【步步高】2011届高考数学一轮复习 第九章（A）直线、平面、简単几何体 理 课件（打包10套）人教大纲版
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【步步高】2011届高考数学一轮复习 第九章（A）直线、平面、简単几何体 理 课件（打包10套）人教大纲版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第九,直线,平面,几何体,课件,打包,10,大纲
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备课资讯 1 6 例析线面平行的判定与 性质 直线和平面平行的判定定理和性质定理是学习平 面与平面平行的基础，熟记和理解直线与平面平行的判定定理和性质定理，就能灵活运用并实现 “ 线线 ” 、 “ 线面 ” 、 “ 面面 ” 平行的转化线面平行的判定定理中，包含的要素有：两线一面两线一面的关系是：一线在面外一线在面内，线线平行结论是：线面平行 可由线线平行转化为线面平行证线面平行的根本是要在平面内找一条直线和已知直线平行，常用中位线定理、成比例线段、平行公理等多种方法线面平行的性质定理中，包含要素有：两线两面两线两面的关系是：一线在一面内平行于另一面，一线是两面的交线 结论是：两线平行可由线面平行转化为线线平行 一、利用三角形中位线 【 例 1 】 已知 P 为平行四边形 A B C D 所 在平面外的一点， M 为 点求证： 平面 M A C . 分析 根据线面平行的判定定理，要证线面平行，只 需证线线平行，即在平面 M A C 内找到一条直线平行于由此可以利用 “ 中点 M ” 构造中位线 证明 连接 交 N ， 连接 四边形 A B C D 是平行四边形， N 是 中点 又 M 是 中点， 在 ， 中位线， 且 平面 M A C . 而 平面 M A C ， 平面 M A C . 点评 线面平行问题通常可转化为线线平行来处理，寻找平行直线是解决此问题的关键，这里用到三角形中位线定理 二、构造辅助平面 【 例 2 】 如图， P 为平行四边形 A B C D 所在平面外一点， M 、 N 分别为 中点，平面 平面 P B C = 直 线 l. (1 ) 求证： l； (2 ) 试判断 平面 P A D 是否平行？并证明你的结 论 分析 根据线面平行的性质定理，要证线线平行，只需证线面平行即找过 平面与另一平面的交线是否为直线 l. 证明 ( 1) 平行四边形 A B C D 中， 又 平面 P A D ， 平面 P A D ， 平面 又平面 P A D 平面 直线 l， 平面 P B C ， l. (2 ) 平行下面进行证明 延长 长线于 Q ，连接 M 是 中点， Q A M C B M . 即 M 是 中点， 又 N 是 中点， 又 平面 P A D ， 平面 P A D ， 平面 点评 应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需作出辅助 平面 三、构造平行线 【 例 3 】 正方体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 、 N 分别为 A 1 D 1 的中点 求证： 平面 D 1 D . 分析 要证线面平行，可证面面平行，即证 在平面与平面 D 1 D 平行 证明 取 A 1 B 1 的中点 E ，连结 M 、 E 分别是 A 1 B 1 的中点， ， 平面 D 1 D . 又 N 、 E 分别是 A 1 D 1 、 A 1 B 1 的中点， B 1 D 1 ， 平面 D 1 D ， 又 E ， 平面 M N E 平面 D 1 D 又 平面 M N E ， 平面 D 1 D . 点评 证明直线和平面平行，可转化为直线所在平面与平面平行，再由面面平行转化为线面平行 返回 备课资讯 1 7 与直线、平面垂直有关 的探求性问题 在学习直线、平面垂直的判定与性质时，我们会 遇到很多与直线、平面垂直有关的探求性问题，下 面举例说明这类问题的解法 【 例 1 】 在矩形 A B C D 中， 1 ， a ， 平面 A B C D ，且 1 ，问 上 是否存在点 Q ，使得 为什么？ 分析 本题主要考查线面垂直的应用，关键是将 化为 可，但 a 是变化 的所以需对 a 进行讨论 解析 平面 A B C D ， 假设 上存在一点 Q ，使得 则就有 平面 从而 在矩形 A B C D 中，当 a 2 时，直线 以 直径的圆相离，故不存在点 Q ，使 当 a 2 时，才存在点 Q ，使得 从而有 点评 本题运用平面几何知识，借助以 直径的圆与 点的个数来推断点 Q 的存在性 【 例 2 】 四棱锥 P A B C D 中， 平面 A B C D ， 2 2 ， M 为 中点 (1 ) 求证： 平面 P A D ； (2 ) 平面 是否存在一点 N ，使 平面 若存在，确定点 N 的位置；若不存在，请说明理由 分析 本题综合考查线面平 行和垂直的判定等知识，关键是正确合理运用条件中的数量关系和位置关系取 中点 E ，可证四边形 A B M E 是平行四边形，因此 (1) 问可证； (2) 问中的点 N ，可作 交 点 N ， N 即为所求 (1 ) 证明 取 点 E ，连接 12而 12 四边形 A B M E 是平行四边形 平面 A D P ， 平面 A D P ， 平面 (2 ) 解析 平面 A B C D ， 而 平面 E 是 中点， 平面 A B M E . 