【步步高】2011届高考数学一轮复习 第九章（A）直线、平面、简单几何体 文 课件（打包9套）人教大纲版
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【步步高】2011届高考数学一轮复习 第九章（A）直线、平面、简单几何体 文 课件（打包9套）人教大纲版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第九,直线,平面,简单,几何体,课件,打包,大纲
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空间角与空间距离 基础知识 自主学习 要点梳理 (1)定义 :已知两条异面直线 a、 b，经过空间任意 一点 O，作 a a， b b，我们把 a 与 b 所成 的 叫做异面直线 a与 （或夹角） . （ 2）范围： 锐角（或直角） （ 1）定义：斜线与平面所成的角是斜线和它在平 面内的 所成的角 直 线和平面成 角 直线 和平面成 角 . （ 2）范围： . （ 1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做 ，这条直线叫做 ， 这两个半平面叫做 . 射影 0 90 二面角 二面角的棱 二面角的面 )2,0(（ 2）二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为 ，在两个面内分别 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做 . (3)求作二面角的方法 二面角的大小是用它的 来度量的 作） 出二面角的平面角，并且求出其大小，主要有以下 几种方法： 定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊 点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面 角，用定义法时，要认真观察图形的特性 . 端点 二面角的平面角 平面角 三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一 个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角 . 垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时， 过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为 平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与 棱垂直 . 射影法：利用面积射影公式 ，其中 原斜面面积， 射影面积， 为平面角的 大小，此方法不必在图中画出平面角来 . （ 4）范围： 0， . S原 两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的 的长度 . （ 1）求距离的常用方法 直接法：即寻找或作出与该距离相对应的垂线 段，此法的关键是确定垂足的位置，然后借助于 直角三角形求解 . 等体积法：把所求的距离转化为三棱锥的高， 再通过变换三棱锥的顶点，由同一棱锥的体积是 不变的，求出相应的距离 . 公垂线段 （ 2）求距离的一般步骤 “一作”：即先作出表示距离的线段（要符合作图 规则，避免随意性）； “二证”：即证明所作的线段符合题目的要求为所 求线段（证明要符合逻辑且推理正确）； “三计算”：即将所求线段放置在三角形中，解三 角形求取或利用等积法求取 . 基础自测 1.（ 2008 福建） 如图所示，在长 方体 C=2， ，则 1正弦值为 （ ） 解析 如图所示，连结 平面 1 D C=5， ， 平面 ，则 （ ） A. 析 取 ，连结 由 E 到 D 5 5 5 E、 别是棱 直线 直线 （ ） 解析 如图所示， 直线 10 . B 4.（ 2009 湖北） 如图，在三棱柱 0 , 60 , 5 ,侧棱 ， 则该三棱柱的高等于 （ ） 解析 如图，过点 1O 平面 结 ，设 , 由最小角定理知 , 0 . o o o o s.c o o 0c o s (,c o o sc o A ，两个端点 A、 角的两个面上， 5 和 30 ，那么点 A、 C、 （ ） 解析 如图， , , , 0 , 5 . , . ()3( 2222 型分类 深度剖析 题型一 斜线与平面所成的角 【 例 1】 如图所示，已知 内， 的斜线，且 60 ， B=OC=a, a， 求 所成的角 . 