【步步高】2015届高考数学总复习 第十二章强化训练+章末检测 理（打包9套）北师大版
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【步步高】2015届高考数学总复习 第十二章强化训练+章末检测 理（打包9套）北师大版,步步高,高考,数学,复习,温习,第十二,强化,训练,检测,打包,北师大
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1 机事件的概率 1 随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下，一定会发生的事件，叫作相对于条件 S 的 必然事件 (2)在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件 S 的 不可能事件 (3)必然事件与不可能事件 统称为相对于条件 S 的确定事件 (4)在条件 S 下可能发生也可能不发生 的事件，叫作相对于条件 S 的随机事件 (5)确定事件 和 随机事件 统称为事件，一般用大写字母 A， B， C 表示 2 频率与概率 在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件 A 发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件 A 发生的频率具有 稳定 性这时，我们把这个常数叫作随机事件 A 的概率，记作 P(A) 3 事件的关系与运算 互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下 不可能同时 发生的两个事件 A 和 B 称作互斥事件 事件 A B：事件 A B 发生是指事件 A 和事件 B 至少有一个发生 对立事件：不会 同时 发生，并且一定有一个发生的事件是相互对立事件 4 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： 0 P(A) 1. (2)必然事件的概率 P(E) 1. (3)不可能事件的概率 P(F) 0. (4)互斥事件概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥 ， 则 P(A B) P(A) P(B) 若事件 A 与事件 A 互为对立事件，则 P(A) 1 P( A ) 1 判断下面结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “” ) (1)事件发生频率与概率是相同的 ( ) (2)随机事件和随机试验是一回事 ( ) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值 ( ) 2 (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生 ( ) 2 一个人打靶时连续射击两次，事件 “ 至少有一次中靶 ” 的互斥事件是 ( ) A至多有一次中靶 B两次都中靶 C只有一次中靶 D两次都不中靶 答案 D 3 某射手的一次射击中，射中 10 环、 9 环、 8 环的概率分别为 此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为 ( ) A B C D 案 A 解析 依题意知，此射手在一次射击中不超过 8环的概率为 1 ( 4 下列事件中，随机事件为 _，必然事件为 _ (填序号 ) 冬去春来 某班一次数学测试，及格率低于 75% 体育彩票某期的特等奖号码 三角形内角和为 360 骑车到十字路口遇到交警 答案 5 给出下列三个命题，其中正确的命题有 _个 有一大批产品，已知次品率为 10%，从中任取 100 件，必有 10 件是次品； 做 7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此正面出现的概率是 37； 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 答案 0 解析 错，不一定是 10件次品； 错， 37是频率而非概率； 错，频率不等于概率，这是两个不同的概念 3 题型一 随机事件的关系 例 1 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件 A 为 “ 只订甲报纸 ” ，事件 B 为 “ 至少订一种报纸 ” ，事件 C 为 “ 至多订一种报纸 ” ，事件 D 为 “ 不订甲报纸 ” ，事件 一种报纸也不订 ” 判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件 (1)A 与 C； (2)B 与 E； (3)B 与 C； (4)C 与 E. 思维启迪 判断事件之间的关系可以紧扣事件的分类，结合互斥事件，对立事件的定义进行分析 解 (1)由于事件 C“ 至多订一种报纸 ” 中有可能 “ 只订甲报纸 ” ，即事件 有可能同时发生，故 不是互斥事件 (2)事件 B“ 至少订一种报纸 ” 与事件 E“ 一种报纸也不订 ” 是 不可能同时发生的，故 是互斥事件由于事件 一定发生，且事件 一定发生，故 还是对立事件 (3)事件 B“ 至少订一种报纸 ” 中有这些可能： “ 只订甲报纸 ” 、 “ 只订乙报纸 ” 、 “ 订甲、乙两种报纸 ” ，事件 C“ 至多订一种报纸 ” 中有这些可能： “ 一种报纸也不订 ” 、“ 只订甲报纸 ” 、 “ 只订乙报纸 ” ，由于这两个事件可能同时发生，故 不是互斥事件 (4)由 (3)的分析，事件 E“ 一种报纸也不订 ” 是事件 C 的一种可能，即事件 C 与事件 不是互斥事件 思维升华 对互 斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹设 A 两次都击中飞机 ， B两次都没击中飞机 ， C 恰有一弹击中飞机 ， D 至少有一弹击中飞机 ，其中彼此互斥的事件是 _，互为对立事件的是 _ 答案 A 与 B， A 与 C， B 与 C， B 与 D B 与 D 解析 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为 A B ， A C ， B C ， B D . 故 ， ， ， 为彼此互斥事件，而 B D ， B D I，故 互为对立事件 4 题型二 随机事件的频率与概率 例 2 某企业生产的乒乓球被 2012 年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示： 抽取球数 n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率 (1)计算表中乒乓球优等品的频率； (2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？ (结果保留到小数点后三位 ) 思维启迪 可以利用公式计算频率，在试验次数很大时，用频率来估计概率 解 (1)依据公式 f 算出表中乒乓球优等品的频率依次是 (2)由 (1)知，抽取的球数 算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数 以质量检查为优等品的概率约为 思维升华 频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y(单位：万千瓦时 )与该河上游在六月份的降雨量 X(单位：毫米 )有关据统计，当 X 70 时， Y 460； X 每增加 10 ， Y 增加 5. 已 知 近 20 年 X 的 值 为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表： 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 120 420 220 (2)假定今年六月份的降雨量与近 20 年 六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时 )或超过 530(万千瓦时 )的概率 解 (1)在所给数据中，降雨量为 110毫米的有 3个，为 160毫米的有 7个，为 200毫米的有 3个故近 20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 110 140 160 200 220 5 频率 120 320 420 720 320 220 (2)由已知可 得 Y 425， 故 P(“ 发电量低于 490万千瓦时或超过 530万千瓦时 ” ) P( P( P(X 70) P(X 110) P(X 220) 120 320 220 310. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时 )或超过 530(万千瓦时 )的概率为310. 题型三 互斥事件、对立事件的概率 例 3 某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得 00 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A、 B、 C，求： (1)P(A)， P(B)， P(C)； (2)1 张奖券的中奖概率； (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 思维启迪 明确事件的特征、分析事件间的关系，根据互斥事件或对立事件概率公式求解 解 (1)P(A) 11 000， P(B) 101 000 1100， P(C) 501 000 120. 故事件 A， B， 1 000， 1100， 120. (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设 “ 1 张奖券中奖 ” 这个事件为 M，则 M A B C. A、 B、 P(M) P(A B C) P(A) P(B) P(C) 1 10 501 000 611 000. 故 1张奖券的中奖概率为 611 000. (3)设 “ 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖 ” 为事件 N，则事件 N 与 “ 1 张奖券中特等奖或中一等奖 ” 为对立事件， 6 P(N) 1 P(A B) 1 11 000 1100 9891 000. 故 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 9891 000. 思维升华 (1)解决此类问题，首先应 结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算 (2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A) 1 P( A )计算 袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是 13，黑球或黄球的概率是 512，绿球或黄球的概率也是 到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？ 解 从袋中任取一球，记事件 “ 得到红球 ”“ 得到黑球 ”“ 得到黄球 ”“ 得到绿球 ” 分别为 A， B， C， D，则事件 A， B， C， 以有 P(B C) P(B) P(C) 512，P(D C) P(D) P(C) 512， P(B C D) P(B) P(C) P(D) 1 P(A) 1 13 23， 解得 P(B) 14， P(C) 16， P(D) 14. 故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是 14， 16， 14. 用正难则反思想求互斥事件的概率 典例： (12 分 )(2012湖南 )某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 . 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 顾客数 (人 ) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟 /人 ) 1 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x， y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间 不超过 2 分钟的概率 (将频率视为概率 ) 思维启迪 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用 “ 正难则反 ” 思想求解 7 规范解答 解 (1)由已知得 25 y 10 55， x 30 45， 所以 x 15， y 20. 2 分 该超市所 有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 1 15 30 2 25 20 3 10100 钟 ) 6 分 (2)记 一位顾客一次购物的结算时间不超过 2分钟 ” ， 该顾客一次购物的结算时间为 钟 ” ， “ 该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟 ” ，将频率视为概率得 P( 20100 15， P( 10100 110. 9 分 P(A) 1 P( P( 1 15 110 710. 11 分 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2分钟的概率为 710. 