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【步步高】2015届高考数学第一轮密集复习（基础知识+题型分类+练出高分，单独配设思想方法详细点拨）第九章 9.5椭 圆名师课件 文 新人教A版.ppt
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【步步高】2015届高考数学第一轮密集复习（基础知识+题型分类+练出高分，单独配设思想方法详细点拨）第九章名师课件 文（打包7套）新,步步高,高考,数学,第一轮,密集,复习,温习,基础知识,题型,分类,练出,高分,单独,思想,方法,法子,详细,点拨,第九,名师,课件,打包
- 内容简介：
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数学 R A（文） 第九章 平面解析几何 9. 5 椭 圆 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 . 椭圆的概念 在平面内与两定点 大于 | 的点的轨迹叫做 . 这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 集合 P M | | 2 a ， | 2 c ，其中 a 0 ， c 0 ，且 a ， c 为常数： ( 1) 若 ，则集合 P 为椭圆； ( 2) 若 ，则集合 P 为线段； ( 3) 若 ，则集合 P 为空集 . 椭圆 焦点 焦距 ac a c a b 0) 1( a b 0) 图形 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 范围 a x a b y b b x b a y a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 a, 0) ， a, 0) ， ， b ) ， ， b ) ， a ) ， ，a ) ， b, 0) ， b, 0) 轴 长轴 a ；短轴 b 焦距 | 2 c 离心率 e ( 0,1) 性质 a ， b ， 题型分类 思想方法 练出高分 题号 答案 解析 1 2 3 4 5 D (0,1) 基础知识 自主学习 D 3 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 夯实基础 突破疑难 夯基释疑 【 例 1 】 ( 1) 已知圆 ( x 2)2 36 的圆心为 M ，设 A 为圆上任一点，且点 N ( 2, 0) ，线段 垂直平分线交 点 P ，则动点 ( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 题型分类 深度剖析 题型一 椭圆的定义及标准方程 思维启迪 本 题主要考虑椭圆的定义； 解析 点 P 在线段 垂直平分线上， 故 | |， 又 圆的半径， | | | | | 6 |， 由椭圆定义知， P 的轨迹是椭圆 . B ( 2) 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3 倍，并且过点 P ( 3, 0) ，则椭圆的方程为 _ _ _. 题型分类 深度剖析 题型一 椭圆的定义及标准方程 思维启迪 本 题要分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况； 解析 若焦点在 x 轴上，设方程为 y 2b 2 1( a b 0 ) ， 椭圆过 P ( 3 , 0 ) ， 32a 2 0 2b 2 1 ，即 a 3 ， 又 2 a 3 2 b ， b 1 ，方程为 1 . 若焦点在 y 轴上，设方程为 x 2b 2 1( a b 0) . 椭圆过点 P ( 3 ,0 ) . 题型分类 深度剖析 题型一 椭圆的定义及标准方程 ( 2) 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3 倍，并且过点 P ( 3, 0) ，则椭圆的方程为 _ _ _. 又 2 a 3 2 b ， a 9 ， 方程为 x 29 1. 所求椭圆的方程为 1 或 x 29 1. x 29 y 2 1 或y 281 x 29 1 0 2a 2 3 2b 2 1 ，即 b 3. 题型分类 深度剖析 题型一 椭圆的定义及标准方程 ( 3 ) 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P 1 ( 6 ， 1) 、 P 2 ( 3 ， 2 ) ，则椭圆的方程为 _. 思维启迪 可以用待定系数法求解 . 解析 设椭圆方程为 1( m 0 ， n 0 且 m n ). 椭圆经过 P 1 、 P 2 点， P 1 、 P 2 点坐标适合椭圆方程 . 则6 m n 1 ， 3 m 2 n 1 ， 、 两式联立，解得m 19，n 13. 