作 交 点 N . 平面 易知 B M E M E N . 而 ， 1 ， 221即点 N 为 中点 点评 221)(,2直关系的转化和平行关系的转化是立体几何的重点，一般来说，要证线面垂直 ( 平行 ) ，需证线线垂直 ( 平行 ) ，要证线线垂直 ( 平行 ) ，需证线面垂直 ( 平行 ) 【 例 3 】 数学课上，张老师用六根长 度均为 a 的塑料棒搭成了一个正三棱 锥 ( 如图所示 ) ，然后他将其中的两 根换成长度分别为 和 的塑 料棒搭成了一个新的三棱锥，陈成同 学边听课边动手操作，也将其中的两 根换掉，但没有成功，不能搭成三棱锥假设张 老师与陈成同学都将 成了 长 为 的塑料棒 ( 1) 试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么，而 陈成同学换掉的另一根塑料棒又是什么？ 请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因； a2 ) 在搭成的新三棱锥中，试证：平面 A B D 平面C B D ； (3 ) 求新三棱锥的外接球的表面积 解析 (1) 张老师换掉的另一根塑料棒是 或 ，而陈成同学换掉的另一根塑料棒是 根据题意作出如图所示的图形，其中图 (1) 表示陈成同学想搭成的三棱锥取 中点 E ，连结 因 以 边上的中线，得 ，同理， ，从而由 不能构成三角形，所以图(1) 错误 2(2 ) 如图 ( 2) ，不妨设张老师换掉的另一根塑料棒是则 ，取 中点 F ，连结 因 等腰三角形，所以 又 B C D 是直角三角形， B C D =90 ，所以 又 所以 A C F ，从而 又 定平面 B C D ，所以 平面 B C D . 又 平面 所以平面 A B D 平面 C B D . 的一条换成 时， 也有平面 平面 C B D . ( 3) 由 (2 ) 可知：当 时，三棱锥的外接球的球 心必在直线 设球的半径为 R ，因为 ， a ， 所以 ，由 得 R = a . 同理，当 的一条等于 时，也有 R = a . 所以新三棱锥的外接球的表面积为 S =4 )21()23( 222 本题考查立体几何的有关知识，第 ( 1) 问就属于探究性问题，因棱 棱 以它们的地位是一样的，因此考虑陈成同学换掉的另一根塑料棒是 再证之；“面面垂直”的判断可转化为“线面垂直” 的判 断 返回 备 课 资 讯 18 有 关 球 的 典 型 题 一、球与多面体的相接问题 球与其它几何体的相接问题 ， 要仔细观察 、 分 析 、 弄清相关元素的位置关系和数量关系 ， 选择最 佳角度作出截面 ， 以使空间问题平面化 并最好能 掌握一些重要的常见结论 ， 如正方体和长方体的外 接球的直径等于其体对角线长 ； 正四面体的外接球 半径 R 与内切球半径 r 之比为 R r 3 1. 【 例 1 】 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高 为 4 ，体积为 16 ，则这个球的表面积是 ( ) A 1 6 B 2 0 C 2 4 D 3 2 解析 过球心和正四棱柱的一侧棱作截面，如右图由正四棱柱的体积和高，易得底边 长为 2 ，底面正方形对角线 ， 球的内接长方体的对角线即为球的直径 2 R ，则由 (2 R )2=( )2+42，得 6 . 故球的表面积 S 球表 =4 2 4 . 2222【 例 2 】 表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在 同一个球面上，则此球的体积为 ( ) B C D 3 解析 此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形， 所以由 8 3 2 3 ，知 a 1. 则此球的直径为 2 R 2 ， R 22. 所以 V 球 43 3. 二、多球的堆垒问题 多球的堆垒，也即球与球的相切，球与平面的相 切问题连球心，由球心构成多面体，再求解多面体，是解决这类问题的基本思路 【 例 3 】 将半径都为 1 的 4 个钢球完全装入形状为 正四面体的容器中，则这个容器高的最小值为 ( ) 2 63B 2 2 63C 4 2 2 63解析 显然 4 个钢球两两相切且每个 钢球与四面体也相切时，这个正四面体 的高最小这时 4 个钢球的球心构成一 个小正四面体 底面中心 H 到大正四面体底面距离 小钢球的 半径 1. 如图，设小正四面体顶点 x ，小正四面体的高为 m ，大正四面体的棱长为a ，高为 h ，则 h 63a ， m 2 63. 大正四面体底面中心到底面边的距离 n 36a ， 侧面斜高 y 32a . 由平面几何相似三角形知识可知 x123 ， 得 x 3. 故 h 3 1 m 4 2 63，选 C. 三、球的截面问题 解这类问题，关键是弄清截面圆半径 r ，球半径 R ， 以及球心到截面距离 d 这三者之间的关系 【 例 4 】 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径 的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 ( ) 设球半径为 R ，则截面圆半径为32R . 截面圆面积为 S 1 3 又球的表面积为 S 4 由S 1S316，故选 A. 