12 分 温馨提醒 (1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征的含义 (2)正确判定事件间的关系，善于将 A 转化 为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式 易错提示： (1)对统计表的信息不理解，错求 x， y 难以用样本平均数估计总体 (2)不能正确地把事件 A 转化为几个互斥事件的和或转化为 B C 的对立事件，导致计算错误 方法与技巧 1 对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 )随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率 )来估计概率 P(A) 2 从集合角度理解互斥和对立事件 从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指 由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集 失误与防范 1 正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件， “ 互斥 ” 是 “ 对立 ” 的必要不充分条件 2 需准确理解题意，特别留心 “ 至多 ” ， “ 至少 ” ， “ 不少于 ” 等语句的含义 8 A 组 专项基础训练 (时间： 40分钟 ) 一、选择题 1 从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球，那么互斥而不对立的事件是 ( ) A至少有一个红球与都是红球 B至少有一个红球与都是白球 C至少有一个红球与至少有一个白球 D恰有一个红球与恰有二个红球 答案 D 2 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A 抽到一等品 ，事件 B 抽到二等品 ，事件 C 抽到三等品 ，且已知 P(A) P(B) P(C) 事件 “ 抽到的不是一等品 ” 的概率为 ( ) A B C D 案 C 解析 事件 “ 抽到的不是一等品 ” 与事件 于 P(A) 以由对立事件的概率公式得 “ 抽到的不是一等品 ” 的概率为 P 1 P(A) 1 3 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是 5%和 3%，则抽验一只是正品 (甲级 )的概率为 ( ) A B C D 案 C 解析 记抽验的产品是甲级品为事件 A，是乙级品为事件 B，是丙级 品为事件 C，这三个事件彼此互斥，因而抽验的产品是正品 (甲级 )的概率为 P(A) 1 P(B) P(C) 1 5% 3% 92% 选 C. 4 在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件 “ 2 张全是移动卡 ” 的概率是 310，那么概率是 710的事件是 ( ) A至多有一张移动卡 B恰有一张移动卡 C都不是移动卡 D至少有一张移动卡 答案 A 解析 至多有一张移动卡包含 “ 一张移动卡，一张联通卡 ”“ 两张全是联 通卡 ” 两个事件，它是 “ 2张全是移动卡 ” 的对立事件，故选 A. 9 5 甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是 12，乙获胜的概率是 13，则乙不输的概率是 ( ) 案 A 解析 乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为 12 13 56. 二、填空题 6 在 200 件产 品中，有 192 件一级品， 8 件二级品，则下列事件： 在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是一级品； 在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是二级品； 在这 200 件产品中任意选出 9 件，不全是二级品 其中 _是必然事件； _是不可能事件； _是随机事件 答案 7 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率为 出白球的概率为 红球有 21 个，则黑球有 _个 答案 15 解析 1 150， 50 15. 8 已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1,2,3,4表示命中， 5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下 20 组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 _ 答案 析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是 191,271,932,812,393，其频率为520 此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 三、解答题 9 黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示： 血型 A B 该血型的人所占比 /% 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血， O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给血的人，其他不同血型的 人不能互相输血小明是 B 型血，若小明因病需要输血， 10 问： (1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？ 解 (1)对任一人，其血型为 A， B， ， B ， C ， D ，它们是互斥的 由已知，有 P(A ) P(B ) P(C ) P(D ) 因为 B， 型血的人，故 “ 可以输给 为事件 B D . 根据互斥事件的加法公式，有 P(B D ) P(B ) P(D ) (2)方法一 由于 A， 型血的人，故 “ 不能输给 为事件A C ，且 P(A C ) P(A ) P(C ) 方法二 因为事件 “ 其血可以输给 与事件 “ 其血不能输给 是对立事件，故由对立事件的概率公式，有 P(A C ) P(B D ) 1 P(B D ) 1 10对一批衬衣进行抽样检查，结果如表： 抽取件数 n 50 100 200 500 600 700 800 次品件数 m 0 2 12 27 27 35 40 次品率 (1)求次品出现的频率 (次品率 )； (2)记 “ 任取一件衬衣是次品 ” 为事件 A，求 P(A)； (3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售 1 000 件衬衣，至少需进货多少件？ 