【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程（课时作业+单元综合检测）（打包14套）苏教版选修2-1
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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程（课时作业+单元综合检测）（打包14套）苏教版选修2-1,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,圆锥曲线,方程,课时,作业,功课,单元,综合,检测,打包,14,苏教版,选修
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1 锥曲线 课时目标 1圆锥面可看成一条直线绕着与它相交的另一条直线 l(两条直线不互相垂直 )旋转一周所形成的曲面其中直线 l 叫做圆锥面的轴 2圆锥面的截线的形状 在两个对顶的圆锥面中，若圆锥面的母线与轴所成的角为 ，不过圆锥顶点的截面与轴所成的角为 ，则 2 时，截线的形状是圆；当 a0，为常数 )， O 为坐标原点，求线段 垂直平分线与直线 交点 M 的轨迹 1椭圆定义中，常数 常数 这样的点 不存在；若常数 动点的轨迹是以 3抛物线定义中 Fl，若 Fl ，则点的轨迹是经过点 F，且垂直于 l 的直线 第 2 章 圆锥曲线与方程 4 圆锥曲线 知识梳理 3两个定点 焦点 焦距 4两个定点 焦点 焦距 5到一个定点 F 和一条定直线 l(F 不在 l 上 )的距离相等的点 定点 F 定直线 l 6圆锥曲线 作业设计 1椭圆 解析 由已知，得 2， 2，且 F， 即动点 P 的轨迹 是以 A、 F 为焦点的椭圆 2抛物线 解析 由题意知 2 2 |3x 4y 12|5 . 左侧表示 (x， y)到定点 ( 2,1)的距离，右侧表示 (x， y)到定直线 3x 4y 12 0 的距离，故动点轨迹为抛物线 3 解析 F 2 且 P ， F 2P 取 ，连结 则 1212( 12( 又 M 在椭圆上， 数， 设常数为 2a，则 a， 即 P 在以 a 为半径的圆上 4椭圆 5椭圆 6抛物线 解析 由题意知 P 到 F 的距离与到直线 x 4 的距离相等，所以点 P 的轨迹是抛物线 7双曲线 8双曲线的一支 9证明 设 r. 圆 P 与圆 A 内切，圆 A 的半径为 10， 两圆的圆心距 10 r， 即 10(大于 点 P 的轨迹是以 A、 B 两点为焦 点的椭圆 10解 由正弦定理得： 5 代入 12 得： b c 12a，即 b c 1， 即 1 (A 的轨迹是以 B、 C 为焦点且靠近 B 的双曲线的一支，并去掉与 交点 11 解析 D 1面 面 D 1 1P， 点 P 到直线 1P 的 长度，由题意知，点 P 到点 到直线 距离相等，这恰符合抛物线的定义 12解 由题意，得 2a. 2a2c. 点 M 的轨迹是以 R、 Q 为两焦点，实轴长为 2a 的双曲线右支 1 圆的标准方程 课时目标 确焦点、焦距的概念 由椭圆定义推导椭圆的方程，初步学会求简单的椭圆的标准方程 求与椭圆有关的点的轨迹和方程 椭圆的标准方程：焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 _ (ab0)，焦点坐标为 _，焦距为 _；焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为_ (ab0) 注： (1)以上方程中 a， b 的大小为 ab0，其中 _； (2)椭圆 1 (m0， n0， mn) ，当 mn 时表示焦点在 _轴上的椭圆；当 果 2a 迹是线段果 2，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上 3求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即 1 (m， n 为不相等的正数 ) 4在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系 椭 圆 2 圆的标准方程 知识梳理 1 c， 0)， F2(c,0) 2c 1 (1)2)x y 作业设计 1线段 解析 6 动点 M 的轨迹是线段 2 16 解析 由椭圆方程知 2a 8，由椭圆的定义知 2a 8， 2a 8，所以 的周长为 16. 3椭圆或线段或无轨迹 解析 当 2a M 的轨迹是椭圆，当 2a M 的轨迹是线段， 当 2a 0 ， 又因为 0， 2 ，所以 4 0 ，解之得 0b0) 2a 10， a 5，又 c 4. b 2 52 42 9. 故所求椭圆的标准方程为 1. (2) 椭圆的焦点在 y 轴上， 设椭圆的标准方程为 1 (ab0) 由椭圆的定义知， 2a 32 2 52 2 2 32 2 52 2 2 3 102 102 2 10， a 10. 又 c 2， b 2 10 4 6. 故所求椭圆的标准方程为 1. 