人人文库网 > 教育资料 > 中学教育 > 【步步高】2015届高考数学第一轮密集复习（基础知识+题型分类+练出高分，单独配设思想方法详细点拨）第九章名师课件 文（打包7套）新
【步步高】2015届高考数学第一轮密集复习（基础知识+题型分类+练出高分，单独配设思想方法详细点拨）第九章 9.7抛物线名师课件 文 新人教A版.ppt
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数学 R A（文） 第九章 平面解析几何 线的方程 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 . 直线的倾斜角与斜率 ( 1 ) 直线的倾斜角 定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准， x 轴 与直线 l 方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角 . 当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 . 倾斜角的范围为 . 正向 向上 0 0 ， 180 ) 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 ( 2 ) 直线的斜率 定义：一条直线的倾斜角 的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k ，倾斜角是90 的直线斜率不存在 . 过两点的直线的斜率公式 经过两点 ， ( 的直线的斜率公式 为 k . 正切值 础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 2 . 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于 x 轴的直线 斜截式 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 不含直线 x 直线 y 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 y y 0 k ( x x 0 ) y b y y 1y 2 y 1x x 1x 2 x 1 xa1 C 0( A 2 B 2 0) 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 3. 过 ， 的直线方程 ( 1 ) 若 线垂直于 x 轴，方程为 ； ( 2 ) 若 线垂直于 y 轴，方程为 ； ( 3 ) 若 0 ，且 线即为 y 轴，方程为 ； ( 4 ) 若 0 时，直线即为 x 轴，方程为 . x x1 y y1 x 0 y 0 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 4 . 线段的中点坐标公式 若点 、 ( ，且线段 中点 M 的坐标为 ( x ， y ) ，则 ，此公式 为线段 x 1 x 22 y 1 y 22 题号 答案 解析 1 2 3 4 5 C 基础知识 自主学习 45 或 1 3 5 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) 夯实基础 突破疑难 夯基释疑 0 ， 4 2 ， x y 1 0 或 4 x 3 y 0 【 例 1 】 经过 P (0 ， 1) 作直 线 l ，若直线 l 与连接 A (1 ， 2) ， B (2 , 1 ) 的线段总有公共点，则直线 l 的斜率 k 和倾斜角 的取值范围分别为 _ _ _ _ _ _ _ _ ， _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 题型分类 深度剖析 题型一 直线的倾斜角与斜率 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 1 】 经过 P (0 ， 1) 作直 线 l ，若直线 l 与连接 A (1 ， 2) ， B (2 , 1 ) 的线段总有公共点，则直线 l 的斜率 k 和倾斜角 的取值范围分别为 _ _ _ _ _ _ _ _ ， _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 题型分类 深度剖析 本题考查斜率求解公式以及 k 与 的函数关系，解题关键是在求倾斜角时要对其分锐角、钝角的讨论 . 题型一 直线的倾斜角与斜率 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 1 】 经过 P (0 ， 1) 作直 线 l ，若直线 l 与连接 A (1 ， 2) ， B (2 , 1 ) 的线段总有公共点，则直线 l 的斜率 k 和倾斜角 的取值范围分别为 _ _ _ _ _ _ _ _ ， _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 题型分类 深度剖析 如图所示，结合图 形：为使 l 与线段 总有公共点，则 k k k 而 k 0 ， k 0 时， 为锐角 . 又 k 2 1 1 0 1 ， k 1 10 2 1 ， 1 k 1. 题型一 直线的倾斜角与斜率 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 1 】 经过 P (0 ， 1) 作直 线 l ，若直线 l 与连接 A (1 ， 2) ， B (2 , 1 ) 的线段总有公共点，则直线 l 的斜率 k 和倾斜角 的取值范围分别为 _ _ _ _ _ _ _ _ ， _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 题型分类 深度剖析 又当 0 k 1 时， 0 4 ； 当 1 k 0 ， b 0) ， 点 P ( 3 ,2 ) 代入得 3a 2b 1 2 6得 24 ， 题型分类 深度剖析 从 而 S A O B 12 12 ，当且仅当3a2时 k 23，从而所求直线方程为 2 x 3 y 12 0. 