【步步高】2015届高考数学总复习 第十二章课件 理（打包6套）北师大版
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【步步高】2015届高考数学总复习 第十二章课件 理（打包6套）北师大版,步步高,高考,数学,复习,温习,第十二,课件,打包,北师大
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机事件的概率 第十二章 概率、随机变量及其分布 数学 北（理） 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 随机事件和确定事件 ( 1) 在条件 S 下，一定会发生的事件，叫作相对于条件 S 的 ( 2) 在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件 ( 3) 统称为相对于条件 S 的确定事件 ( 4) 的事件，叫作相对于条件 S 的随机事件 ( 5) 和 统称为事件，一般用大写字母A ， B ， C 表示 必然事件 不可能事件 必然事件与不可能事件 在条件 确定事件 随机事件 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 2 频率与概率 在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件 A 发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件 A 发生的频率具有 性这时，我们把这个常数叫作随机事件 A 的概率，记作 P ( A ) 3 事件的关系与运算 互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下 发生的两个事件 A 和 B 称作互斥事件 事件 A B ：事件 A B 发生是指事件 A 和事件 B 稳定 不可能同 时 至少有一 个发生 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 对立事件：不会 发生，并且一定有一个发生的事件是相互对立事件 4 概率的几个基本性质 ( 1) 概率的取值范围： . ( 2) 必然事件的概率 P ( E ) . ( 3) 不可能事件的概率 P ( F ) . ( 4) 互斥事件概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P ( A B ) 若事件 A 与事件 A 互为对立事件，则 P ( A ) 同时 1 0 P(A) P(B) 0P(A)1 1 P ( A ) 题号 答案 解析 1 2 3 4 5 D 基础知识 自主学习 A 0 (1) (2 ) (3) (4 ) 夯实基础 突破疑难 夯基释疑 题型分类 深度剖析 题型一 随机事件的关系 思维启迪 解析 思维升华 【 例 1 】 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件 A 为“ 只订甲报纸 ” ，事件 B 为 “ 至少订一种报纸 ” ，事件 C 为 “ 至多订一种报纸 ” ，事件 D 为 “ 不订甲报纸 ” ，事件 E 为 “ 一种报纸也不订 ” 判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件 ( 1) A 与 C ； ( 2) B 与 E ； ( 3) B 与 C ； ( 4) C 与 E . 【 例 1 】 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件 A 为“ 只订甲报纸 ” ，事件 B 为 “ 至少订一种报纸 ” ，事件 C 为 “ 至多订一种报纸 ” ，事件 D 为 “ 不订甲报纸 ” ，事件 E 为 “ 一种报纸也不订 ” 判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件 ( 1) A 与 C ； ( 2) B 与 E ； ( 3) B 与 C ； ( 4) C 与 E . 题型分类 深度剖析 题型一 随机事件的关系 判断事件之间的关系可以紧扣事件的分类，结合互斥事件，对立事件的定义进行分析 思维启迪 解析 思维升华 【 例 1 】 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件 A 为“ 只订甲报纸 ” ，事件 B 为 “ 至少订一种报纸 ” ，事件 C 为 “ 至多订一种报纸 ” ，事件 D 为 “ 不订甲报纸 ” ，事件 E 为 “ 一种报纸也不订 ” 判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件 ( 1) A 与 C ； ( 2) B 与 E ； ( 3) B 与 C ； ( 4) C 与 E . 题型分类 深度剖析 题型一 随机事件的关系 解 ( 1) 由于事件 C “ 至多订一种报纸 ” 中有可能 “ 只订甲报纸 ” ， 思维启迪 解析 思维升华 即事件 A 与事件 C 有可能同时发生，故 A 与 C 不是互斥事件 ( 2) 事件 B “ 至少订一种报纸 ” 与事件 E “ 一种报纸也不订 ” 是不可能同时发生的，故 B 与 E 是互斥事件 【 例 1 】 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件 A 为“ 只订甲报纸 ” ，事件 B 为 “ 至少订一种报纸 ” ，事件 C 为 “ 至多订一种报纸 ” ，事件 D 为 “ 不订甲报纸 ” ，事件 E 为 “ 一种报纸也不订 ” 判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件 ( 1) A 与 C ； ( 2) B 与 E ； ( 3) B 与 C ； ( 4) C 与 E . 题型分类 深度剖析 题型一 随机事件的关系 由于事件 B 不发生可导致事件 事件 E 不发生会导致事件 B 一定发生，故 B 与 思维启迪 解析 思维升华 ( 3) 事件 B “ 至少订一种报纸 ” 中有这些可能： “ 只订甲报纸 ” 、“ 只订乙报纸 ” 、 “ 订甲、乙两种报纸 ” ， 【 例 1 】 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件 A 为“ 只订甲报纸 ” ，事件 B 为 “ 至少订一种报纸 ” ，事件 C 为 “ 至多订一种报纸 ” ，事件 D 为 “ 不订甲报纸 ” ，事件 E 为 “ 一种报纸也不订 ” 判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件 ( 1) A 与 C ； ( 2) B 与 E ； ( 3) B 与 C ； ( 4) C 与 E . 