二次函数的实际问题应用

二次函数的应用 【今日目标】 1、学会建立二次函数模型解决实际问题（与方程、分段函数、最值相结合） ； 2、能在限制条件下求出符合题意的最值。 【精彩知识】 【引例】求下列二次函数的最值： （1）求函数 的最值 （2）求函数 的最值23yx23yx(03)x 方法归纳： 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在 处取得最大值（或最小值） 如果自变量的取值范围是 ，分两种情况：12x 顶点在自变量的取值范围内时，以 为例，最大值是 ；最小值是 0a 顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性 专题一 应用之利润最值问题 【例 1】某种商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200 件；如果每件商品的售价上涨 1 元，则每 个月少卖 10 件（每件售价不能高于 72 元） ，设每件商品的售价上涨 x 元（x 为整数） ，每个月的销售利润为 y 元. - 2 - (1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围 ; (2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少? 变式练习： 某商品的进价为每件 20 元，售价为每件 30，每个月可买出 180 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月就会 少卖出 10 件，但每件售价不能高于 35 元，设每件商品的售价上涨 元（ 为整数） ，每个月的销售利润为 的取值范围x x 为 元。y （1）求 与 的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；xx （2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是 1920 元？ 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际 A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路 3 号鸿森商务楼 309# 87575022 南门校区：科华中路 76 号新南大楼 7 楼 85429288 - 3 - 解题回顾：总利润= * ；找出价格和销售量之间的关系，注意结合自变量的取值求得相应的售价 【例 2】某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为 18 元，试销过程发现，每月销量 y（万件）与销售单价 x（元）之间关系可以近似地看作一次函数 y= 2x+100.(利润=售价 制造成本) （1）写出每月的利润 z（万元）与销售单价 x（元）之间函数解析式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得 350 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大 利润？最大利润是多少？ （3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不得高于 32 元.如果厂商要获得每月不低于 350 万元的利润，那 么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 解题回顾：先利用“成本不高于多少，利润不低于多少”等条件求得自变量的 ，然后根据函数性质并结合函数图 象求最值 【例3】某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000 元在该产品的试销 期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售； 若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销售单价均不低于 2600 元 (1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元? (2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为 y 元，求y( 元)与x(件) 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围 (3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所 - 4 - 获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元? (其它销售条件不变) 解题回顾：分段函数求最值时，要根据各段函数自变量的 求相应的最值。 专题二 应用之面积最值问题 【例 4】把一边长为 40cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计） 。 （1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。 要使折成的长方形盒子的底面积为 484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ 折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明 理由。 （2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形 （即剪掉的矩形至少有一 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际 A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路 3 号鸿森商务楼 309# 87575022 南门校区：科华中路 76 号新南大楼 7 楼 85429288 - 5 - 条边在正方形硬纸板的边上） ，将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为 550cm2，求 此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况） 。 变式练习： 如图，在边长为 24cm 的正方形纸片 ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折 起，折成一个长方体形状的包装盒（A BCD 四个顶点正好重合于上底面上一点） 已知 E、F 在 AB 边上，是被剪去 的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=BF=x（ cm） （1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积 V； （2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积 S 最大，试问 x 应取何值？ - 6 - 专题三 实际应用问题 【例 5】如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y（m）与运行的水平距离 x(m)满足关系式 y=a(x-6)2+h.已知球网与 O 点的水平距离为 9m，高度为 2.43m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18m。 （1）当 h=2.6 时，求 y 与 x 的关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围） ； （2）当 h=2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围。 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际 A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路 3 号鸿森商务楼 309# 87575022 南门校区：科华中路 76 号新南大楼 7 楼 85429288 - 7 - 【例 6】卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面 111000 的比例图上，跨度 AB5 cm，拱高 OC0.9 cm，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1） 在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物 线的对称轴为 y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2） （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出自变量的取值范围； （2）如果 DE 与 AB 的距离 OM0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ，4.12 计算结果精确到 1 米） - 8 - 变式练习： 如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下 O 点打出一球向球洞 A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际 A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路 3 号鸿森商务楼 309# 87575022 南门校区：科华中路 76 号新南大楼 7 楼 85429288 - 9 - 虑空气阻力，当球达到最大水平高度 12 米时，球移动的水平距离为 9 米 已知山坡 OA 与水平方向 OC 的夹角为 30o，O、A 两点相距 8 米3 （1）求出点 A 的坐标及直线 OA 的解析式； （2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式； （3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从 O 点直接打入球洞 A 点 【课后测试】 （成都各区、县 20112012 年度期末调研试卷 26 小题选编） 1、 （青羊区 26）近年来，我市为了增强市民环保意识，政府决定 对购买太阳 能热水器的市民实行政府补贴。