【步步高】2011届高考数学一轮复习 第九章（A）直线、平面、简单几何体 文 课件（打包9套）人教大纲版
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【步步高】2011届高考数学一轮复习 第九章（A）直线、平面、简单几何体 文 课件（打包9套）人教大纲版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第九,直线,平面,简单,几何体,课件,打包,大纲
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棱柱、棱锥的概念和性质 基础知识 自主学习 要点梳理 锥的定义 棱柱 棱锥 定义 如果一个多面体有两 个面互相 ，而其 余每相邻两个面的交 线互相 ，这样的 多面体叫做棱柱 如果一个多面体有一 个面是 ，其余 各面是 的三角形，这样 的几何体叫做棱锥 平行 平行 多边形 有一个公共顶 点 底面 侧面 其余各面 侧棱 顶点 高 两个侧面的公共边 互相平行的面 侧面与底面的公共 顶点 各侧面的公共顶点 两个底面所在平面 的公垂线段 顶点到底面所在平面的 垂线段 多边形 锥的性质 棱柱 棱锥 侧面 侧棱 平行且相等 交于一点 平行于底面 的截面 纵截面 平行四边形 三角形 平行四边形 三角形 与底面全等的 多边形 与底面相似的多边形 （ 1）平行六面体的四条对角线 且在 ； （ 2）直棱柱的 与高相等，直棱柱的 及 过 的截面都是矩形，直棱柱的侧 面与 垂直； （ 3）正四棱柱与正方体的底面都是 ，正方 体的侧面和底面都是 ； （ 4）长方体的 等于同一个顶 点上三条棱长的 . 交于一点 该点 互相平分 侧棱长 侧面 不相邻两条侧棱 底面 正方形 正方形 一条对角线长的平方 平方和 若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三条棱所 成角分别为 、 、 ，则 ； 若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三个面所成角分别为 、 、 ，则 . 1 2 棱锥的主要研究 对象 (1)定义： 底面是 ，并且顶点在底面上的射影是底 面的 ，这样的棱锥叫做 . (2)性质： 侧面是 ，与底面所成二面角 均 ； 侧棱均 ，侧棱与底面所成的角均 ； 平行于底面的截面也是 ；纵截面是 ； 正棱锥中的基本元素：侧棱、斜高、高、底面 外接圆半径、底面内切圆半径 . 正多边形 中心 正棱锥 全等的等腰三角形 相等 相等 相等 正多边形 等 腰三角形 （ 1）柱体体积公式为 V= ，其中 为底面面 积， 为高 ; （ 2）锥体体积公式为 V= ，其中 为底面面 积， 为高 . （ 1）棱柱的侧面积是各侧面 ，直棱柱的 侧面积是底面周长与 ；棱锥的侧面积是各 侧面 ，正棱锥的侧面积是底面周长与 . （ 2）全面积等于 与 之和，即 + . Sh h S S h 高之积 面积之和 斜 高积的一半 侧面积 底面积 基础自测 （ ） 他面 都是平行四边形的多面体是棱柱 他面都是三角形的多面 体是棱锥 C ） 与底面垂直 与底面垂直 B 1，十二条棱长度之和为 24，则这个长方体的一条对角线长为 （ ） .（ 2009 陕西） 若正方体的棱长为 2，则以该正 方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 （ ） 解析 由题意可知，此几何体是由同底面的两个 正四棱锥组成的，底面正方形的边长为 1，每一个 正四棱锥的高为 ，所以 32221312 ，体积为 2 ，则一条侧 棱到与它相对的面之间的距离为 （ ） 解析 由体积公式 V=若设底面三角形的边长为 a，则有 所 以 a=2 ，故侧棱到相对面的距离为 2 243 2 623 型一 棱柱、棱锥的概念和性质 【 例 1】 如果四棱锥的四条侧棱长都相等，就称它 为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下 5 个命题中： 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等； 等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等 或互补； 底面四边形存在外接圆的四棱锥是等腰四棱锥； 底面是正方形的四棱锥是等腰四棱锥； 等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 . 其中真命题为 （写出所有真命题的序号） . 思维启迪 结合 “ 等腰四棱锥 ” 的概念，逐一进行 判断 . 解析 真 腰四棱锥”四条侧棱长都相 等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上 的射影是底面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面 所成的角都相等； 假 是正方形）时，且顶点在 底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是“等腰 四棱锥”，但它的侧面与底面所成的二面角显然不 都相等或互补 假 面四边形存在外接 圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个 四棱锥显然不是“等腰四棱锥”； 假 真 底面存在外接圆，故等腰四棱锥的 各顶点必在同一球面上，球心在该棱锥的高上 . 