10解 4， 4，又 O 1A 2 312， G 点的轨迹是椭圆， B、 C 是椭圆焦点 2c 12， c 6,2a 20， a 10， 102 62 64， 故 G 点的轨迹方程为 1 (x10) 又设 G(x ， y) ， A(x， y)，则有 x2100y 264 1. 由重心坐标公式知 x x3，y 点轨迹方程为 1. 即 1 (x30) 1 圆的几何性质 课时目标 称性、顶点、离心率等几何性质 确标准方程中a， b 以及 c， e 的几何意义， a、 b、 c、 e 之间的相互关系 利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题 椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准 方程 范围 顶点 轴长 短轴长 _，长轴长 _ 焦点 焦距 对称性 对称轴是 _，对称中心是 _ 离心率 一、填空题 1椭圆 1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为 _ 2 P 是长轴在 x 轴上的椭圆 1 上的点， 个焦点，椭圆的半焦距为 c，则 F 2的最大值与最小值之差为 _ 3以等腰直角 两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为_ 4焦点在 、短半轴长之和为 10，焦距为 4 5，则椭圆的方程为 _ 5如图所示， A、 B、 C 分别 为椭圆 1 (ab0)的顶点与焦点，若 90 ，则该 椭圆的离心率为_ 1、 足 0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 _ 7已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 55 ，且过点 P( 5,4)，则椭圆的方程为 _ 8直线 x 2y 2 0 经过椭圆 1 (ab0)的一个焦点 和一个顶点，则该椭圆的离心率为 _ 2 二、解答题 9设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离为 4( 2 1)，求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐标、顶点坐标 10. 如图，已知 P 是椭圆 1 (ab0)上且位于第一象限的一点， F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆中心， B 是椭圆的上顶点， H 是直线 x c 是椭圆的半焦距 )与 x 轴的交点，若 F ， P ，试求椭圆的离心率 e. 能力提升 11若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为_ 1、 1 (ab0)的左、右两个焦点， A 是椭圆上位于第一象限 3 内的一点，点 B 也在椭圆上，且满足 0(O 是坐标原点 )， 2 ， 的面积等于 4 2，求椭圆的方程 1椭圆的范围实质就是椭 圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用 2椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用 3椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，其取值范围是 0c 恒成立， 由椭圆性质知 OPb ，其中 b 为椭圆短半轴长， bc ， c 22 b0)， 将点 ( 5,4)代入得 25161， 又离心率 e 55 ，即 15， 解之得 45， 36，故椭圆的方程为 1. 5 解析 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上，又直线 x 2y 2 0 与 x 轴、 y 轴的交点分别为(2,0)、 (0,1)，它们分别 是椭圆的焦点与顶点，所以 b 1， c 2，从而 a 5， e 55 . 9解 设所求的椭圆方程为 1 或1(ab0)， 则 b c，a c 2 ，得 a 4 2，b 4，c 1，或1. 离心率 e 22 ， 当焦点在 x 轴上时，焦点为 ( 4,0)， (4,0)，顶点 ( 4 2， 0)， (4 2， 0)， (0， 4)，(0,4)， 当焦点在 y 轴上时，焦点为 (0， 4)， (0,4)，顶点 ( 4,0)， (4,0)， (0， 4 2)， (0,4 2) 10解 依题意知 H 0 ， F(c,0)， B(0， b) 设 P(且 c，代入到椭圆的方程， 得 P c， 6 P ， k b 00 e e 2 e 2 1. e 4 1 0.0e1 ， e 5 12 . 析 由题意知 2b a c，又 4(a 2 23a 2 250.5c 2 230. 5e 2 2e 3 0.e 35或 e 1(舍去 ) 12 解 由 0 知，直线 过原点， e 22 ， b 2 12 设 A(x， y)，由 1x c， A(c ， y)，代入椭圆方程得 1， y 结 由椭圆的对称性可知 S S S 所以 122c 12a 4 2， 又由 c 22 a，解得 16， 1216 8， 故椭圆方程为 1. 