题型三 直线方程的综合应用 思维启迪 思维升华 解析 【 例 1 】 已知直 线 l 过点 P (3,2) ， 且与 x 轴、 y 轴 的 正半轴分别交 于 A 、 B 两 点，如图所示，求 的面积的最小值及此时 直 线 l 的方程 . 题型分类 深度剖析 方法二 依题意知，直线 l 的斜率 k 0 ； 跟踪训练 3 已知直线 l ： y 1 2 k 0( k R) . ( 1) 证明：直线 l 过定点； ( 2) 若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围； ( 3) 若直线 l 交 x 轴负半轴于 A ，交 y 轴正半轴于 B ， A O B 的面积为 S ( O 为坐标原点 ) ，求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程 . 当 k 0 时，直线为 y 1 ，符合题意，故 k 0. 题型分类 深度剖析 ( 3 ) 解 由 l 的方程，得 A 1 2 0 ， B ( 0 ,1 2 k ). 依题意得 1 2 ，解得 k 0 . 跟踪训练 3 已知直线 l ： y 1 2 k 0( k R) . ( 1) 证明：直线 l 过定点； ( 2) 若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围； ( 3) 若直线 l 交 x 轴负半轴于 A ，交 y 轴正半轴于 B ， A O B 的面积为 S ( O 为坐标原点 ) ，求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程 . S 12 | |12 1 2 | 1 2 k |12 1 2 k 2k 12 4 k 1k 4 12 (2 2 4) 4 ， 题型分类 深度剖析 “ ” 成立的条件是 k 0 且 4 k 1k ，即 k 12 ， S m i n 4 ，此时直线 l 的方程为 x 2 y 4 0. 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 思想与方法系列 12 分类讨论思想在求直线方程中的应用 题型分类 深度剖析 典例 ： (5 分 ) 与点 M ( 4 ,3 ) 的距离为 5 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 _ _ _ _ _ . 解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等，分类设出直线的方程求解 . 题型分类 深度剖析 思想与方法系列 12 分类讨论思想在求直线方程中的应用 典例 ： (5 分 ) 与点 M ( 4 ,3 ) 的距离为 5 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 _ _ _ _ . 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 解析 当截距不为 0 时，设所求直线方程为 1 ， 题型分类 深度剖析 即 x y a 0 ， 思想与方法系列 12 分类讨论思想在求直线方程中的应用 点 M ( 4 , 3 ) 与所求直线 的距离为 5 ， |4 3 a |2 5 ， a 7 5 2 . 所求直线方程为 x y 7 5 2 0 或 x y 7 5 2 0. 当截距为 0 时，设所求直线方程为 y 即 y 0. 同理可得 |4 k 3|1 k 2 5 ， k 43 . 所求直线方程为 y 43 x ，即 4 x 3 y 0. 综上所述，所求直线方程为 x y 7 5 2 0 或 x y 7 5 2 0 或 4 x 3 y 0. x y 7 5 2 0 或 x y 7 5 2 0 或 4 x 3 y 0 典例 ： (5 分 ) 与点 M ( 4 ,3 ) 的距离为 5 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 _ _ _ _ . 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类 深度剖析 在选用直线方程时常易忽视的情况有 题型分类 深度剖析( 1 ) 选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况； 思想与方法系列 12 分类讨论思想在求直线方程中的应用 典例 ： (5 分 ) 与点 M ( 4 ,3 ) 的距离为 5 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 _ _ _ _ . x y 7 5 2 0 或 x y 7 5 2 0 或 4 x 3 y 0 ( 2 ) 选用截距式时，忽视截距为零的情况； ( 3 ) 选用两点式时忽视与坐标轴垂直的情况 . 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 1 . 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式： k 公式与两点顺序无关，已知两点坐标 ( 时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率 . 当 x2，线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 90 . 方 法 与 技 巧 思想方法 感悟提高 2. 求斜率可用 k t a n ( 90 ) ，其中 为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记： “ 斜率变化分两段， 90 是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论 ” . 方 法 与 技 巧 3. 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法 . 