所求椭圆方程为 y 23 1. x 29 y 23 1 题型分类 深度剖析 题型一 椭圆的定义及标准方程 ( 3 ) 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P 1 ( 6 ， 1) 、 P 2 ( 3 ， 2 ) ，则椭圆的方程为 _. x 29 y 23 1 思维升华 ( 1 ) 求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数 2 a | F 1 F 2 |这一条件 . ( 2 ) 求椭圆标准方程的基本方法是 待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于 a ， b 的方程组 . 如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为 1 ( m 0 ， n 0 ， m n ) 的形式 . 跟踪训练 1 ( 1) 过点 ( 3 ， 5 ) ，且与椭圆1 有相同焦点的 椭圆的标准方程为 _ _ _ _ _. ( 2) 已知 P 是椭圆1 上一点， F 1 、 F 2 分别是椭圆的左、右焦点，若 F 1 60 ，则 F 2 的面积为 _ _ _ . 解析 ( 1 ) 方法一 椭圆 x 29 1 的焦点为 (0 ， 4) ， ( 0 ,4 ) ，即 c 4. 题型分类 深度剖析 由椭圆的定义知， 2 a 3 0 2 5 4 2 3 0 2 5 4 2 ，解得 a 2 5 . 由 c 2 a 2 b 2 可得 b 2 4. 所以所求椭圆的标准方程为 x 24 1. 跟踪训练 1 ( 1) 过点 ( 3 ， 5 ) ，且与椭圆1 有相同焦点的 椭圆的标准方程为 _ _ _ _ _. ( 2) 已知 P 是椭圆1 上一点， F 1 、 F 2 分别是椭圆的左、右焦点，若 F 1 60 ，则 F 2 的面积为 _ _ _ . 方法二 因为所求椭圆与椭圆y 225 x 29 1 的焦点相同，所以其焦点在 y 轴上，且 c 2 25 9 16. 题型分类 深度剖析 设它的标准方程为 x 2b 2 1( a b 0) . 因为 c 2 16 ，且 c 2 a 2 b 2 ，故 a 2 b 2 16. 又点 ( 3 ， 5 ) 在所求椭圆上，所以 5 2a 2 3 2b 2 1 ， 跟踪训练 1 ( 1) 过点 ( 3 ， 5 ) ，且与椭圆1 有相同焦点的 椭圆的标准方程为 _ _ _ _ _. ( 2) 已知 P 是椭圆1 上一点， F 1 、 F 2 分别是椭圆的左、右焦点，若 F 1 60 ，则 F 2 的面积为 _ _ _ . 由 得 b 2 4 ， a 2 20 ， 题型分类 深度剖析 所以所求椭圆的标准方程为 x 24 1. ( 2) 根据椭圆的定义，得 | | | | 20 ， 在 F 2 中，由余弦定理， 即 5a 2 3b 2 1. y 220 x 24 1 跟踪训练 1 ( 1) 过点 ( 3 ， 5 ) ，且与椭圆1 有相同焦点的 椭圆的标准方程为 _ _ _ _ _. ( 2) 已知 P 是椭圆1 上一点， F 1 、 F 2 分别是椭圆的左、右焦点，若 F 1 60 ，则 F 2 的面积为 _ _ _ . 题型分类 深度剖析 得 | | 2 | | 2 2| | | | c o s 6 0 256 . 2 得 | | | | 48. S F 2 12 | | | | s i n 6 0 12 3 . y 220 x 24 1 12 3 题型二 椭圆的几何性质 【 例 2 】 ( 1 ) 在 ， 1 ，如果一个椭圆通过 A ， B 两点，它的一个焦点为点 C ，另一个焦点在 ，求这个椭圆的离心率 . ( 2 ) 如图，焦点在 x 轴上的椭圆1 的离心率 e 12， F ， A 分别是椭圆的一个焦点和顶点， P 是椭圆上任意一点，求 最大值和最小值 . 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 【 例 2 】 ( 1 ) 在 ， 1 ，如果一个椭圆通过 A ， B 两点，它的一个焦点为点 C ，另一个焦点在 ，求这个椭圆的离心率 . ( 2 ) 如图，焦点在 x 轴上的椭圆1 的离心率 e 12， F ， A 分别是椭圆的一个焦点和顶点， P 是椭圆上任意一点，求 最大值和最小值 . 本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题 ( 1 ) 的关键是根据题意求出 a ， c 的值；解题 ( 2 ) 的关键是表示出 根据椭圆的性质确定变量的取值范围 . 题型分类 深度剖析 思维启迪 思维升华 解析 题型二 椭圆的几何性质 【 例 2 】 ( 1 ) 在 ， 1 ，如果一个椭圆通过 A ， B 两点，它的一个焦点为点 C ，另一个焦点在 ，求这个椭圆的离心率 . ( 2 ) 如图，焦点在 x 轴上的椭圆1 的离心率 e 12， F ， A 分别是椭圆的一个焦点和顶点， P 是椭圆上任意一点，求 最大值和最小值 . 