首先应确定 内射影的位 置 ,这样就可得到 所成的角 ,进而求之 . 解 B=OC=a， 0 , C=a. 思维启迪 2 a， 同理 过 于 H， 连结 B= H= 所成的角 . 即 所成的角为 45 . 245,22s i n,22, 中在探究提高 （ 1）确定点在平面内的射影的位置，是 解题的关键，因为只有确定了射影的位置，才能找 到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为 平面的问题来解 . （ 2）求斜线与平面所成角的步骤： 寻找过直线上一点与平面垂直的直线； 连结垂足和斜足得出射影，确定出所求角； 把该角放入三角形中计算 . （ 3）直线和平面所成的角，也应考虑到直线和平面 垂直、直线和平面平行或在平面内诸情况，也就是 直线和平面成 90 角和 0 角的情况，所以求线面所 成角时，应想到以上两种特例 . 知能迁移 1 如图所示， 平面 30 ，且 C. 求 解 平面 0 . 三垂线定理得 ， 平面 设 C=a,则 a, a,a. 在 5 ,即 5 . 2 3,2 22 2c o s a 求二面角的大小 【 例 2】 如图所示，在底面为直角梯 形的四棱锥 P 0 ,平面 ， ， ， . （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 P 对于问题（ 2），由（ 1）知棱 平 面 可找到二面角的平面角 . （ 1） 证明 平面 面 思维启迪 ,3t a n,3 3t a n 0 , 0 , 0 , 即 ， 平面 （ 2） 解 如图所示，连结 平面 在 B ， 0 , 二面角 P 0 . 利用垂面法找出平面角再转化到直角三 角形中求解 . ,3t 3知能迁移 2 如右图，在直三棱柱 0 ， C=a, a,点，且 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 B （ 1） 证明 由 C， 从而 平面 又 面 以 由已知 0 ,C=a,得 a, 2在 于是 , 0 ， 则 又 ,故 平面 ,4221t 222t a n,在（ 2） 解 如右图，过点 F ， 连结 由（ 1）及三垂线定理可知 角 B 在 在 G 所以在 故二面角 B 2 得,3 5s 点到直线、点到平面的距离 【 例 3】 在直三棱柱 B=a,BC=b. （ 1）设 E, 求证： 平面 （ 2）求证： （ 3）求 （ 1）线线平行或面面平行 线面平 行； （ 2）线面垂直 线线垂直； （ 3）求垂线段长或用等积法 . 思维启迪 （ 1） 证明 分别取 ， N，连结 从而 四边形 而 面 N 平面 平面 （ 2） 证明 连结 又 从而 平面 而 平面 又 面 （ 3） 解 平面 于是 1到平面 离，过 1H . 由（ 2）知， 平面 是 平面 在 C1=a， ,222211 求点到平面的距离，一般找出（或作出） 过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性 质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用 “ 三棱锥体积法 ” 直接求距离 . 如本题（ 3）的如下解法即用等积法 即 将各数据代入可得 .,)(221122111112222211的距离为到平面探究提高 ,21312131 1111 ,11 11 如右图，已知四边形 正方形， 平面 AB=a， PD=a，求： （ 1） （ 2） （ 3） 解 （ 1） A、 平面 PD=a， AB=a，四边形 a， a， a， PD=a. 2 23（ 2）由图形易知 D、 D=a. C，即为 a, A，即为 a. （ 3） 又 平面 面 故 到对角线 而 PD=a. 故 a，到 )2 2( 22 求异面直线间的距离 【 例 4】 （ 12分）设 0 ， 设过 B、 l. （ 1）判断直线 加以证明； （ 2）求点 （ 3）求点 1 （ 4）作 足为 H，求异面直线 H 之间的距离 . （ 1）利用线面平行的性质定理可知 l; （ 2）点 （ 3）关键是找出点 1意运用 图形中垂直关系，特别是面面垂直的关系； （ 4）关键是找出异面直线 思维启迪 解题示范 解 （ 1） l. 1分 证明如下： 平面 面 平面 平面 l， l. 3分 （ 2）如右图所示，作 l，垂足为 D， 连结 平面 l， 4分 又 l 在 5125 43 点 6分 (3)由 (2)知 l 平面 l 平面 面 平面 足为 G. 