思想方法 感悟提高 1 . 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率 . 失 误 与 防 范 2. 根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性 . 3. 利用一般式方程 C 0 求它的方向向量为( B ， A ) 不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的 . 思想方法 感悟提高 练出高分 专项基础训练 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 1. 如图中的直线 l 1 、 l 2 、 l 3 的斜率分别为 k 1 、 k 2 、 k 3 ，则 ( ) A . k 1 3 ，所以 01 或者 1 0 . 综上可知，实数 a 的取值范围是 ( ， 12 ) (0 ， ). ( ， 12 ) (0 ， ) 专项基础训练 练出高分 8 . 若 0 ，且 A ( a, 0) 、 B (0 ， b ) 、 C ( 2 ， 2) 三点共线，则 最小值为 _ . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 根据 A ( a, 0) 、 B (0 ， b ) 确定直线的方程为xa1 ，又C ( 2 ， 2) 在该直线上，故 2a 2b 1 ，所以 2( a b ) 又 0 ，故 a 0 ， b 0 ) ， 将 ( 1 , 4 ) 代入得 1a 4b 1 ， 3 . 经过点 P ( 1,4 ) 的直线的两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为 ( ) A . x 2 y 6 0 B . 2 x y 6 0 C . x 2 y 7 0 D . x 2 y 7 0 专项 能力提升 练出高分 a b ( a b )( 1a 4b ) 5 ( 4 9 ， 当且仅当 b 2 a ，即 a 3 ， b 6 时，截距之和最小， 直线方程为 1 ，即 2 x y 6 0. B 2 3 4 5 6 1 专项 能力提升 4 . 已知 A ( 3, 0) ， B ( 0, 4) ，直线 一动点 P ( x ， y ) ，则 最大值是 _ . 练出高分 2 3 4 5 6 1 解析 直线 方程为 1 ， 设 P ( x ， y ) ，则 x 3 34 y ， 3 y 34 y 2 34 ( y 2 4 y ) 34 ( y 2) 2 4 3. 即当 P 点坐标为 32 ， 2 时， 最大值 3. 3 5 . 设点 A ( 1 ,0 ) ， B ( 1 ,0 ) ，直线 2 x y b 0 与线段 交，则 b 的取值范围是 _ . 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 6 1 解析 b 为直线 y 2 x b 在 y 轴上的截距， 如图，当直线 y 2 x b 过点 A ( 1,0 ) 和点 B ( 1, 0)时 b 分别取得最小值和最大值 . b 的取值范围是 2 , 2 . 2,2 6 . 直线 l 过点 P ( 1,4 ) ，分别交 x 轴的正方向和 y 轴的正方向于 A 、B 两点 . ( 1) 当 | | 最小时，求 l 的方程； ( 2) 当 | | 最小时，求 l 的方程 . 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 6 1 解 依题意， l 的斜率存在，且斜率为负 . 设 l： y 4 k ( x 1 ) ( k 0 ) . 令 y 0 ，可得 A (1 4k ， 0) ； 令 x 0 ，可得 B ( 0 , 4 k ) . ( 1 ) | | 4k 2 16 1 k 2 4k ( 1 k 2 ) 4 ( 1k k ) 8. ( 注意 k 0 ) 6 . 直线 l 过点 P ( 1,4 ) ，分别交 x 轴的正方向和 y 轴的正方向于 A 、B 两点 . ( 1) 当 | | 最小时，求 l 的方程； ( 2) 当 | | 最小时，求 l 的方程 . 专项 能力提升 练出高分 当且仅当 1k k 且 k 0 即 k 1 时， |取最小值 . 这时 l 的方程为 x y 5 0. ( 2 ) | | (1 4k ) (4 k ) 5 ( k 4k ) 9. 当且仅当 k 4k 且 k 0 ，即 k 2 时， | |取最小值 . 这时 l 的方程为 2 x y 6 0. 2 3 4 5 6 1 数学 R A（文） 第九章 平面解析几何 直线的位置关系 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 . 两条直线平行与垂直的判定 ( 1) 两条直线平行 对于两条不重合的直线 斜率分别为 有 . 特别地，当直线 ( 2) 两条直线垂直 如果两条直线 为 ，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线 . 平行 k1 1 垂直 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 2 . 两直线相交 交点：直线 0 和 0的公共点的坐标与方程组 0 0的解一一对应 . 相交 方程组有 ，交点坐标就是方程组的解； 平行 方程组 ； 重合 方程组有 . 唯一解 无解 无数个解 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 3 . 三种距离公式 ( 1) 点 A ( 、 B ( 间的距离： | . ( 2) 点 P ( 到直线 l ： C 0 的距离： d . ( 3) 两平行直线 0 与 0 ( 间的距离为 d . x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 | C |A 2 B 2|C 2 C 1 |A 2 B 2题号 答案 解析 1 2 3 4 5 D x y 1 0或 x y 3 0 基础知识 自主学习 4 34 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 夯实基础 突破疑难 夯基释疑 题型一 两条直线的平行与垂直 【 例 1 】 已知两条直线 4 0 和 ( a 1) x y b 0 ，求满足下列条件的a ， b 的值 . ( 1) 3 ， 1) ； (2) 坐标原点到这两条直线的距离相等 . 