【步步高】2015届高考数学总复习 第七章课件 理（打包6套）新人教B版
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【步步高】2015届高考数学总复习 第七章课件 理（打包6套）新人教B版,步步高,高考,数学,复习,温习,第七,课件,打包,新人
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等关系与一元二次 不等式 数学 R B（理） 第七章 不等式、推理与证明 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 不等式的定义 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号 连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式 、 、 0 a b 0 a b 1 a 1 a b b b ， b c ； ( 3) 可加性： a b a c b c ， a b ， c d a c b d ； ( 4) 可乘性： a b ， c 0 a b 0 ， c d 0 ( 5) 可乘方： a b 0 n N ， n 1) ； ( 6) 可开方： a b 0 ( n N ， n 1) ac 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 4 “ 三个二次 ” 的关系 判别式 0 0 0) 的图象 一元二次方程 c 0 ( a 0)的根 有两相异实根 a 0) 的解集 c 0) 的解集 x| x|x x|x1 b 1 ， c b c ) 其中所有正确结论的序号是 ( ) A B C D 【 例 1 】 ( 1) 设 a b 1 ， c b c ) 其中所有正确结论的序号是 ( ) A B C D 题型分类 深度剖析 题型一 不等式的性质及应用 思维启迪 利用不等式的性质进行变形，比较大小时要注意题设条件 解析 ( 1 ) a b 1 ， 1a 故结论 正确； 函数 y x c ( c b ， a c lo g b ( b c ) a ( b c ) ，故 正确 正确结论的序号是 . D 题型分类 深度剖析 题型一 不等式的性质及应用 ( 2) ( 2012 四川 ) 设 a ， b 为正实数现有下列命题： 若 1 ，则 a b 1 ，不合题意，故 正确 中， 1b 1a a 1 ，只需 a b 可 如取 a 2 ， b 23 满足上式，但 a b 43 1 ，故 错 中， a ， b 为正实数，所以 a b | a b | 1 ， 题型分类 深度剖析 题型一 不等式的性质及应用 ( 2) ( 2012 四川 ) 设 a ， b 为正实数现有下列命题： 若 1 ，则 a b 1 ，故 错 中， | a 3 b 3 | |( a b )( a 2 b 2 )| | a b |( a 2 b 2 ) 1. 若 | a b | 1 ，不妨取 a b 1 ，则必有 a 2 b 2 1 ，不合题意，故 正确 题型分类 深度剖析 题型一 不等式的性质及应用 思维升华 判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考： 不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或 0 ； 不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； 不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等 跟踪训练 1 ( 1) 若 a 22， b 33， c 55，则 ( ) A a 1 ， 题型分类 深度剖析 C 所以 b a ； 52 5 32 1 ，所以 a c . 即 c 0 ； a 1a b 1b； a2 正确的不等 式是 ( ) A B C D 题型分类 深度剖析 解析 由 1a 0 ，所以 1a b 0. 故有 1a b a 0. 故 b | a |，即 | a | b 0 ； a 1a b 1b； a2 正确的不等 式是 ( ) A B C D 题型分类 深度剖析 中，因为 b b 1b ，故 正确； 中，因为 b a 2 0 ， 而 y x 在定义域 ( 0 ， ) 上为增函数， 所以 b 2 a 2 ，故 错误 由 以上分析，知 正确 C 题型分类 深度剖析 题型二 一元二次不等式的解集 【 例 2 】 求下列不等式的解集： ( 1) 8 x 30 ； ( 2) ( a 1) x 10 ； ( 2 ) ( a 1 ) x 10 ； ( 2 ) ( a 1 ) x 10 ， 所以方程 x 2 8 x 3 0 有两个不相等的实根 x 1 4 13 ， x 2 4 13 . 又二次函数 y x 2 8 x 3 的图象开口向下， 所以原不等式的解集为 x |4 13 0 ； ( 2 ) ( a 1 ) x 11. 若 a 0 ，解得 x 1 . 