变式教学：一题多问、一题多解、一题多变教学模式

变式教学：一题多问、一题多解、一题多变教学模式 “利用导数研究函数单调性的解题课”教学设计 【课例解析】 1 教材的地位与作用 本节课是人教版数学（选修 2-2） 第一章 导数及其应用，1.3.1 函数的单调性与导数的第 二课时解题课 导数是微积分的核心内容之一，它有极其丰富的实际背景和广泛应用 ，导数更是研究函数性 质的强有力的工具，在解决函数单调性、最大值和最小值等问题时，不但避开了初等函数变形的难 点，证明的繁杂，而且使解法程序化，变“巧法”为“通法” ，优化解题策略、简化运算，具有较 强的工具性作用在应用导数研究函数单调性教学的过程中，体会导数的思想及其内涵 2 学情分析 在本节之前学生已经学习了导数的实际背景和基本概念学生能理解导数的数学意义、物理意 义及几何意义掌握了常函数、幂函数、正余弦函数、指数函数、对数函数的导数掌握了导数的 运算法则已经初步了解了导数与函数单调性的关系，并能利用导数解决简单的函数单调性问 题本节课此基础上进一步运用导数解决和函数单调性有关的问题，对大多数学生来说，有足够的 能力掌握本节知识学生已经初步具有对数学问题自主探究的意识和能力，当然也存在较大的个体 差异需要在教学过程中加以个别指导 【方法阐释】 采用心智数学教育方式中变式教学模式进行教学：主要分“创设情景、引入新课，自主探究、 成果展示，变式训练、巩固落实，归纳总结、提升拓展”四个教学环节 对探究性问题，教师要启发引导学生按照“弄清题意拟订计划执行计划反思回顾”四个 解题环节独立完成 指导学生通过小组交流、成果展示等形式检查自己的思维方式和对解题步骤格式通过问题变 式，使学生经历数学问题及解决方法的推广和运用学生已经了解和掌握了导数与函数单调性的关 系，并能利用导数的知识解决简单的函数单调性问题的方法，但是对含有参数的函数的单调性问题 （确定单调区间问题或已知函数的单调性确定参数范围问题等） ，由于教材中没有涉及，因此是一 个盲点，本节课教学设计旨在搭设台阶，降低坡度，通过对问题的不断变化，进行不断探索和比较， 引导学生从基础入手，通过分析、对比辨析、归纳、推理、变式教学反例分析来探究解题方法，进 行问题解决，使学生形成正确的解题方法，在学习中让学生学会探究、分析，并学会合作学习 【目标定位】 1 知识与技能目标 理解函数的单调性与其导数的关系，能利用求导的方法探求函数的单调性和单调区间 2 过程与方法目标 经历使用导数解决求函数单调区间和已知单调区间求参数范围问题的求解过程通过分析、归 纳、推理、对比辨析、变式教学来探究解题方法，并能通过各类问题的解法对比，感受和掌握导数 在函数单调性问题解决过程中的应用 3 情感、态度与价值观目标 感受导数为解决单调性问题提供的新思路、方法和途径，激发学生探究知识的兴趣和欲望 2 教学的重点与难点 本节课的重点是理解函数单调性与其导数的关系，利用导数解决求函数单调区间和已知单调区 间求参数范围问题难点是解决含参数的函数单调性问题中参数范围的确定及分类讨论等数学思想 方法的运用 【课堂设计】 2 一、创设情景、引入新课 教师：我们已经学习了函数导数的计算方法和运算法则，并且知道利用导数可以求出函数的 单调区间，请同学们自己动手以下探究性问题. 探究性问题：求下列函数的单调区间 1函数 f(x)=x3-3x+1 的单调递减区间 2函数 f(x)=x2 ex的单调区间 3 （05 年北京）已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a，求 f(x)的单调减区间. 二、自主探究、成果展示 学生独立解决后，小组内学生交流，相互纠正解题中出现的问题 教师：利用导数求函数的单调区间有哪几个步骤？ 学生 1：第一步，求函数导数；第二步，建立导函数不等式，使 f(x)0 的区间为原函数的增 区间，使 f(x)0 时，函数的单调增区间为(-,-2/a)和(0,+)，函数的单调减区间为(-2/a,0)； 当 a0 和 a 4 时， ，问题不成立但 a = 20 或 a = 4 时 = 0，情况又会怎样？ 