题型分类 深度剖析 题型一 随机事件的关系 事件 C “ 至多订一种报纸 ” 中有这些可能： 思维启迪 解析 思维升华 “ 一种报纸也不订 ” 、 “ 只订甲报纸 ” 、 “ 只订乙报纸 ” ，由于这两个事件可能同时发生，故 不是互斥事件 ( 4) 由 ( 3) 的分析，事件 E “ 一种报纸也不订 ” 是事件 C 的一种可能， 即事件 C 与事件 E 有可能同时发生，故 C 与 E 不是互斥事件 【 例 1 】 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件 A 为“ 只订甲报纸 ” ，事件 B 为 “ 至少订一种报纸 ” ，事件 C 为 “ 至多订一种报纸 ” ，事件 D 为 “ 不订甲报纸 ” ，事件 E 为 “ 一种报纸也不订 ” 判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件 ( 1) A 与 C ； ( 2) B 与 E ； ( 3) B 与 C ； ( 4) C 与 E . 题型分类 深度剖析 题型一 随机事件的关系 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系 思维启迪 解析 思维升华 跟踪训练 1 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹设 A 两次都击中飞机 ， B 两次都没击中飞机 ， C 恰有一弹击中飞机 ，D 至少有一弹击中飞机 ，其中彼此互斥的事件是 _ _ ，互为对立事件的是 _ 题型分类 深度剖析 解析 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况， 因为 A B ， A C ， B C ， B D . 故 A 与 B ， A 与 C ， B 与 C ， B 与 D 为彼此互斥事件， 而 B D ， B D I ， ， ， 故 B 与 D 互为对立事件 ， 题型分类 深度剖析 题型二 随机事件的频率与概率 【 例 2 】 某企业生产的乒乓球被 20 12 年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示： 抽取球数 n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率1) 计算表中乒乓球优等品的频率； ( 2) 从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？ ( 结果保留到小数点后三位 ) 【 例 2 】 某企业生产的乒乓球被 20 12 年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示： 抽取球数 n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率1) 计算表中乒乓球优等品的频率； ( 2) 从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？ ( 结果保留到小数点后三位 ) 题型分类 深度剖析 题型二 随机事件的频率与概率 思维启迪 可以利用公式计算频率，在试验次数很大时，用频率来估计概率 【 例 2 】 某企业生产的乒乓球被 20 12 年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示： 抽取球数 n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率1) 计算表中乒乓球优等品的频率； ( 2) 从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？ ( 结果保留到小数点后三位 ) 题型分类 深度剖析 题型二 随机事件的频率与概率 解 ( 1) 依据公式 f 计算出表中乒乓球优等品的频率依次是 0, 0, 0, 0, 4, 1. ( 2) 由 ( 1) 知，抽取的球数 n 不同，计算得到的频率值不同， 但随着抽取球数的增多，频率在常数 0 的附近摆动， 所以质量检查为优等品的概率约为 0. 95 0. 【 例 2 】 某企业生产的乒乓球被 20 12 年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示： 抽取球数 n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率1) 计算表中乒乓球优等品的频率； ( 2) 从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？ ( 结果保留到小数点后三位 ) 题型分类 深度剖析 题型二 随机事件的频率与概率 思维升华 频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率 跟踪训练 2 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y ( 单位：万千瓦时 ) 与该河上游在六月份的降雨量 X ( 单位：毫米 )有关据统计，当 X 70 时， Y 460 ； X 每增加 10 ， Y 增加 0 年 X 的值为 140,1 10,160,7 0,200,16 0,140,16 0,220,20 0, 1 10,160,1 60,200,1 40,1 10 ,160,220 ,140,160 . ( 1) 完成如下的频率分布表： 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 1 10 140 160 200 220 频率 120420220( 2) 假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490( 万千瓦时 ) 或超过 530( 万千瓦时 ) 的概率 题型分类 深度剖析 题型分类 深度剖析 解 ( 1) 在所给数据中，降雨量为 1 10 毫米的有 3 个，为 160毫米的有 7 个，为 200 毫米的有 3 个 故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 1 10 140 160 200 220 频率 120320420720320220( 2) 由已知可得 Y 425 ， 故 P ( “ 发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时 ” ) P ( Y 53 0) P ( X 21 0 ) P ( X 70) P ( X 1 10 ) P ( X 220) 120 320 220 310 . 