差为 4，首项为 5. (2)解 由 (1)知 (n 1)d 5 4(n 1) 4n 1. 114n 1， n N*. 15， 19， 145.令 14n 1 145， n 11. 即 的项，是第 11 项 1 差数列的概念 (二 ) 差数列的通项公式 (二 ) 课时目标 1 等差数列的通项公式 (n 1)d， 当 d 0 时 ， n 的常函数；当 d0时 ， n 的一次函数；点 (n， 布在以 _为斜率的直线上 ， 是这条直线上的一列孤立的点 2 已知在公差为 d 的等差数列 的第 m 项 n 项 an(m n)， 则 n _. 3 对于任意的正整数 m、 n、 p、 q， 若 m n p ， _ 一 、 填空题 1 若 等差数列 ， 8， 20， 则 _. 2 在等差数列 ， 若 80， 则 12_ 3 已知数列 等差数列且 4 ， 则 值为 _ 4 已知 等差数列 ， 105， 99， 则 _. 5 已知等差数列 公差为 d(d0) ， 且 32， 若 8， 则 m 为_ 6 如果等差数列 ， 12， 那么 _ 7 已知 1 且 6， 4， 则 _. 8 设公差为 2 的等差数列 如果 50， 那么 _ 9 若数列 等差数列 ， q， p(p q)， 则 _ 10 已知方程 (2x m)(2x n) 0 的四个根组成一个首项为 14的等差数列 ， 则 |m n| _. 二 、 解答题 11 等差数列 公差 d0 ， 试比较 12 已知等差数列 ， 15， 45， 求此数列的通项公式 2 能力提升 13 已知两个等差数列 5,8,11， ， 3,7,11， ， 都有 100 项 ， 试问它们有多少个共同的项？ 14 下表给出一个 “ 等差数阵 ” ： 4 7 ( ) ( ) ( ) 7 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 其中每行 、 每列都是等差数列 ， i 行第 j 列的数 (1)写出 (2)写出 1 在等差数列 ， 当 m n 时 ， d n 为公差公式 ， 利用这个公式很容易求出公 3 差 ， 还可变形为 (m n)d. 2 等差数列 ， 每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列 ， 构成的新数列仍然是等差数列 3 等差数列 ， 若 m n p q， 则 aq(n， m， p， q N*)， 特别地 ， 若m n 2p， 则 22 差数 列的概念 (二 ) 2 差数列的通项公式 (二 ) 答案 知识梳理 1 d 业设计 1 24 解析 45d， d 415， 15d 20 4 24. 2 8 解析 由 580， 16， 1212(2 12( 128. 3 3 解析 由等差数列的性质得 34 ， 43 . 3. 4 1 解析 105， 3105， 35. 399. 33， d 2. 16d 33 16( 2) 1. 5 8 解析 由等差数列性质 ( ( 22432， 8， 又 d0 ， m 8. 6 28 解析 312， 4. ( ( ( 728. 析 1114 16 2d， 即 d 124. 所以 114d 14 16 512， 所以 125. 8 82 解析 (2d) (2d) (2d) (2d) ( 2d33 4 50 2( 2)33 82. 9 0 解析 d q q q 1， q q q( 1) 0. 析 由题 意设这 4 个根为 14， 14 d， 14 2d， 14 3d. 则 14 14 3d 2， d 12， 这 4 个根依次为 14， 34， 54， 74， n 14 74 716， m 34 54 1516或 n 1516， m 716， |m n| 12. 11解 设 (n 1)d， 则 (3d)(8d) (5d)(6d) (1124 (1130 6， 所以 12 解 2315， 5. 又 45， 9， 即 (2d)(2d) 9， (5 2d)(5 2d) 9， 解得 d 2. 若 d 2， (n 4)d 2n 3； 若 d 2， (n 4)d 13 2n. 13解 在数列 ， 5，公差 8 5 3. (n 1)3n 2. 在数列 ， 3，公差 7 3 4， (n 1)4n 1. 令 3n 2 4m 1， n 4 1. m、 n N*， m 3k(k N*)， 又 0m1000n100 ，解得 0m75. 