解 ( 1) 设椭圆的焦半径为 c ，设另一个焦点为 F ，如图所示， 1 ， 直角三角形， 题型分类 深度剖析 1 1 2 4 a ，则 a 2 24 . 设 x ， x 1 2 a ，1 x 2 2 a ， x 22 ， 1 ( 22 ) 2 4 c 2 ， 思维启迪 思维升华 解析 题型二 椭圆的几何性质 【 例 2 】 ( 1 ) 在 ， 1 ，如果一个椭圆通过 A ， B 两点，它的一个焦点为点 C ，另一个焦点在 ，求这个椭圆的离心率 . ( 2 ) 如图，焦点在 x 轴上的椭圆1 的离心率 e 12， F ， A 分别是椭圆的一个焦点和顶点， P 是椭圆上任意一点，求 最大值和最小值 . c 64 ， e 6 3 . ( 2 ) 设 P 点坐标为 ( x 0 ， y 0 ). 由题意知 a 2 ， 题型分类 深度剖析 e 12 ， c 1 ， b 2 a 2 c 2 3. 所求椭圆方程为 y 23 1. 2 x 0 2 ， 3 y 0 3 . 思维启迪 思维升华 解析 又 F ( 1 ,0 ) ， A ( 2 ,0 ) ， ( 1 x 0 ， y 0 ) ， 题型二 椭圆的几何性质 【 例 2 】 ( 1 ) 在 ， 1 ，如果一个椭圆通过 A ， B 两点，它的一个焦点为点 C ，另一个焦点在 ，求这个椭圆的离心率 . ( 2 ) 如图，焦点在 x 轴上的椭圆1 的离心率 e 12， F ， A 分别是椭圆的一个焦点和顶点， P 是椭圆上任意一点，求 最大值和最小值 . (2 x 0 ， y 0 ) ， x 20 x 0 2 14 x 0 1 14 ( x 0 2)2 . 题型分类 深度剖析 当 x 0 2 时， 取得最小值 0 ， 当 x 0 2 时， 取得最大值 4. 思维启迪 思维升华 解析 题型二 椭圆的几何性质 【 例 2 】 ( 1 ) 在 ， 1 ，如果一个椭圆通过 A ， B 两点，它的一个焦点为点 C ，另一个焦点在 ，求这个椭圆的离心率 . ( 2 ) 如图，焦点在 x 轴上的椭圆1 的离心率 e 12， F ， A 分别是椭圆的一个焦点和顶点， P 是椭圆上任意一点，求 最大值和最小值 . ( 1) 求椭圆的离心率的方法 直接求出 a ， c 来求解 e . 通过已知条件列方程组，解出 a ， c 的值 . 构造 a ， c 的齐次式，解出 e a ， c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解 . 通过取特殊值或特殊位置，求出离心率 . 题型分类 深度剖析 思维启迪 思维升华 解析 题型二 椭圆的几何性质 ( 2 ) 椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式 . 例如， a x a ， b y b, 0 b 0) 的一个顶点为 B ( 0,4 ) ，离心率 e 55，直线 l 交椭圆于M ， N 两点 . ( 1) 若直线 l 的方程为 y x 4 ，求弦 长 . ( 2) 如果 B M N 的重心恰好为椭圆的右焦点 F ，求直线 l 方程的一般式 . 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 直线与圆锥曲线的关系问题，一般可以直接联立方程， “ 设而不求 ” ，把方程组转化成关于 x或 y 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解 . 题型分类 深度剖析 题型三 直线与椭圆的位置关系 思维启迪 思维升华 解析 【 例 3 】 已知椭圆1( a b 0) 的一个顶点为 B ( 0,4 ) ，离心率 e 55，直线 l 交椭圆于M ， N 两点 . ( 1) 若直线 l 的方程为 y x 4 ，求弦 长 . ( 2) 如果 B M N 的重心恰好为椭圆的右焦点 F ，求直线 l 方程的一般式 . 【 例 3 】 已知椭圆1( a b 0) 的一个顶点为 B ( 0,4 ) ，离心率 e 55，直线 l 交椭圆于M ， N 两点 . ( 1) 若直线 l 的方程为 y x 4 ，求弦 长 . ( 2) 如果 B M N 的重心恰好为椭圆的右焦点 F ，求直线 l 方程的一般式 . 解 ( 1) 由已知得 b 4 ，且55 ，即c 2a 2 15 ， b 2a 2 15 ，解得 20 ， 题型分类 深度剖析 椭圆方程为 y 216 1. 则 4 x 2 5 y 2 80 与 y x 4 联立， 消去 y 得 9 x 2 40 x 0 ， x 1 0 ， x 2 409 ， 题型三 直线与椭圆的位置关系 思维启迪 思维升华 解析 【 例 3 】 已知椭圆1( a b 0) 的一个顶点为 B ( 0,4 ) ，离心率 e 55，直线 l 交椭圆于M ， N 两点 . ( 1) 若直线 l 的方程为 y x 4 ，求弦 长 . ( 2) 如果 B M N 的重心恰好为椭圆的右焦点 F ，求直线 l 方程的一般式 . 