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490( 万千 瓦时 ) 或超过 530( 万千瓦时 ) 的概率为 310 . 题型分类 深度剖析 题型三 互斥事件、对立事件的概率 【 例 3 】 某商场有奖销售中，购满100 元商品得 1 张奖券，多购多得 . 1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A 、B 、 C ，求： ( 1) P ( A ) ， P ( B ) ， P ( C ) ； ( 2) 1 张奖券的中奖概率； ( 3) 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 思维启迪 解析 思维升华 【 例 3 】 某商场有奖销售中，购满100 元商品得 1 张奖券 ， 多购多得 . 1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个 ,一等奖 10 个 ,二等奖 50个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A 、 B 、 C ，求： ( 1) P ( A ) ， P ( B ) ， P ( C ) ； ( 2) 1 张奖券的中奖概率； ( 3) 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 题型分类 深度剖析 题型三 明确事件的特征、分析事件间的关系，根据互斥事件或对立事件概率公式求解 思维启迪 解析 思维升华 互斥事件、对立事件的概率 【 例 3 】 某商场有奖销售中，购满100 元商品得 1 张奖券 ， 多购多得 . 1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个 ,一等奖 10 个 ,二等奖 50个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A 、 B 、 C ，求： ( 1) P ( A ) ， P ( B ) ， P ( C ) ； ( 2) 1 张奖券的中奖概率； ( 3) 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 题型分类 深度剖析 题型三 解 ( 1) P ( A )11 000， P ( B )101 0001100， P ( C )501 000120. 思维启迪 解析 思维升华 互斥事件、对立事件的概率 故事件 A ， B ， C 的概率分别为11 000 ，1100 ，120 . ( 2) 1 张奖券中奖包含中特等奖、 一等奖、二等奖 【 例 3 】 某商场有奖销售中，购满100 元商品得 1 张奖券 ， 多购多得 . 1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个 ,一等奖 10 个 ,二等奖 50个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A 、 B 、 C ，求： ( 1) P ( A ) ， P ( B ) ， P ( C ) ； ( 2) 1 张奖券的中奖概率； ( 3) 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 题型分类 深度剖析 题型三 设 “ 1 张奖券中奖 ” 这个事件为 M ，则 M A B C . A 、 B 、 C 两两互斥， 思维启迪 解析 思维升华 互斥事件、对立事件的概率 P ( M ) P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C ) 1 10 501 00 0 611 00 0 . 故 1 张奖券的中奖概率为611 0 00 . 【 例 3 】 某商场有奖销售中，购满100 元商品得 1 张奖券 ， 多购多得 . 1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个 ,一等奖 10 个 ,二等奖 50个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A 、 B 、 C ，求： ( 1) P ( A ) ， P ( B ) ， P ( C ) ； ( 2) 1 张奖券的中奖概率； ( 3) 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 题型分类 深度剖析 题型三 ( 3) 设 “ 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖 ” 为事件 N ，则事件 N 与 “ 1 张奖券中特等奖或中一等奖 ” 为对立事件， P ( N ) 1 P ( A B ) 1 11 00 0 1100 9891 0 00 . 思维启迪 解析 思维升华 互斥事件、对立事件的概率 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 0 00 . 【 例 3 】 某商场有奖销售中，购满100 元商品得 1 张奖券 ， 多购多得 . 1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个 ,一等奖 10 个 ,二等奖 50个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A 、 B 、 C ，求： ( 1) P ( A ) ， P ( B ) ， P ( C ) ； ( 2) 1 张奖券的中奖概率； ( 3) 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 题型分类 深度剖析 题型三 (1) 解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算 思维启迪 解析 思维升华 互斥事件、对立事件的概率 【 例 3 】 某商场有奖销售中，购满100 元商品得 1 张奖券 ， 多购多得 . 