03k75 ， 0k25 ， k 1,2,3， ， 25 两个数列共有 25 个公共项 14解 (1)通过观察 “ 等差数阵 ” 发现：第一行的首项为 4，公差为 3；第二行首项为7，公差为 一列 (每行的首项 )是以 4 为首项， 3 为公差的等差数列，即 3i 1，各行的公差是以 3 为首项， 2 为公差的等差数列，即 2i 行，首项应为 13，公差为 9，进而得出 49. (2)该 “ 等差数阵 ” 的第一行是首项为 4，公差为 3 的等差数列： 4 3(j 1)； 第二行是首项为 7，公差为 5 的等差数列： 7 5(j 1)； 第 i 行是首项为 4 3(i 1)，公差为 2i 1 的等差数列，因此， 4 3(i 1) (2i 1)(j 1) 2i j i(2j 1) j. 1 差数列的前 n 项和 (一 ) 课时目标 n 项和公式及其性质 握等差数列的五个量 d， n， 1 把 前 n 项和 ， 记做 _例如 _； 1 _ (n2) 2 若 等差数列 ， 则 n _；若首项为 公差为 d， 则 n _. 3 等差数列前 n 项和的性质 (1)若数列 公差为 d 的等差数列 ， 则数列 是等差数列 ， 且公差为 _ (2)前 m 项 ， 前 2m 项 ， 前 3m 项的和 ， 则 (3)设两个等差数列 前 n 项和分别为 则 11. 一 、 填空题 1 设 前 n 项和 ， 已知 3， 11， 则 _. 2 等差数列 ， 4则 _. 3 已知等差数列 ， 29， 且 n 19 时，剩余钢管根数最少，为 10 根 14 5 解析 11 14n 382n 2 7n 19n 1 n 12n 1 7 12n 1， n 1,2,3,5,11. 1 差数列的前 n 项和 (二 ) 课时目标 n 项和的性质 ， 并能灵活运用 握等差数列前 能根据 1 前 n 项和 对任意数列 n 项和 ， n ，n 2 等差数列前 n 项和公式 _ _. 3 等差数列前 n 项和的最值 (1)在等差数列 当 ， ， _值 ， 使 n 可由不等式组 _确定 (2)因为 a1d2 n， 若 d0 ， 则从二次函数的角度看：当 d0 时 ， _值；当 则下列结论正确的是_(只填序号 ) 7均为 二 、 解答题 11 设等差数列 足 5， 9. (1)求 通项公式； 2 (2)求 前 n 项和 n 的值 12 已知等差数列 ， 记 n 项和 ， 若 16， 24， 求数列 |的前 n 项和 能力提升 13 数列 前 n 项和 3n 2n N*)， 则当 n2 时 ， _ 14 设等差数列 前 n 项和为 已知 12， 且 ， ，10时 ， 3 求等差数列 n 项的绝对值之和 ， 关键是找到数列 正负项的分界点 2 差数列的前 n 项和 (二 ) 答案 知识梳理 3 1 n 1 2.n n n2 d 3 (1)大 10 小 10 (2)小 大 作业设计 1 2n 2 2 1 解析 等差数列前 n 项和 1. 3 8 解析 由 n 11， n2 ， 2n 10. 由 5180 舍去 所以凸 n 边形的边数为 9. 9 110 解析 方法一 设 100， 10， 102a 10b 100，1002a 100b 10， 解得 a 11100，b 11110. 1110011110n. 11100110 2 11110 110 110. 方法二 数列 ， 等差数列，设其公差为D. 前 10 项的和 101092 D 10，解得 D 22， (11 1)D 100 10( 22) 120. 120 110. 方法三 又 10 100 90， 2. 110. 10 解析 由 6 S70，所以 析 由 n1 n ， 解得 5 4n. 5 41 1， n， 5n 4 n (3n 2 22n 2n(n 1)0. 3n 2(5n 4 22n0. n14 解 (1)根据题意 ， 有 ： 1212112 d0，1313122 d0，6 ， 而 13 13 . 数列 前 6 项和 1 比数列的概念 (一 ) 比数列的通项公式 (一 ) 课时目标 能够利用定义判断一个数列是否为等比数列 握等比数列的通项公式并能简单应用 握等比中项的定义 ， 能够应用等比中项的定义解决有关问题 1 如果一个数列从第 _项起 ， 每一项与它的前一项的 _都等于同一个常数 ， 那么这个数列叫做等比 数列这个常数叫做等比数列的 _， 通常用字母 _表示(q0) 2 等比数列的通项公式： _. 3 等比中项的定义 如果 a、 G、 b 成等比数列 ， 那么 G 叫做 a 与 b 的 _， 且 G _. 