题型分类 深度剖析 所求弦长 | 1 1 2 | x 2 x 1 | 40 29 . ( 2) 椭圆右焦点 F 的坐标为 ( 2, 0) ， 设线段 中点为Q ( x 0 ， y 0 ) ， 由三角形重心的性质知 2 ， 又 B ( 0 ,4 )， (2 ， 4) 2( x 0 2 ，y 0 ) ，故得 x 0 3 ， y 0 2 ， 题型三 直线与椭圆的位置关系 思维启迪 思维升华 解析 【 例 3 】 已知椭圆1( a b 0) 的一个顶点为 B ( 0,4 ) ，离心率 e 55，直线 l 交椭圆于M ， N 两点 . ( 1) 若直线 l 的方程为 y x 4 ，求弦 长 . ( 2) 如果 B M N 的重心恰好为椭圆的右焦点 F ，求直线 l 方程的一般式 . 题型分类 深度剖析 即得 Q 的坐标为 (3 ， 2) . 设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ，则 x 1 x 2 6 ， y 1 y 2 4 ， 且 y 2116 1 ，x 2220 y 2216 1 ， 以上两式相减得 x 1 x 2 x 1 x 2 20 y 1 y 2 y 1 y 2 16 0 ， 题型三 直线与椭圆的位置关系 思维启迪 思维升华 解析 【 例 3 】 已知椭圆1( a b 0) 的一个顶点为 B ( 0,4 ) ，离心率 e 55，直线 l 交椭圆于M ， N 两点 . ( 1) 若直线 l 的方程为 y x 4 ，求弦 长 . ( 2) 如果 B M N 的重心恰好为椭圆的右焦点 F ，求直线 l 方程的一般式 . 题型分类 深度剖析 k y 1 y 2x 1 x 245 x 1 x 2y 1 y 245 6 465 ， 故直线 方程为 y 2 65 ( x 3) ，即 6 x 5 y 28 0. 题型三 直线与椭圆的位置关系 思维启迪 思维升华 解析 【 例 3 】 已知椭圆1( a b 0) 的一个顶点为 B ( 0,4 ) ，离心率 e 55，直线 l 交椭圆于M ， N 两点 . ( 1) 若直线 l 的方程为 y x 4 ，求弦 长 . ( 2) 如果 B M N 的重心恰好为椭圆的右焦点 F ，求直线 l 方程的一般式 . ( 1) 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先 把直线方程与椭圆方程联立，消元 、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题 . 涉及弦中点的问题常常用 “ 点差法 ” 解决，往往会更简单 . 题型分类 深度剖析 题型三 直线与椭圆的位置关系 思维启迪 思维升华 解析 【 例 3 】 已知椭圆1( a b 0) 的一个顶点为 B ( 0,4 ) ，离心率 e 55，直线 l 交椭圆于M ， N 两点 . ( 1) 若直线 l 的方程为 y x 4 ，求弦 长 . ( 2) 如果 B M N 的重心恰好为椭圆的右焦点 F ，求直线 l 方程的一般式 . ( 2) 设直线与椭圆的交点坐标为A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 则 | 1 x 1 x 2 2 4 x 1 x 2 1 1 y 1 y 2 2 4 y 1 y 2 ( k 为直线斜率 ) . 题型分类 深度剖析 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式 . 题型三 直线与椭圆的位置关系 思维启迪 思维升华 解析 跟踪 训练 3 已知椭圆 G ： 1( a b 0) 的离心率为63，右焦 点为 (2 2 ， 0) . 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A ， B 两点，以 为底边作等腰三角形，顶点为 P ( 3, 2) . ( 1) 求椭圆 G 的方程； ( 2) 求 P A B 的面积 . 题型分类 深度剖析 又 b 2 a 2 c 2 4 ， 所以椭圆 G 的方程为 y 24 1. ( 2 ) 设直线 l 的方程为 y x m ， 由 y x m ，x 212 y 24 y 得 4 x 2 6 3 m 2 12 0. 解 ( 1) 由已知得 c 2 2 ， 63 ，解得 a 2 3 . 跟踪 训练 3 已知椭圆 G ： 1( a b 0) 的离心率为63，右焦 点为 (2 2 ， 0) . 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A ， B 两点，以 为底边作等腰三角形，顶点为 P ( 3, 2) . ( 1) 求椭圆 G 的方程； ( 2) 求 P A B 的面积 . 题型分类 深度剖析 设 A ， B 的坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 )( x 1 b 0) 的离心率为63，右焦 点为 (2 2 ， 0) . 