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步步高 高考 数学 一轮 复习 温习 第九 解析几何 课件 打包 13 北师大

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【步步高】2011届高考数学一轮复习 第九章 解析几何 理 课件（打包13套）北师大版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第九,解析几何,课件,打包,13,北师大

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备课资讯 21 直线方程中的数学思 想方法 一、方程思想 解析几何问题，大部分题目都以方程形式给出 的，因此，根据题目中的其它数量关系再列出方 程与原方程联立，并运用方程 ( 组 ) 的有关性质求 解，从而优化解题过程，减少运算量 【 例 1 】 已知直线 l 夹在两条直线 l 1 ： x 3 y 10 0 和 l 2 ： 2 x y 8 0 间的线段中点为 P (0 ,1 ) ，求直 线 l 的方程 分析 设直线 l 1 ， l 2 的交点分别为 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，利用 A 在直线 l 1 上， B 在 l 2 上以及 点为 解析 设直线 l 1 ， l 2 的交点分别为 A ( x 1 ，y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，因为 A 在直线 l 1 上， B 在 l 2 上，得 x 1 3 y 1 10 0 ,2 x 2 y 2 8 0. 因为 点为P (0 , 1) ，所以 x 1 x 2 0 ， y 1 y 2 2 ，可得 x 2 x 1 ， y 2 2 y 1 . 代入 2 x 2 y 2 8 0 得 2 x 1 y 1 6 x 1 3 y 1 10 0 ，2 x 1 y 1 6 0 ，解得x 1 4 ，y 1 x 2 4 ，y 2 ( 4, 2) ， B ( 4, 0) 所以直线 y 0 2 0 4 4( x 4) ， 即 x 4 y 4 0. 点评 此题用方程的思想方法求解，思路清晰，方法常规方程的思想方法是解决直线问题的基本方 法 二、函数思想 利用函数的有关性质解决直线的有关问题，即以 运动和变化的观点分析直线问题中的数量关系、 建立函数关系，运用函数的有关性质求解，从而 使问题获得解决 【 例 2 】 过点 P (2 ,1) 作直线 l 交 x 轴于点 A ，交 y 轴 于点 B ，求 | | 取得最小值时直线 l 的方 程 分析 此题涉及最小值问题，考虑利用函数求最值的方法求解可以设 A ( a , 0) ， B (0 ， b ) ，则直线 方程为xa1 ，由直线 ，得到 a 、 b 满足的 关系式，再利用 a 表示 | | ，求出满足 | | 取最小值时 a 的值，即可求出直线 解析 设 A ( a , 0) ， B (0 ， b ) ，则直线 1. 因为直线 ， 所以2a1b 1 ， b 2. 又 | 2| 2 ( a 2)2 1 4 ( b 1)2 ( a 2)2 12a 22 4 42 ( a 2 )21( a 2 )2 44 a 2 1a 221 6 . 当且仅当 a 2 1a 2， 即 a 1 ，或 a 3 时， | | 取得最小值 4. 所以所求直线 y 1 1 或x31 ， 即 x y 1 0 或 x y 3 0. 点评 在解直线中的最值或参数的取值范围问题时，通常 转化为函数问题，结合具体的函数性质求解 这样可以使问题化难为易，化繁为简 如果函数解析式中含有参数，一般要根据定义域和参数的特点分类讨论 三、数形结合思想 解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中要 善于将数形结合的思想方法用于对直线的性质和 相互关系的研究中 【 例 3 】 已知有向线段 的起点 P 与终点 Q 的坐标 分别为 P ( 1 ,1 ) 、 Q (2 ,2 ) ，若直线 l： x m 0 与线段 延长线相交，求实数 m 的取值范 围 分析 m ，所以化为点斜式后，易知该直线必过一个定点，然后画出图形，由数形结合可得到斜率的取值范围，进而可求得 m 的取值范围 解析 直线 l： x + m =0 可化为 y +1 = ( x - 0) ，所以直线 (0 ， - 1) ， 且斜率为 ，如图所示因为直线 Q 的延长线相交，由图可知， 当过 M 且与 行时，斜率趋近最小； 又 斜率最大而 m131)1(212 3131,2302)1(2此题若不用数形结合的方法，而用常规方法求解是比较复杂的 四、分类讨论思想 分类讨论思想实际上就是一种逻辑划分在解决 直线问题时，按照某一确定的标准在比较的基础 上，将某一对象划分为若干既有联系又有区别的 部分，然后分别解决，最后归纳出结果，从而达 到解决问题的目的 【 