1 曲线的标准方程 课时目标 何图形和标准方程的推导过程 握双曲线的标准方程 利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题 1焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是 _，焦点 2_. 2焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 _，焦点 2_. 3双曲线中 a、 b、 c 的关系是 _ 4已知两点求双曲线的标准方程，当焦点位置不确定时可设为 1(A0 ， B0 ，5双曲线的标准方程中，若 焦点在 _轴上，若 焦点在 _轴上 一、填空题 1已知平面上定点 动点 M，命题甲： | 2a(a 为 常数 )，命题乙： 1、 甲是乙的 _条件 2已知双曲线 1 上的一点 P 到双曲线的一个焦点的距离为 3，则点 P 到另一个焦点的距离为 _ 3双曲线 88 的一个焦点坐标是 (0,3)，则 k 的值为 _ 4设 a1，则双曲线 2 1 的离心率 e 的取值范围为 _ 5已知双曲线中心在坐 标原点且一个焦点为 5， 0)，点 P 位于该双曲线上，线段 0,2)，则该双曲线的方程是 _ 1、 双曲线 2 2 14x y的两个焦点，点 P 在双曲线上，且 0，则F 2 _. 7已知方程 kk 1 表示双曲线，则 k 的取值范围是 _ 8 1 的两个焦点， P 在双曲线上且满足 F 2 32，则 F 1_. 二、解答题 9已知双曲线过 2， 32 5 和 43 7， 4 两点，求双曲线的标准方程 2 图所示，在 ，已知 4 2，且三内角 A、 B、 C 满足 2 2，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程，并指明表示什么曲线 能力提升 和点 F（ ）分别为双曲线 2 22 1x (a0)的中心和做焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则 的取值范围为 _ 12设双曲线与椭圆 1 有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点 A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程 3 1方程 1 既可以表示椭圆又可以表示双曲线 当方程表示椭圆时 ， m、 n 应满足 mn0 或 nm0，当 mn0 时，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 nm0 时，方程表示焦点在 y 轴上的椭圆 当方程表示双曲线时， m、 n 应满足 ，方程表示焦点在 y 轴上的双曲线 2知道双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，但不知道焦点在哪一个坐标轴上，这时双曲线的方程可设为 1 (b0) ( c,0) (c,0) 1(a0， b0) (0， c) (0， c) 3 1 ， k 1)(k 1) 2) 故 C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点 ( 2， 0) 11 3 2 3， ) 解析 由 c 2 得 1 4， a 2 3， 双曲线方程为 1. 设 P(x， y)(x 3)， (x， y)(x 2， y) 2x 2x 1 432x 1(x 3) 令 g(x) 432x 1(x 3)，则 g(x)在 3， ) 上单调递增，所以 g(x)g( 3) 3 2 3. 的取值范围为 3 2 3， ) 12解 方法一 设双曲线的标准方程为 1 (a0， b0)，由题意知 36 27 9， c 3. 又点 A 的纵坐标为 4，则横坐标为 15，于是有 425 2 1，9，解得 4，5. 所以双曲线的标准方程为 1. 方法二 将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得 A( 15， 4)， 又两焦点分别为 ,3)， ， 3) 所以 2a | 15 2 2 15 2 2| 4， 即 a 2， 9 4 5， 所以双曲线的标准方程为 1. 1 曲线的几何性质 课时目标 1双曲线的几何性质 标准方程 1 (a0， b0) 1 (a0， b0) 图形 性质 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴长 实轴长 _，虚轴长 _ 离心率 渐近线 2.