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A ， B 两点，以 为底边作等腰三角形，顶点为 P ( 3, 2) . ( 1) 求椭圆 G 的方程； ( 2) 求 P A B 的面积 . 题型分类 深度剖析 此时方程 为 4 x 2 12 x 0 ，解得 x 1 3 ， x 2 0 ， 所以 y 1 1 ， y 2 2. 所以 | 3 2 ， 又点 P ( 3 , 2 ) 到直线 x y 2 0 的距离 d | 3 2 2|2 3 22 . 所以 P A B 的面积 S 12 | d 92 . 思 维 启 迪 解 析 温 馨 提 醒 高频小考点 9 高考中圆锥曲线的离心率问题 题型分类 深度剖析 典例： ( 1 0 分 ) ( 1 ) 如图，椭圆 C ： 1( a b 0) 的左焦点为 F 1 ，上顶点 为 B 2 ，右顶点为 A 2 ，过点 A 2 作 x 轴的垂线交直线 F 1 B 2 于点 P ，若 | | 3 b ，则椭圆 C 的离心率为 _ _ _ _ _ _ _ . ( 2 ) 已知椭圆 1( a b 0) 的左、右焦点分别为 F 1 ( c, 0) 、 F 2 ( c, 0) ，若椭圆上存在点 P 使as i n F 2cs i n F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 椭圆的离心率利用方程思想，只需利用题目条件得到 a ， b ， c 的一个关系式即可 . 若得到的关系式含 b ，可利用 a 2 b 2 c 2 转化为只含 a ， c 的关系式 . 题型分类 深度剖析 高频小考点 9 高考中圆锥曲线的离心率问题 典例： ( 1 0 分 ) ( 1 ) 如图，椭圆 C ： 1( a b 0) 的左焦点为 F 1 ，上顶点 为 B 2 ，右顶点为 A 2 ，过点 A 2 作 x 轴的垂线交直线 F 1 B 2 于点 P ，若 | | 3 b ，则椭圆 C 的离心率为 _ _ _ _ _ _ _ . ( 2 ) 已知椭圆 1( a b 0) 的左、右焦点分别为 F 1 ( c, 0) 、 F 2 ( c, 0) ，若椭圆上存在点 P 使as i n F 2cs i n F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 思 维 启 迪 解 析 温 馨 提 醒 典例： ( 1 0 分 ) ( 1 ) 如图，椭圆 C ： 1( a b 0) 的左焦点为 F 1 ，上顶点 为 B 2 ，右顶点为 A 2 ，过点 A 2 作 x 轴的垂线交直线 F 1 B 2 于点 P ，若 | | 3 b ，则椭圆 C 的离心率为 _ _ _ _ _ _ _ . ( 2 ) 已知椭圆 1( a b 0) 的左、右焦点分别为 F 1 ( c, 0) 、 F 2 ( c, 0) ，若椭圆上存在点 P 使as i n F 2cs i n F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . ( 1 ) 由题设知 | B 2 O | | | F 1 O | F 1 A 2 | b3 b c 13 ， e 12 . 题型分类 深度剖析 ( 2 ) 依题意及正弦定理，得 | | | 注意到 P 不与 F 1 F 2 共线 ) ， 即 | |2 a | 高频小考点 9 高考中圆锥曲线的离心率问题 思 维 启 迪 解 析 温 馨 提 醒 典例： ( 1 0 分 ) ( 1 ) 如图，椭圆 C ： 1( a b 0) 的左焦点为 F 1 ，上顶点 为 B 2 ，右顶点为 A 2 ，过点 A 2 作 x 轴的垂线交直线 F 1 B 2 于点 P ，若 | | 3 b ，则椭圆 C 的离心率为 _ _ _ _ _ _ _ . ( 2 ) 已知椭圆 1( a b 0) 的左、右焦点分别为 F 1 ( c, 0) 、 F 2 ( c, 0) ，若椭圆上存在点 P 使as i n F 2cs i n F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2 a| | 1 2 a| | 1 2 c ， 题型分类 深度剖析 即 e 1 21 e ， ( e 1) 2 2 . 又 0 b 0) 的左焦点为 F 1 ，上顶点 为 B 2 ，右顶点为 A 2 ，过点 A 2 作 x 轴的垂线交直线 F 1 B 2 于点 P ，若 | | 3 b ，则椭圆 C 的离心率为 _ _ _ _ _ _ _ . ( 2 ) 已知椭圆 1( a b 0) 的左、右焦点分别为 F 1 ( c, 0) 、 F 2 ( c, 0) ，若椭圆上存在点 P 使as i n F 2cs i n F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 12 ( 2 1 ,1 ) 思 维 启 迪 解 析 温 馨 提 醒 1 . 