答案 本题要注意 “ 等腰四棱锥 ” 的定义，并 会研究其简单的性质与判定方法 侧棱都相 等，则侧棱与底面所成的角都相等 ” ， “ 侧棱都相 等，则底面多边形有外接圆 ” ， “ 棱锥各侧面三角 形的高相等，且顶点在底面上的射影在底面多边形 内，则侧面与底面所成的角都相等 ” 等一些常用结 论 . 探究提高 知能迁移 1 设有以下四个命题： 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； 底面是矩形的平行六面体是长方体； 直四棱柱是直平行六面体； 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥 . 其中真命题的序号是 . 解析 命题符合平行六面体的定义 ,故命题是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直 ,故命题是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形 ,故命题是错误的 ,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形 以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题是错误的 . 题型二 棱柱、棱锥中的平行与垂直 【 例 2】 如图所示，在直三棱柱 0 , . （ 1）证明： 平面 （ 2）若 棱 E，使 平面 明你的结论 . （ 1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （ 2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质 定理 . 3思维启迪 证明 （ 1） 0 ， 三棱柱 ， 平面 面 在 ， ， . ， 四边形 1， 平面 （ 2）当 平面 证明如下： 33如图所示，取 ，连结 D， E， 面 面 平面 D 平面 ， 平面 平面 面 平面 探究提高 在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面 的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与 性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确 把握 棱柱的特性，特殊三角形、特殊 梯形的使用等 . 知能迁移 2 如图所示，四棱锥 P 面 正三角形，且侧面 底面 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证： 平面 解 （ 1）连结 ，连结 O,D， 面 面 平面 （ 2） 方法一 平面 D， 平面 平面 平面 又 面 正三角形 又 , 平面 方法二 又平面 平面 D， 平面 平面 平面 又 面 平面 平面 正三角形 又平面 平面 D. 平面 题型三 棱柱、棱锥中的角和距离 【 例 3】 如图所示，四棱锥 P 底面是边长为 面 侧面 C，且侧棱 5 角 . （ 1）求 （ 2）求 （ 3）若 M、 C、 底面中心 在（ 3）中，关键是确定 的射影的位置，故最好能找到过 平面 思维启迪 解 （ 1） 侧面 C， 且两侧面交于 底面 又 即 0 . （ 2） 底面 面 在 B=a， a， （ 3） D 平面 又 平面 平面 平面 ta n P C N ，连结 则平面 平面 Q. 作 足为 H， 则 平面 到平面 作 . 在 PA=a, ,42343 探究提高 （ 1）解决空间角度问题，应特别注意垂 直关系 0 ，就不必转化为平面角来 求；（ 2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 将空间距离转化为平面距离来求；（ 3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等 . 知能迁移 3 如图，四棱锥 P 平面 面 梯形，且 0 ， D=， . （ 1）求证： （ 2）求 （ 3）求点 （ 1） 证明 在直角梯形 为 0 ， C=2， 所以 0 ，且 . 取 ，连结 题意 可知，四边形 以 E=2. 2 则 所以 又因为 平面 的射影， 面 三垂线定理得 （ 2） 解 由（ 1）可知， ， 所以 平面 又因为 所以 又 ， 0， 21所以又2 ， 即 （ 3） 解 由（ 2）可知， 平面 面 所以平面 平面 过 F ， 所以 平面 则 到平面 在直角三角形 ， ， ， 所以 ，即点 ,362 棱柱、棱锥的体积和面积 【 例 4】 （ 12分）如图所示，四棱锥 底面 的圆的内接四边形， 其中 0 , 5 , （ 1）求线段 （ 2）若 求三棱锥 思维启迪 解答本题时求线段 求三棱锥 P D 平面 锥的高即可求解 . ,11解 (1) 0 . 