【例 5 】 一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆 面积为 ，则球的表面积为 ( ) A 8 2 B 8 C 4 2 D 4 解析 截面圆的面积为 ， 截面圆的半径 r 1. 又球的半径为 R 2 ， 球的表面积为 8 . 故选 B. 点评 球的截面圆的性质是解决与球有关问题的重要一环，特别是有关球的计算问题中， R 、 r 、d 分别表示球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离 ) 起着重要的作用 返回 平面和空间直线 要点梳理 （ 1）平面的基本性质是研究空间图形性质的理论 基础，即三个公理和公理 3的三个推论 . 公理 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内， 那么这条直线上的 在这个平面内 . 基础知识 自主学习 所有点 第九章（ A）直线、平面、简单 几何体 公理 3：经过不在同一条直线上的三点 ，即不共线的三点 . 推论 1：经过一条直线和直线外的一点 . 推论 2：经过两条相交直线 . 推论 3：经过两条平行直线 . （ 2）水平放置的平面图形的直观图的画法 斜二测画法 在已知图形上取水平平面，取互相垂直的轴 取 ，且 ； 有且只有一个 平面 确定一个平面 有且只有一个 平面 有且只有一个平面 有且只有一个平面 90 90 公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有 其他公共点，这些公共点的集合是 . 一条直线 画直观图时，把它们画成对应的轴 O x ，O y, O z, 使 x O y= (或 )， x O z= ， x O y 所确定的平面表示 水平平面； 已知图形中平行于 直观 图中分别画成 的线段 ; 已知图形中平行于 在直观图中 ;平行于 . 45 135 90 (1)空间两条直线的位置关系有 、 、 . (2)平行直线 公理 4：平行于同一条直线的两条直线 . 相交 平行 异面 平行于 x 轴， y 轴或 z 轴保 持长度不变 长度为原来的一半 互相平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行并且方向相同，那么这两个角 . (3)异面直线 定义： 的两条直线叫做异 面直线 . 公垂线：和两条异面直线 的直线叫做 两条异面直线的公垂线 . 异面直线所成的角 :设 a,过 空间中任一点 a a,b b,把 a 与 b 所 成的 叫做异面直线 a,夹 角） . 范围： . 相等 不同在任何一个平面内 都垂直相交 锐角或直角 2,0( 基础自测 三条交线互相平行， 则这三个平面把空间分成（ ） 解析 如图所示 ,三个平面 、 、 两两相 交，交线分别是 a、 b、 c且 a b 、 、 把空间分成 7部分 . C a,b,不共面，经过其中两条 直线的平面的个数为（ ） 析 以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但 不共面，显然经过其中的两条直线的平面有 3个 . B （ ） 解析 如图所示， a b,c与 a与 D 对”，那么在正方 体的十二条棱中共有异面直线（ ） 解析 如图所示，与 有 因为各棱具有相同的位置且正方体 共有 12条棱，排除两棱的重复计 算，共有异面直线 B . 没有公共点的两条直线是异面直线； 分别和两条异面直线都相交的两直线异面； 一条直线和两条异面直线中的一条平行，则 它和另一条直线不可能平行； 一条直线和两条异面直线都相交，则它们可 以确定两个平面 . . 解析 没有公共点的两直线平行或异面 ,故错； 命题错 ,此时两直线有可能相交；命题正确， 因为若直线 a和 c a,则 c与 用反证法证明如下：若 c b,又 c a,则 a b，这 与 a, c b;命题也正确，若 异面直线 a,公理 3可知， a,一个平面 ,b,样 ,a,b,定两个平面 . 答案 题型一 平面的基本性质 如图所示，空间四边形 ,E、 F、 B、 且满足 F 1 ， 1 ，过 E、 F、 面交 ，连接 （ 1）求 （ 2）求证： 证明线共点的问题实质上是证明点在 线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面 的交线 ,点看作是两平面的公共点 ,由公理 3得证 . 【 例 1】思维启迪题型分类 深度剖析 (1)解 平面 F 平面 且平面 平面 H， F 即 1. （ 2） 证明 四边形 令 ，则 P 面 P G 平面 面 平面 D, P ,2 ,3 1,31 所谓线共点问题就是证明三条或三条 以上的直线交于一点 . （ 1）证明三线共点的依据是公理 3. （ 2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于 一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化 为证明点在直线上的问题 共线、线共 点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理 . 探究提高知能迁移 1 如图所示，四边形 90 , E G、 H 分别为 （ 1）证明：四边形 （ 2） C、 D、 F、 什么？ （ 1） 证明 由已知 A， D， 可得 C 四边形 （ 2） 解 方法一 由 四边形 2121212121由（ 1）知 又 D C、 D、 F、 方法二 如图所示，延长 ， M ， 重合，即 （ M ）， C、 D、 F、 2121题型二 异面直线的判定 (12分 )如图所示，正方体 M、 1 问： （ 1） 明理由； （ 2） 明理由 . （ 1）易证 以 面 . （ 2）由图易判断 明时 常用反证法 . 【 例 2】思维启迪解 （ 1）不是异面直线 连接 M、 1 又 A、 M、 N、 故 （ 2）是异面直线 B、 C、 3分 6分 解题示范 假设 则存在平面 ，使 面 ， 面 ， B、 C、 ，与 方体矛盾 . 假设不成立，即 解决这类开放型问题常用的方法有直 接法 (即由条件入手，经过推理、演算、变形等 ), 如第（ 1）问，还有假设法，特例法，有时证明两 直线异面用直接法较难说明问题 ,这时可用反证 法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推 证错误，从而否定假设，则两直线是异面的 . 探究提高 10分 12分 知能迁移 2 (1)如图是一几何体的平面展开图， 其中四边形 E、 A、 在此几何体中 ,给出下面四个结论： 直线 直线 直线 平面 平面 平面 其中正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 解析 由 错；正确；正确；错 . B （ 2）如图，正方体 M、 别为棱 以下四个结论： 直线 直线 直线 直线 其中正确的结论为 （注：把你认为正确 的结论的序号都填上） . 解析 直线 线 N 也是异面直线，故错误 . 题型三 求异面直线所成的角 正方体 （ 1）求 1 （ 2）若 E、 B、 （ 1）平移 1C，找出 1成的角，再计算 . （ 2）可证 【 例 3】思维启迪解 (1)如图所示 ,连接 由 正方体， 易知 而 就是 1 C= 0 . 即 0 . (2)如图所示 ,连接 在正方体 E、 B、 即 0 . 求异面直线所成的角常采用 “ 平移线 段法 ” ，平移的方法一般有三种类型：利用图中 已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或 中点）作平行线平移；补形平移 成的角通常放在三角形中进行 . 探究提高知能迁移 3 （ 2009 全国 理， 7） 已知三棱 柱 底面 为 则异面直线 ） A. B. C. D. 解析 方法一 如图 (1), 平面 设三棱柱的各 棱长为 1，则 ，由 平面 , 易求 图（ 1） 成的角 由余弦定理可知 方法二 如图（ 2） ,建立空间直角坐标系，因 为 平面 知 3c o s),0,21,23(),21,0,23(112） 答案 D ),0,0,23(21,0,0(10,21,0( B 方法与技巧 （ 1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部 分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点 也在这个平面内（即“纳入法”） . （ 2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的 交线 ,只要证明这些点都是这两个平面的公共 点 ,根据公理 3可知这些点在交线上 ,因此共线 . （ 1）判定定理：平面外一点 的连 线和平面内不经过该点 思想方法 感悟提高 （ 2）反证法：证明两线 不可能 平行、相交或证 明两线 不可能 共面，从而可得两线异面 . 般方法是通 过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题 来解决 面直 线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的 顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取 其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或 异面线段的端点 点的选择要与已知量 有关，以便于计算，具体步骤如下： (1)利用定义构造角，可固定一条 ,平移另一 条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点 选在特殊的位置上； (2)证明作出的角即为所求角； (3)利用三角形来求解 . 失误与防范 而不是分别在两个平面内 角的范围是（ 0 ， 90 . 一、选择题 和平面内不共线三点 A、 B、 C,A 、 B 、 C 分别在 若延长 A B 、 B C 、 A C 与平面分别交于 D、 E、 D、 E、 （ ） 解析 D、 E、 B C 的公共点，由公理 2知， D、 E、 D 定时检测 ） 解析 垂直于同一直线的两条直线不一定平 行，还可能相交或异面 . C 、 是两个不同的平面，直线 ，直 线 ，命题 p:a与 题 q: ，则 p是 （ ） 解析 当 a, 与 的交线时， a与 公共点，但 与 相交 . 