1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个 ,一等奖 10 个 ,二等奖 50个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A 、 B 、 C ，求： ( 1) P ( A ) ， P ( B ) ， P ( C ) ； ( 2) 1 张奖券的中奖概率； ( 3) 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 题型分类 深度剖析 题型三 ( 2) 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P ( A ) 1 P ( A )计算 思维启迪 解析 思维升华 互斥事件、对立事件的概率 题型分类 深度剖析 解 从袋中任取一球，记事件 “ 得到红球 ”“ 得到黑球 ”“ 得到黄球 ”“ 得到绿球 ” 分别为 A ， B ， C ， D ， 跟踪训练 3 袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，黑球或黄球的概率是512，绿球或黄球的概率也是512. 求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？ 则事件 A ， B ， C ， D 彼此互斥，所以有 P ( B C ) P ( B ) P ( C ) 512 ， P ( D C ) P ( D ) P ( C ) 512 ， P ( B C D ) P ( B ) P ( C ) P ( D ) 1 P ( A ) 1 13 23 ， 跟踪训练 3 袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，黑球或黄球的概率是512，绿球或黄球的概率也是512. 求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？ 题型分类 深度剖析 解得 P ( B ) 14 ， P ( C ) 16 ， P ( D ) 14 . 故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是14 ，16 ，14 . 思想与方法系列 19 用正难则反思想求互斥事件的概率 题型分类 深度剖析 典例： ( 1 2 分 ) ( 2012 湖南 ) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 . 一次购物量 1 至4 件 5 至8 件 9 至12 件 13 至16 件 17 件及以上 顾客数 ( 人 ) x 30 25 y 10 结算时间 ( 分钟 / 人 ) 1 2 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55% . ( 1) 确定 x ， y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； ( 2) 求一位顾客一次购物的结算时间 不超过 2 分钟的概率 ( 将频率视为概率 ) 典例： ( 1 2 分 ) ( 2012 湖南 ) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 . 一次购物量 1 至4 件 5 至8 件 9 至12 件 13 至16 件 17 件及以上 顾客数 ( 人 ) x 30 25 y 10 结算时间 ( 分钟 / 人 ) 1 2 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55% . ( 1) 确定 x ， y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； ( 2) 求一位顾客一次购物的结算时间 不超过 2 分钟的概率 ( 将频率视为概率 ) 思想与方法系列 19 用正难则反思想求互斥事件的概率 题型分类 深度剖析 思维启迪 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用 “ 正难则反 ”思想求解 典例： ( 1 2 分 ) ( 2012 湖南 ) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 . 一次购物量 1 至4 件 5 至8 件 9 至12 件 13 至16 件 17 件及以上 顾客数 ( 人 ) x 30 25 y 10 结算时间 ( 分钟 / 人 ) 1 2 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55% . ( 1) 确定 x ， y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； ( 2) 求一位顾客一次购物的结算时间 不超过 2 分钟的概率 ( 将频率视为概率 ) 思想与方法系列 19 用正难则反思想求互斥事件的概率 题型分类 深度剖析 规范解答 解 ( 1) 由已知得 25 y 10 55 ， x 30 45 ， 所以 x 15 ， y 20. 2分 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 1 15 30 2 25 20 3 10100 1. 9( 分钟 ) 6分 典例： ( 1 2 分 ) ( 2012 湖南 ) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 . 