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 【 例 1 】 已知两条直线 4 0 和 ( a 1) x y b 0 ，求满足下列条件的a ， b 的值 . ( 1) 3 ， 1) ； (2) 坐标原点到这两条直线的距离相等 . 本题考查两直线平行或垂直成立的充分必要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况 . 题型分类 深度剖析 题型一 两条直线的平行与垂直 思维启迪 思维升华 解析 【 例 1 】 已知两条直线 4 0 和 ( a 1) x y b 0 ，求满足下列条件的a ， b 的值 . ( 1) 3 ， 1) ； (2) 坐标原点到这两条直线的距离相等 . 解 ( 1) 由已知可得 l 2 的斜率存在， k 2 1 a . 若 k 2 0 ，则 1 a 0 ， a 1. 题型分类 深度剖析 l 1 l 2 ，直线 l 1 的斜率 k 1 必不存在，即 b 0. 又 l 1 过点 ( 3 ， 1) ， 3 a 4 0 ，即 a 43 ( 矛盾 ). 此种情况不存在， k 2 0. 即 k 1 ， k 2 都存在， k 2 1 a ， k 1 l 1 l 2 ， 题型一 两条直线的平行与垂直 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 k 1 k 2 1 ，即 1 a ) 1. 又 l 1 过点 ( 3 ， 1 ) ， 3 a b 4 0. 由 联立，解得 a 2 ， b 2. ( 2 ) l 2 的斜率存在， l 1 l 2 ， 直线 l 1 的斜率存在， k 1 k 2 ，即 1 a . 又 坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l 1 l 2 ， 题型一 两条直线的平行与垂直 【 例 1 】 已知两条直线 l 1 ： 4 0 和 l 2 ： ( a 1 ) x y b 0 ， 求满足下列条件的 a ， b 的值 . ( 1 ) l 1 l 2 ， 且 l 1 过点 ( 3 ， 1 ) ； ( 2 ) l 1 l 2 ， 且坐标原点到这两条直线的距离相等 . 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 l 1 ， l 2 在 y 轴上的截距互为相反数，即4b b ， 联立 ，解得a 2 ，b 2或a 23，b 2. a 2 ， b 2 或 a 23 ， b 2. 题型一 两条直线的平行与垂直 【 例 1 】 已知两条直线 l 1 ： 4 0 和 l 2 ： ( a 1 ) x y b 0 ， 求满足下列条件的 a ， b 的值 . ( 1 ) l 1 l 2 ， 且 l 1 过点 ( 3 ， 1 ) ； ( 2 ) l 1 l 2 ， 且坐标原点到这两条直线的距离相等 . 思维启迪 思维升华 解析 当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况 x 、 y 的系数不能同时为零这一隐含条件 . 题型分类 深度剖析 题型一 两条直线的平行与垂直 【 例 1 】 已知两条直线 l 1 ： 4 0 和 l 2 ： ( a 1 ) x y b 0 ， 求满足下列条件的 a ， b 的值 . ( 1 ) l 1 l 2 ， 且 l 1 过点 ( 3 ， 1 ) ； ( 2 ) l 1 l 2 ， 且坐标原点到这两条直线的距离相等 . 思维启迪 思维升华 解析 跟踪训练 1 已知两直线 l 1 ： x y s 1 0 和 l 2 ： 2 x s y 1 0 ，求 的值，使得： ( 1) l 1 l 2 ； ( 2) l 1 l 2 . 解 ( 1 ) 方法一 当 s i n 0 时，直线 l 1 的斜率不存在， l 2 的斜率为 0 ，显然 l 1 不平行于 l 2 . 题型分类 深度剖析 当 s i n 0 时， k 1 1s i n ， k 2 2 s i n . 要使 l 1 l 2 ，需 1s i n 2 s i n ， 即 s i n 22 . 所以 k 4 ， k Z ，此时两直线的斜率相等 . 故当 k 4 ， k Z 时， l 1 l 2 . 方法二 由 A 1 B 2 A 2 B 1 0 ，得 2 s 1 0 ， 跟踪训练 1 已知两直线 l 1 ： x y s 1 0 和 l 2 ： 2 x s y 1 0 ，求 的值，使得： ( 1) l 1 l 2 ； ( 2) l 1 l 2 . 所以 s i n 22 . 题型分类 深度剖析 又 B 1 C 2 B 2 C 1 0 ，所以 1 s i n 0 ，即 s i n 1. 所以 k 4 ， k Z. 故当 k 4 ， k Z 时， l 1 l 2 . ( 2 ) 因为 A 1 A 2 B 1 B 2 0 是 l 1 l 2 的充要条件， 所以 2 s s i n 0 ，即 s i n 0 ，所以 k ， k Z. 故当 k ， k Z 时， l 1 l 2 . 【 例 2 】 过点 P ( 3 , 0 ) 作一直线l ，使它被两直线 l 1 ： 2 x y 2 0 和 l 2 ： x y 3 0 所截的线段 P 为中点，求此直线 l 的方程 . 题型二 两直线的交点 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 【 例 2 】 过点 P ( 3 , 0 ) 作一直线l ，使它被两直线 l 1 ： 2 x y 2 0 和 l 2 ： x y 3 0 所截的线段 P 为中点，求此直线 l 的方程 . 