当 时， a与 点， q p，但 p q. baB 是两条异面直线 l、 则 ( ) 有且仅有一条直线与 l、 有且仅有一条直线与 l、 有且仅有一条直线与 l、 有且仅有一条直线与 l、 解析 对于选项 A，若过点 n与 l,平行，则 l m，这与 l, 对于选项 B，过点 P与 l、 过 P 且与 l、 对于选项 C，过点 P与 l、 或零条； 对于选项 D，过点 P与 l、 无数条 . B 则 M 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 解析 如图所示，取 ， 连接 （或所成角的补角）， 设 ，则 ， ， ， ，底面边长 为 ， 异面直线 角为 ( ) 解析 设 ，则 结 则 其补角）即为异面直线 C 所成的角， 23 答案 C 1co s,4622321co s,2621,2221222B E 空题 正三棱柱 1, 则异面 直线 . 解析 在平面 E， 过 H ， 连接 在 设 ，则 ， ， D= ， 0 . 3 23,211 22即异面直线 0 G、 H、 M、 所在棱的中点，则表示直线 的图形有 .(填上所有正确答案的序号 ) 解析 图（ 1）中，直线 图（ 2）中， G、 H、 M 面 因此直线 图（ 3）中，连接 因此 图（ 4）中， G、 M、 H 面 所以图（ 2）、（ 4）中 答案 （ 2）（ 4） a、 是一个平面，则 a、 上的射影可能是两条平行直线；两 条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线 及其外一点 确结论的编号 是 （写出所有正确结论的编号） . 解析 、对应的 情况如图： 用反证法证明不可能 . 三、解答题 1 求证：（ 1） E、 C、 （ 2） 证明 （ 1）分别连结 E、 又 四边形 而 E、 F、 21（ 2） 直线 设 . P 1F 平面 P 平面 又 P E 平面 P 平面 即 而平面 平面 D， P 21和 棱 且 1F,求证 :四边形 平行四边形 . 证明 如图所示 ,在 , 使 1E，则易知 四边形 又 四边形 又 四边形 四边形 四面体 E、 D、 D=3， ， 求 解 如图所示，在线段 点 G，使 连接 ,21 32,/,21F 20 . 由 E 是 0 . ,21122712c o s,131,/,22E G 直线、平面平行的判定 及性质 要点梳理 的位置关系有 、 、 ,其中 与 统称直线在平面外 . (1)定义： ； (2)判定定理： a ,b ,且 a b ； (3)其他判定方法： ,a . 平行 相交 在平面内 直线和平面没有公共点，则称直线平 行于平面 a a 平行 相交 基础知识 自主学习 a ,a , =l . 、 . (1)定义： ； (2)判定定理： a ,b ,a b=M， a , b ； (3)推论： a b=M,a,b ,a b= M, a, b ,a a, b b . a l 平行 相交 两个平面没有公共点，称这两个平面 平行 (1) ,a ; (2) , =a, =b . （ 1） a ， b ； （ 2） a ， a . a a b a b 基础自测 平面 ，直线 a 平面 ，点 B , 则在平面 内且过 ) 解析 当直线 内且经过 使 a 平面 ，但这时在平面 内过 线中，不存在与 在其他情况 下，都可以存在与 选 A. A 判断两个平面平行的是 ( ) 解析 由面面平行的判定定理易 知选 B、 能相交，如图所示 . D 平面 的一个充分条件是 ( ) a,a ,a a,a ,a a,b,a ,b ,a , b a,b,a ,b ,a , b 解析 A、 B、 与 都有可能相交，故选 D. D ( ) 若直线 内，则 a ; 若直线 内 ,则 l ； 若直线 平行，则 内的任意一条 直线都平行； 如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那 么另一条也与这个平面平行； 若 平行，则 内任何一条直线都 没有公共点； 平行于同一平面的两直线可以相交 . 析 a =a , 错； 直线 相交时， 内，故 错； l 时， 内的直线与 错； a b,b 时， a 或 a ，故错； l , 无公共点， 内任一直线都无公 共点，正确； 长方体中 1 正确 . 答案 B “ ”处都缺少同 一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其 中 l、 、 为平面），则此条件 为 . 解析 体现的是线面平行的判定定理 ,缺的条 件是“ 外的直线”即“ l ” ，它同 样也适合，故填 l . ;/;/ ./ l 题型一 直线与平面平行的判定与性质 如图所示 ,正方体 面对角线 分别有两点 E， F，且 1F. 求证： 平面 根据直线与平面平行的判定定理或平 面与平面平行的性质定理来证明 . 【 例 1】思维启迪题型分类 深度剖析 证明 方法一 分别过 E， M ， ，连接 平面 又 1F， N， 故四边形 又 面 面 所以 平面 方法二 过 G ， 连接 1F， 1B， 又 ， ， 平面 平面 面 平面 判断或证明线面平行的常用方法有： (1)利用线面平行的定义（无公共点）； (2)利用线面平行的判定定理 (a ,b ,a b a )； (3)利用面面平行的性质定理 ( ,a a )； (4)利用面面平行的性质（ ,a ,a ,a a ). ,1111,1111探究提高 知能迁移 1 如图所示，已知 形 B= D、 E、 别是 判断 平面 给予证明 . 解 平面 明如下： 方法一 连接 ，连接 如图所示 . 