例 4 】 已知点 A ( 1,1 ) ， B (1, 1) ，点 P 是直线 y x 2 上一点，当 直角三角形时，求点 P 坐标及三角形的面积 分析 本题没有指明 P A B 的哪个角是直角，故应分三种情况分别求解 解析 可设 P ( m ， m 2) (1 ) 当 B 90 时， k 0 ，由 可知 的斜率不存在故 x 轴垂直，从而 P (1 ， 1) 易得 | 2 ， | 2 ，则 S P A B 12| | 2. (2 ) 当 A 90 时，仿 ( 1) 知 x 轴垂直，得 P ( 1 ， 3) 此时 | 2 ， | 4 ， 则 S P A B 12| | 4. (3 ) 当 P 90 时，由 有m 3m 1m 3m 1 1 ，化简得 3 m 4 0. 但 9 16 7 0 ， 该方程无解因此点 P 不存在 综上，当点 P 坐标为 (1 ， 1) 时， 面积 为 2 ； 当点 P 坐标为 ( 1 ， 3) 时， R t P A B 的面积为 4. 点评 正确进行讨论的前提是正确分类，分类要符合互斥、无漏、最简的原则，然后进行全面恰当的分情况讨论 返回 备课资讯 2 2 数学思想方法在直线与 圆问题中的应用 数学思想方法是数学的精髓只有运用好数学思 想方法，结合相关的解题方法，才能把数学知识和 技能转化为分析问题和解决问题的能力，所以在学习知识和复习巩固知识的同时，要注重数学思想方法的培养下面就直线与圆问题中的数学思想进行分析 一 、函数思想 【 例 1 】 已知点 P 是直线 3 x 4 y 8 0 上的动点， 圆 2 x 2 y 1 0 的两条切线，A 、 B 是切点， C 是圆心，那么四边形 P A C B 面积的最小值为 _ _ _ _ _ 分析 根据图形的对称性，求四边形 P A C B 面积的最小值实质是求 P A C 面积的最小值，根据勾股定理将问题转化为求 | 的最小值 而 | 的最小值可以通过建立目标函数来解决 解析 点 P 在直线 3 x 4 y 8 0 上， 设 Px ， 2 34x . 由题设知， C 点的坐标为 ( 1, 1) ，半径 R 1 ， S 四边形 2 S 212| | | . | 2 | 2 | 2 | 2 1 ， 当 | 最小时， | 最小，四边形 P A C B 的面积 最小， | 2 (1 x )21 2 345162x 10 54x 12 9. | 2 的最小值是 9 ， | 2 的最小值是 8 ， 四边形 P A C B 面积的最小值为 2 2 ，故填 2 2 . 点评 本题将求四边形 P A C B 面积的最小值问题，通过建立目标函数，转化为求二次函数的最小值问题，其实质就是函数思想，本题转化为点 C 到直线的距离亦很简单 二、分类讨论思想 【 例 2 】 设直线 a 1) x y 2 a 0 ， a R . (1) 若 直线 (2) 若 实数 a 的取值范围 解析 (1) 当直线经过原点时，该直线 l在 x 轴和 y 轴 上的截距为零，显然相等 a 2 时，直线 x y 0. 当 a 2 时，则直线 a 2a 1 a 2 a 0 ， 所以此时直线 x y 2 0. (2) 将直线 y ( a 1) x a 2 ， 若直线不经过第二象限，得 ( a 1 ) 0 ，a 2 0或 ( a 1 ) 0 ，a 2 0 ，解得 a 1. 当 a 1 时，直线 点评 由于截距可以为零，原点不属于任何象限，所以本例求解时一定注意对参数的分类讨论，否则将出现漏解的错误，同时注意对 (2) 中直线经过原点的情况讨论 三、补集思想的应用 【 例 3 】 若圆 a 0) 与连接两点 A ( 1, 2) 、 B (3 , 4) 的线段没有公共点，求 a 的范围 分析 本题如果从正面求解，需分 A 、 B 两点都在圆外与 A 、 B 都在圆内两种情况讨论求解，其过程相对较为复杂，我们不妨利用补集思想，即通过求解问题的反面来达到确定 a 的范围 解析 先求圆和线段 公共点时 a 的取值范围，易取得线段 方程为 y x 1 ， x 1 , 3 ， 由方程组 x 1， 得 2 2 x 1 ， x 1 , 3 ， 而 x 的函数在 1 , 3 内递增，且 x 1 时， 5 ；x 3 时， 25 ， 5 5 ， a 0 ， 5 a 5 ， 当圆与线段 公共点时， 05. 点评 有些与直线、圆有关的问题，如果正面求解情况较为复杂时，则可以考虑应用补集思想思考其对立面，常能化繁为简 四、参数法 【 例 4 】 已知圆 1 ，定点 A (1 , 0) ， B 、 C 是 圆上两个动点，保持 A 、 B 、 C 在圆上逆时针排列，且 B O C 3( O 为坐标原点 ) ，求 A B C 重 心 G 的轨迹方程 分析 由于点 B 、 C 的坐标未知，如果分别设为B ( x 1 ， y 1 ) 、 C ( x 2 ， y 2 ) ，再利用已知条件寻求两者间的关系，则显得未知量较多，其运算过程也较繁 因此可考虑用圆的参数方程，根据参数 的几何意义，可将 B 、 C 两点的坐标统一起来 解析 令 B (c ， s ) 0 ，53 ， 则 C co s 3， s 3， 设重心坐标为 G ( x ， y ) ， 则x 131 co s c 3，y 130 si n s 3，即x 131 3 co s 6，y 33si n 6， 0 ，53 ， 66，116 ， c 6 1 ，32， si n 6 1, 1 ， x 1 33，56， y 33，33， G 的轨迹方程为 x 132 3x 1 33，56. 