平面 7分 点 1 9分 12(1 221 ) 又 H. 10分 12分 求异面直线的距离有以下几种方法： （ 1）定义法：一般应先找出两异面直线的公垂线 段，再通过解三角形求解 . （ 2）转化法：若不能直接找出公垂线，则可考虑用 线面平行法或面面平行法转化成求直线和平面的距 离或平行平面的距离 . （ 3）函数极值法：依据两条异面直线的距离是分别 在两条异面直线上的两点距离中的最小值 . 求空间的距离时，都是通过作辅助线、辅助面等方 法将空间问题转化为平面问题来解决的 辅助面 点 到面 转化为求 知能迁移 4 如图所示，在正方体 O、 中点 . （ 1）求证： 公垂线； （ 2）求异面直线 （ 3）若正方体的棱长为 a，求异面直线 距离 . （ 1） 证明 连结 所以 所以 又 即 故 结 则可得 同理由 O 即 （ 2） 解 由于 所以 在 设 ，则 ， ， 2 ,3 3c o s 11 所求角的余弦值等于所以 3） 解 由（ 1）知，所求距离即为线段 2,2,2321111思想方法 感悟提高 方法与技巧 选取一特殊点将两异面直线 移成一夹角 ,构造三角形 ,利用余弦定理求角 ,但需 要注意 ,所成角可能是所求角的补角 键在于找出直线在平面内的射影 ,而射影的构成 , 有时可以直接作垂线 ,有时必须借助垂面来作 . (1)作平面角法 . (2)射影面积公式法 . 重在转化方法的运用上 ,基本问 题是点到面的距离 种方法 : (1)作垂线 ,求垂线段的长 ;(2)等体积法 ;(3)相关 点距离转移法 ;(4)向量法 (求法向量 ). 失误与防范 计算题同样需要严格合理的推理论证过程 “度”的把握上，既不能一字未证，又不能过于繁 琐，因此，需要在平时的学习中积累经验 . 定时检测 一、选择题 1.（ 2009 北京） 若正四棱柱 1面边长为 1， 0 角，则 底面 （ ） 解析 如图所示，直线 成的角为 距离为 在 B0 = , 所以 . .（ 2008 四川） 直线 l 平面 ，经过 外 一点 A与 l、 都成 30 角的直线有且只有（ ） 解析 设过点 成 30 角 ,由定理“斜线和平面所成的角是斜 线和平面内所有过斜足的直线所成角中 最小的角”知，要使直线 、 直线 0 角，则 内的射影 （或与射影平行），结合对称性可知，满足题意 的直线有两条 . B 方体 棱长为 1， 1点 面 （ ） 解析 离即为点 ，直线 m ,则 所在平 面内直线与直线 （ ） 解析 直线 所成的角是 ，所以 内 所有直线所成角的范围是 653,6.D2,3.C)2,0.(B2,6.2,3C 中心， C=2，则异面直线 大小为 （ ） 解析 取 ，连结 连结 在 所以 同理 所以 0 角，即 0 角 . 不相邻的侧棱确定 的平面）与一个侧面的面积之比为 2，则其侧 面与底面的夹角为 （ ） 解析 如图，由 |2|21|21,233|,26 以即得D 侧面与底面的夹角为二、填空题 0 ,C =1,，则直线 值为 . 解析 如图，连结 1面 在 a 在平面 内， A， 的同侧， 所成的角分别是 30 和 45 ，若 3， ， ，则 所成的角为 . 解析 如图，分别作 ， ，垂足分别 为 F， ，则 所成的角 . 在 ， 5 ， . 在 ， 0 ， 1,4235, 30 A , 0 , 成 45 和 30 角， ，则 C 的距离是 ，点 . 解析 作 ， 平面 易得 ， ， ， D，则 D= . 3 373 7三、解答题 平面 内有 平面 外有点 S，斜线 A、 所成 的角相等，点 的距离为 4 求点 解 如图，过 D 平面 于 连结 别为 所成的角 . t B. B 0 . 又 C， t C. 取 ，连结 由 B，可得 从而 到直线 , 上的射影 . 又 据三垂线定理的逆定理可得 同理， C= 四边形 连结 在 D=3 即点 m ,522 知在四棱锥 P 底面 平面 D=1， ， E、 B、 （ 1）求证： 平面 （ 2）求 （ 3）求二面角 P （ 1） 证明 如图，取 ，连结 则 又 C， E. 四边形 又 面 面 平面 ,21 （ 2） 解 如图，连结 平面 在 即直线 （ 3） 解 如图，作 结 三垂线定理得 在 , 5 ，可得 二面角 P . ,5 551t a n 2 2009 江西） 如图，在四棱锥 P 面 平 面 D=4， . （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求直线 （ 3）求点 方法一 （ 1） 证明 依题设， 面上，则 因为 底面 面 又 ,所以 平面 则 . 因此有 平面 面 所以平面 平面 （ 2） 解 设平面 ，因为 面 面 B 平面 则 （ 1）知， 平面 所以 且 故所求角为 . 2,223） 解 因为 距离等于
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