规定每购买一台热水 - 10 - 器，政府补贴若干元，经调查某商场销售太阳能热水器台数 y（台）与每台补贴款额 x（元）之间大致满足如图所示 的一次函数关系随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益 Z（元）会相应降低，且 Z 与 x 之间也大致满足如图所示的一次函数关系 （1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售太阳能热水器的总收益额为多少元？ （2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售太阳能热水器台数 y 和每台太阳能热水器的 收益 z 与政府补贴款 额 x 之间的函数关系式； 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际 A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路 3 号鸿森商务楼 309# 87575022 南门校区：科华中路 76 号新南大楼 7 楼 85429288 - 11 - （3）要使该商场销售太阳能热水器的总收益 w（元）最大，政府应将每台补贴款额 x 定为多少并求出总收益 w 的最大 值 2、 （金牛区 26）某地区准备筹办特色小商品展销会，芙蓉工艺厂设计一款成本为 10 元/件的工艺品投放市场进行试销。经 过调查，得到如下数据： （1）已知 y 与 x 之间是一次函数关系，求出此函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价） - 12 - 3、 （高新区 26）政府大力支持大学生创业。大学毕业生小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 30 元的学生台灯。销售过程中发现，每月销售量 y(件) 与销售单价 x(元)之间的关系可近似的看作一 次函数： =-10 +700.yx (1) 小明每月获得的利润为 w(元)，试问当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润？ 最大利润是多少？ (2) 如果小明想要每月获得 3000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？ 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际 A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路 3 号鸿森商务楼 309# 87575022 南门校区：科华中路 76 号新南大楼 7 楼 85429288 - 13 - 4、某汽车租赁公司拥有 20 辆同类汽车据统计，当每辆车的日租金为 400 元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆；公司平均每日的各项支出共 4800 元设公司每日租出 辆车时，日收益为 y 元 （日x 收益=日租金收入一平均每日各项支出） （1）公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为 元（用含 x 的代数式表示，要求填写化简后的结果） ； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ 【部分答案】 - 14 - 例 1 变式解析：（1）销售利润=每件商品的利润（180 10上涨的钱数） ，根据每件售价不能高于 35 元，可得自变量的 取值； （2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可； （3）让（1）中的 y=1920 求得合适的 x 的解即可 解答：解：（1）y=（30 20+x） （180 10x）= 10x2+80x+1800（0x5，且 x 为整数） ； （2）当 x= 时，y 最大 =1960 元；每件商品的售价为 34 元4)10(8 答：每件商品的售价为 34 元时，商品的利润最大，为 1960 元； （3） ）1920= 10x2+80x+1800 ， x2 8x+12=0， 即 （x 2） （x 6）=0， 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际 A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路 3 号鸿森商务楼 309# 87575022 南门校区：科华中路 76 号新南大楼 7 楼 85429288 - 15 - 解得 x=2 或 x=6， 0x 5， x =2， 售价为 32 元时，利润为 1920 元 【例 2】解：（1）z=(x 18)y=(x 18)( 2x+100) .180362x z 与 x 之间的函数解析式为 .18036 （2）由 z=350，得 350= ，2 解此方程，得 .4,51x 销售单价应定为 25 元或 43 元. 把 z 配方，得 z .80362x512)34(2x 因此，当销售单价为 34 元时，厂商每月能够获得最大利润， 最大利润是 512 元. （3）结合（2）及函数 z 的图象（如180362x 图所示）可知，25x 43时，z350. 又由限价为 32 元，得 25x32. 根据一次函数的性质，得 y= 2x+100 中 y 随 x 的增大而减小. 当 x=32 时，每月制造成本最低. 最低成本是 18（ 232+100）=648（万元）. 因此，每月的最低制造成本需要 648 万元. - 16 - 【例3】解：（1）设件数为x，依题意，得300010（x10）=2600，解得x=50。 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。 （2）当0x10时，y=（3000 2400）x=600x； 当10x50时，y=x，即y= 10x 2+700x； 当x50时，y=（26002400）x=200x。 260(x1)y705x)且且且为 数 为 数为 数 。 （3）由y=10x 2+700x可知抛物线开口向下，当 703521 时，利润y有最大值， 此时，销售单价为300010（x10）=2750元， 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际 A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路 3 号鸿森商务楼 309# 87575022 南门校区：科华中路 76 号新南大楼 7 楼 85429288 - 17 - 答：公司应将最低销售单价调整为 2750 元。 【例 4】解：（1）设剪掉的正方形的边长为 xcm。 则（402x） 2=484，解得 1x3（不合题意，舍去） ， 29x。 剪掉的正方形的边长为 9cm。 侧面积有最大值。 设剪掉的正方形的边长为 xcm，盒子的侧面积为 ycm2， 则 y 与 x 的函数关系为： 2y4(02x)8160x8(1)0， x=10 时，y 最大 =800。 即当剪掉的正方形的边长为 10cm 时，长方形盒子的侧面积最大为 800cm2。 （2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为 xcm。 则 (402)(2(0)(42)50xxx ， 解得： 135（不合题意，舍去） ， 1。 剪掉的正方形的边长为 15cm。 此时长方体盒子的长为 15cm，宽为 10cm，高为 5cm。 【例 4 变式】解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长 a= 2x，EF= a=2x， - 18 - x+2x+x=24，解得：x=6。则 a=6 2， V=a 3=（6 2） 3=432 （cm 3） ； （2）设包装盒的底面边长为 acm，高为 hcm，则 a= 2 x， 42xh1， S=4ah+a 2= 224x1269=683。 0x12，当 x=8 时，S 取得最大值 384cm2。 【例 5】解：（1）把 x=0，y=,及 h=2.6 代入到 y=a(x-6)2+h，即 2=a(06) 2+2.6， 1a60 智慧在这里绽放，状元从这里起航 东门校区：二环路建设路口东城国际 A 区 901 84327877 西门校区：蜀汉路 3 号鸿森商务楼 309# 87575022 南门校区：科华中路 76 号新南大楼 7 楼 85429288 - 19 - 当 h=2.6 时， y 与 x 的关系式为 y= (x6) 2+