在 且 又 面 面 平面 方法二 面 面 平面 同理可证， 平面 ， 平面 平面 面 平面 题型二 平面与平面平行的判定与性质 如图所示，三棱柱 平 面 1证： 平面 平面 由面面平行的判定定理知只需证 知 平面 只需证 平面 思维启迪【 例 2 】 证明 连结 ， 四边形 1结 平面 平面 平面 D， 1 又 1 面 平面 ， 平面 平面 证明面面平行的方法有： （ 1）面面平行的定义； （ 2）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两 条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平 面平行； （ 3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行； （ 4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两 个平面平行； （ 5）利用 “ 线线平行 ” 、 “ 线面平行 ” 、 “ 面面平行 ” 的相互转化 . 探究提高知能迁移 2 如图所示，已知 的正方体，点 E 在 且 1G=1， 1 （ 1）求证： E、 B、 F、 （ 2）求证：平面 平面 证明 （ 1）连结 1G=1， 1E=2， 又 四边形 四边形 故 E、 B、 F、 （ 2） 1 . 且 0 ， 1）知， 且 ， ， 平面 平面 111 2 线面、面面平行的综合应用 （ 12分）如图所示，平面 平面 ,点 A ,C ,点 B ， D ,点 E,B, 且 F （ 1）求证： ; （ 2）若 E， B， ， ，且 0 ，求 将异面问题转化为平面问题，通常是 构造平行线或构造三角形 . 【 例 3】思维启迪（ 1） 证明 当 由 ，平面 平面 C， 平面 平面 D， 2分 F 又 , , . 4分 当 设平面 = C. ， 平面 C， 四边形 6分 在 ，使 F 解题示范 又 F 又 ， 平面 平面 . 面 . 8分 （ 2） 解 如图所示，连接 ，连 接 E， B， 其补角）， 0 或 120 ， 10分 ,221,321 面面平行的性质定理的应用问题，往 往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质 的综合应用 准确地找到解题的切入 点，灵活地运用相关定理来解决问题，注意三种 平行关系之间的相互转化 . 132123223c o 12分 知能迁移 3 如图所示，直四棱柱 的菱形，且 0 ， a， （ 1）求证： 面 （ 2）求二面角 A （ 1） 证明 连结 ， 连结 F= 面 （ 2） 解 连结 ， 连结 面 面 面 又 面 作 连结 垂线定理的逆定理） . 则 ,3,2,2中在 O G 3)23()2(23222的大小为即二面角 方法与技巧 （ 1）定义法；（ 2）判定定理；（ 3）面与面平 行的性质 . 思想方法 感悟提高 （ 1）定义；（ 2）判定定理；（ 3）推论； （ 4） a ,a . 失误与防范 定要强调直线不在平 面内，否则，会出现错误 . 用向量解决的 尽可能应用向量解决，可使问题简化 . 一、选择题 l、 m、 、 、 的三个命题 : 若 l与 l ,m ,则 ； 若 ， l ,m ,则 l m; 若 =l, =m, =n,l , 则 m ) 定时检测 解析 中当 与 不平行时，也能存在符合题 意的 l、 m. 中 l与 同理 l n,则 m n,正确 . 答案 C ,/、 B、 的距 离相等，那么直线 的位置关系是 ( ) 相交但不垂直 或 l 解析 l 时，直线 的距离都 相等， l 时，直线 的距离都 是 0， l 时，直线 距离相等， 斜交时，也只能有两点到 距离相等， 故选 D. D m, ，其中 m n,那么在平面 内 到两条直线 m,条 直线；一个平面；一个点；空集 是 ( ) A. B. C. D. 解析 当 m, 内时，是一条直线 . 当 m, 的两侧都平行于 且到 的距离 相等时，是一个平面 . 当 m, ，但到 的距离不相等时，是 空集，任何时候都不可能只有一个点满足条件 . C 4.（ 2009 福建，理 7文 10） 设 m, 内的 两条不同直线 ,l1, 内的两条相交直 线，则 的一个充分而不必要条件是 ( ) 且 n 且 n 且 n 析 如图，在正方体 面 面 面 点为 E， ，则 面 面 面 平行 ,故 然 1面 但是面 1 对于选项 B，当 m,n且 m ,n 时， 有 , .又 内， 时，无法推出 m n m 且 的充分不必要条件 . 答案 B 平面 ， 、 外一点，过点 P 的直线 、 分别交于 A、 C，过点 n 与 、 分别交于 B、 A=6,， ，则 ( ) B. 析 根据题意可出现以下如图两种情况： 可求出 . 52424 或52424 或B 6.（ 2008 湖南理， 5） 设有直线 m、 、 确的是 ( ) A.若 m ,n ,则 m n B.若 m ， n ,m ,n ,则 ， m ，则 m ,m ,m ,则 m 解析 若 ， m ， n ，可知 m , n ,但 m与 以 m n, 即使有 m ,n ,m ,n , 与 也可 以相交，所以 ， 中仍有不与 垂直的直线，例如 与 的交线，故 若 ,则在 中可作与 垂直的直线 n,又 m ，则 m n，又 m ，所以 m ，故 D 二、填空题 线，其中能够与平面 条 . 