【步步高】2011届高考数学一轮复习 第九章 解析几何 理 课件（打包13套）北师大版
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【步步高】2011届高考数学一轮复习 第九章 解析几何 理 课件（打包13套）北师大版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第九,解析几何,课件,打包,13,北师大
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线与圆锥曲线位置关系的综合应用 要点梳理 1 直线与圆锥曲线的位置关系 ( 1) 从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有 一个公共点及有两个相异的公共点 ( 2) 从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入 二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的 情况来判断设直线 l 的方程为 C 0 ， 圆锥曲线方程 f ( x ， y ) 0. 基础知识 自主学习 由 C 0f ( x ， y ) 0，消元 如消去 y 后得 c 0. 若 a 0 ，当圆锥曲线是双曲线时，直线 l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线 l 与抛物线的对称轴平行 ( 或重合 ) 若 a 0 ，设 4 a _ 0 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； b _ 0 时，直线和圆锥曲线相切于一点； c _ 0 时，直线和圆锥曲线没有公共点 = 0) ，根据已知条 件 12 6 p ， 2 p 4 ，则所求抛物线方程为 4 x ， | 2 8. B 2 设抛物线 8 x 的准线与 x 轴交于点 Q ，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值 范围是 ( ) A.12，12B 2,2 C 1,1 D 4,4 解析 8 x ， Q ( 2,0) ( Q 为准线与 x 轴的交点 ) ， 设过 Q 点的直线 l 方程为 y k ( x 2) ， l 与抛物线有公共点， 方程组8 x ，y k ( x 2 ) ，有解， 即 (4 8) x 4 0 有解， (4 8)2 16 0 ，即 1. 1 k 1. 答案 C 3 已知 ( 4,2 ) 是直线 l 被椭圆1 所截得的线段的 中点，则 l 的方程为 ( ) A x 2 y 0 B x 2 y 4 0 C 2 x 3 y 4 0 D x 2 y 8 0 解析 设 l 与椭圆的交点为 A ( ， B ( ， 则有1 ， 9 ( 6 ( 2 44 2 212. l 的方程为： y 2 12( x 4) ，即 x 2 y 8 0. D 4 过椭圆 3 4 48 的左焦点引斜率为 1 的直线交 椭圆于 A 、 B 两点，则 | 等于 ( ) 由 3 4 48 得1 , 16 , 12 ，则 c 2. 过椭圆左焦点 F ( 2,0) 且斜率 为 1 的直线方程为 y x 2 ，将其代入 3 4 48 整理得 7 16 x 32 0 ，设 A ( ， B ( ， | ( a ( a 2 a e ( 8 12 ( 167)487. C 5 已知抛物线 y x 2 3 上存在关于直线 x y 0 对 称的相异两点 A 、 B ，则 | 等于 ( ) A 3 B 4 C 3 2 D 4 2 解析 由题意知 ， 直线 y x b 与 y 3 交于两点 ，联立得 x b 3 0 ， 线段 中点为12，12， 代入直线方程 y x b ， 得1212 b 0 ，即 b 1 ， x 2 0 ， x 1 或 2. 设 A ( ， B ( ，当 1 时， 2 ， 当 2 时， 1. | ( ( 3 2 . C 题型一 直线与圆锥曲线的位置关系 【 例 1 】 若曲线 直线 y ( a 1) x 1 恰有一个公共点，求实数 a 的值 思维启迪 先用代数方法即联立方程组解决，再从几何上验证结论，注意运用数形结合思想以及分类讨论思想 解 联立方程y ( a 1 ) x 1 ( 1) 当 a 0 时，此方程组恰有一组解为x 1y 0. 典型例题 深度剖析 ( 2) 当 a 0 时，消去 x ，得a 1y 1 0. 若a 1a 0 ，即 a 1 ， 方程变为一元一次方程 y 1 0. 方程组恰有一组解x 1y 1. 若a 1a 0 ，即 a 1. 