点评 利用圆的参数方程求点的轨迹方程的解题目标是借助参数表示动点的 纵、横坐标，然后消去参数，即可得到动点的轨迹方程 解答此类题的关键是建立圆的点与动点的关系，本题是利用重心坐标公式来建立的 另外，设参数时应考虑参数的取值范围 . 返回 线与圆锥曲线位置关系的综合应用 要点梳理 1 直线与圆锥曲线的位置关系 ( 1) 从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有 一个公共点及有两个相异的公共点 ( 2) 从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入 二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的 情况来判断设直线 l 的方程为 C 0 ， 圆锥曲线方程 f ( x ， y ) 0. 基础知识 自主学习 由 C 0f ( x ， y ) 0，消元 如消去 y 后得 c 0. 若 a 0 ，当圆锥曲线是双曲线时，直线 l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线 l 与抛物线的对称轴平行 ( 或重合 ) 若 a 0 ，设 4 a _ 0 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； b _ 0 时，直线和圆锥曲线相切于一点； c _ 0 时，直线和圆锥曲线没有公共点 = 0) ，根据已知条 件 12 6 p ， 2 p 4 ，则所求抛物线方程为 4 x ， | 2 8. B 2 设抛物线 8 x 的准线与 x 轴交于点 Q ，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值 范围是 ( ) A.12，12B 2,2 C 1,1 D 4,4 解析 8 x ， Q ( 2,0) ( Q 为准线与 x 轴的交点 ) ， 设过 Q 点的直线 l 方程为 y k ( x 2) ， l 与抛物线有公共点， 方程组8 x ，y k ( x 2 ) ，有解， 即 (4 8) x 4 0 有解， (4 8)2 16 0 ，即 1. 1 k 1. 答案 C 3 已知 ( 4,2 ) 是直线 l 被椭圆1 所截得的线段的 中点，则 l 的方程为 ( ) A x 2 y 0 B x 2 y 4 0 C 2 x 3 y 4 0 D x 2 y 8 0 解析 设 l 与椭圆的交点为 A ( ， B ( ， 则有1 ， 9 ( 6 ( 2 44 2 212. l 的方程为： y 2 12( x 4) ，即 x 2 y 8 0. D 4 过椭圆 3 4 48 的左焦点引斜率为 1 的直线交 椭圆于 A 、 B 两点，则 | 等于 ( ) 由 3 4 48 得1 , 16 , 12 ，则 c 2. 过椭圆左焦点 F ( 2,0) 且斜率 为 1 的直线方程为 y x 2 ，将其代入 3 4 48 整理得 7 16 x 32 0 ，设 A ( ， B ( ， | ( a ( a 2 a e ( 8 12 ( 167)487. C 5 已知抛物线 y x 2 3 上存在关于直线 x y 0 对 称的相异两点 A 、 B ，则 | 等于 ( ) A 3 B 4 C 3 2 D 4 2 解析 由题意知 ， 直线 y x b 与 y 3 交于两点 ，联立得 x b 3 0 ， 线段 中点为12，12， 代入直线方程 y x b ， 得1212 b 0 ，即 b 1 ， x 2 0 ， x 1 或 2. 设 A ( ， B ( ，当 1 时， 2 ， 当 2 时， 1. | ( ( 3 2 . C 题型一 直线与圆锥曲线的位置关系 【 例 1 】 若曲线 直线 y ( a 1) x 1 恰有一个公共点，求实数 a 的值 思维启迪 先用代数方法即联立方程组解决，再从几何上验证结论，注意运用数形结合思想以及分类讨论思想 解 联立方程y ( a 1 ) x 1 ( 1) 当 a 0 时，此方程组恰有一组解为x 1y 0. 典型例题 深度剖析 ( 2) 当 a 0 时，消去 x ，得a 1y 1 0. 若a 1a 0 ，即 a 1 ， 方程变为一元一次方程 y 1 0. 方程组恰有一组解x 1y 1. 若a 1a 0 ，即 a 1. 