(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的 _； (2)双曲线 1 的两个顶点为 a,0)、 A2(a,0)设 ， b)、 ， b)，线段 做双曲线的 _，它的长等于 2a， a 叫做双曲线的实半轴长，线段 _，它的长等于 2b， b 叫做双曲线的虚半轴长实轴和虚轴等长的双曲线叫做 _双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为 _ (3)当双曲线的离心率 e 由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得 _，原因是 1，当 e 增大时， 近线的斜率的绝对值 _ 一、 填空题 1设双曲线 1(a0， b0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方程为 _ 2以双曲线 1 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是_ 3双曲线与椭圆 41 有相同 的焦点，它的一条渐近线方程为 y 2x，则双曲线的方程为 _ 4已知双曲线 1 (a0， b0)的左、右焦点分别为 P 是双曲线上一点，且 F 2， F 2 4双曲线的离心率是 _. 5已知双曲线 1 (a0， b0)的左、右焦点分别为 P 在双曲线的右支上，且 4此双曲线的离心率 e 的最大值为 _ 2 6两个正数 a、 b 的等差中项是 52，一个等比中项是 6，且 ab，则双曲线 1 的离心率 e _. 7在 ， a， b， c 分别是 A ， B ， C 的对边，且 a 10， c b 6，则顶点 _ 8与双曲线 1 有共同的渐近线，并且经过点 ( 3， 2 3)的双曲线 方程为_ 二、解答题 9根据下列条件，求双曲线的标准方程 (1)经过点 154 ， 3 ，且一条渐近线为 4x 3y 0； (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为 3. 10已知双曲线的渐近线方程为 3x4y 0，求此双曲线的离心率 能力提升 11设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 _ 12过双曲线 1 (a0， b0)的右焦点 F 作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线 l，垂足为 P，设 l 与双曲线的左、右两支相交于点 A、 B. (1)求证：点 P 在直线 x 3 (2)求双曲线的离心率 e 的范围； 1双曲线 1 (a0， b0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为 (a ，0)，实轴长为 2a，虚轴长为 2b；其上任一点 P(x， y)的横坐标均满足 |x|a. 2双曲线的离心率 e 的取值范围是 (1， ) ，其中 1，离心率 e 越大，双曲线的开口越大 3双曲线 1 (a0， b0)的渐近线方程为 y 可记为0；与双曲线 1 具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为 (0) 2 曲线的几何性质 知识梳理 1. 标准方程 1(a0， b0) 1(a0， b0) 图形 4 性质 焦点 c,0)， F2(c,0) ， c)， ， c) 焦距 | 2c 范围 x a 或 x a， y R y a 或 y a， x R 对称性 关于 x 轴、 y 轴和原点对称 顶点 ( a,0)， (a,0) (0， a)， (0， a) 轴长 实轴长 2a，虚轴长 2b 离心率 e ca(e1) 渐近线 y y .(1)中心 (2)实轴 虚轴 等轴 y x (3)开阔 增大 作业设计 1 y 22 x 解析 由题意知， 2b 2,2c 2 3，则 b 1， c 3， a 2；双曲线的渐近线方程为y 22 x. 2 10x 9 0 解析 双曲线 1 的右焦点为 (5,0)，渐近线为 y 43x，即 4x3 y 0. r |45|42 32 4. 所求圆方程为 (x 5)2 16， 即 10x 9 0. 3 241 解析 由于椭圆 41 的焦点坐标为 0， 32 ，则双曲线的焦点坐标为0， 32 ，又由 渐近线方程为 y 2x，得2，即 2由322 12， 14，又由于焦点在 y 轴上，因此双曲线的方程为 241. 4. 5 解析 由题意， | 2a， 4 平方得 24 即 484因此 b 2a. 由于 4因此 5即 e 5. 析 | 2a， 即 32a， 所以 2 c a， 即 2a3 c 3a， 即 5a3 c， 则 53. 6. 133 解析 a b 5， 6，解得 a， b 的值为 2 或 3. 5 又 ab， a 3， b 2. c 13，从而 e 133 . 1(x3) 解析 以 在直线为 x 轴， 中点为原点建立直角坐标系，则 B( 5,0)， C(5,0)，而 63) 1 解析 所求双曲线与双曲线 1 有相同的渐近线， 可设所求双曲线的方程为 ( 0) 点 ( 3,2 3)在双曲线上， 29 3 216 14. 所求双曲线的方程为 1. 9解 (1)因直线 x 154 与渐近线 4x 3y 0 的交点坐标为 154 ， 5 ，而 30 时，焦点在 x 轴上， 16 9 25 ， 6 所以 e 5 4 54. 