解 (1)次品率依次为 0,(2)由 (1)知，出现次品的频率 故 P(A) (3)设进衬衣 x(1 1 000， 解 得 x 1 053，故至少需进货 1 053件 B 组 专项能力提升 (时间： 30分钟 ) 1 甲： ： 么 ( ) A甲是乙的充分但不必要条件 B甲是乙的必要但不充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 答案 B 11 解析 根据互斥事件和对立事件的概念可知互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 2 在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A、 B、 C、 D 的概率分别是 下列说法正确的是 ( ) A A B 与 C 是互斥事件，也是对立事件 B B C 与 D 是互斥事件，也是对立事件 C A C 与 B D 是互斥事件，但不是对立事件 D A 与 B C D 是互斥事件，也是对立事件 答案 D 解析 由于 A， B， C， A B C 故其事件的关系可由如图所示的 图可知，任何一个事 件与其余 3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与 其余两个事件的和事件也是对立事件故选 D. 3 一只袋子中装有 7 个红玻璃球， 3 个绿玻璃球，从中无 放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为 715，取得两个绿球的概率为 115，则取得两个同颜色的球的概率为 _；至少取得一个红球的概率为 _ 答案 815 1415 解析 (1)由于 “ 取得两个红球 ” 与 “ 取得两个绿球 ” 是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为 P 715 115 815. (2)由于事件 A“ 至少取得一个红球 ” 与事件 B“ 取得两个绿球 ” 是对立事件，则至少取得一个红球的概率为 P(A) 1 P(B) 1 115 1415. 4 某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组， 3 个小组分别 有 39、 32、 33 个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况 如图所示 现随机选取一个成员，他属于至少 2 个小组的概率是 _， 他属于不超过 2 个小组的概率是 _ 答案 35 1315 解析 “ 至 少 2 个小组 ” 包含 “ 2 个小组 ” 和 “ 3 个小组 ” 两种情况，故他属于至少 2个小组的概率为 P 11 10 7 86 7 8 8 10 10 11 35. 12 “ 不超过 2个小组 ” 包含 “ 1个小组 ” 和 “ 2个小组 ” ，其对立事件是 “ 3个小组 ” 故他属于不超过 2个小组的概率是 P 1 86 7 8 8 10 10 11 1315. 5 如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其 中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概 率为 _ 答案 45 解析 记其中被污损的数字为 x，依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是 15(80 290 3 8 9 2 1 0) 90，乙的五次综合测评的平均成绩是 15(80 3 90 2 3 37 x 9) 15(442 x)，令 9015(442 x)，解得 x8，所以 x 的可能取值是 0 7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 810 45. 6 如图， A 地到火车站共有两条路径 2，现随机抽取 100 位 从 A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间 (分钟 ) 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 选择 6 12 18 12 12 选择 0 4 16 16 4 (1)试估计 40 分钟内 不能 赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径 2所用时间落在上表中各时间段内的频率； (3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计 算说明，他们应如何选择各自的路径 解 (1)由已知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12 12 16 444(人 )， 用频率估计相应的概率为 (2)选择 0人，选择 0人， 故由调查结果得频率为 所用时间 (分钟 ) 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 2的频率 0 3)设 1和 40 分钟内赶到火车站； 示乙选择 2时，在 50分钟内赶到火车站 13 由 (2)知 P( P( P( P( 甲应选择 同理， P( P( P( P( 乙应选择 1 典概型 1 古典概型 具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典的概率模型，简称古典概型 (1)试验的所有可能结果 只有有限个 ，每次试验只出现其中的一个结果 (2)每一个试验结果出现的可能性 相等 2 古典概型的概率公式 P(A) 事件 1 判断下面结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “” ) (1)“ 在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽 ” 属于古典概型，其基本事件是 “ 发芽与不发芽 ” ( ) (2)掷一枚硬币两次，出现 “ 两个正面 ”“ 一正一反 ”“ 两个反面 ” ，这三个结果是等可能事件 ( ) (3)从市场上出售的标准为 5005 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型 ( ) 2 (2013江西 )集合 A 2,3， B 1,2,3，从 A、 B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4 的概率是 ( ) 案 C 解析 从 A、 有 6种情形， 两数和等于 4的情形只有 (2,2)， (3,1)两种， P 26 13. 3 一个口袋内装有 2 个白球和 3 个黑球，则先摸出 1 个白球后放回的条件下，再摸出 1 个白球的概 率是 ( ) 案 C 2 解析 先摸出 1个白球后放回，再摸出 1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有 2个白球和 3个黑球，因此概率为 25. 