令 0 ，得 1 4 ( a 1 )a 0 ，可解得 a 45， 这时直线与曲线相切，只有一个公共点 综上所述知 , 当 a 0 , 1 , 45时 , 直线与曲线 有一个公共点 探究提高 本题设计了一个思维 “ 陷阱 ” ，即审题中误 认为 a 0 ，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数 a 1a 0 ，即 a 1 的可能性，从而漏掉两解 本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下： 当 a 0 时，曲线 为直线 y 0 ，此时与已知 直线 y x 1 恰有一个交点 (1,0) ； 当 a 1 时，直 线 y 1 与抛物线 x 的对称轴平行，恰有一个 交点 ( 代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项 系数为零 ) ； 当 a 45时，直线 y 15x 1 与抛物线 45x 相切 知能迁移 1 在平面直角坐标系 ，经过点 (0 ， 2 ) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆1 有两个不同的交点 P 和 Q . ( 1) 求 k 的取值范围； ( 2) 设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴 正半轴的交点分别为 A 、 B ， 是否存在实数 k ，使得 共线？如果存在， 求 k 值；如果不存在，请说明理由 . 解 ( 1) 由已知条件，直线 l 的方程为 y 2 ， 代入椭圆方程得( 2 )2 1 ， 整理得12 2 2 1 0 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 8 412 4 20 ， 解得 k 22. 即 k 的取值范围为 ，2222， . ( 2) 设 P ( ， Q ( ， ( ，由方程式 ， 4 2 2 又 k ( 2 2 2 ( ， 将 代入上式，解得 k 22. 由 ( 1) 知 k 22，故没有符合题意的常数 k . O P O Q则2 ( 2 , 1 )A B A O Q A B而 ( , 0 ) , ( 0 , 1 ) ,所 以 与 共 线 等 价 于题型二 圆锥曲线中的弦长问题 【 例 2 】 已知 顶点 A ， B 在椭圆 3 4 上， C 在直线 l ： y x 2 上，且 l . ( 1) 当 通过坐标原点 O 时，求 长及 的面积； ( 2) 当 90 ，且斜边 长最大时，求 所在直线的方程 思维启迪 (1) 求弦长 | A B C 的 上的 高即原点 O 到 l 的距离 h ： S A B C 12| h . 设 方程为 ： y = x + m 将 |表示成 m 的函数 由大确定 m 的值 解 (1) 因为 l ，且 通过点 (0,0) ， 所以 在直线的方程为 y x . 设 A ， B 两点坐标分别为 ( ， ( 由3 4 ，y x ，得 x 1 ， 所以 | 2 | 2 2 . 又因为 上的高 h 等于原点到直线 l 的距离， 所以 h 2 ， S 2| h 2. (2) 设 在直线的方程为 y x m . 由3 4 ，y x m ，得 4 6 3 4 0. 因为 A ， B 在椭圆上，所以 12 640 . 设 A ， B 两点坐标分别为 ( ， ( 则 3 44， 所以 | 2 | 32 6 又因为 长等于点 (0 ， m ) 到直线 l 的距离， 即 | |2 m |2. 因为 | 2 | 2 | 2 2 m 10 ( m 1)2 11 ， 所以当 m 1 时， 最长， ( 这时 12 640) 此时 在直线的方程为 y x 1. 探究提高 本 例 主要考查直线与二次曲线相交所得弦长问题的解法，弦长公式、整体代入等运算方法和运算技巧解答此类问题要注意避免出现两种错误： ( 1) 对直线 l 斜率的存在性不作讨论而直接设为点斜式，出现漏解或思维不全造成步骤缺失 ( 2) 是对二次项系数不为零或 0 这个前提忽略而直接使用根与系数的关系 知能迁移 2 已知椭圆 C ： 1( a b 0) 的离心率 为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3 . ( 1) 求椭圆 C 的方程； ( 2) 设直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为32，求 积的最大值 解 ( 1) 设椭圆的半焦距为 c ，依题意得3a 3， c 2 ， b 1. 所求椭圆方程为1. (2) 设 A ( ， B ( 当 l x 轴或 l x 轴时， | 3 . 当 l 与 x 轴不垂直且不平行时， 设直线 l 的方程为 y m . 由已知| m |1 2，得 4( 1) 把 y m 代入椭圆方程整理得 (3 1) 6 k m x 3 3 0 ， 6 1， ( 1 )3 1. | 2 (1 36 3 1 )212 ( 1 )3 112 ( 1 ) ( 3 1 3 1 )23 ( 1 ) ( 9 1 )( 3 1 )2 3 12 6 1 3 129 6( k 0) 3 122 3 6 4 ， 当且仅当 9 即 k 33时等号成立 综上所述， | ma x 2. 