一次购物量 1 至4 件 5 至8 件 9 至12 件 13 至16 件 17 件及以上 顾客数 ( 人 ) x 30 25 y 10 结算时间 ( 分钟 / 人 ) 1 2 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55% . ( 1) 确定 x ， y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； ( 2) 求一位顾客一次购物的结算时间 不超过 2 分钟的概率 ( 将频率视为概率 ) 思想与方法系列 19 用正难则反思想求互斥事件的概率 题型分类 深度剖析 ( 2) 记 A 为事件 “ 一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟 ” ， A 1 ， A 2 分别表示事件 “ 钟 ” ， “ 该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟 ” ， 将频率视为概率得 P ( A 1 ) 2010015， P ( A 2 ) 10100110. 9分 P ( A ) 1 P ( A 1 ) P ( A 2 ) 1 15 110 710 . 11分 故一位顾客一次购物的结算 时间不超过 2 分钟的概率为710 . 12分 典例： ( 1 2 分 ) ( 2012 湖南 ) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 . 一次购物量 1 至4 件 5 至8 件 9 至12 件 13 至16 件 17 件及以上 顾客数 ( 人 ) x 30 25 y 10 结算时间 ( 分钟 / 人 ) 1 2 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55% . ( 1) 确定 x ， y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； ( 2) 求一位顾客一次购物的结算时间 不超过 2 分钟的概率 ( 将频率视为概率 ) 思想与方法系列 19 用正难则反思想求互斥事件的概率 题型分类 深度剖析 温馨提醒 ( 1) 要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征的含义 ( 2) 正确判定事件间的关系，善于将 A 转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式 易错提示： ( 1) 对统计表的信息不理解，错求 x ， y 难以用样本平均数估计总体 ( 2) 不能正确地把事件 A 转化为几个互斥事件的和或转化为 B C 的对立事件，导致计算错误 方 法 与 技 巧 思想方法 感悟提高 1 对于给定的随机事件 A ，由于事件 A 发生的频率 A )随着试验次数的增加稳定于概率 P ( A ) ，因此可以用频率 f n ( A ) 来估计概率 P ( A ) 2 从集合角度理解互斥和对立事件 从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集 失 误 与 防 范 思想方法 感悟提高 1 正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件， “ 互斥 ” 是 “ 对立 ” 的必要不充分条件 2 需准 确理解题意，特别留心 “ 至多 ” ， “ 至少 ” ， “ 不少于 ” 等语句的含义 练出高分 专项基础训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球，那么互斥而不对立的事件是 ( ) A 至少有一个红球与都是红球 B 至少有一个红球与都是白球 C 至少有一个红球与至少有一个白球 D 恰有一个红球与恰有二个红球 D 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A 抽到一等品 ，事件 B 抽到二等品 ，事件 C 抽到三等品 ，且已知 P ( A ) P ( B ) P ( C ) 则事件 “ 抽到的不是一等品 ” 的概率为 ( ) A B C D 解析 事件 “ 抽到的不是一等品 ” 与事件 A 是对立事件， 由于 P ( A ) 0. 65 ， 所以由对立事件的概率公式得 “ 抽到的不是一等品 ” 的概率为 P 1 P ( A ) 1 . C 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是 5% 和 3% ，则抽验一只是正品 ( 甲级 ) 的概率为 ( ) A B C D 解析 记抽验的产品是甲级品为事件 A ，是乙级品为事件 B ，是丙级品为事件 C ， 这三个事件彼此互斥，因而抽验的产品是正品 ( 甲级 ) 的概率为P ( A ) 1 P ( B ) P ( C ) 1 5% 3% 92% 0. 92 ， 故选 C. C 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件 “ 2 张全是移动卡 ” 的概率是310，那么概率是710的事件是 ( ) A 至多有一张移动卡 B 恰有一张移动卡 C 都不是移动卡 D 至少有一张移动卡 解析 至多有一张移动卡包含 “ 一张移动卡，一张联通卡 ”“ 两张全是联通卡 ” 两个事件， 它是 “ 2 张全是移动卡 ” 的对立事件，故选 A. A 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是 ( ) A 56B 23C 12D 13解析 乙不输包含两种情况： 一是两人和棋，二是乙获胜， 故所求概率为 12 13 56 . A 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 在 200 件产品中，有 192 件一级品， 8 件二级品，则下列事件： 在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是一级品； 在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是二级品； 在这 200 件产品中任意选出 9 件，不全是二级品 其中 _ 是必然事件； _ 是不可能事件；_ 是随机事件 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率为 摸出白球的概率为 若红球有 21 个，则黑球有 _ 个 解析 1 0. 42 0 0. 30 ,2 1 0. 42 50 ， 50 15. 