学生进一步计算后发现：a = 2 或 a = 4 时 = 0，导函数除在一点为 0 外，其余各区间均大 于 0同以上变式 3 可知，这时函数单调区间可以连续起来 解：若函数 在 上是增函数，2)715()(1)( 23 xaxxf R 则 大于或等于零在 上恒成立xR 恒成立，解得实数 的取值范围为2，4.0a 针对变式 4 中学生出现的两种思路，教师再提出问题：请同学们思考下面这个问题： 变式 5、（1）若函数 的单调递减区间为（ ）求实数 的取值范围23)(xxf 2,0a （2）若函数 的在区间（ ）上单调递减，求实数 的取值范围a, 我的思考：“单调递减区间为（ ）”与“ 在区间（ ）上单调递 减”是两个截然不同的问题情,0 境设计这个变式题组，一是让学生辨析这两种不同叙述的含 义，二是对变式 4 两种思路的进一步明 晰 学生独立思考，然后进行生生交流，最后统一答案 （1）解：令导数 ，即 ，再讨论 的符号，0)(xf 032axax2 当 0 时，解得 ，aa 所以函数 的单调减区间为 ，)(xf ),( 函数 的减区间为（ ） ，则（ ） ，2320,),(a 所以 ，即 ；a4 当 a=0 时，函数的导数 恒成立)(xf 所以 a = 0 时函数 不存在单调减区间；23a 当 时，函数的导数 总成立0)(xf 所以 时函数 不存在单调减区间，3 综上所述，若函数 的单调递减区间为（ ）则 .2)(axxf 2,04a （2）函数 的在区间（ ）上单调递减函数3f ,0 在区间（ ）内恒成立0)(x, 5 在区间（ ）内恒成立 在区间（ ）内恒成立，032ax2,ax322,0 在区间（ ）内的最大值小于等于 3 ，即, 1 所以 .4 该题是前面变式问题的综合展现所以学生能很快完成问题的求解对个别仍存在模糊认识 的同学，在教师引导下，学生会很快发现问题进行纠正 我的思考：此题旨在锻炼学生的审题能力和对数学语言精确性和严密性的考查.“函数在某区间 内单调”和“函数的单调区间是某区间” ，前者说明所给区间是该函数单调区间的子集，后者说明所给 区间恰好是函数的单调区间因此在解 题中一定要养成认 真审题的好习惯 四、归纳总结、提升拓展 最后，反思解题方法，归纳总结解题规律： 1.如何确定函数的单调区间？在运算过程中，注意哪几个注意事项？ 2.函数单调的充要条件是什么？ 3.已知单调区间或在某个区间上单调时如何计算参数的值或范围？ 让学生自己通过对所解问题进行总结归纳，反思自己的问题. 课外思考作业: 教师设计相应的习题，进一步巩固本节课所学知识和方法 1、 （05.湖南）若函数 存在单调减区间，求实数 的取值范围.)0(,21ln)(axxf a 2、若函数 在区间（1，4）内为减函数，在区间 上为增)(231)( axf ),4( 函数，求实数 的值.a 3、 （04 年全国）若函数 在区间（1，4）内为减函数，在区间)()(23xxf 上为增函数，求实数 的取值范围.),6(a 4、 （1）求函数 的单调区间. 2)(3xf （2） （06 年山东）求函数 ，其中 ，求 的单调区间.)1ln()(xf 1a)(xf 【教学链接】 微分学的中心问题是求曲线的切线和运动物体的瞬时速度两者殊途同归，都 导致了微分学的 产生费马是较早研究曲线切 线的数学家，早在 1629 年他已有初步 设想1637 年在手稿最大值和 最小值的方法中具体给出了求切线的方法 费马应用它的方法，解决了许多难题虽然其方法缺乏 严密性，但它具有微分学的现 代标准方法形式 费马的研究给后来牛顿发明系统的微积分理论奠定了基础牛顿曾说：“我从费马的切线作法中 得到这个方法的启示，我推广了它，把它直接地并且反过来应用于抽象的方程 ”牛顿于 1665 年 11 月 发明正流数术（微分法），1666 年 5 月建立反流数术（积分法）1666 年 10 月写成一篇总结性论文，在 朋友与同事中传阅，现以1666 年 10 月流数简论著称 这 是历史上第一篇系统的微积分文献将正 反微分运算用于 16 类问题，展示了牛顿算法的普遍性与系 统性 1687 年，牛顿的名著自然哲学及 数学原理出版，首次公开表述了他的微积分方法此 时距他 创造微积分已过去 22 年 莱布尼兹与牛顿有许多相似之处，都是留名青史的哲学家，都是对多种学科有重大科学贡献的 学者其中最相似的贡献就是几乎同时各自独立发明了微 积分 1666 年莱布尼兹写成论组合术， 讨论平方序列的性质1675 年 发明了不定 积分符号，同 时 注意到微分与积分必定是相反的过程，断 6 定作为求和过程的积分是微分的逆 这一结果的得出虽稍晚于牛 顿的同类结果，但是独立得到的二 者使用的方法也不同，故后人将此称为牛顿莱布尼兹公式 随着 17 世纪末悬链问题（1690 年），最速降 线问题（1696 年）以及等周 问题的提出与解决令数 学界耳目一新很快显示出微 积分作 为一种数学方法的强 大功效 资料来源 梁宗巨、王青建、孙宏安.世界数学通史（下册二）.沈阳：辽宁教育出版社.2005,1. 【教有所思】 （1）结合学生的实际情况，设计问题从基础入手，逐步加深难度，针对在利用导数求函数的单 调性问题中常见的几类问题和解题中常见的错误设计一系列问题，环环连接，使学生始终处于积极 思考和探索讨论中，形成良好的课堂氛围，为良好的课堂效果打下基础 （2）本节课中，教师始终针对学生