求直线的方程一般需要两个已知条件，本例已知直线 l 过一定点 P ( 3 , 0 )，还需要寻求另一个条件 此，有两种解法 . 题型分类 深度剖析 题型二 两直线的交点 思维启迪 思维升华 解析 【 例 2 】 过点 P ( 3 , 0 ) 作一直线l ，使它被两直线 l 1 ： 2 x y 2 0 和 l 2 ： x y 3 0 所截的线段 P 为中点，求此直线 l 的方程 . 解 方法一 设直线 l 的方程为 y k ( x 3) ， 将此方程分别与 l 2 的方程联立， 题型分类 深度剖析 得 y k x 3 ，2 x y 2 0 和 y k x 3 ，x y 3 0. 解之，得 x A 3 k 2k 2 和 x B 3 k 3k 1 ， P ( 3 , 0 ) 是线段 中点，由 x A x B 6 得 3 k 2k 2 3 k 3k 1 6 ，解得 k 8. 题型二 两直线的交点 思维启迪 思维升华 解析 【 例 2 】 过点 P ( 3 , 0 ) 作一直线l ，使它被两直线 l 1 ： 2 x y 2 0 和 l 2 ： x y 3 0 所截的线段 P 为中点，求此直线 l 的方程 . 题型分类 深度剖析 故直线 l 的方程为 y 8 ( x 3 )，即8 x y 24 0. 方法二 设 l 1 上的点 A 的坐标为 ( x 1， y 1 )， P ( 3 , 0 ) 是线段 中点， 则 l 2 上的点 B 的坐标为 ( 6 x 1 ， y 1 ) ， 2 x 1 y 1 2 0 ， 6 x 1 y 1 3 0. 题型二 两直线的交点 思维启迪 思维升华 解析 【 例 2 】 过点 P ( 3 , 0 ) 作一直线l ，使它被两直线 l 1 ： 2 x y 2 0 和 l 2 ： x y 3 0 所截的线段 P 为中点，求此直线 l 的方程 . 题型分类 深度剖析 解这个方程组，得x 1 113，y 1 163. 点 A 的坐标为 ( 113 ， 163 ) ，由两点式可得 l 的方程为 8 x y 24 0. 题型二 两直线的交点 思维启迪 思维升华 解析 【 例 2 】 过点 P ( 3 , 0 ) 作一直线l ，使它被两直线 l 1 ： 2 x y 2 0 和 l 2 ： x y 3 0 所截的线段 P 为中点，求此直线 l 的方程 . ( 1 )两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点 . 题型分类 深度剖析 ( 2) 常见的三大直线系方程 与直线 C 0 平行的直线系方程是 m 0( m R 且 m C ). 题型二 两直线的交点 思维启迪 思维升华 解析 【 例 2 】 过点 P ( 3 , 0 ) 作一直线l ，使它被两直线 l 1 ： 2 x y 2 0 和 l 2 ： x y 3 0 所截的线段 P 为中点，求此直线 l 的方程 . 与直线 C 0 垂直的直线系方程是 m 0( m R ) . 过直线 0 与 2x 0 的交点的直线系方程为 ( 0( R) ，但不包括 题型分类 深度剖析 题型二 两直线的交点 思维启迪 思维升华 解析 跟踪训练 2 如图，设一直线过点 ( 1,1) ，它被两平行直线 l 1 ： x 2 y 1 0 ， l 2 ： x 2 y 3 0 所截的线段的中点在直线 l 3 ： x y 1 0 上，求其方程 . 解 与 l 1 、 l 2 平行且距离相等的直线方程为 x 2 y 2 0. 题型分类 深度剖析 设所求直线方程为 ( x 2 y 2) ( x y 1) 0 ， 即 (1 ) x (2 ) y 2 0. 又直线过 A ( 1 , 1 ) ， (1 )( 1) (2 ) 1 2 0. 解得 13 . 所求直线方程为 2 x 7 y 5 0. 题型三 距离公式的应用 【 例 3 】 正方形的中心在C ( 1 , 0 ) ，一条边所在的直线方程是 x 3 y 5 0 ，求其他三边所在直线的方程 . 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 【 例 3 】 正方形的中心在C ( 1 , 0 ) ，一条边所在的直线方程是 x 3 y 5 0 ，求其他三边所在直线的方程 . 借助平行直线系和垂直直线系设出其他三边所在直线的方程，利用正方形的中心到各边距离相等列出方程求直线系中的参数 . 题型分类 深度剖析 题型三 距离公式的应用 思维启迪 思维升华 解析 【 例 3 】 正方形的中心在C ( 1 , 0 ) ，一条边所在的直线方程是 x 3 y 5 0 ，求其他三边所在直线的方程 . 解 点 C 到直线 x 3 y 5 0 的距离 d | 1 5|1 93 105 . 设与 x 3 y 5 0 平行的一边所在直线的方程是 x 3 y m 0( m 5) ， 题型分类 深度剖析 则点 C 到直线 x 3 y m 0 的距离d | 1 m |1 93 105 ， 解得 m 5( 舍去 ) 或 m 7 ， 所以与 x 3 y 5 0 平行的边所在直线的方程是 x 3 y 7 0. 题型三 距离公式的应用 思维启迪 思维升华 解析 【 例 3 】 正方形的中心在C ( 1 , 0 ) ，一条边所在的直线方程是 x 3 y 5 0 ，求其他三边所在直线的方程 . 题型分类 深度剖析 设与 x 3 y 5 0 垂直的边所在直线的方程是 3 x y n 0 ， 则点 C 到直线 3 x y n 0 的距离 d| 3 n |1 93 105 ， 解得 n 3 或 n 9 ， 所以与 x 3 y 5 0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3 x y 3 0和 3 x y 9 0. 题型三 距离公式的应用 思维启迪 思维升华 解析 【 例 3 】 正方形的中心在C ( 1 , 0 ) ，一条边所在的直线方程是 x 3 y 5 0 ，求其他三边所在直线的方程 . 正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍 题型分类 深度剖析 运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中 x ， y 的系数化为相同的形式 . 