15 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 已知某运动员每次投篮命中的概率都为 4 0% ，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1, 2,3,4 表示命中，5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组 ，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下 20 组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 1 13 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 _ 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 20 组随机数中表示三次投篮 恰好有两次命中的 是191, 271, 932, 812, 393 ，其频率为520 以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 答案 0 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 黄种 人群中各种血型的人所占的比如下表所示： 血型 A B O 该血型的人所占比 /% 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血， O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给 血的人，其他不同血型的人不能互相输血小明是 B 型血，若小明因病需要输血，问： ( 1) 任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ ( 2) 任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？ 专项基础训练 练出高分 解 ( 1) 对任一人，其血型为 A ， B ， O 型血的事件分别记为 A ， B ， C ， D ，它们是互斥的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由已知，有 P ( A ) 0. 28 ， P ( B ) P ( C ) P ( D ) 因为 B ， O 型血可以输给 B 型血的人，故 “ 可以输给 B 型血的人 ”为事件 B D . 根据互斥事件的加法公式，有 P ( B D ) P ( B ) P ( D ) 专项基础训练 练出高分 ( 2) 方法一 由于 A ， 血不能输给 B 型血的人， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 故 “ 不能输给 B 型血的人 ” 为事件 A C ，且 P ( A C ) P ( A ) P ( C ) 方法二 因为事件 “ 其血可以输给 B 型血的人 ” 与事件 “ 其血不能输给 B 型血的人 ” 是对立事件， 故由对立事件的概率公式，有 P ( A C ) P ( B D ) 1 P ( B D ) 1 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 对一批衬衣进行抽样检查，结果如表： 抽取件数 n 50 100 200 500 600 700 800 次品件数 m 0 2 12 27 27 35 40 次品率1) 求次品出现的频率 ( 次品率 ) ； ( 2) 记 “ 任取一件衬衣是次品 ” 为事件 A ，求 P ( A ) ； ( 3) 为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售 1 000 件衬衣，至少需进货多少件？ 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 ( 1) 次品率依次为 0, ,5,0 ( 2) 由 ( 1) 知，出现次品的频率 附近摆动， 故 P ( A ) ( 3) 设进衬衣 x 件，则 x (1 0. 05 ) 1 00 0 ， 解得 x 1 05 3 ， 故至少需进货 1 05 3 件 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 6 专项 能力提升 练出高分 1 甲： A 1 、 A 2 是互斥事件；乙： A 1 、 A 2 是对立事件那么 ( ) A 甲是乙的充分但不必要条件 B 甲是乙的必要但不充分条 件 C 甲是乙的充要条件 D 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析 根据互斥事件和对立事件的概念可知互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B 2 3 4 5 6 1 专项 能力提升 练出高分 2 在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A 、 B 、 C 、 D 的概率分别是 则下列说法正确的是 ( ) A A B 与 C 是互斥事件，也是对立事件 B B C 与 D 是互斥事件，也是对立事件 C A C 与 B D 是互斥事件，但不是对立事件 D A 与 B C D 是互斥事件，也是对立事件 3 4 5 6 1 2 专项 能力提升 练出高分 解析 由于 A ， B ， C ， D 彼此互斥，且 A B C D 是一个必然事件， 故其事件的关系可由如图所示的 V e 表示， 由图可知，任何一个事件与其余 3 个事件的和事件必然是对立事件， 任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件故选 D. 答案 D 3 4 5 1 6 2 专项 能力提升 练出高分 3 一只袋子中装有 7 个红玻璃球， 3 个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为_ ；至少取得一个红球的概率为 _ _ _ 解析 ( 1) 由于 “ 取得两个红球 ” 与 “ 取得两个绿球 ” 是互斥事件， 取得两个同色球， 只需两互斥事件有一个发生即可， 因而取得两个同色球的概率为 P 715 115 815 . 815 ( 2) 由于事件 A “ 至少取得一个红球 ” 与事件 B “ 取得两个绿球 ” 是对立事件， 则至少取得一个红球的概率为 P (
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