当 | 最大时， 面积取最大值 此时， S 12 | ma x3232. 题型三 圆锥曲线的弦中点问题 【 例 3 】已知椭圆1 的左焦点为 F , O 为坐标 原点 ( 1) 求过点 O 、 F , 且与直线 l : x = 2 相切的圆的方程； ( 2) 设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A ， B 两点，线段 垂直平分线与 x 轴交于点 G ，求点 G 横坐标的取值范围 思维启迪 ( 1) 求出圆心和半径，得出圆的标准方程； ( 2) 设直线 点斜式方程，由已知得出线段 垂直平分线方程，利用求值域的方法求解 解 ( 1) 2 ， 1 ， c 1 ， F ( 1,0) ， 圆过点 O ， F ， 圆心 M 在直线 x 12上 设 M ( 12， t ) ，则圆半径 r |( 12) ( 2) |32， 由 | r ，得 ( 12)2 2， 解得 t 2 ， 所求圆的方程为 ( x 12)2 ( y 2 )294. (2) 设直线 方程为 y k ( x 1)( k 0) 代入1 ， 整理得 (1 2 4 2 2 0. 直线 椭圆的左焦点 F 且不垂 直于 x 轴， 方程有两个不等实根 记 A ( ， B ( ， 点 N ( ， 则 4 1， 2( 2 1， k ( 1) k2 1， 垂直平分线 方程为 y 1k( x 令 y 0 ，得 x G x 0 2 1111214 2， k 0 ， 12b 0) ， 则由题意知 b 1. 2 55，即 1 12 55， 5. 椭圆 C 的方程为1. .,( 2 )21 若点轴于交两点于交椭圆作直线的右焦点椭圆过(2) 证明 方法一 设 A 、 B 、 M 点坐标分别为 A ( ，B ( ， M (0 ， ，易知 F 点的坐标为 (2,0) ( 1(2 ， 11 1， y1 1， 将 A 点坐标代入到椭圆方程中， 得15(2 11 1)2 ( 1)2 1. 去分母整理得 21 10 1 5 5 0. 可得 22 10 2 5 5 0. 1， 2是方程 10 x 5 5 0 的两个根， 1 2 10. 1 ,M A A F, 由同理方法二 设 A 、 B 、 M 点的坐标分别为 A ( ， B ( x2， M (0 ， ，又易知 F 点的坐标为 (2,0) 显然直线 l 存在斜率，设直线 l 的斜率为 k ， 则直线 l 的方程是 y k ( x 2) 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中， 消去 y 并整理得 (1 5 20 20 5 0. 0 5 0 51 5 将各点坐标代入得 1 2 1 2 x1 ( x 1 x 2 ) 2 x 1 x 24 2 ( x 1 x 2 ) x 1 x 2 1 0. 12,M A A F M B B F又方法与技巧 1 解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆 有两个不同交点， 若根据已知条件能求出两交点的 坐标，这不失为一种彻底有效的方法； 若两交点的 坐标不好表示，可将直线方程 y c 代入椭圆方 程 1 整理出关于 x ( 或 y ) 的一元二次方程 C 0 ， 4 0 ，可利用根与系数之间 的关系求弦长 ( 弦长为 1 A |) ； 思想方法 感悟提高 失误与防范 2. 弦 的中点问题，以及交点与原点连线的垂直等问题 . 求弦长可注意弦是否过椭圆焦点；弦的中点问题 还可利用“点差法”和“对称法”；解决 可以利用向量 充要条件即在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况 . 定时检测 一、选择题 1 直线 y k 1 与椭圆1 的位置关系为 ( ) A 相交 B 相切 C 相离 D 不确定 解析 由于直线 y k 1 k ( x 1) 1 过定点 ( 1,1) ，此点在椭圆内，故直线与椭圆必相交 A 2 直线 y 2 与抛物线 8 x 有且只有一个公共 点，则 k 的值为 ( ) A 1 B 1 或 3 C 0 D 1 或 0 解析 由y 2 ，8 x ，得 8 y 16 0 ， 若 k 0 , 则 y 2 , 若 k 0 , 则 0 ，即 64 64 k 0 ，解得 k 1 ，因此若直线 y 2 与抛物线 8 k 0 或 k 1. D 3 斜率 为 1 的直线 l 与椭圆1 相交于 A 、 B 两 点，则 | 的最大值为 ( ) A 2 05解析 设椭圆与直线相交于 A ( , B ( 两点， 由4 4 ，y x t y ，得 5 8 4( 1) 0. 则有 85t ， ( 1 )5. | 1 k2| 2 ( 85t )2 4 4 ( 1 )54 255 当 t 0 时 ， |m 105. C 4 ( 200 9 全国 ) 已知直 线 y k ( x 2) ( k 0) 与抛物线 C ： 8 x 相交于 A 、 B 两点， F 为 C 的焦点，若 | 2| ，则 k ( ) 3解析 将 y k ( x 2) 代入 8 x 得 (4 8) x 4 0. 