当 0， b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为 y 而 1，整理得 0，两边同除以 e 1 0， 解得 e 1 52 或 e 1 52 (舍去 ) 12 (1)证明 设双曲线的右焦点为 F(c,0)，斜率大于零的渐近线方程为 y 则 l 的方程为 y ab(x c)，从而点 P 坐标为 因此点 P 在直线 x (2)解 由 y ab x c ，1，消去 y 得 (a4)2a2( 0. A、 B 两点分别在双曲线左、右两支上，设 A、 B 两点横坐标分别为 由 且 ， e 12. 故 e 的取值范围为 ( 2， ) 1 物线的标准方程 课时目标 种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形 利用定义求抛物线方程 1抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离 _的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的 _，直线 l 叫做抛物线的 _ 2抛物线的标 准方程 (1)方程 2 2py(p0) 叫做抛物线的 _方程 (2)抛物线 2px(p0)的焦点坐标是 _，准线方程是 _，开口方向_ (3)抛物线 2px(p0)的焦点坐标是 _，准线方程是 _，开口方向_ (4)抛物线 2py(p0)的焦点坐标是 _，准线方程是 _，开口方向_ (5)抛物线 2py(p0)的焦 点坐标是 _，准线方程是 _，开口方向 _ 一、填空题 1抛物线 ax(a0) 的焦点到其准线的距离为 _ 2已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在曲线 1 上，则抛物线方程为 _ 3与抛物线 14x 关于直线 x y 0 对称的抛物线的焦点坐标是 _ 4设抛物线 2x 的焦点为 F，过点 M( 3， 0)的直线与抛物线相交于 A， B 两点，与抛物线的准线相交于点 C， 2，则 面积之比 S_ 5抛物线 12y 0 的准线方程为 _ 6若动点 P 在 y 21 上，则点 P 与点 Q(0， 1)连线中点的轨迹方程是 _ 7已知抛物线 y 1 上一定点 A( 1,0)和两动点 P， Q，当 Q 时，点 Q 的横坐标的取值范围是 _ 二、解答题 8已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，抛物线上的点 M( 3， m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程 2 知上部呈抛物线形，跨度为 20 米，拱顶距水面 6 米，桥墩高出水面 4 米现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过 18 米，目前吃水线上部分中央船体高 5 米，宽 16 米，且该货船在现在状况下还可多装 1 000吨货物，但每多装 150 吨货物，船体吃水线就要上升 ，若不考虑水下深度，问：该货船在 现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？ 能力提升 10已知抛物线 2px(p0)的准线与圆 (x 3)2 16 相切，则 p 的值为 _ 11已知抛物线 2x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求 F 的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标 3 1四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向 2焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程 2常又可以写成 y 与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程 y 求其焦点和准线时，必须先化成标准形式 抛物线 2 物线的标准方程 知识梳理 1相等 焦点 准线 2 (1)标准 (2)(0) x 右 (3)( 0) x 左 (4)(0， y 上 (5)(0， y 下 作业设计 1.|a|2 解析 因为 以 p |a|2 ，即该抛物线的焦点到其准线的距离为 |a|2 . 2 8 x 解析 由题意知抛物线的焦点为双曲线 1 的顶点，即为 ( 2,0)或 (2,0)，所以抛物线的方程为 8x 或 8x. 3 (0， 116) 解析 两抛物线关于 x y 0 对称，其焦点也关于 x y 0 对称， 14x 的焦点坐标为116， 0 ，故所求抛物线焦点为 0， 116 . 析 4 如图所示，设过点 M( 3， 0)的直线方程为 y k(x 3)，代入 2x 并整理， 得 (2 32)x 30， 则 2 32 因为 2，所以 2. 不妨设 2 12 32是方程的一个根， 可得 332 32，所以 2. S 2d A 22 12 45. 5 y 3 解析 抛物线 12y 0，即 12y，故其准线方程是 y 3. 