求椭圆的标准方程时，应从 “ 定形 ”“ 定式 ”“ 定量 ” 三个方面去思考 . “ 定形 ” 就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上 . “ 定式 ” 就是根据 “ 形 ” 设出椭圆方程的具体形式， “ 定量 ” 就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数 a ， b 或 m ， n . 方 法 与 技 巧 2. 讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种： ( 1) 求得 a ， c 的值，直接代入公式 e ( 2) 列出关于 a ， b ， c 的齐次方程 ( 或不等式 ) ，然后根据 去 b ，转化成关于 e 的方程 ( 或不等式 ) 求解 . 思想方法 感悟提高 1 . 判断两种标准方程的方法为比较标准形式中 x 2 与 y 2 的分母大小 . 失 误 与 防 范 2. 注意椭圆的范围，在设椭圆 1 ( a b 0) 上点的坐标为 P ( x ， y ) 时，则 | x | a ，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因 . 思想方法 感悟提高 练出高分 专项基础训练 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 1 . 已知椭圆 C 的短轴长为 6 ，离心率为45，则椭圆 C 的焦点 ( ) A . 9 B . 1 C . 1 或 9 D . 以上都不对 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 b 35a 2 b 2 c 2，解得 a 5 ， b 3 ， c 4. 椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离为 a c 9 或 a c 1. C 专项基础训练 练出高分 2 . 设 F 1 、 F 2 分别是椭圆1 的左、右焦点， P 为椭圆上一点， M 是 F 1 P 的中点， | 3 ，则 P 点到椭圆左焦点的距离为 ( ) A . 4 B . 3 C . 2 D . 5 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 由题意知 | 12 | | 3 ， | | 6 ， | | 2 5 6 4. A 专项基础训练 练出高分 3 . 已知椭圆 my 2m 2 1 的焦距为 4 ，则 m 等于 ( ) A . 4 B . 8 C . 4 或 8 D . 以上均不对 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 由 10 m 0m 2 0，得 2 b 0) 的左、右顶点分别是 A 、B ，左、右焦点分别是 F 1 、 F 2 ，若 | |， | F 1 F 2 |， | F 1 B |成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( ) 5 2 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 由题意知 | | a c ， | F 1 F 2 | 2 c ， | F 1 B | a c ， 且三者成等比数列，则 | F 1 F 2 | 2 | | | F 1 B |， 即 4 c 2 a 2 c 2 ， a 2 5 c 2 ， 所以 e 2 15 ，所以 e 55 . B 专项基础训练 练出高分 5 . 已知圆 M ： 2 3 0( m b 0) 的左，右焦点分别为 F 1 ，F 2 ，焦距为 2 c . 若直线 y 3 ( x c ) 与椭圆 的一个交点 M 满足 F 2 2 F 1 ，则该椭圆的离心率等于 _ . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 由直线方程为 y 3 ( x c ) ， 知 F 2 60 ，又 F 2 2 F 1 ， 所以 F 1 30 ， ， 所以 | | c ， | | 3 c 所以 | | | | c 3 c 2 a . 即 e 3 1. 3 1 专项基础训练 练出高分 7 . 已知椭圆 1 ( a b 0) 的离心率等于13，其焦点分别为A 、 B ， C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在 s A s Bs _ . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 在 ，由正弦定理得s i n A s i n Bs i n C| | | ，因为点 C 在椭圆上，所以由椭圆定义知 | | 2 a ，而 | 2 c ，所以s i n A s i n Bs i n C2 a2 c1e 3. 3 8 . 椭圆1 的左，右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，点 P 为椭圆上一动 点，若 F 1 为钝角，则点 P 的横坐标的取值范围是 _ _ _ . 