一 、 填空题 1 在等比数列 ， ， 且 1 9 则 _ 2 已知等比数列 前三项依次为 a 1， a 1， a 4， 则 _. 3 已知等比数列 足 3， 6， 则 _ 4 如果 1， a， b， c， 9 成等比数列 ， 那么 b _， _. 5 已知等比数列 ， 各项都是正数 ， 且 12 则 6 设数列 公比 q1 的等比数列 ， 若 8x 3 0 的两根 ， 则 _. 7 一个数分别加上 20,50,100 后得 到的三个数成等比数列 ， 其公比为 _ 8 首项为 3 的等比数列的第 n 项是 48， 第 2n 3 项是 192， 则 n _. 9 若正项等比数列 公比 q1 ， 且 则 _ 10 一个直角三角形的三边成等比数列 ， 则较小锐角的正弦值是 _ 二 、 解答题 11 已知 等比数列 ， 2， 203 ， 求 通项公式 12 已知数列 前 n 项和为 13(1) (n N*) 2 (1)求 (2)求证：数列 等比数列 能力提升 13 设 公比为 q 的等比数列 ， |q|1， 令 1(n 1,2， ) ， 若数列 连续四项在集合 53， 23,19,37,82中 ， 则 6q _. 14 已知数列 足 1， 1 21， (1)求证：数列 1是等比数列； (2)求 1 等比数列的判断或证明 (1)利用定义： 1q (与 n 无关的常数 ) (2)利用等比中项： 1 2 (n N*) 2 等比数列 通项公式 1共涉及 q， n 四个量已知其中三个量可求得第四个 等比数列 2 比数列的概念 (一 ) 2 比数列的通项公式 (一 ) 答案 知识梳理 1 2 比 公比 q 1 业设计 1 27 解析 由已知 1， 9， 9. q 3(q 3 舍 )， (a4)q 27. 3 2 4( 32)n 1 解析 由已知 (a 1)2 (a 1)(a 4)，得 a 5，则 4， q 64 32， 4( 32)n 1. 3 64 解析 等比数列， q 2. 又 3， 1.故 12 6 64. 4 3 9 解析 ( 1)( 9) 9 且 b 与首项 1 同号， b 3，且 a， c 必同号 9. 5 3 2 2 解析 设等比数列 公比为 q， 12 2 2 2q 1 0， q 1 2. ， q0， q 1 2. (1 2)2 3 2 2. 6 18 解析 由题意得 12， 32， q 3. (a5)(12 32)3 2 18. 析 设这个数为 x，则 (50 x)2 (20 x)(100 x)， 解得 x 25， 这三个数 45,75,125，公比 q 为 7545 53. 8 5 解析 设公比为 q， 则 31 4834 192 1 164 64 4， 得 q 2. 由 (2) n 1 16，得 n 5. 9. 5 12 解析 2 2 21 0， (q 1)(q 1) 0 (q1) ， q 1 0， q 5 12 (q 1 52 1)， 则 ( ( 5 12 . 较小锐角记为 ，则 15 12 . 11解 设等比数列 公比为 q，则 q0. 2q， 2q， 2q 2q 203. 解得 13， 3. 当 q 13时， 18， 18 13 n 1 23 3 n. 当 q 3 时， 29， 293 n 1 23 n 3. 综上，当 q 13时， 23 3 n； 当 q 3 时， 23 n 3. 12 (1)解 由 13(1)，得 13(1)， 12. 又 13(1)，即 13(1)，得 14. (2)证明 当 n2 时， 1 13(1) 13(1 1)， 得 1 12，又 12， 所以 首项为 12，公比为 12的等比数列 13 9 解析 由题意知等比数列 连续四项在集合 54， 24， 18,36,81中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故 24,36， 54,81，符合题意，则 q32， 6q 9. 14 (1)证 明 1 21， 1 1 2(1)， 1 11 2. 1是等比数列，公比为 2，首项为 2. 5 (2)解 由 (1)知 1是等比数列 公比为 2，首项 1 2. 1 (1)2 n 1 2n. 2n 1. 1 比数列的概念 (二 ) 比数列的通项公式 (二 ) 课时目标 能用性质灵活解决问题 1 一般地 ， 如果 m， n， k， l 为正整数 ， 且 m n k l， 则有 _， 特别地 ， 当 m n 2k 时 ， _. 