6 y 4析 设 点坐标为 (x， y)，则 P 点坐标为 (2x,2y 1) 又 点 P 在 y 21 上， 2y 1 81， 即 y 47 ( ， 3 1， ) 解析 由题意知，设 P(1)， Q(1)， 又 A（ ）， 0， 即 ( 1 ( 0， 也就是 ( 1 ( (1 ( 0. 1， 上式化简得 11 11 (1 1，由基本不等式可得 或 3. 8解 设抛物线方程为 2p0)， 则焦点 F 0 ，由题意， 得 6p， 5解得 p 4，m 2 6， 或 p 4，m 2 6. 故所求的抛物线方程为 8x， m 2 6. 抛物线的焦点坐标为 ( 2,0)，准线方程为 x 2. 9解 如图所示，建立直角坐标系，设抛物线方程为 y 则 A(10， 2)在抛物线上， 即 2 a10 2， a 150， 5 方程即为 y 150让货船沿正中央航行，船宽 16 米， 而当 x 8 时， y 1508 2 ) 又船体在 x 8 之间通过，即 B(8， 此时 B 点离水面高度为 6 ( )，而船体水面高度为 5 米，所以无法直接通过；又 5 )， 7，而 1507 1 050(吨 ) 用多装货物的方法 也无法通过，只好等待水位下降 10 2 解析 由抛物线的标准方程得准线方程为 x 准线与圆相切，圆的方程为 (x 3)2 16， 3 4， p 2. 11解 由定义知，抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d，由图可知，求 问题可转化为求 d 的问题 将 x 3 代入抛物线方程 2x，得 y 6. 62， A 在抛物线内部 设抛物线上点 P 到准线 l： x 12的距离为 d， 由定义知 d， 由图可知，当 l 时， d 最小，最小值为 72，即 最小值为 72， 此时 P 点纵坐标为 2，代入 2x，得 x 2. 点 P 坐标为 (2,2) 故 最小值为 72，且取最小值时 P 点坐标为 (2,2) 1 物线的几何性质 课时目标 道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法 解抛物线的简单应用 1抛物线的简单几何性质 设抛物线的标准方程为 2px(p0) (1)范围：抛物线上的点 (x， y)的横坐标 _，抛物线在 _侧，当 x 的 值增大时， |y|也 _，抛物线向右上方和右下方无限延伸 (2)对称性：抛物线关于 _对称，抛物线的对称轴叫做 _ (3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的 _抛物线的顶点为_ (4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的_，用 e 表示，其值为 _ (5)抛物线的焦点到其准线的距离为 _，这就是 p 的几何意义，顶点到准线的距离 为 点到顶点的距离为 _ 2抛物线的焦点弦 设抛物线 2px(p0)， 过焦点的一条弦， A( B( 中点 M(x0，则有以下结论 (1)以 直径的圆与准线 _ (2)_(焦点弦长与中点坐标的关系 ) (3)_. (4)A、 B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 _， _. 一、填空题 1边长为 1 的等边三角形 O 为原点， ABx 轴，以 O 为顶点且过 A， B 的抛物线标准方程是 _ 2抛物线 2p0)上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5，则此抛物线焦点和准线之间的距离是 _ 3若过抛物线 2p0)的焦点且垂直于对称轴的弦长为 6，则其焦点坐标是_ 4若抛物线 2焦点与椭圆 1 的右焦点重合，则 p 的值为 _ 5已知 F 是抛物线 C： 4x 的焦点， A、 B 是抛物线 C 上的两个点，线段 中点为M(2,2)，则 面积为 _ 6抛物线 2直线 y 4 0 的一个交点是 (1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为 _ 为坐标原点， F 为抛物线 2 4的焦点， A 为抛物线上一点，若 4，则点 A 的坐标为 _ 8已知点 Q(4,0)， P 为 x 1 上任意一点，则 最小值为 _ 二、解答题 9设抛物线 y m0) 的准线与直线 y 1 的距离为 3，求抛物线的标准方程 2 2p0)的一条过焦点 F 的弦 焦点 F 分成长度为 m， n 的两部分求证： 1m 1 能力提升 11设抛物线 8x 的焦点为 F，准线为 l， P 为抛物线上一点， PAl ， A 为垂足，如果直线 斜率为 3，那么 _. 