若 a 0 ，原不等式等价于 ( x 1a ) ( x 1) 0 ； ( 2) ( a 1) x 11 时，1a 1 ，解 ( x 1a ) ( x 1) 1 ； 思维启迪 解析 思维升华 【 例 2 】 求下列不等式的解集 ： ( 1 ) 8 x 30 ； ( 2 ) ( a 1 ) x 1 1 ； 当 01 时， 解集为 x |1 ( 2) ( a 1) x 10 的解为120 时， g ( x ) 在 1 , 3 上是增函数， 所以 g ( x ) m g ( 3 ) 7 m 60 ， 又因为 m ( x 2 x 1) 6 0 恒成立，试求实数 a 的取值范围 题型分类 深度剖析 解 因为 x 1 ， ) 时， f ( x ) x 2 2 x 0 恒成立，即 2 x a 0 恒成立 即当 x 1 时， a ( x 2 2 x ) g ( x ) 恒成立 而 g ( x ) ( x 2 2 x ) ( x 1) 2 1 在 1 ， ) 上单调递减， 所以 g ( x ) m g ( 1 ) 3 ，故 a 3. 所以，实数 a 的取值范围是 a | a 3 典例 ： ( 10 分 ) ( 1) ( 2012 江苏 ) 已知函数 f ( x ) b ( a ， b R) 的值域为 0 ， ) ，若关于 x 的不等式 f ( x )0 恒成立，则 x 的取值范围为 _ _ _ _ _ _ 思 维 启 迪 解 析 温 馨 提 醒 思想与方法系列 10 转化与化归思想在不等式中的应用 题型分类 深度剖析 典例 ： ( 10 分 ) ( 1) ( 2012 江苏 ) 已知函数 f ( x ) b ( a ， b R) 的值域为 0 ， ) ，若关于 x 的不等式 f ( x )0 恒成立，则 x 的取值范围为 _ _ _ _ _ _ _ 题型分类 深度剖析 解 析 温 馨 提 醒 思想与方法系列 10 转化与化归思想在不等式中的应用 思 维 启 迪 (1) 考虑函数 f ( x ) 、方程 f ( x ) 0 和不等式的关系； (2) 可把不等式看作关于 a 的一次不等式 典例 ： ( 10 分 ) ( 1) ( 2012 江苏 ) 已知函数 f ( x ) b ( a ， b R) 的值域为 0 ， ) ，若关于 x 的不等式 f ( x )0 恒成立，则 x 的取值范围为 _ _ _ _ _ _ _ ( 1) 由题意知 f ( x ) x 2 b x b a 24 . f ( x ) 的值域为 0 ， ) ， b a 24 0 ，即 b a 24 . f ( x ) x . 又 f ( x ) 0 恒成立，则 x 的取值范围为 _ _ _ _ _ _ _ 即 c 0 恒成立，则 x 的取值范围为 _ _ _ _ _ _ _ ( 2) 把不等式的左端看成关于 a 的一次函数，记 f ( a ) ( x 2) a ( x 2 4 x 4) ， 则由 f ( a ) 0 对于任意的 a 1 , 1 恒成立，易知只需 f ( 1) x 2 5 x 6 0 ，且f ( 1 ) x 2 3 x 2 0 即可，联立方程解得 x 3 . 题型分类 深度剖析 解 析 温 馨 提 醒 思想与方法系列 10 转化与化归思想在不等式中的应用 思 维 启 迪 9 x| 典例 ： ( 10 分 ) ( 1) ( 2012 江苏 ) 已知函数 f ( x ) b ( a ， b R) 的值域为 0 ， ) ，若关于 x 的不等式 f ( x )0 恒成立，则 x 的取值范围为 _ _ _ _ _ _ _ 题型分类 深度剖析 本题解法中利用了转化与化归思想 题型分类 深度剖析( 1) 中利用 “ 三个二次 ” 之间的联系，将不等式、函数、方程之间相互转化； 解 析 温 馨 提 醒 思想与方法系列 10 转化与化归思想在不等式中的应用 思 维 启 迪 ( 2) 中将已知不等式看作关于 a 的一次不等式，体现了主元与次元的转化利用转化与化归思想的原则是熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则 . 9 x| 1 判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性 质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单 方 法 与 技 巧 2 比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法的主要步骤为作差 变形 判断正负 思想方法 感悟提高 4 简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式的解法进行求解 3 “ 三个二次 ” 的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把 a 0 时的情形 1 不等式的性质应用要准确，尤其在不等式两边同乘以或同除以一个数时，一定要搞清符号 2 对于不等式 c 0 ，求解时不要忘记讨论 a 0 时的情形 3 当 0 ( a 0) 的解集是 R 还是 ，要注意区别 失 误 与 防 范 思想方法 感悟提高 练出高分 专项基础训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 专项基础训练 练出高分 1 下面四个条件中，使 a b 成立的充分而不必要的条件是( ) A a b 1 B a b 1 C 由 a b 1 ，得 a b 1 b ，即 a b ，而由 a b 不能得出 a b 1 ，因此，使 a b 成立的充分而不必要的条件是 a b 1. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 专项基础训练 练出高分 2 ( 2013 陕西 ) 设 x 表示不大于 x 的最大整数，则对任意实 数 x ， y 有 ( ) A x x B 2 x 2 x C x y x y D x y x y 解析 特殊值法 令 x 1 . 5 ， 1 . 5 2 ， 1 . 5 1 ， 故 A 错 ； D 2 1 . 5 3 ,2 1 . 5 2 ， 故 B 错 ； 令 x 1. 5 ， y 0. 5 ， x y 2 ， x y 1 0 1 ， 故 C 错 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 专项基础训练 练出高分 3 已知 p a 1a 2， q 122 2x ，其中 a 2 ， x R ，则 p ， q 的大小关系是 ( ) A p q B p q C p 12，则 f (10x) 0 的解集为 ( ) A x | x B x | 1 D x | x 0 a 2 4 a 0 得 0 ” 连接 ) 解析 由 1 a . aa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 专项基础训练 练出高分 7 函数 y x 12 的定义域是 _ _ _ _ _ _ 解析 由 x 2 x 12 0 得 ( x 3 )( x 4) 0 ， x 4 或 x 3. ( , 4 3, ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 专项基础训练 练出高分 8 已知不等式 2 x 10 对一切实数 x 恒成立，则实数k 的取值范围为 _ _ _ _ _ 解析 由题意，知 4 4 1 ( k 2 1) 2 ， k 2 或 k 0 的解集是 x |120 的解集 解 ( 1) 由题意知 a 0 ， 即 2 x 2 5 x 3 0 的解集为 ( 3 ， 12 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 ( 1) 设 x 1b ， x y ，求证： a b. 专项基础训练 练出高分 ( 1 ) 解 方法一 ( x 2 y 2 )( x y ) ( x 2 y 2 )( x y ) ( x y ) x 2 y 2 ( x y ) 2 2 x y ) ， x 0 ， x y 0 ， ( x 2 y 2 )( x y ) ( x 2 y 2 )( x y ) 方法二 x y 2 ， x y 1b ， x y ，求证： a b. 专项基础训练 练出高分 ( x 2 y 2 )( x y ) ( x 2 y 2 )( x y ) ( 2) 证明 a b x a y b . 1a 1b 且 a ， b (0 ， ) ， b a 0 ， 又 x y 0 ， 0 ， x a y b 0 ， a b . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 6 1 专项 能力提升 1 若 a 0 的解集是 ( ) A ( ， a ) (5 a ， ) B ( ， 5 a ) ( a ， ) C (5 a ， a ) D ( a ， 5 a ) 练出高分 2 3 4 5 6 1 解析 由 x 2 4 5 a 2 0 得 ( x 5 a )( x a ) 0 ， a a . B 专项 能力提升 2 设函数 f ( x ) 1 ，对任意 x 32， ) ， f ( 4 f ( x ) f ( x 1) 4 f ( m ) 恒成立，则实数 m 的取值范围是 _ _ _ _ 练出高分 2 3 4 5 6 1 解析 依据题意得 1 4 m 2 ( x 2 1) ( x 1) 2 1 4( m 2 1) 即 1m 2 4 m 2 3x 2 2x 1 在 x 32 ， ) 上恒成立 在 x 32 ， ) 上恒成立， 当 x 32 时函数 y 3x 2 2x 1 取得最小值 53 ， 所以 1m 2 4 m 2 53 ，即 (3 m 2 1) ( 4 m 2 3) 0 ， 解得 m 32 或 m 32 . m 32 或 m 32 专项 能力提升 3 设 f ( x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，若 f ( 1) 1 ， f ( 2)2 a 3a 1，则实数 a 的取值范围是 _ _ _ 练出高分 2 3 4 5 6 1 解析 f ( x 3) f ( x ) ， f ( 2) f ( 1 3) f ( 1) f ( 1) 0 ， | a | 1 恒成立的 x 的取值范围 练出高分 2 3 4 5 6 1 解 将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式 ( x 3) a x 2 6 x 9 0. 