设交点的横坐标分别为 x A ， x B ，则 x A x B 8 4 ， x A x B 4. 又 | x A 2 ， | x B 2 ， | 2| ， 2 x B 4 x A 2. 2 2. 将 代入 得 3 2 ， 63 4 2 163 2. 故 83 2163 2 4. 解之得 9，而 k 0 ， k 2 23，满足 0. 故选 D. 答案 D 5 已知 直线 l 与椭圆 2 2 交于 P 1 、 P 2 两点，线 段 P 1 P 2 的中点为 P ，设直线 l 的斜率为 k 1 ( k 1 0) ，直 线 斜率为 k 2 ，则 k 1 k 2 的值等于 ( ) A 2 B 2 12解析 设 P 1 ( x 1 ， y 1 ) , P 2 ( x 2 ， y 2 ) , 则 P (x 1 x 22，y 1 y 22) ， k 2 y 1 y 2x 1 x 2， k 1 y 2 y 1x 2 x 1， k 1 k 2 由 2 2 ， 2 2 ，相减得 12( 故 k 1 k 2 12. D 6 已知双曲线 1( a 0 ， b 0) 的左焦点为 F 1 ，左、 右顶点为 A 1 、 A 2 ， P 为双曲线上任意一点 , 则分别以 线段 ， A 1 A 2 为直径的两个圆的位置关系为 ( ) A 相交 B 相切 C 相离 D 以上情况都有可能 解析 若 P 在双曲线左支上， 设双曲线右焦点为 F 2 ， 的中 点为 O 1 ，连结 ， . | | |2| | 2 |2 a ， | |2为以 | |为直径的圆的半径， a 为以 A 1 A 2 为直径 的圆的半径，故两圆相外切 同理，若 P 在双曲线右支上，则可得两圆相内切综 上得，两圆相切 答案 B 二、填空题 7 过抛物线 4 x 的焦点 F 作垂直于 x 轴的直线，交 抛物线于 A ， B 两点，则以 F 为圆心、 直径的 圆的方程是 _ _ _ 解析 由 4 x ，得 p 2 ， F ( 1,0) ， A ( 1,2) ， B (1 ， 2) ， 所求圆的方程为 ( x 1)2 4. ( x 1) 2 y 2 4 8 抛物线 4 x 的焦点为 F ，过点 P (52， 1) 的直线 l 交抛物线于 A 、 B 点，且 P 恰为 点 ， 则 | | _ _. 解析 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 则 x 1 x 2 5 ， 又 | | x 1 x 2 x 1 x 2 p 5 2 7 ， | | 7. 7 9 ( 2009 江苏 ) 如图，在平面直角坐标系 xO y 中， 1( a b 0) 的四个顶点， F 为其右焦点，直线 线 交于点 T ，线段 与椭圆的交点 M 恰为线段 的中点 , 则该椭圆的离心率为 _ 解析 a, 0) ， ， b ) ， ， b ) ， F ( c, 0) ， 直线 直线 方程为 由 得 T (2 c，b ( a c )a c) ， M ( c，b ( a c )2 ( a c ) 又 M 在椭圆 1 上， a c )2a c )24 ( a c )21 ，即 3 10 0 ， 10 e 3 0. 00) 的焦点 F 的直线交抛物 线于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 两点 求证： ( 1) x 1 x 2 为定值； ( 2)1| 1| 为定值 证明 ( 1) 抛物线 2 焦点为 F0 ， 当 垂直于 x 轴时， 设直线 方程为 y kx k 0) 由y kx 2 y , 得 p ( 2) x 0. 由根与系数的关系得 x 1 x 2 定值 ) 当 x 轴时， x2 所以， (2) 由抛物线的定义知， | x1| x2 又由 (1) 得 1| 1x1x2 p )2p( 定值 ) 当 x 轴时， | | p ，上式也成立 所以1| 1| 为定值 11 已知直线 l ： y 1 和抛物线 C ： y 2 4 x ，问当k 分别为何值时 , 直线 l 与抛物线 C 相切、相交、相离？ 解 将直线 l 与抛物线 C 的方程联立，得y 1 ，4 x ，化简得 (2 k 4) x 1 0. 当 k 0 时，它是一个一元二次方程， (2 k 4)2 4 16 16 k . 若 0 ，即 k 1 ，直线 l 与抛物线 C 相切； 若 0 ，即 k 1 ，直线 l 与抛物线 C 相离 当 k 0 时，直线 l ： y 1 与抛物线 C ： 4 x 相交且只有一个交点 综上所述：当 k 1 时，直线 l 与抛物线 C 相切； 当 k 1 时，直线 l 与抛物线 C 相离 12 如图，已知 N ( 5 ， 0) ， P 是圆 M ： ( x 5 )2 36( M 为圆心 ) 上一动点 , 线段 垂直平分线 l 交 Q 点， ( 1) 求点 Q 的轨迹 C 的方程； ( 2) 若直线 y x m 与曲线 C 相交于 A ， B 两点，求 积的最大值 解 ( 1) 连结 由题意知： | |， | | |， | | |， 而 |为圆 ( x 5 )2 36 的半径， | 6 ， | | 6 ， 又 M ( 5 ， 0) ， N ( 5 ， 0) ， | 2 5 0 得 13 m 13 ，设 A ( ， B ( ， 则有 1813m ， 3613， | 2 | 2 ( 4 2 ( 1813m )2 4 9 361312 21313 设点 O 到直线 距离为 d ，则 d | m |2， S A 2| d 1212 21313 m |261313 61313 3 ， 当 13 m 262 ( 13 ， 13 ) 时，等号 成立， 当 m 262时， 积的最大值为 3. 