令 0 ，得 1 4 ( a 1 )a 0 ，可解得 a 45， 这时直线与曲线相切，只有一个公共点 综上所述知 , 当 a 0 , 1 , 45时 , 直线与曲线 有一个公共点 探究提高 本题设计了一个思维 “ 陷阱 ” ，即审题中误 认为 a 0 ，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数 a 1a 0 ，即 a 1 的可能性，从而漏掉两解 本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下： 当 a 0 时，曲线 为直线 y 0 ，此时与已知 直线 y x 1 恰有一个交点 (1,0) ； 当 a 1 时，直 线 y 1 与抛物线 x 的对称轴平行，恰有一个 交点 ( 代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项 系数为零 ) ； 当 a 45时，直线 y 15x 1 与抛物线 45x 相切 知能迁移 1 在平面直角坐标系 ，经过点 (0 ， 2 ) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆1 有两个不同的交点 P 和 Q . ( 1) 求 k 的取值范围； ( 2) 设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴 正半轴的交点分别为 A 、 B ， 是否存在实数 k ，使得 共线？如果存在， 求 k 值；如果不存在，请说明理由 . 解 ( 1) 由已知条件，直线 l 的方程为 y 2 ， 代入椭圆方程得( 2 )2 1 ， 整理得12 2 2 1 0 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 8 412 4 20 ， 解得 k 22. 即 k 的取值范围为 ，2222， . ( 2) 设 P ( ， Q ( ， ( ，由方程式 ， 4 2 2 又 k ( 2 2 2 ( ， 将 代入上式，解得 k 22. 由 ( 1) 知 k 22，故没有符合题意的常数 k . O P O Q则2 ( 2 , 1 )A B A O Q A B而 ( , 0 ) , ( 0 , 1 ) ,所 以 与 共 线 等 价 于题型二 圆锥曲线中的弦长问题 【 例 2 】 已知 顶点 A ， B 在椭圆 3 4 上， C 在直线 l ： y x 2 上，且 l . ( 1) 当 通过坐标原点 O 时，求 长及 的面积； ( 2) 当 90 ，且斜边 长最大时，求 所在直线的方程 思维启迪 (1) 求弦长 | A B C 的 上的 高即原点 O 到 l 的距离 h ： S A B C 12| h . 设 方程为 ： y = x + m 将 |表示成 m 的函数 由大确定 m 的值 解 (1) 因为 l ，且 通过点 (0,0) ， 所以 在直线的方程为 y x . 设 A ， B 两点坐标分别为 ( ， ( 由3 4 ，y x ，得 x 1 ， 所以 | 2 | 2 2 . 又因为 上的高 h 等于原点到直线 l 的距离， 所以 h 2 ， S 2| h 2. (2) 设 在直线的方程为 y x m . 由3 4 ，y x m ，得 4 6 3 4 0. 因为 A ， B 在椭圆上，所以 12 640 . 设 A ， B 两点坐标分别为 ( ， ( 则 3 44， 所以 | 2 | 32 6 又因为 长等于点 (0 ， m ) 到直线 l 的距离， 即 | |2 m |2. 因为 | 2 | 2 | 2 2 m 10 ( m 1)2 11 ， 所以当 m 1 时， 最长， ( 这时 12 640) 此时 在直线的方程为 y x 1. 探究提高 本 例 主要考查直线与二次曲线相交所得弦长问题的解法，弦长公式、整体代入等运算方法和运算技巧解答此类问题要注意避免出现两种错误： ( 1) 对直线 l 斜率的存在性不作讨论而直接设为点斜式，出现漏解或思维不全造成步骤缺失 ( 2) 是对二次项系数不为零或 0 这个前提忽略而直接使用根与系数的关系 知能迁移 2 已知椭圆 C ： 1( a b 0) 的离心率 为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3 . ( 1) 求椭圆 C 的方程； ( 2) 设直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为32，求 积的最大值 解 ( 1) 设椭圆的半焦距为 c ，依题意得3a 3， c 2 ， b 1. 所求椭圆方程为1. (2) 设 A ( ， B ( 当 l x 轴或 l x 轴时， | 3 . 当 l 与 x 轴不垂直且不平行时， 设直线 l 的方程为 y m . 