【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第7讲（含解析）
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步步高
高考
数学
第一轮
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题库
解析
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【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第7讲（含解析）,步步高,高考,数学,第一轮,知识点,巩固,题库,解析
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1 第 7讲 立体几何中的向量方法 （ 一 ） 一、选择题 1直线 下列向量可能是这两条直线的方向向量的是 ( ) A (1,1,2)， (2， 1,0) B (0,1， 1)， (2,0,0) C (1,1,1)， (2,2， 2) D (1， 1,1)， ( 2,2， 2) 解析 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项 B 中的两个向量垂直 答案 B 2已知 a 1， 32， 52 ， b 3， ， 152 满足 ab ，则 等于 ( ) C 92 D 23 解析 由 1 3 32 52 152，可知 92. 答 案 B 3平面 经过三点 A( 1,0,1)， B(1,1,2)， C(2， 1,0)，则下列向量中与平面 的法向量不垂直的是 ( ) A. 12， 1， 1 B (6， 2， 2) C (4,2,2) D ( 1,1,4) 解析 设平面 的法向量为 n，则 n ， n ， n ，所有与 (或 、 )平行的向量或可用 与 线性表示的向量都与 选 D. 答案 D 4已知正四棱柱 ， 2， 2 2， E 为 中点，则直线 距离为 ( ) A 2 B. 3 C. 2 D 1 解析 连接 点 O，连接 点 H ，因为 2，所以 2 2，又 2 2，所以25 1. 答案 D 2 5已知 a (2， 1,3)， b ( 1,4， 2)， c (7,5， )，若 a， b， c 三向量共面，则实数 等于 ( ) 析 由题意得 c b (2t ， t 4 ， 3t 2 )， 7 2t 5 t 4 ， 3t 2 t 337 177 657. 答案 D 6正方体 棱长为 a，点 M 在 且 12， N 为 中点，则 |为 ( ) A. 216 a B. 66 a C. 156 a D. 153 a 解析 以 A(a,0,0)， ， a， a)， N a， a， 设 M(x， y， z)， 点 M 12， (x a， y， z) 12( x， a y， a z) x 23a， y z 得 M 2 | a 23a 2 a 216 a. 答案 A 二、填空题 7若向量 a (1， ， 2)， b (2， 1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 89，则 _. 解析 由已知得 89 ab|a|b| 2 45 2 9， 3 8 5 2 3(6 )，解得 2或 255. 答案 2 或 255 8在四面体 ， 两垂直，设 a，则点 P 到平面 _ 解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系 P P(0,0,0)， A(a， 0,0)， B(0， a,0)， C(0,0， a)过点 H 平面 平面 ，则 长即为点 又 得 0 0 0 33 a. 点 3 a. 答案 33 a 9平面 的一个法向量 n (0,1， 1)，如果直线 l 平面 ，则直线 l 的单位方向向量是 s _. 解析 直线 l 的方向向量平行于平面 的法向量，故直线 l 的单位方向向量是 s 0， 22 ， 22 . 答案 0， 22 ， 22 10在正方体 ， P 为正方形 边上的动点， O 为底面正方形 中心， M， N 分别为 C 的中点，点 Q 为平面 一点，线段 相平分，则满足 的实数 的有 _个 解析 建立如图的坐标系，设正方体的边长为 2，则 P(x，y,2)， O(1,1,0)， 中点坐标为 x 12 ， y 12 ， 1 ，又知 ,0,2)， Q(x 1， y 1,0)，而 Q 在 ， 3， x y 1，即点 x y 1. 有 2个符合题意的点 P，即对应有 2个 . 答案 2 三、解答题 11已知： a (x,4,1)， b ( 2， y， 1)， c (3， 2， z)， ab ， bc ，求： a， b， c. 解 因为 ab ，所以 x 2 4y 1 1， 解得 x 2， y 4， 这时 a (2,4,1)， b ( 2， 4， 1) 又因为 bc ， 所以 bc 0，即 6 8 z 0， 解得 z 2，于是 c (3， 2,2) 12如图所示，已知正方形 矩形 在的平面互相垂直， 2， 1，M 是线段 中点 求证： (1)平面 (2)平面 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 设 N，连接 则 N 22 ， 22 ， 0 ， E(0,0,1)， A( 2， 2， 0)， M 22 ， 22 ， 1 22 ， 22 ， 1 . 22 ， 22 ， 1 . 且 共线 又 平面 面 平面 (2)由 (1)知 22 ， 22 ， 1 ， D( 2， 0,0)， F( 2， 2， 1)， (0， 2， 1) 0， 同理 5 又 F， 平面 13在四棱锥 P ， 底面 面 正方形， E、 F 分别是 中点 (1)求证： (2)在平面 求一点 G，使 平面 证明你的结论 (1)证明 如图，以 在直线分别为 x 轴， z 轴建立空间直角坐标系，设 a，则 D(0,0,0)、A(a,0,0)、 B(a， a,0)、 C(0， a,0)、 E a， 0 、 P(0,0， a)、F 0， (0， a,0) 0， ，即 (2)解 设 G(x,0， z)，则 x z 若使 平面 由 x z ( a,0,0) a x 0，得 x 由 x z (0， a， a) a z 0， 得 z 0. G 点坐标为 0， 0 ，即 G 点为 中点 14如图，在四棱锥 P ， 平面 4，3， 5， 90， E 是 中点 (1)证明： 平面 (2)若直线 平面 成的角和 平面 成的角相等，求四棱锥 P 体积 解 如图，以 A 为坐标原点， 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系设 h，则相关各点的坐标为： A(0,0,0)， B(4,0,0)， C(4，3,0)， D(0,5,0)， E(2,4,0)， P(0,0， h) 6 (1)易知 ( 4,2,0)， (2,4,0)， (0,0， h) 因为 8 8 0 0， 0，所以 P， 平面 以 平面 (2)由题设和 (1)知， 分别是平面 面 法向量而 平面 成的角和 平面 成的角相等，所以 |， | |， |， 即|. 由 (1
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