题型三 距离公式的应用 思维启迪 思维升华 解析 跟踪 训练 3 已知点 P (2 ， 1) . ( 1) 求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程； ( 2) 求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程，并求出最大距离 . ( 3) 是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由 . 题型分类 深度剖析 解 ( 1 ) 过 P 点的直线 l 与原点距离为 2 ，而 P 点坐标为 (2 ， 1) ，可见，过 P (2 ， 1) 垂直于 x 轴的直线满足条件 . 此时 l 的斜率不存在，其方程为 x 2. 若斜率存在，设 l 的方程为 y 1 k ( x 2 ) ， 即 y 2 k 1 0 . 由已知，得 | 2 k 1|k 2 1 2 ，解之得 k 34 . 跟踪 训练 3 已知点 P (2 ， 1) . ( 1) 求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程； ( 2) 求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程，并求出最大距离 . ( 3) 是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由 . 题型分类 深度剖析 此时 l 的方程为 3 x 4 y 10 0. 综上，可得直线 l 的方程为 x 2 或 3 x 4 y 10 0. ( 2 ) 作图可证过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 直的直线， 由 l 得 k P 1. 所以 k l 1 2. 由直线方程的点斜式得 y 1 2( x 2) ， 跟踪 训练 3 已知点 P (2 ， 1) . ( 1) 求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程； ( 2) 求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程，并求出最大距离 . ( 3) 是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由 . 题型分类 深度剖析 即 2 x y 5 0 ， 即直线 2 x y 5 0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线，最大距离为| 5|5 5 . ( 3 ) 由 ( 2 ) 可知，过 P 点不存在到原点距离超过 5 的直线，因此不存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线 . 题型四 对称问题 【 例 4 】 已知直线 l ： 2 x 3 y 1 0 ，点 A ( 1 ， 2 ). 求： (1 ) 点 A 关于直线 l 的对称点A 的坐标； (2 ) 直线 m ： 3 x 2 y 6 0 关于直线 l 的对称直线 m 的方程； (3 ) 直线 l 关于点 A ( 1 ， 2)对称的直线 l 的方程 . 思维启迪 思维升华 解析 题型分类 深度剖析 【 例 4 】 已知直线 l ： 2 x 3 y 1 0 ，点 A ( 1 ， 2 ). 求： (1 ) 点 A 关于直线 l 的对称点A 的坐标； (2 ) 直线 m ： 3 x 2 y 6 0 关于直线 l 的对称直线 m 的方程； (3 ) 直线 l 关于点 A ( 1 ， 2)对称的直线 l 的方程 . 解决对称问题，不管是轴对称还是中心对称，一般都要转化为点之间的对称问题 . 题型分类 深度剖析 题型四 对称问题 思维启迪 思维升华 解析 【 例 4 】 已知直线 l ： 2 x 3 y 1 0 ，点 A ( 1 ， 2 ). 求： (1 ) 点 A 关于直线 l 的对称点A 的坐标； (2 ) 直线 m ： 3 x 2 y 6 0 关于直线 l 的对称直线 m 的方程； (3 ) 直线 l 关于点 A ( 1 ， 2)对称的直线 l 的方程 . 解 ( 1) 设 A ( x ， y ) ，再由已知y 2x 123 1 ，2 x 12 3 y 22 1 0. 解得x 3313 ，y 413 . A ( 3313 ，413 ). 题型分类 深度剖析 ( 2 ) 在直线 m 上取一点，如 M ( 2 , 0 )， 则 M ( 2 ,0 ) 关于直线 l 的对称点必在m 上 . 题型四 对称问题 思维启迪 思维升华 解析 【 例 4 】 已知直线 l ： 2 x 3 y 1 0 ，点 A ( 1 ， 2 ). 求： (1 ) 点 A 关于直线 l 的对称点A 的坐标； (2 ) 直线 m ： 3 x 2 y 6 0 关于直线 l 的对称直线 m 的方程； (3 ) 直线 l 关于点 A ( 1 ， 2)对称的直线 l 的方程 . 题型分类 深度剖析 设对称点为 M ( a ， b )，则 2 a 22 3 b 02 1 0 ，b 0a 223 (613，3013) . 设 m 与 l 的交点为 N ，则由 2 x 3 y 1 0 ，3 x 2 y 6 ( 4 , 3 ) . 又 m 经过点 N ( 4 , 3 ) ， 题型四 对称问题 思维启迪 思维升华 解析 【 例 4 】 已知直线 l ： 2 x 3 y 1 0 ，点 A ( 1 ， 2 ). 求： (1 ) 点 A 关于直线 l 的对称点A 的坐标； (2 ) 直线 m ： 3 x 2 y 6 0 关于直线 l 的对称直线 m 的方程； (3 ) 直线 l 关于点 A ( 1 ， 2)对称的直线 l 的方程 . 