2 在等比数列 ， 每隔 k 项 (k N*)取出一项 ， 按原来的顺序排列 ， 所得的新数列仍为 _数列 3 如果 为等比数列 ， 且公比分别为 那么数列 1 |仍是等比数列 ， 且公比分别为 1| 一 、 填空题 1 在等比数列 ， 1， 16， 则 _. 2 在等比 数列 ， 1， 公比 |q|1. 若 则 m _. 3 已知 a， b， c， d 成等比数列 ， 且曲线 y 2x 3 的顶点是 (b， c)， 则 _. 4 已知等差数列 公差为 2， 若 则 _. 5 在 1与 2之间插入 6个正数 ， 使这 8个数成等比数列 ， 则插入的 6个数的积为 _ 6 若 a， b， c 成等比数列 ， m 是 a， b 的等差中项 ， n 是 b， c 的等差中项 ， 则 _. 7 已知各项为正数的等比数列 ， 5， 10， 则 8 在由正数组成的等比数列 ， 若 3， _ 9 已知数列 1， 4 成等差数列 ， 1， 4 成等比数列 ， 则 _ 10 在正项等比数列 ， 16， 5， 则 _. 二 、 解答题 11 有四个数 ， 前三个数成等比数列 ， 后三个数成等差数列 ， 首末两项和为 21， 中间两项和为 18， 求这四个数 12 设 公比不相等的两个等比数列 ， 证明数列 是等比数列 2 能力提升 13 若互不相等的实数 a、 b、 c 成等差数列 ， c、 a、 b 成等比数列 ， 且 a 3b c 10，则 a _. 14 互不相等的三个数之积为 8， 这三个数适当排列后可成为等比数列 ， 也可排成等差数列 ， 求这三个数排成的等差数列 1 等比数列的基本量是 q， 依据题目条件建立关于 q 的方程 (组 )， 然后解方程 (组 )， 求得 q 的值 ， 再解决其它问题 2 如果证明数列不是等比数列 ， 可以通过具有三个连续项 不成等比数列来证明 ， 即存在 1， 2， 使 1 2. 3 巧用等比数列的性质 ， 减少计算量 ， 这一点在解题中也非常重要 2 比数列的概念 (二 ) 2 比数列的通项公式 (二 ) 答案 知识梳理 1 al 作业设计 1 4 解析 由题意知， 16， 4， 4. 2 11 解析 在等比数列 ， 1， 1 1， m 1 10， m 11. 3 2 解析 y (x 1)2 2， b 1， c 2. 又 a， b， c， d 成等比数列， 2. 4 6 3 解析 由题意知， 4， 6. (4)2 (6) 解得 8， 6. 5 8 解析 设这 8 个数组成的等比数列为 则 1， 2. 插入的 6 个数的积为 ( ( ( 23 8. 6 2 解析 设等比数列公比为 q. 由题意知： m a n b 则 2b 2c 21 q 2q 2. 7 5 2 解析 5， 3 5. 10， 3 10. 3 50 5013， 又 数列 项为正数， 5016. 5012 5 2. 析 3， 得 313. 43. 析 1， 4 成等差数列，设公差为 d， 则 d 13( 4) ( 1) 1， 1， 4 成等比数列， ( 1)( 4) 4， 2. 若设公比为 q，则 ( 1) . 2， 1 2 12. 析 设公比为 q，则由等比数列 项为正数且 1q1， 由 6，得 6. 6， 6q 6q 5. 4 解得 q 26， 1( 62 )2 32. 11解 设这四个数分别为 x， y,18 y,21 x， 则由题意得 x y y y x ， 解得 x 3y 6 或 x 754 ，y 454. 故所求的四个数为 3,6,12,18 或 754 ， 454 ， 274 ， 94. 12证明 设 公比分别为 p、 q， p0 ， q0 ， p q， 要证 是等比数列，只需证 事实上， ( 2 ( 由于 p q)20 ，因此 是等比数列 13 4 解析 依题意有 2b a c， a 3b c 10， 代入 求得 b 2. 从而 a c 4，2c 2a 8 0， 解得 a 2 或 a 4. 当 a 2 时， c 2，即 a b c 与已知不符， a 4. 14解 设三个数为 a， 8，即 a 2， 三个数为 2q， 2， 2q. (1)若 2 为 22q 的等差中项，则 2q 2q 4， 2q 1 0， q 1，与已知矛盾； (2)若 2q 为 22 的等差中项，则 1q 1 2q， 2q 1 0， q 12或 q 1(舍去 )， 三个数为 4,1， 2； (3)若 22q 与 2 的等差中项，则 q 1 2q， q 2 0， q 2 或 q 1(舍去 )， 三个数为 4,1， 2. 综合 (1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为 4,1， 2 或 2,1,4. 