令 f ( a ) ( x 3) a x 2 6 x 9. 因为 f ( a ) 0 在 | a | 1 时恒成立，所以 ( 1) 若 x 3 ，则 f ( a ) 0 ，不符合题意，应舍去 ( 2) 若 x 3 ，则由一次函数的单调性，可得 f 1 0f 1 0，即 7 x 12 0x 2 5 x 6 0，解得 x 4. 5 已知二次函数 f ( x ) c ( a 0) ，且不等式 f ( x ) 0 ，且方程 ( b 2) x c 0 的两根为 1 和 2. 即 a b 2 c 0 ，4 a 2 b 4 c 0 b 2 a ，c 2 a ， f ( x ) (2 a ) x 2 a ( a 0) 5 已知二次函数 f ( x ) c ( a 0) ，且不等式 f ( x ) 0 ， a 23 ， f ( x ) 23 x 2 43 x 43 . 5 已知二次函数 f ( x ) c ( a 0) ，且不等式 f ( x ) 0 ， f ( x ) 的最小值为 8 2 a 24 a ， 则 8 2 a 24 a 3 a, 3 4 a 4 0 ，解得 2 a 23 ， a 0 ， 05 ， 假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律： ( 1) 要使工厂有盈利，产品数量 x 应控制在什么范围？ ( 2) 工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？ 练出高分 2 3 4 5 6 1 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 6 1 解 依题意得 G ( x ) x 2 ，设利润函数为 f ( x ) ， 则 f ( x ) R ( x ) G ( x ) ， 所以 f ( x ) 0.4 x 2 3.2 x 0 x 5 x x 5 . ( 1) 要使工厂有盈利，则有 f ( x ) 0 ，因为 f ( x ) 0 0 x 5 0.4 x 2 3.2 x 0或 x x 0 0 x 5x 2 8 x 75 时， f ( x ) 8. 2 5 3. 2. 所以当工厂生产 400 台产品时，盈利最大， 此时只需求 x 4 时， R 4 4 万元 / 百台 ) 240( 元 / 台 ) 所以工厂生产 400 台产品时盈利最大，此时每台产品的售价为 240 元 数学 R B（理） 第七章 不等式、推理与证明 值不等式 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 均值不等式 a 1) 均值不等式成立的条件： . ( 2) 等号成立的条件：当且仅当 时取等号 2 几个重要的不等式 ( 1) ( a ， b R) ( 2)ba ( a ， b 同号 ) ( 3) a a ， b R) ( 4)a a ， b R) a0， b0 a b 22 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 3 算术平均值与几何平均值 设 a 0 ， b 0 ，则 a ， b 的算术平均值为 ，几何平均值为 ，均值不等式可叙述为 4 利用均值不等式求最值问题 已知 x 0 ， y 0 ，则 ( 1) 如果积 定值 p ，那么当且仅当 时， x y 有最 值是 .( 简记：积定和最小 ) ( 2) 如果和 x y 是定值 p ，那么当且仅当 时， 最 值是 .( 简记：和定积最大 ) a 两个正数的算术平均值大 于或等于它们的几何平均值 x y 小 2 p x y 大 号 答案 解析 1 2 3 4 5 C C 基础知识 自主学习 D 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 夯实基础 突破疑难 夯基释疑 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 1 】 (1) 已知 x 0 ， y 0 ，且2 x y 1 ，则1x1 ； (2) 当 x 0 时，则 f ( x ) 2 1的最大值为 _ _ 题型一 利用均值不等式求最值 【 例 1 】 (1) 已知 x 0 ， y 0 ，且2 x y 1 ，则1x1_ ； (2) 当 x 0 时，则 f ( x ) 2 1的最大值为 _ _ 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 思维升华 利用均值不等式求最值可以先对式子进行必要的变换 如第 ( 1 ) 问把1x11 ” 代换为 “ 2 x y ” ，展开后利用均值不等式；第 ( 2 )问把函数式 中分子分母同除“ x ” ，再利用均值不等式 题型一 利用均值不等式求最值 答案 【 例 1 】 (1) 已知 x 0 ， y 0 ，且2 x y 1 ，则1x1_ ； (2) 当 x 0 时，则 f ( x ) 2 1的最大值为 _ _ 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 思维升华 ( 1) x 0 ， y 0 ，且 2 x y 1 ， 1x1y2 x x 3 2 3 2 2 . 