题型分类 深度剖析 由两点式得直线方程为 9 x 46 y 102 0. ( 3 ) 设 P ( x ， y ) 为 l 上任意一点， 则 P ( x ， y ) 关于点 A ( 1 ， 2) 的对称点为 P ( 2 x ， 4 y ) ， P 在直线 l 上， 2( 2 x ) 3( 4 y ) 1 0 ， 即 2 x 3 y 9 0. 题型四 对称问题 思维启迪 思维升华 解析 【 例 4 】 已知直线 l ： 2 x 3 y 1 0 ，点 A ( 1 ， 2 ). 求： (1 ) 点 A 关于直线 l 的对称点A 的坐标； (2 ) 直线 m ： 3 x 2 y 6 0 关于直线 l 的对称直线 m 的方程； (3 ) 直线 l 关于点 A ( 1 ， 2)对称的直线 l 的方程 . 解决成中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住 “ 垂直平分 ” ，由垂直列一方程，由平分列一方程，联立求解 . 题型分类 深度剖析 题型四 对称问题 思维启迪 思维升华 解析 跟踪 训练 4 光线沿直线 l 1 ： x 2 y 5 0 射入，遇直线 l ： 3 x 2 y 7 0 后反射，求反射光线所在的直线方程 . 题型分类 深度剖析 解 方法一 由 x 2 y 5 0 ，3 x 2 y 7 0 ， 得 x 1 ，y 2. 反射点 M 的坐标为 ( 1 , 2 ) . 又取直线 x 2 y 5 0 上一点 P ( 5 ， 0 ) ， 设 P 关于直线 l 的对称点 P ( x 0 ， y 0 ) ， 由 l 可知， k 23 y 0 5. 而 的中点 Q 的坐标为 x 0 52 ， y 02 ， Q 点在 l 上， 3 x 0 52 2 y 02 7 0. 跟踪 训练 4 光线沿直线 l 1 ： x 2 y 5 0 射入，遇直线 l ： 3 x 2 y 7 0 后反射，求反射光线所在的直线方程 . 题型分类 深度剖析 由y 0x 0 523 ，32 x 0 5 y 0 7 x 0 1713 ，y 0 3213 9 x 2 y 33 0. 方法二 设直线 x 2 y 5 0 上任意一点 P ( x 0 ， y 0 ) 关于直线 l 的对称点为 P ( x ， y ) ，则y 0 x 23 ， 又 的中点 Q x x 02 ， y y 02 在 l 上， 跟踪 训练 4 光线沿直线 l 1 ： x 2 y 5 0 射入，遇直线 l ： 3 x 2 y 7 0 后反射，求反射光线所在的直线方程 . 题型分类 深度剖析 3 x x 02 2 y y 02 7 0 ， 由y 0 x23 ，3 x x 02 y y 0 7 点的横、纵坐标分别为 x 0 5 x 12 y 4213 ， y 0 12 x 5 y 2813 ， 代入方程 x 2 y 5 0 中，化简得 29 x 2 y 33 0 ， 所求反射光线所在的直线方程为 29 x 2 y 33 0. 典例 ： ( 12 分 ) 已知直线 l ： x 2 y 8 0 和两点 A ( 2, 0) ， B ( 2 ， 4) . ( 1) 在直线 l 上求一点 P ，使 | | 最小； ( 2) 在直线 l 上求一点 P ，使 | | | 最大 . 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 思想与方法系列 13 转化与化归思想在对称问题中的应用 题型分类 深度剖析 处理此类解析几何最值问题时，一般转化为一条线段的长度来计算 . 题型分类 深度剖析 典例 ： ( 12 分 ) 已知直线 l ： x 2 y 8 0 和两点 A ( 2, 0) ， B ( 2 ， 4) . ( 1) 在直线 l 上求一点 P ，使 | | 最小； ( 2) 在直线 l 上求一点 P ，使 | | | 最大 . 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 思想与方法系列 13 转化与化归思想在对称问题中的应用 题型分类 深度剖析 解 ( 1 ) 设 A 关于直线 l 的对称点为 A ( m ， n ) ， 则n 0m 2 2m 22 2n 02 8 0， 典例 ： ( 12 分 ) 已知直线 l ： x 2 y 8 0 和两点 A ( 2, 0) ， B ( 2 ， 4) . ( 1) 在直线 l 上求一点 P ，使 | | 最小； ( 2) 在直线 l 上求一点 P ，使 | | | 最大 . 解得 m 2n 8 ，故 A ( 2 ,8 ) . P 为直线 l 上的一点， 则 | | | | | |A B |， 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 3分 思想与方法系列 13 转化与化归思想在对称问题中的应用 题型分类 深度剖析 当且仅当 B ， P ， A 三点共线时， | | 取得最小值， 为 |A B |，点 P 即是直线 A B 与直线 l 的交点， 典例 ： ( 12 分 ) 已知直线 l ： x 2 y 8 0 和两点 A ( 2, 0) ， B ( 2 ， 4) . ( 1) 在直线 l 上求一点 P ，使 | | 最小； ( 2) 在直线 l 上求一点 P ，使 | | | 最大 . 解 x 2x 2 y 8 0 得 x 2y 3 ， 故所求的点 P 的坐标为 ( 2 , 3 ) . ( 2 ) A ， B 两点在直线 l 的同侧， P 是直线 l 上的一点， 则 | | |，当且仅当 A ， B ， P 三点共线时， 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 5分 7分 思想与方法系列 13 转化与化归思想在对称问题中的应用 题型分类 深度剖析 | | | 取得最大值，为 | ，点 P 即是直线 直线 l 的交点， 又直线 方程为 y x 2 ， 典例 ： ( 12 分 ) 已知直线 l ： x 2 y 8 0 和两点 A ( 2, 0) ， B ( 2 ， 4) . ( 1) 在直线 l 上求一点 P ，使 | | 最小； ( 2) 在直线 l 上求一点 P ，使 | | | 最大 . 解 y x 2x 2 y 8 0 得 x 12y 10 ， 故所求的点 P 的坐标为 ( 1 2 , 1 0 ) . 