解析 如图所示，与 线有 4条，与 条 , 连接 面 这样的直线也有 4条（包括 共 12条 . 12 个 . 解析 如下图分类，一类如图 (1)将四点视为 三棱锥四个顶点 ,取棱中点 ,可以做如图 (1)平 面平行于三棱锥的底面，并到另一顶点距离与 底面距离相等，这样的平面有 4个；另一类如图 (2)取各段中点，四个点形成平面平行于三棱锥 相对棱，这样的平面有 3个，共 7个 . （ 1） （ 2） 7 正四棱柱 ， E、 F、 G、 四边形 件 时，有 平面 解析 由题意， 面 面 面 面 当 面 M 线段 、解答题 知 P、 体 1面 证明： 平面 证明 方法一 如图取 ， ，连结 P、 1B、 中点 , 同理 又 面 面 平面 方法二 如图，连结 P、 又 面 面 平面 又 四边形 B，在 、 Q，且 Q. 求证： 平面 证明 方法一 如图所示 ,作 , 作 ，连接 正方形 公共边 D. 又 Q， B， 又 四边形 ., , 面 面 平面 方法二 如图所示，连接 延长交 ， 连接 D， Q， Q， 又 面 面 平面 ./,/得由又 方法三 如图所示 ,在平面 过点 ，连接 面 即 平面 面 平面 又 ， 平面 平面 又 面 平面 ,/,得由又 四棱锥 P 是边长为 侧棱 底面 侧面 有 , 且 试在 ,使 平面 解 在平面 过 G , 连结 ,使 G, 则 G= 四边形 又 面 E 平面 ,36 a 平面 又在 在 E 点 靠近 222332 又返回 线、平面垂直的判定及性质 要点梳理 （ 1）判定直线和平面垂直的方法 定义法 . 利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线和此平面垂直 . 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直 于一个平面，那么另一条直线也 于这个平面 . 相交 垂直 基础知识 自主学习 (2)直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面，则垂直于平面内 直线 . 垂直于同一个平面的两条直线 . 垂直于同一直线的两平面 . （ 3）三垂线定理 任意 平行 平行 于 O =B l ,l BO l O 于 O =B l 且l l 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线 和平面所成的角 . （ 1）二面角：从一条直线出发的 所 组成的图形叫做二面角 . 两个半平面 （ 2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点 为端点，在两个半平面内分别作 的两 条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平 面角 . 垂直于棱 (1)平面与平面垂直的判定方法 定义法 . 利用判定定理：一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直 . (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线 垂直于另一个平面 . 一条垂线 交线 基础自测 1.设 l、 m、 中 m、 内， 则“ l ” 是“ l m且 l n” 的 ( ) 解析 当 l 时， l m且 l l m,l n 时，若 m、 得不到 l . 是平面 外一点 ,则下列命题正确的是 ( ) 只能作一条直线与平面 相交 可作无数条直线与平面 垂直 只能作一条直线与平面 平行 可作无数条直线与平面 平行 解析 过 平行，则该平面内 过 平行 . D 3.（ 2009 广东理， 5） 给定下列四个命题 : 若一个平面内的两条直线与另一个平面都 平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这 两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的 交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 . 其中，为真命题的是 ( ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 解析 当两个平面相交时，一个平面内的两条直 线可以平行于另一个平面，故不对；由平面与 平面垂直的判定可知正确；空间中垂直于同一 条直线的两条直线可以相交也可以异面，故 不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它 们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故 正确 . 答案 D 4.（ 2008 湖南文， 5） 已知直线 m、 、 满足 m n， m ， ，则 ( ) ，或 n ,或 n 解析 的位置关系各种可能性都有， A、 当 n 时，作 n n,且 n m =O,则 n 与 ,设 =l,则有 m l, 又 m n, 所以 l n, l n, n ;当 n 时，显然成立 不对， D m、 、 、 表示三个不同的平面 . 若 m ,n ,则 m n; 若 , ,则 ； 若 m ,n ,则 m n; 若 , ,m ,则 m . 正确的命题是 ( ) A. B. C. D. 