返回 1 第九编 解析几何 直线的方程 基础知识 自主学习 要点梳理 （ 1）直线的倾斜角 定义： 在平面直角坐标系中，对于一条与 l，把 方向）按 方向绕着交点旋转到和直线 做直线 直线 l和 的倾斜角为 . 倾斜角的范围为 . 逆时针 0 180 02 (2)直线的斜率 定义：一条直线的倾斜角 的 叫做这条 直线的斜率，斜率常用小写字母 k= ， 倾斜角是 90 的直线斜率不存在 . 过两点的直线的斜率公式 经过两点 x1,P2(x2,(直线 的斜率公式为 k= 正切值 3 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于 斜截式 不含垂直于 两点式 不含直线 x= x1 和直线 y= y1 )( 11 21121 4 截距式 不含垂直于坐标轴和过原 点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线 都适用 1 (022 5 1（ 直线方程 （ 1）若 x1= 线垂直于 程 为 ; (2)若 y1=线垂直于 程为 ; (3)若 x1=，且 线即为 程 为 ; (4)若 y1=时，直线即为 程 为 . x=x1 y=y1 x=0 y=0 6 若点 （ 且线段 的坐标为（ x,y）， 则 ，此公式为线段 坐标公式 . 12222 基础自测 （ m）， N（ m， 4）的直线的斜率等 于 1，则 （ ） 解析 =1， m=1. A 248 ） A.（ 18， 8），（ 4， B.（ 0， 0），（ ， 1） C.（ 0， （ 3， 2） D.（ 1），（ 0， 39 解析 对 对 对 对 过 答案 D ,076418 )4(8 k,03 303 01 k,0103 12 1(1 命题是 （ ） （ 直线不一定都可以用 方程 k(示 1（ 的直线都可以用方程 ( (表示 程 表示 （ 0， b）的直线都可以表示为 y=kx+b 解析 正确； B 正确； 的直 线，故也正确； 不正确 . 1 1 C 0,且 B C 0,那么直线 y+C=0 不通过 （ ） 解析 由题意知 A B C0. 直线方程变为 y=- ， A C 0， B C 0， A B 0， 其斜率 k=- 0,在 b=- 0, 直线过第一、二、四象限 . C （ 2），并且与两坐标轴 围成的三角形的面积为 1，则此直线的方程为 . 解析 设所求直线的方程为 A（ 2）在直线上， 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为 1， |a| b|=1 ,1 可得 由（ 1）解得 方程组（ 2）无解 . 故所求的直线方程为 即 x+2或 2x+y+2=0为所求直线的方程 . 答案 x+2或 2x+y+2=0 (21)1(，2112 或，21112 或14 题型一 直线的倾斜角和斜率 【 例 1】 若 ，则直线 2+3y+1=0 的倾斜角的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 2,6 2,6 6,0 ,65 65,2题型分类 深度剖析 15 思维启迪 从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的 范围，再确定倾斜角范围 . 解析 设直线的倾斜角为 ,则 =- , 又 ， 0 , 0 即 - 0,注意到 0 , . 答案 B 32 2,6 233332 33 65 16 探究提高 （ 1）求一个角的范围，是先求这个角 某一个函数值的范围，再确定角的范围 . （ 2）在已知两个变量之间的关系式要求其中一 个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得 到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余 弦函数的单调性放缩，其目的是消去变量 得到 倾斜角的取 值 范围。 17 知能迁移 1 直线 =0的倾斜角的变化范 围是 （ ） A. B.(0,) C. D. 解析 直线 x=0的斜率是 k=, 又 -11 ， k1 ， 当 0 k1 时，倾斜角的范围是 ； 当 k 0时，倾斜角的范围是 . 2,04,4 ,434,0D 4,0 ,4318 题型二 求直线的方程 【 例 2】 求适合下列条件的直线方程： （ 1）经过点 P（ 3， 2），且在两坐标轴上的截距 相等； （ 2）经过点 A（ 且倾斜角等于直线 y= 3倍 . 