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 设椭圆上一点 P 的坐标为 ( x ， y ) ， 则 F 1 P ( x 3 ， y ) ， F 2 P ( x 3 ， y ). F 1 为钝角， F 1 P F 2 P b 0 ) 的离心率为22，其中左焦点 F ( 2 , 0 ) . ( 1 ) 求椭圆 C 的方程； ( 2 ) 若直线 y x m 与椭圆 C 交于不同的两点 A ， B ，且线段 在圆 1 上，求 m 的值 . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解 ( 1) 由题意，得2，c 2 ，a 2 2 ，b 2. 椭圆 C 的方程为x 28 y 24 1. 9. 已知椭圆 C ： 1( a b 0 ) 的离心率为22，其中左焦点F ( 2, 0) . ( 1) 求椭圆 C 的方程； ( 2) 若直线 y x m 与椭圆 C 交于不同的两点 A ， B ，且线段 在圆 1 上，求 m 的值 . 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 ( 2 ) 设点 A ， B 的坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， 由 y 24 1 ，y x m y 得， 3 x 2 4 2 m 2 8 0 ， 96 8 m 2 0 ， 2 3 b 0 ) 的离心率为22，其中左焦点F ( 2, 0) . ( 1) 求椭圆 C 的方程； ( 2) 若直线 y x m 与椭圆 C 交于不同的两点 A ， B ，且线段 在圆 1 上，求 m 的值 . 专项基础训练 练出高分 x 0 x 1 x 22 2 y 0 x 0 m 点 M ( x 0 ， y 0 ) 在圆 x 2 y 2 1 上， 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 ( 2 2 ( 2 1 ， m 3 55 . 专项基础训练 练出高分 10. 设椭圆 1( a b 0 ) 的左，右焦点分别为 F 1 ， F 2 ( a ， b ) 满足 | | ( 1 ) 求椭圆的离心率 e . ( 2 ) 设直线 ， B 两点 . 若直线 x 1)2 ( y 3 )2 16 相交于 M ， N 两点，且 | 58| ，求椭圆的方程 . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 专项基础训练 练出高分 解 ( 1) 设 F 1 ( c, 0) ， F 2 ( c, 0) ( c 0) ， 因为 | | | F 1 F 2 |，所以 a c 2 b 2 2 c . 整理得 2( 2 1 0 ，解得 1( 舍 ) ，或 12 . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 所以 e 12 . ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 a 2 c ， b 3 c ， 可得椭圆方程为 3 x 2 4 y 2 12 c 2 ， 直线 的方程为 y 3 ( x c ) . 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 A ， B 两点的坐标满足方程组 3 4 y 2 12 c 2 ，y 3 x c y 并整理，得 5 x 2 8 0. 解得 x 1 0 ， x 2 85 c . 得方程组的解x 1 0 ，y 1 3 c ，x 2 85c ，y 2 3 35c ( 85 c ， 3 35 c ) ， B (0 ， 3 c ) ， 消去 y 并整理得 085 2 专项基础训练 练出高分 所以 | 85 c 2 3 35 c 3 c 2 165 c . 于是 | 58 | 2 c . 圆心 ( 1 ， 3 ) 到直线 的距离 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 d | 3 3 3 c |2 3 |2 c |2 . 因为 d 2 ( |2 ) 2 4 2 ， 所以 34 (2 c ) 2 c 2 16. 整理得 7 c 2 12 c 52 0 ，得 c 267 ( 舍 ) ，或 c 2. 所以椭圆方程为 y 212 1. 专项 能力提升 练出高分 2 3 5 6 1 4 1 . ( 2013 四川 ) 从椭圆 1( a b 0) 上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F 1 ， A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 O 是坐标原点 )
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