解析 中平面 与 可能相交，中 m与 是相交直线或异面直线 错，选 C. C 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 如图所示 ,已知 矩形 M， B， (1)求证： (2)若 5 ， 求证： 平面 (1)因 只要证 等 腰三角形 ,则利用等腰三角形的性质可得 (2)已知 需再证 看出 用 得 【 例 1】思维启迪题型分类 深度剖析 证明 （ 1）连接 平面 在 平面 ， 平面 从而在 N， 又 又 (2)连接 5 , D. 四边形 C， C. 又 M. 而 0 , M. 又 由（ 1）知， , 平面 垂直问题的证明，其一般规律是 “ 由已 知想性质，由求证想判定 ” ，也就是说，根据已 知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结 论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综 合的思路结合起来 . 探究提高知能迁移 1 t 且 B= （ 1）求证： 面 （ 2）若 C，求证： 面 证明 （ 1）如图所示，取 ， 连结 在 D、 C、 B， ， 在 C， D C , 面 （ 2）若 C，则 由（ 1）可知， 面 D D , 面 面 D 面 题型二 面面垂直的判定与性质 如图所示，在四棱锥 P ，平面 平面 已知 ， . (1)设 证明：平面 平面 (2)求四棱锥 P (1)因为两平面垂直与 关，所以在平面 平面 虑证明 平面 (2)四棱锥底面为一梯形 ,高为 【 例 2】思维启迪5(1)证明 在 , , 又 面 面 面 D， 面 又 面 面 (2)解 过 O 面 面 面 即 又 的等边三角形， 四边形 在 边 此即为梯形的高 . 当两个平面垂直时，常作的辅助线是 在其中一个面内作交线的垂线 线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角 的平面角或得到点到面的距离等 . ,5 5854 84 455825452 A B C C 在斜三棱柱 面是等腰 三角形， C，侧面 底面 (1)若 求证： (2)过侧面 M,若 证：截面 侧面 证明 (1) C, 底面 平面 面 面 C， 侧面 （ 2）延长 ，连结 1 1 1N= 截面 侧面 面 面 1 侧面 截面 侧面 即截面 侧面 题型三 线面角的求法 （ 12分）如图所示，在四棱锥 P 面为直角梯形， 0 ， 底面 D=、 C、 （ 1）求证： （ 2）求 （ 1）易证 平面 （ 2）构造直线和平面所成的角，解三角形 . （ 1） 证明 B， 0 ， 【 例 3】思维启迪解题示范 ， 平面 4分 又 ， 平面 平面 6分 （ 2） 解 连接 平面 8分 在 10分 0 , 即 0 . 12分 ,212221 N平面 求直线和平面所成的角，关键是利用定 义作出直线和平面所成的角 利用平行 线与同一平面所成角相等，平移直线位置，以方 便寻找直线在该平面内的射影 . 知能迁移 3 如图所示，四面体 5 ， 0 ， 求： （ 1） （ 2） 探究提高解 （ 1） ， 平面 B. 又 0 ,故 0 . （ 2）连结 5 ， 由（ 1）知 ， 平面 平面 平面 平面 过点 O ， 平面 由（ 1）知 平面 又 设 SB=a， 即 . ,360t a n,2 2 t a n B 二面角的求法 如图所示，三棱锥 P B= ， ， ， . （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 P （ 1）已知三角形三边长，可考虑利用 勾股定理的逆定理证明垂直 . （ 2）关键是找出二面角的平面角，由 B， 可考虑取 . 【 例 4】思维启迪252 6（ 1） 证明 连结 C= ， ， ， ， 0 ，即 ， ， ， 平面 522 2 5（ 2） 解 取 ，连结 由 E 平面 又 ， 平面 在 0 , 二面角 P . ,3,2 621 找二面角的平面角常用的方法有 : (1)定义法：作棱的垂面，得平面角 . (2)利用等腰三角形、等边三角形的性质 ,取中线 . 知能迁移 4 如图所示，四棱锥 P 平面 设 D=DC=a，点 且 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求证：直线 平面 （ 3）求二面角 B 探究提高（ 1） 证明 平面 面 又 直线， 平面 又 面 平面 平面 （ 2） 证明 连结 ， 连结 在等腰直角 A 又 底面 角梯形， （若 与底面 . 由 C=a，易知 C= a， a， C=2 又 又 面 面 直线 平面 2（ 3） 解 过点 H 点， 则 平面 即二面角 B . 31 ,2t a n,3232 ,3 3c o s 33 方法与技巧 （ 1）线面垂直的定义： 内任何直线都垂 a ； （ 3）判定定理 2： a b， a b ； （ 4）面面平行的性质： ， a a ； （ 5）面面垂直的性质： ， =l， a ， a l a . ;,:1)2( 判定定理 n 思想方法 感悟提高 （ 1）定义：两条直线所成的角为 90 ; （ 2）平面几何中证明线线垂直的方法； （ 3）线面垂直的性质： a ， b a b； （ 4）线面垂直的性质： a ， b a b. （ 1）利用定义：两个平面相交
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