又 (2)在 5 = 1 0 = 底面 8分 0222 故 4分 几何体的体积计算是一种常见的题型， 除了直接套用公式求体积的方法以外，还有一些常 用的方法： 2212223(221)4560s i n (2322 C的体积为三棱锥 10分 12分 探究提高 （ 1）体积转换法：当所给几何体的体积不能直接套 用公式或套用公式时某一量（面积或高）不易求出 时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进 行计算求解，该方法特别适合于求三棱锥的体积 . （ 2）割补法：在求一些不规则的几何体的体积以及 求两个几何体的体积之比时，经常要用到割补法 补法是割法与补法的总称 复 杂的）几何体延伸或补加成熟悉的（或简单的）几 何体，把不完整的图形补成完整的图形 杂的几何体切割成简单的几何体 的，是一个问题的两个方面 . 知能迁移 4 （ 2009 海南、宁夏） 如图，在 三棱锥 P 角形， 0 . (1)证明： (2)若 ，且平面 平面 三棱锥 P (1)证明 因为 以 A. 因为 0 ,C， 所以 t 所以 C. 如图，取 ，连结 则 D 所以 平面 所以 (2)解 作 足为 E，连结 因为 t 以 E=由已知，平面 平面 0 . 因为 0 ， 0 ,E,B, 所以 t 所以 由已知 ，得 E=2， =2. 因为 平面 所以三棱锥 P 感悟提高 方法与技巧 锥的概念和性质，充分利 用直线和平面的位置关系，对这些概念和性质加 以研究 . 锥问题中经常遇到侧棱、侧面与底面所 成角的问题，解决这些问题时一般从顶点向底面 作垂线，利用前面学过的知识，准确判断垂足的 位置，以此沟通各种关系 . 果有直截面存在，可利用公 式 侧棱；如果无直截面存在，则需分 别求各侧面的面积，然后相加 . 失误与防范 注意利 用四个直角三角形，如图所示， O 为底面正多边形的中心， 中点，四个直角三角形为 t 们包含了棱锥 高、斜高、侧棱、底边长的一半、底面正多边形 半径 . 常用到转化的思 想，将其转化为其他几何体的体积来求 . 定时检测 一、选择题 立的是 （ ） 棱锥一定 是正棱锥 侧棱相 等的棱锥一定是正棱锥 解析 要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形， 但这个多面体不是棱锥； 个面共顶点，另有三 边围成三角形是四面体也必定是个三 棱锥； 图所示，棱锥的 侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正三棱 锥； 面多边形既有内切圆又有外接圆， 如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥 . 答案 B ，底面外接圆半径扩 大为原来的 3倍，则它的体积是原来体积的（ ） 解析 设原棱锥高为 h，底面面积为 S， 21倍倍倍倍 1,31知高为 3的直三棱柱 的正三角形， 则三棱锥 （ ） 解析 因为 的正三角形，故面积 为 故三棱锥的体积为 3143 2 34 3311 A B 23 ，全面积为 88，则它的对角线长为 （ ） C. D. 解析 设长方体的三条棱长分别为 k， 2k， 3k，则 由题意可知 2（ k2 k+2k3 k+3k k） =88，故 . 于是，对角线长为 142 22 .（ 2008 四川） 若三棱柱的一个侧面是边长为 2的 正方形，另外两个侧面都是有一个内角为 60 的 菱形 ,则该棱柱的体积等于 （ ） A. B. C. D. 解析 如图所示 ,由题意可得 0 , 111. 所以过点 O 平面 则 过 E 结 E, 2 22 23 24易证 答案 B 62,3330c o o sc o 2009 辽宁） 正六棱锥 P B 的中点 ,则三棱锥 D 比为 （ ） 解析 如图，设棱锥的高为 h， :,1:2:131G A 、填空题 2,底面对角线的长为 2 , 则侧面与底面所成的二面角等于 . 解析 如图所示 ,设底面边长为 a,则 22 )2， a=2 ， . 663 33t 2)32(312角为侧面与底面所成的二面又V M ,高为 2,则侧 棱与底面所成角的大小为 . 解析 如图所示 ,由已知在正 , , , ,且 5 . 3345 9.（ 2008 江西） 如图（ 1）所示，一个正四棱柱形 的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四 棱锥形实心装饰块，容器内盛有 面恰 好经过正四棱锥的顶点 面 也恰好过点 P（如图（ 2）所示） 面也恰好过点 P； 水面静止时，水面都恰好经 过点 P； 容器恰好能装满 . 其中真命题的代号是 .（写出所有真命题的代 号） 解析 设正四棱柱底面边长为 b，高为 四棱锥高 为 原题图（ 1）中水的体积为： 图（ 2）中水的体积为： 22222 ,35),(32 2121222 正确错误故所以所以 对于 B，当容器侧面水平放置时， 面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好 经过 对于 C，假设 水面与正四棱锥的一个侧面 重合时，经计算得水的体积为 矛盾，故 答案 323625 2222 三、解答题 10.（ 2009 福建） 如图， 平行四边形 60 , 使平面 平面 (1)求证： (2)求三棱锥 E (1)证明 在 , 0 , o D A 又 平面 平面 平面 平面 D， 面 平面 面 (2)解 由（ 1）知 从而 在 ， C=， 3 又 平面 面 C=， 面 平面 平面 面 综上，三棱锥 E =8+2 . D B D 正三棱柱 ， ， 一点，且由 的最短距离长为 ，设这条最短路线 与 ，求： （ 1）该三棱
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