选择适当的直线方程形式，把所需要 的条件求出即可 . 解 （ 1） 方法一 设直线 l在 x,a, 若 a=0，即 0， 0）和（ 3， 2）， y= x，即 2. 32思维启迪 19 若 a0 ，则设 3， 2）， a=5， x+, 综上可知，直线 或 x+. 方法二 由题意知，所求直线的斜率 k0, 设直线方程为 k( 令 y=0，得 x=3- ,令 x=0,得 y=2由已知 3- =2得 k=k= , 直线 （ ( 即 x+或 2. ,1 23 2）由已知：设直线 y=3 ， 则所求直线的倾斜角为 2 . =3, = 又直线经过点 A（ 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1), 即 3x+4y+15=0. 4321 探究提高 在求直线方程时，应先选择适当的直 线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用 斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两 点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能 表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题 时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距 是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在 的情况 . 22 知能迁移 2 求下列直线 （ 1）过点 A（ 0， 2），它的倾斜角的正弦值是 ； （ 2）过点 A（ 2， 1），它的倾斜角是直线 x+4y+5=0的倾斜角的一半； （ 3）过点 A（ 2， 1）和直线 与 2的交点 . 解 （ 1）设直线 ， 则 = ,= , 由斜截式得 y= x+2, 即 3=0或 3x+4. 53 53 434323 （ 2）设直线 l和 、 ， 则 解得 =3或 =- （舍去） . 由点斜式得 (即 3. （ 3）解方程组 即两条直线的交点为（ . 由两点式得 即 5. ,t a a 3t a n,2,02 2 则又 31232,032y，,25 214 1 型三 直线方程的应用 【 例 3】 （ 12分）过点 P（ 2， 1）的直线 l交 y 轴正半轴于 A、 使： （ 1） （ 2） | 小时 先求出 求出 A， 示出 后利用 相关的数学知识求最值 . 思维启迪 25 解 方法一 设直线的方程为 当且仅当 ,即 a=4,b=2时， S 小值 4， 4分 此时直线 6分 ,112122)1(1,2(1由已知可得1分 3分 2112 24 解题示范 26 当且仅当 , 即 a=3,b=3时， | 最小值 4. 此时直线 x+. 12分 .)1(4)2(24)1(1)2()1()02()01()2(,2)1)(2(,02,112)2(22222210分 27 方法二 设直线 k(k 0), 则 l与 当且仅当 ,即 k=- 时取最小值，此时直 线 (即 x+2. 6分 4(21)1()4(421)21)(12(21)1()()0,12( B、3分 28 （ 2） | 10分 当且仅当 =4 k=此时直 线 (即 x+. 12分 求直线方程最常用的方法是待定系数 法，本题所要求的直线过定点，设直线方程的点 斜式，由另一条件确定斜率，思路顺理成章，而 方法一和方法二联系已知条件与相关知识新颖独 特，需要较高的逻辑思维能力和分析问题、解决 问题的能力 . 22 441)1( ,4844 22 29 知能迁移 3 已知直线 l:+2k=0 (k R). （ 1）证明：直线 （ 2）若直线不经过第四象限，求 （ 3）若直线 l交 ，交 ， ，求 方程 . （ 1） 证明 直线 k（ x+2)+(10, 无论 线总经过定点（ 1） . ,12,0102之得令30 （ 2） 解 由方程知 ,当 k0 时直线在 ,在 +2k，要使直线不经过 第四象限， 则必须有 解之得 k 0; 当 k=0时，直线为 y=1,符合题意，故 k0. ,121221 3） 解 由 依题意得 )(),0,21( 21,0214,21,140”“,4)422(21)414(21)21(2121212121m i 2 方法与技巧 确倾斜角的取值 范围，熟记斜率公式： k= ，该公式 与两点顺序无关，已知两点坐标（ ， 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率 .当 x1=x2，线的斜率不存在，此时直 线的倾斜角为 90 . 1212思想方法 感悟提高 33 k=（ 90 ），其中 为倾 斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联