12已知直线 l 经过抛物线 4x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A、 B 两点 (1)若 4，求点 A 的坐标； (2)求线段 长的最小值 3 1研究抛物线的性质要结合定义，理解参数 p 的几何意义，注意抛物线的开口方向 2解决过焦点的直线与 抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦，焦半径公式的应用解题时注意整体代入的思想，可以使运算、化简简便 3与抛物线有关的最值问题 具备定义背景的最值问题，可以转化为几何问题；一般方法是建立目标函数，求函数的最值 2 物线的几何性质 知识梳理 1 (1)x0 右 增大 (2)x 轴 抛物线的轴 (3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p (1)相切 (2)2(3)p (4) 业设计 1 36 x 解析 易求得 A， B 的坐标为 32 ， 12 或 32 ， 12 ，又由题意可设抛物线标准方程为 2 p0)，将 A， B 的坐标代入即可求得 2 2 解析 由抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离等于到准 线的距离，故 4 ， p 2，此抛物线焦点和准线之间的距离为 p 2. 3. 0， 32 解析 易知弦的两端点的坐标分别为 p， p， 则有 2p 6， p 0， 32 . 4 4 解析 椭圆 1 的右焦点为 (2,0)，即2，得 p 4. 5 2 解析 设 A( B( 则 44 ( 4( 41. 直线 方程为 y 2 x 2，即 y x. 将其代入 4x，得 A(0,0)， B(4,4) 4 (1,0)到 y x 的距离为 22 ， 4 S 12 22 4 2 2. 5 解析 由已知得抛物线方程为 4x，直线方程为 2x y 4 0，抛物线 4x 的焦点坐标是 F(1,0)，到直线 2x y 4 0 的距离 d |2 0 4|22 1 2 55 . 7 (1,2)或 (1， 2) 解析 设 A（ x0,F(1,0), ( (1 4. 4 44 0， 即 34 0， 1 或 4(舍 ) 1， 2. 8. 192 解析 设点 P(x， y) x 1， x 1. x 2 x 2 x 1 7x 17 x 72 2 194. 当 x 72时， 192 . 9解 由 y m0) 可化为 1 其准线方程为 y 14m. 由题意知 14m 2 或 14m 4， 解得 m 18或 m 116. 所以所求抛物线的标准方程为 8y 或 16y. 10证明 若 x 轴，直线 方程为 x 则 A p ， B p ， m n p， 1m 1n 2p， 若 与 x 轴垂直，设直线 方程为 y k x 设 A( B( 则 m n 将 程代入抛物线方程，得 (2p)x 0. 2 5 1m 1n p2 2p. 故 1m 1 11. 8 解析 如图所示，直线 方程为 y 3(x 2)，与准线方程 x 2 联立得 A ( 2,4 3) 设 P( 3)，代入抛物线 8x，得 848， 6， 2 8. 12解 由 4x，得 p 2，其准线方程为 x 1，焦点 F(1,0) 设 A( B( 分别过 A、 B 作准线的垂线，垂足为 A 、 B. (1)由抛物线的定义可知， 从而 4 1 3. 代入 4x，解得 2 3. 点 A 的坐标为 (3,2 3)或 (3， 2 3) (2)当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为 y k(x 1) 与抛物线方程联立 y k x4x ， 消去 y，整理得 (24)x 0， 因为直线与抛物线相交于 A、 B 两点， 则 k0 ，并设其两根为 2 4由抛物线的定义可知， p 4 4. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x 1，与抛物线相交于 A(1,2)， B(1， 2)，此时 4， 所以， ，即线段 长的最小值为 4. 1 锥曲线的统一定义 课时目标 能进行简单应用 写出圆锥曲线的准线方程 1圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点 l(的距离的比等于 _的点的轨迹 _时，它表示椭圆； _时，它表示双曲线；_时，它表示抛物线 2对于椭 圆 1 (ab0)和双曲线y 2 1(a0， b0)中，与 F(c,0)对应的准线方程是 l： _，与 F( c， 0)对应的准线方程是 l ： _；如果焦点在 两条准线方程为： _. 一、填空题 1中心在原点，准线方程为 y 4 ，离心率为 12的椭圆的标准方程是 _ 2椭圆 1 的左、右焦点分别是 P 是椭圆上一点，若 3 P 点到左准线的距离是 _ 3两对称轴都与坐标轴重合，离心率 e 45，焦点与相应准线的距离等于 94的椭圆的方程是 _ 4若双曲线 1的两个焦点到一条准线的距离之比为 32 ，则双曲线的离心率是_ 5双曲线的焦点是 ( 26， 0)，渐近线方程是 y 32x，则它的两条准线间的距离是_ 6椭圆 1上点 小值分别为 _ 7已知双曲线 1(a0)的一条准线方程为 x 32，则 a _，该双 曲线的离心率为 _ 8已知点 A( 2,1)， 4， P是 4x 上的点，为使 _ 二、解答题 9双曲线 1 (a0， b0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围 2 1 (ab0)的左、右焦点分别为 心率 e22 ，点 . (1)求 a、 (2)设 M、 N是 0， 证明：当 最小值时， 0. 