由已知| m |1 2，得 4( 1) 把 y m 代入椭圆方程整理得 (3 1) 6 k m x 3 3 0 ， 6 1， ( 1 )3 1. | 2 (1 36 3 1 )212 ( 1 )3 112 ( 1 ) ( 3 1 3 1 )23 ( 1 ) ( 9 1 )( 3 1 )2 3 12 6 1 3 129 6( k 0) 3 122 3 6 4 ， 当且仅当 9 即 k 33时等号成立 综上所述， | ma x 2. 当 | 最大时， 面积取最大值 此时， S 12 | ma x3232. 题型三 圆锥曲线的弦中点问题 【 例 3 】已知椭圆1 的左焦点为 F , O 为坐标 原点 ( 1) 求过点 O 、 F , 且与直线 l : x = 2 相切的圆的方程； ( 2) 设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A ， B 两点，线段 垂直平分线与 x 轴交于点 G ，求点 G 横坐标的取值范围 思维启迪 ( 1) 求出圆心和半径，得出圆的标准方程； ( 2) 设直线 点斜式方程，由已知得出线段 垂直平分线方程，利用求值域的方法求解 解 ( 1) 2 ， 1 ， c 1 ， F ( 1,0) ， 圆过点 O ， F ， 圆心 M 在直线 x 12上 设 M ( 12， t ) ，则圆半径 r |( 12) ( 2) |32， 由 | r ，得 ( 12)2 2， 解得 t 2 ， 所求圆的方程为 ( x 12)2 ( y 2 )294. (2) 设直线 方程为 y k ( x 1)( k 0) 代入1 ， 整理得 (1 2 4 2 2 0. 直线 椭圆的左焦点 F 且不垂 直于 x 轴， 方程有两个不等实根 记 A ( ， B ( ， 点 N ( ， 则 4 1， 2( 2 1， k ( 1) k2 1， 垂直平分线 方程为 y 1k( x 令 y 0 ，得 x G x 0 2 1111214 2， k 0 ， 12b 0) ， 则由题意知 b 1. 2 55，即 1 12 55， 5. 椭圆 C 的方程为1. .,( 2 )21 若点轴于交两点于交椭圆作直线的右焦点椭圆过(2) 证明 方法一 设 A 、 B 、 M 点坐标分别为 A ( ，B ( ， M (0 ， ，易知 F 点的坐标为 (2,0) ( 1(2 ， 11 1， y1 1， 将 A 点坐标代入到椭圆方程中， 得15(2 11 1)2 ( 1)2 1. 去分母整理得 21 10 1 5 5 0. 可得 22 10 2 5 5 0. 1， 2是方程 10 x 5 5 0 的两个根， 1 2 10. 1 ,M A A F, 由同理方法二 设 A 、 B 、 M 点的坐标分别为 A ( ， B ( x2， M (0 ， ，又易知 F 点的坐标为 (2,0) 显然直线 l 存在斜率，设直线 l 的斜率为 k ， 则直线 l 的方程是 y k ( x 2) 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中， 消去 y 并整理得 (1 5 20 20 5 0. 0 5 0 51 5 将各点坐标代入得 1 2 1 2 x1 ( x 1 x 2 ) 2 x 1 x 24 2 ( x 1 x 2 ) x 1 x 2 1 0. 12,M A A F M B B F又方法与技巧 1 解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆 有两个不同交点， 若根据已知条件能求出两交点的 坐标，这不失为一种彻底有效的方法； 若两交点的 坐标不好表示，可将直线方程 y c 代入椭圆方 程 1 整理出关于 x ( 或 y ) 的一元二次方程 C 0 ， 4 0 ，可利用根与系数之间 的关系求弦长 ( 弦长为 1 A |) ； 思想方法 感悟提高 失误与防范 2. 弦 的中点问题，以及交点与原点连线的垂直等问题 . 求弦长可注意弦是否过椭圆焦点；弦的中点问题 还可利用“点差法”和“对称法”；解决 可以利用向量 充要条件即在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况 . 定时检测 一、选择题 1 直线 y k 1 与椭圆1 的位置关系为 ( ) A 相交 B 相切 C 相离 D 不确定 解析 由于直线 y k 1 k ( x 1) 1 过定点 ( 1,1) ，此点在椭圆内，故直线与椭圆必相交 A 2 直线 y 2 与抛物线 8 x 有且只有一个公共 点，则 k 的值为 ( ) A 1 B 1 或 3 C 0 D 1 或 0 解析 由y 2 ，8 x ，得 8 y 16 0 ， 若 k 0 , 则 y 2 , 若 k 0 , 则 0 ，即 64 64 k 0 ，解得 k 1 ，因此若直线 y 2 与抛物线 8 k 0 或 k 1. D 3 斜率 为 1 的直线 l 与椭圆1 相交于 A 、 B 两 点，则 | 的最大值为 ( ) A 2 05解析 设椭圆与直线相交于 A ( , B ( 两点， 由4 4 ，y x t y ，得 5 8 4( 1) 0. 