1 比数列的前 n 项和 (一 ) 课时目标 1 等比数列前 n 项和公式： (1)公式： . (2)注意：应用该公式时 ， 一定不要忽略 q 1 的情况 2 若 等比数列 ， 且公比 q1 ， 则前 n 项和 q(1 A(1)其中 A _. 3 推导等比数列前 n 项和的方法叫 _法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前 n 项和 一 、 填空题 1 设 前 n 项和 ， 80， 则 _. 2 设等比数列 前 n 项和为 若 1， 4则 _. 3 记等比数列 前 n 项和为 若 2， 18， 则 _. 4 设等比数列 公比 q 2， 前 n 项和为 则 _. 5 设 公比为 若 等差数列 ， 则 q _. 6 若等比数列 ， 1， 512， 前 n 项和为 341， 则 n 的值是 _ 7 在等比数列 ， 公比 q 是整数 ， 18， 12， 则此数列的前 8 项和为 _ 8 设 由正数组成的等比数列 ， n 项和 ， 已知 1， 7， 则 _. 9 如果数列 前 n 项和 21， 则此数列的通项公式 _. 10 在数列 ， 1 c 为非零常数 )， 且前 n 项和为 3n 1 k， 则实数 k 的值为 _ 二 、 解答题 11 在等比数列 ， 66， 2 128， 126， 求 n 和 q. 12 求和： x 23 x0) 2 能力提升 13 已知等比数列前 n 项 ， 前 2n 项 ， 前 3n 项的和分别为 求证： n( 14 已知数列 前 n 项和 2n 2 4. (1)求数列 通项公式； (2)设 an求数列 前 n 项和 1 在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中 ， 共涉及五个量： n， q， 其中首项 q 为基本量 ， 且 “ 知三求二 ” 2 前 n 项和公式的应用中 ， 注意前 n 项和公式要分类讨论 ， 即 q1 和 q 1 时是不同的公式形式 ， 不可忽略 q 1 的情况 3 一般地 ， 如果数列 等差数列 ， 等比数列且公比为 q， 求数列 前 n 项和时 ， 可采用错位相减的方法求和 2 比数列的前 n 项和 (一 ) 答案 知识梳理 1 (1) q q 1 作业设计 1 11 解析 由 80 得 80， q 2，则 25 22 11. 2 3 3 解析 4S3 q 4 q 3(1 不合题意，舍去 ) 13 3. 3 33 解析 由题意知公比 q1 ， q 1 9， q 2， q 1 1 25 33. 析 方法一 由等比数列的定义， 得 1q 1 q 152. 方法二 q ， q q152. 5 1 解析 方法一 1 q 11. 方法二 1， 等差数列 2即 22 化简得 q 0， q0 ， q 1. 6 10 解析 q ， 341 1 512q ， q 2，又 1， 512 ( 2)n 1， n 10. 7 510 解析 由 18 和 12， 得方程组 1812 ，解得 2q 2 或 16q 12 . q 为整数， q 2， 2， 2 1 29 2 510. 析 由正数组成的等比数列，且 1， 设 公比为 q，则 q0，且 1，即 1. 7， 11q 1 7， 即 6q 1 0. 故 q 12或 q 13(舍去 )， 14. 4 1251 12 8(1 125) 314. 9 2n 1 解析 当 n 1 时， 21， 21， 1. 当 n2 时， 1 (21) (21 1) 21， 等比数列， 2n 1， n N*. 10 13 解析 当 n 1 时， 1 k， 当 n2 时， 1 (3n 1 k) (3n 2 k) 3n 1 3n 2 23 n 2. 由题意知 等比数列，所以 1 k 23， k 13. 11解 2 128，解方程组 128，66， 得 64，2， 或 2，64. 将 代入 q ，可得 q 12， 由 1可解得 n 6. 将 代入 q ，可得 q 2， 由 1可解得 n 6.故 n 6， q 12或 2. 12解 分 x 1 和 x1 两种情况 (1)当 x 1 时， 1 2 3 n n n2 . (2)当 x1 时， x 23 23 (n 1)1， (1 x)x 1 x x 1. x x 2 11 x. 