当且仅当2 ，取等号 题型一 利用均值不等式求最值 答案 ( 2) x 0 ， f ( x ) 2 1 2x 1x 22 1 ， 当且仅当 x 1x ， 即 x 1 时取等号 ( 1) x 0 ， y 0 ，且 2 x y 1 ， 1x1y2 x x 3 2 3 2 2 . 当且仅当2 ，取等号 ( 2) x 0 ， f ( x ) 2 1 2x 1x 22 1 ， 当且仅当 x 1x ， 即 x 1 时取等号 【 例 1 】 (1) 已知 x 0 ， y 0 ，且2 x y 1 ，则1x1_ ； (2) 当 x 0 时，则 f ( x ) 2 1的最大值为 _ _ 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 思维升华 3 2 2 1 题型一 利用均值不等式求最值 答案 3 2 2 【 例 1 】 (1) 已知 x 0 ， y 0 ，且2 x y 1 ，则1x1_ ； (2) 当 x 0 时，则 f ( x ) 2 1的最大值为 _ _ 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 思维升华 (1) 利用均值不等式求函数最值时，注意 “ 一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小 ” (2) 在求最值过程中若不能直接使用均值不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用均值不等式 题型一 利用均值不等式求最值 答案 1 跟踪训练 1 ( 1 ) 已知正实数 x ， y 满足 1 ， 则 (y ) (x ) 的最小值为 _ _ ( 2 ) 已知 x ， y R， 且满足x31 ， 则 最大值为 _ 解析 ( 1) 依题意知， (y )(x ) 1 1 2 2 4 ，当且仅当 x y 1 时取等号，故 (y ) (x )的最小值为 4. 题型分类 深度剖析 ( 2 ) x 0 ， y 0 且 1 2 3. 当且仅当 取等号 4 3 题型分类 深度剖析 题型二 不等式与函数的综合问题 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 2 】 ( 1 ) 已知 f ( x ) 32 x ( k 1) 3x 2 ，当 x R 时， f ( x ) 恒为正值，则 k 的取值范围是 ( ) A ( ， 1) B ( ， 2 2 1) C ( 1,2 2 1) D ( 2 2 1,2 2 1) (2) 已知函数 f ( x ) 11x 1( a R) ，若对于任意 x N ，f ( x ) 3 恒成立，则 a 的取值范围 是 _ 【 例 2 】 ( 1 ) 已知 f ( x ) 32 x ( k 1) 3x 2 ，当 x R 时， f ( x ) 恒为正值，则 k 的取值范围是 ( ) A ( ， 1) B ( ， 2 2 1) C ( 1,2 2 1) D ( 2 2 1,2 2 1) (2) 已知函数 f ( x ) 11x 1( a R) ，若对于任意 x N ，f ( x ) 3 恒成立，则 a 的取值范围 是 _ 题型分类 深度剖析 对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型二 不等式与函数的综合问题 【 例 2 】 ( 1 ) 已知 f ( x ) 32 x ( k 1) 3x 2 ，当 x R 时， f ( x ) 恒为正值，则 k 的取值范围是 ( ) A ( ， 1) B ( ， 2 2 1) C ( 1,2 2 1) D ( 2 2 1,2 2 1) (2) 已知函数 f ( x ) 11x 1( a R) ，若对于任意 x N ，f ( x ) 3 恒成立，则 a 的取值范围 是 _ 题型分类 深度剖析 ( 1 ) 由 f ( x ) 0 得 3 2 x ( k 1 ) 3 x 20 ， 解得 k 1 g ( 3 ) ， g ( x ) m 173 . ( x 8x ) 3 83 ， a 83 ， 故 a 的取值范围是 83 ， ) 题型二 不等式与函数的综合问题 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 2 】 ( 1 ) 已知 f ( x ) 32 x ( k 1) 3x 2 ，当 x R 时， f ( x ) 恒为正值，则 k 的取值范围是 ( ) A ( ， 1) B ( ， 2 2 1) C ( 1,2 2 1) D ( 2 2 1,2 2 1) (2) 已知函数 f ( x ) 11x 1( a R) ，若对于任意 x N ，f ( x ) 3 恒成立，则 a 