则有 85t ， ( 1 )5. | 1 k2| 2 ( 85t )2 4 4 ( 1 )54 255 当 t 0 时 ， |m 105. C 4 ( 200 9 全国 ) 已知直 线 y k ( x 2) ( k 0) 与抛物线 C ： 8 x 相交于 A 、 B 两点， F 为 C 的焦点，若 | 2| ，则 k ( ) 3解析 将 y k ( x 2) 代入 8 x 得 (4 8) x 4 0. 设交点的横坐标分别为 x A ， x B ，则 x A x B 8 4 ， x A x B 4. 又 | x A 2 ， | x B 2 ， | 2| ， 2 x B 4 x A 2. 2 2. 将 代入 得 3 2 ， 63 4 2 163 2. 故 83 2163 2 4. 解之得 9，而 k 0 ， k 2 23，满足 0. 故选 D. 答案 D 5 已知 直线 l 与椭圆 2 2 交于 P 1 、 P 2 两点，线 段 P 1 P 2 的中点为 P ，设直线 l 的斜率为 k 1 ( k 1 0) ，直 线 斜率为 k 2 ，则 k 1 k 2 的值等于 ( ) A 2 B 2 12解析 设 P 1 ( x 1 ， y 1 ) , P 2 ( x 2 ， y 2 ) , 则 P (x 1 x 22，y 1 y 22) ， k 2 y 1 y 2x 1 x 2， k 1 y 2 y 1x 2 x 1， k 1 k 2 由 2 2 ， 2 2 ，相减得 12( 故 k 1 k 2 12. D 6 已知双曲线 1( a 0 ， b 0) 的左焦点为 F 1 ，左、 右顶点为 A 1 、 A 2 ， P 为双曲线上任意一点 , 则分别以 线段 ， A 1 A 2 为直径的两个圆的位置关系为 ( ) A 相交 B 相切 C 相离 D 以上情况都有可能 解析 若 P 在双曲线左支上， 设双曲线右焦点为 F 2 ， 的中 点为 O 1 ，连结 ， . | | |2| | 2 |2 a ， | |2为以 | |为直径的圆的半径， a 为以 A 1 A 2 为直径 的圆的半径，故两圆相外切 同理，若 P 在双曲线右支上，则可得两圆相内切综 上得，两圆相切 答案 B 二、填空题 7 过抛物线 4 x 的焦点 F 作垂直于 x 轴的直线，交 抛物线于 A ， B 两点，则以 F 为圆心、 直径的 圆的方程是 _ _ _ 解析 由 4 x ，得 p 2 ， F ( 1,0) ， A ( 1,2) ， B (1 ， 2) ， 所求圆的方程为 ( x 1)2 4. ( x 1) 2 y 2 4 8 抛物线 4 x 的焦点为 F ，过点 P (52， 1) 的直线 l 交抛物线于 A 、 B 点，且 P 恰为 点 ， 则 | | _ _. 解析 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 则 x 1 x 2 5 ， 又 | | x 1 x 2 x 1 x 2 p 5 2 7 ， | | 7. 7 9 ( 2009 江苏 ) 如图，在平面直角坐标系 xO y 中， 1( a b 0) 的四个顶点， F 为其右焦点，直线 线 交于点 T ，线段 与椭圆的交点 M 恰为线段 的中点 , 则该椭圆的离心率为 _ 解析 a, 0) ， ， b ) ， ， b ) ， F ( c, 0) ， 直线 直线 方程为 由 得 T (2 c，b ( a c )a c) ， M ( c，b ( a c )2 ( a c ) 又 M 在椭圆 1 上， a c )2a c )24 ( a c )21 ，即 3 10 0 ， 10 e 3 0. 00) 的焦点 F 的直线交抛物 线于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 两点 求证： ( 1) x 1 x 2 为定值； ( 2)1| 1| 为定值 证明 ( 1) 抛物线 2 焦点为 F0 ， 当 垂直于 x 轴时， 设直线 方程为 y kx k 0) 由y kx 2 y , 得 p ( 2) x 0. 由根与系数的关系得 x 1 x 2 定值 ) 当 x 轴时， x2 所以， (2) 由抛物线的定义知， | x1| x2 又由 (1) 得 1| 1x1x2 p )
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