能力 提升 2:12的右焦点为 F，右右准线为 l，点 A l，线段 于点 B，若 3，则 | _. 12过抛物线 2px(p0)的焦点 的直线交抛物线于 A、 ( (1)用 、 p 表示 S； (2)求 S 的最小值；当最小值为 4时，求抛物线的方程 3 1圆锥曲线是符合某种条件的点的轨迹，它可以看做是平面内的点按某一规律运动形成的，它们的共同性质有： (1)方程的形式都是二元二次方程； (2)都是由平面截圆锥面得到的 2解决涉及到曲线上的点到焦点和对应准线的距离时，应考虑使用圆锥曲线的统一定义 圆锥曲线的统一定义 知识梳理 1常 数 e 01 e 1 2 x xy 业设计 1 解析 由题意 4，2， 解得 a 2， c 1， b 3. 2 6 解析 4， 3， 1， 准线 x 1 4， 两准线间距离为 8，设 3 1. 又 e， e， 3 1. 又 8， 8 34 6. 1或1 解析 由 45， 4， 得 a 5， c 4， b 3. 4. 5 解析 由题意知c 32，即 2，左边分子、分母同除以 1132，解得 4 e 5. 613 解析 由 c 26， 32， 易求 a 2 2， d 2 28268 2613 . 6 9,1 解析 由 e 推得 a 又 a a，故 大值为 a c，最小值为 a c. 7. 3 2 33 解析 由已知得 132， 化简得 499 0，解得 3. 又 a0， a 3， 离心率 e 3 13 2 33 . 8. 14， 1 解析 过 K l(于 K，则 当 点的纵坐标相同时， 小，此时 P 点的纵坐标为 1，把 y 1 代入 4x 14. 9解 设 M(双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点 N，即 由双曲线定义可知 e， e. 由 e， e，得 a e. a e .而 a， a e a. 即 2e 10 ，解得 1 2 e 2 1. 但 e1， 1e 2 1. 故 1， 2 1 10 (1)解 因为 e d c， 所以由题设得 22 ，c 2，解得 c 2， a 2. 由 2，得 b 2. 5 故 a 2， b 2. (2)证明 由 c 2， a 2得 2， 0)， 2， 0)， x 2 2， 故可设 M(2 2， N(2 2， 由 0知 (2 2 2， (2 2 2， 0， 得 6，所以 ， 6 | |6|2 6， 当且仅当 6时，上式取等号，此时 所以， ( 2 2， 0) ( 2， ( 2， (0， 0. 11. 2 解析 椭圆方程为 1， 2， 1， 1， 22e，右准线方程为 2 2， 3，故点 如图，设 l 的夹角为 a，过 B 作 l 交 l 于 H，则 22 ， | 2|A 3知 2|， a= 22 ， 45. | c 1， | 2. 12解 (1)当斜率存在时，设直线 y k x 代入 2 2p 即 20， 2 1 1 4 14 4(1 12 p (1 12 p 2 当直线 也成立 6 S 12 12 12 12 2 . (2)当 90 时， 12若 4，则 124. p 2 2. 此时抛物线的方程为 4 2x. 1 线与方程 课时目标 结合学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，会求两条曲线的交点的坐标，表示经过两曲线的交点的曲线 1一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x， y) 0 的实数解建立如下关系： (1)_都是方程 f(x， y) 0 的解； (2)以方程 f(x， y) 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 那么，方程 f(x， y) 0 叫做 _，曲线 C 叫做 _ 2如果曲线 C 的方程是 f(x， y) 0，点 P 的坐标是 (则 点 P 在曲线 C 上 _； 点 P 不在曲线 C 上 _. 一、填空题 1已知直线 l 的方程是 f(x， y) 0，点 M(在 l 上，则方程 f(x， y) f(x0， 0 表 示的曲线是 _ 2已知圆 C 的方程 f(x， y) 0，点 A(圆外，点 B(x ， y) 在圆上，则 f(x，y) f( f(x ， y) 0 表示的曲线是 _ 3下列各组方程中表示相同曲线的是 _ y x， 1； y x， y |y| |x|， y x； |y| |x|， 4 “ 以方程 f(x， y) 0 的解为坐标的 点都是曲线 C 上的点 ” 是 “ 曲线 C 的方程是 f(x，y) 0” 的 _条件 5求方程 |x| |y| 1 所表示的曲线 C 围成的平面区域的面积为 _ 6到直线 4x 3y 5 0 的距离为 1 的点的轨迹方程为 _ 7若方程 4 的曲线经过点 A(0,2)和 B 12， 3 ，则
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