的取值范围 是 _ 设 g ( x ) x 8x ， x N ，则 g ( 2 ) 6 ， g ( 3 ) 173 . g ( 2) g ( 3) ， g ( x ) m 173 . ( x 8x ) 3 83 ， a 83 ， 故 a 的取值范围是 83 ， ) 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 答案 思维升华 83 ， ) B 题型二 不等式与函数的综合问题 【 例 2 】 ( 1 ) 已知 f ( x ) 32 x ( k 1) 3x 2 ，当 x R 时， f ( x ) 恒为正值，则 k 的取值范围是 ( ) A ( ， 1) B ( ， 2 2 1) C ( 1,2 2 1) D ( 2 2 1,2 2 1) (2) 已知函数 f ( x ) 11x 1( a R) ，若对于任意 x N ，f ( x ) 3 恒成立，则 a 的取值范围 是 _ 题型分类 深度剖析 (1) a f ( x ) 恒成立 a ( f ( x ) m a x ， a 0 恒成立，故 a 0. 当 0 0) ，即 x 80 时 “ ” 成立，故选 B. B ( 2 ) 某种饮料分两次提价 ， 提价方案有两种 ， 方案甲 ： 第一次提价 p % ，第二次提价 q % ； 方案乙 ： 每次都提价p ， 若 p q 0 ， 则 提价多的方案是 _ 题型分类 深度剖析 解析 设原价为 1 ，则提价后的价格为 方案甲： ( 1 p % )( 1 q % ) ， 所以提价多的方案是乙 即 ( 1 p % )( 1 q % ) q 0 ，所以 1 p % 1 q % 0 ， b 0) 等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件 思想方法 感悟提高 失 误 与 防 范 思想方法 感悟提高 1 使用均值不等式求最值， “ 一正、二定、三相等 ” 三个条件缺一不可 2 连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致 练出高分 专项基础训练 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 1 已知 00. x (3 3 x ) 3 x (1 x ) 3x 1 34 . 当且仅当 x 1 x ，即 x 12 时取等号 专项基础训练 练出高分 2 若函数 f ( x ) x 1x 2( x 2) 在 x a 处取最小值，则 a 等于 ( ) A 1 2 B 1 3 C 3 D 4 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 f ( x ) x 1x 2 x 2 1x 2 2. x 2 ， x 2 0. C f ( x ) x 2 1x 2 2 2 x 2 1x 2 2 4 ， 当且仅当 x 2 1x 2 ， 即 x 3 时， “ ” 成立 又 f ( x ) 在 x a 处取最小值 a 3. 专项基础训练 练出高分 3 小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b ( a 2 b a ， 2a b 0 ， b 0 ， 且 a b ) 0 ， 则1a 1b 的最小值是 ( ) A 14 B 1 C 4 D 8 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 由 a 0 ， b 0 ， a b ) 0 得 a b 1a 0b 0. 故1a 1b a 11a 2112 2 4. 当且仅当 a b 12 时上式取 “ ” C 专项基础训练 练出高分 5 . ( 2012 福建 ) 下列不等式一定成立的是 ( ) A 4lg x ( x 0) B x 1x 2( x k ， k Z) C 1 2| x |( x R) 11( x R) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 应用均值不等式： x ， y R，x 当且仅当x y 时取等号 ) 逐个分析，注意均值不等式的应用条件及取等号的条件 当 x 0 时， x 2 14 2 x 12 x ， 所以 x 2 14 x ( x 0) ，故选项 A 不正确； 5 . ( 2012 福建 ) 下列不等式一定成立的是 ( ) A 4x ( x 0 ) B x 1x 2 ( x k ， k Z ) C 1 2| x | ( x R ) 11 ( x R ) 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 运用均值不等式时需保证一正二定三相等， 而当 x k ， k Z 时， x 的正负不定，故选项 由均值不等式可知，选项 C 正确； 当 x 0 时，有 1x 2 1 1 ，故选项 D 不正确 C 6 设 x ， y R ，且 0 ，则 ( x 2 1y 2)(1x 2 4 y 2 ) 的最小值为 _ _ _ _ _ _ _ _ 