综上可得 n n2 xx x 2 11 x x1 且 x. 13证明 设此等比数列的公比为 q，首项为 当 q 1 时，则 23 452n 3 5 2n 当 q1 时 ， 则 q(1 q(1 q(1 5 q 2(1 (1 q 2(1 (2 2 又 2n q 2(1 (2 2 2n 14解 (1)由题意， 2n 2 4， n2 时， 1 2n 2 2n 1 2n 1， 当 n 1 时， 23 4 4，也适合上式， 数列 通项公式为 2n 1， n N*. (2) (n 1)2 n 1， 22 2 32 3 42 4 n2 n (n 1)2 n 1， 222 3 32 4 42 5 n2 n 1 (n 1)2 n 2. 得， 23 23 24 25 2n 1 (n 1)2 n 2 23 23 2n 11 2 (n 1)2n 2 23 23(2n 1 1) (n 1)2 n 2 (n 1)2 n 2 232 n 1 (n 1)2 n 2 2n 2 n2 n 2. 1 比数列的前 n 项和 (二 ) 课时目标 1 等比数列 前 n 项和为 当公比 q1 时 ， _ _；当 q 1 时 ， _. 2 等比数列前 n 项和的性质： (1)连续 m 项的和 (如 仍构成 _数列 (注意： q 1 或 (2)n q 为数列 公比 ) (3)若 项数为偶数 、 公比为 q 的等比数列 ， 则 _. 3 解决等比数列的前 n 项和的实际应用问题 ， 关键是在实际问题中建立等比数列模型 一 、 填空题 1 在各项都为正数的等比数列 ， 首项 3， 前 3 项和为 21， 则 _. 2 一 个蜂巢里有一只蜜蜂 ， 第 1 天 ， 它飞出去找回了 2 个伙伴；第 2 天 ， 3 只蜜蜂飞出去 ， 各自找回了 2 个伙伴 如果这个找伙伴的过程继续下去 ， 第 6 天所有的蜜蜂都归巢后 ， 蜂巢中一共有 _只蜜蜂 3 等比数列 前 n 项和为 已知 则 公比为 _ 4 某厂去年产值为 a， 计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10%， 从今年起 5 年内 ， 该厂的总产值约为 _(计算结果精确到 5 一弹性球从 100 米高处自由落下 ， 每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下 ， 则第 10 次着地时所经过的路程和是 _米 (结果保留到个位 ) 6 已知 首项为 1 的等比数列 ， 前 n 项和 ， 且 9则数列 1前5 项和为 _ 7 在等比数列中 ， 13140， 则 _. 8 在等比数列 ， 已知 48， 60， 则 _. 9 某企业在今年年初贷款 a 万元 ， 年利率为 ， 从今年年 末开始每年偿还一定金额 ，预计五年内还清 ， 则每年应偿还 _万元 10 某工厂月生产总值的平均增长率为 q， 则该工厂的年平均增长率为 _ 二 、 解答题 11 为保护我国的稀土资源 ， 国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨 ， 该矿区计划从 2010 年开始出口 ， 当年出口 a 吨 ， 以后每年出口量均比上一年减少 10%. (1)以 2010 年为第一年 ， 设第 n 年出口量为 试求 (2)因稀土资源不能再生 ， 国家计划 10 年后终止该矿区的出口 ， 问 2010 年最多出口多少吨？ (保留一位小数 ) 参考数据 ： 2 12 某市 2008 年共有 1 万辆燃油型公交车 ， 有关部门计划于 2009 年投入 128 辆电力型公交车 ， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50%， 试问： (1)该市在 2015 年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底 ， 电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 13？ (57 能力提升 13 有纯酒精 a L(a1)， 从中取出 1 L， 再用水加满 ， 然后再取出 1 L， 再用水加满 ，如此反复进行 ， 则第九次和第十次共倒出纯酒精 _L. 14 现在有某企业进行技术改造 ， 有两种方案 ， 甲方案：一次性贷款 10 万元 ， 第一年便可获利 1 万元 ， 以后每年比前一年增加 30%的利润；乙方案：每年贷款 1 万元 ， 第一年可获利 1 万元 ， 以后每年比前一
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