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 9分 12分 思想与方法系列 13 转化与化归思想在对称问题中的应用 题型分类 深度剖析 在直线 l 上找一点 P 到两定点 A ， B 的距离之和最小，则点 P 必在线段 上，故将 l 同侧的点利用对称转化为异侧的点；若点 P 到两定点 A ， B 的距离之差最大，则点 P 必在 的延长线、或 的延长线上，故将 l 异侧的点利用对称性转化为同侧的点 ( A ， B 为点 A ， B 关于 l 的对称点 ). 题型分类 深度剖析典例 ： ( 12 分 ) 已知直线 l ： x 2 y 8 0 和两点 A ( 2, 0) ， B ( 2 ， 4) . ( 1) 在直线 l 上求一点 P ，使 | | 最小； ( 2) 在直线 l 上求一点 P ，使 | | | 最大 . 思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒 思想与方法系列 13 转化与化归思想在对称问题中的应用 1 直和重合 l 1 、 l 2 ， l 1 l 2 k 1 k 2 ； l 1 l 2 k 1 k 2 1. 若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意 . 方 法 与 技 巧 2. 对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称 思想方法 感悟提高 1 先应分析直线的斜率是否存在 根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑 . 失 误 与 防 范 2. 在运用两平行直线间的距离公式 d |C 1 C 2 |A 2 B 2时，一定要注意将两方程中 x ， y 的系数化为相同的形式 . 思想方法 感悟提高 练出高分 专项基础训练 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 1 . ( 20 12 浙江 ) 设 a R ，则 “ a 1 ” 是 “ 直线 l 1 ： 2 y 1 0与直线 l 2 ： x ( a 1) y 4 0 平行 ” 的 ( ) A . 充分不必要条件 B C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 即 a 2 或 a 1 ， 解析 若直线 l 1 与 l 2 平行，则 a ( a 1) 2 1 0 ， 所以 “ a 1 ” 是 “ 直线 l 1 与直线 l 2 平行 ” 的充分不必要条件 . A 专项基础训练 练出高分 2 . 从点 ( 2, 3) 射出的光线沿与向量 a ( 8, 4) 平行的直线射到 y 轴上，则反射光线所在的直线方程为 ( ) A . x 2 y 4 0 B . 2 x y 1 0 C . x 6 y 16 0 D . 6 x y 8 0 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 由直线与向量 a ( 8, 4) 平行知：过点 ( 2, 3) 的直线的斜率 k12，所以直线的方程为 y 3 12( x 2) ，其与 y 轴的交点坐标为 ( 0, 2) ，又点 ( 2, 3) 关于 y 轴的对称点为 ( 2, 3) ，所以反射光线过点 ( 2, 3) 与 ( 0, 2) ，由两点式知 A 正确 . A 专项基础训练 练出高分 3 . 已知直 线 l 过点 P ( 3 , 4 ) 且与点 A ( 2 ， 2 ) ， B ( 4 ， 2 ) 等距离 ，则直线 l 的方程 为 ( ) A . 2 x 3 y 18 0 B . 2 x y 2 0 C . 3 x 2 y 18 0 或 x 2 y 2 0 D . 2 x 3 y 18 0 或 2 x y 2 0 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 设所求直线方程为 y 4 k ( x 3) ， 即 y 4 3 k 0 ， 3 . 已知直 线 l 过点 P ( 3 , 4 ) 且与点 A ( 2 ， 2 ) ， B ( 4 ， 2 ) 等距离 ，则直线 l 的方程 为 ( ) A . 2 x 3 y 18 0 B . 2 x y 2 0 C . 3 x 2 y 18 0 或 x 2 y 2 0 D . 2 x 3 y 18 0 或 2 x y 2 0 专项基础训练 练出高分 由已知，得 | 2 k 2 4 3 k |1 k 2 |4 k 2 4 3 k |1 k 2 ， k 2 或 k 23 . 所求直线 l 的方程为 2 x y 2 0 或 2 x 3 y 18 0. D 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 专项基础训练 练出高分 4 . 设 a 、 b 、 c 分别是 A 、 B 、 C 所对边的边长，则直线 x s A c 0 与 y s B s C 0 的位置关系是 ( ) A . 平行 B C . 垂直 D . 相交但不垂直 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 由 as i n A bs i n B ，得 b s A a s i n B 0. 两直线垂直 . C 5. 如图，已知 A ( 4,0 ) 、 B ( 0,4 ) ，从点 P (2 ， 0) 射 出的光线经直线 射后再射到直线 上，最后经直线 射后又回到 P 点，则 光线所经过的路程是 ( ) A . 2 10 B . 6 C . 3 3 D . 2 5 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解体 由题意知点 P 关于直线 ( 4,2 ) ，关于 y 轴的对称点为 C ( 2,0) ，则光线所经过的路程 P M N 的长为 | 2
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