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 ( x 2 1y 2)(1x 2 4 y 2 ) 5 1x 2 y 2 4 x 2 y 2 5 21x 2 y 24 x 2 y 2 9 ， 当且仅当 x 2 y 2 12 时 “ ” 成立 9 7 已知函数 f ( x ) x 1( p 为常数，且 p 0) ，若 f ( x ) 在 (1 ， ) 上的最小值为 4 ，则实数 p 的值为 _ _ 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 由题意得 x 1 0 ， f ( x ) x 1 1 1 2 p 1 ，当且仅当 x p 1 时取等号，因为 f ( x ) 在 (1 ， ) 上的最小值为 4 ，所以 2 p 1 4 ，解得 p 94. 94 专项基础训练 练出高分 8 某公司一年需购买某种货物 200 吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为 2 万元，一年的总存储费用数值 ( 单位：万元 )恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是 _ _ 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解析 设每次购买该种货物 x 吨，则需要购买200一年的总运费为200x 2 400x，一年的总存储费用为 x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x x 2400x x 40 ，当且仅当400x x ，即 x 20 时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物 20 吨 20 9 ( 1 ) 已知 00 ， y 0 ， 且 x y 1 ， 求8x2 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解 ( 1 ) y 2 x 5 x 2 x ( 2 5 x ) 15 5 x ( 2 5 x ) 00 ， 5 x ( 2 5 x ) ( 5 x 2 5 2 1 ， y 15 ，当 且仅当 5 x 2 5 x ， 即 x 15 时， y m 15 . 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 9 ( 1 ) 已知 00 ， y 0 ， 且 x y 1 ， 求8x2 ( 2 ) x 0 ， y 0 ，且 x y 1 ， 8x 2y (8x 2y )( x y ) 10 8 2 10 28 2 18 ， 当且仅当 8 2 即 x 23 ， y 13 时等号成立， 8x 2y 的最小值是 18. 专项基础训练 练出高分 10 某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池 ， 池的深度一定 ( 平面图如图所示 ) ， 如果池四周围墙建造单价为 400 元 / 米，中间两道隔墙建造单价为 2 4 8 元 / 米 ，池底建造单价为 80 元 / 平方米 ， 水池所有墙的厚度忽略不计 ( 1 ) 试设计污水处理池的长和宽 ， 使总造价最低 ， 并求出最低总造价 ； ( 2 ) 若由于地形限制 ， 该池的长和宽都不能超过 16 米 ， 试设计污水处理池的长和宽 ， 使总造价最低 ， 并求出最低总造价 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 专项基础训练 练出高分 解 ( 1 ) 设污水处理池的宽为 x 米，则长为 162 x 米 总造价 f ( x ) 400 (2 x 2 162x) 248 2 x 80 16 2 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 1 2 96 x 1 2 96 100x 12 960 1 2 96 ( x 100 x ) 12 96 0 1 2 96 2 x 100 x 12 96 0 38 8 80 ( 元 ) ，当且仅当 x 100 x ( x 0 ) ，即 x 10 时取等号 当污水处理池的长为 ，宽为 10 米时总造价最低，总造价最低为 38 8 80 元 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 ( 2 ) 由限制条件知00 ， b 0 ， 若不等式m3 a b3a1b 0 恒成立 ， 则 m 的最大值 为 ( ) A 4 B 16 C 9 D 3 练出高分 2 3 4 5 1 解析 因为 a 0 ， b 0 ，所以由m3 a b3a1b 0 恒成立得 m (3a1b)(3 a b ) 10 3 因为 3 3 2 3 3 6 ， 当且仅当 a b 时等号成立，所以 10 3 3 16 ， 所以 m 16 ，即 m 的最大值为 16
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