4 (2013重庆 )若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 _ 答案 23 解析 甲、乙、丙三人随机地站成一排 ，共有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共 6种排法，其中甲、乙两人相邻而站共甲、乙、丙，乙、甲、丙，丙、甲、乙，丙、乙、甲 4种排法，故 P 46 23. 5 从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字中，任取 2 个数字相加，其和为偶数的概率是 _ 答案 25 解析 从 6个数中任取 2个数的可能情况有 (1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6)， (2,3)， (2,4)，(2,5)， (2,6)， (3,4)， (3,5)， (3,6)， (4,5)， (4,6)， (5,6)，共 15 种，其中和为偶数的情况有(1,3)， (1,5)， (2,4)， (2,6)， (3,5)， (4,6)，共 6种，所以所求的概率是 25. 题型一 基本事件与古典概型的判断 例 1 袋中有大小相同的 5 个白球， 3 个黑球和 3 个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸 出一个球 (1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？ (2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？ 思维启迪 判断一个概率模型是否为古典概型的依据是古典概型的 “ 有限性 ” 和 “ 等可能性 ” 解 (1)由于共有 11 个球，且每个球有不同的编号，故共有 11 种不同的摸法 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等， 故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型 (2)由于 11 个球共有 3种颜色 ，因此共有 3个基本事件，分别记为 A： “ 摸到白球 ” ， B：“ 摸到黑球 ” ， C： “ 摸到红球 ” ， 又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为 111，而白球有 5个， 3 故一次摸球摸到白球的可能性为 511， 同理可知摸到黑球、红球的可能性均为 311， 显然这三个基本事件出现的可能性不相等， 所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型 思维升华 古典概型需满足两个条件： 对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果； 对于所有不同 的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的 (1)下列问题中是古典概型的是 ( ) A种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率 B掷一颗质地不均匀的骰子，求出现 1 点的概率 C在区间 1,4上任取一数，求这个数大于 概率 D同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是 5 的概率 (2)将一枚硬币抛掷三次共有 _种结果 答案 (1)D (2)8 解析 (1)A、 无限多个； 是有限个 (2)设出现正面为 1，反面为 0，则共有 (1,1,1)， (1,1,0)， (1,0,1)， (1,0,0)， (0,1,1)， (0,1,0)，(0,0,1)， (0,0,0)8种结果 题型二 古典概型的概率 例 2 (2013山东 )某小组共有 A， B， C， D， E 五位同学，他们的身高 (单位：米 )及体重指标 (单位：千克 /米 2)如下表所示： A B C D E 身高 重指标 1)从该小组身高低于 同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 下的概率； (2)从该小组同学中任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 上且体重指标都在的概率 思维启迪 计算基本事件总数或计算某一事件包含的基本事件数时，可以用列举的方法，列举时要不重不漏 解 (1)从身高低于 名同学中任选 2人，其一切可能的结果组成的基本事件有 (A，B)， (A， C)， (A， D)， (B， C)， (B， D)， (C， D)共 6 个设 “ 选到的 2人身高都在 为事件 M，其包括事件有 3个，故 P(M) 36 12. 4 (2)从小组 5名同学中任选 2人，其一切可能的结果组成的基本事件有 (A， B)， (A， C)，(A， D)， (A， E)， (B， C)， (B， D)， (B， E)， (C， D)， (C， E)， (D， E)共 10个 设 “ 选到的 2 人的身高都在 上且体重指标都在 为事件 N，且事件 C， D)， (C， E)， (D， E)共 3个则 P(N) 310. 思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择 (1)(2012上海 )三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 _(结果用最简分数表示 ) (2)有 5 本不同的书 ，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 _ 答案 (1)23 (2)25 解析 (1)三位同学每人选择三项中的两项有 3 3 3 27(种 )选法， 其中有且仅有两人所选项目完全相同的有 3 3 2 18(种 )选法 所求概率为 P 1827 23. (2)第一步先排语文书有 2(种 )排法第二步排物理书，分成两类一类是物理书放在语文书之间，有 1种排法，这时数学书可从 4个空中选两个进行排列，有 12(种 )排法；一类是物理书不放在语文书之间有 2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有 3种排法因此同一科目的书都不相邻共有 2 (12 2 2 3) 48(种 )排法，而 5本书全排列共 有 120(种 )，所以同一科目的书都不相邻的概率是 48120 25. 题型三 古典概型与统计的综合应用 例 3 (2013陕西 )有 7 位歌手 (1 至 7 号 )参加一场歌唱比赛，由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下： 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (1)为了 调查评委对 7 位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从 B 组中抽取了 6 人请将其余各组抽取的人数填入下表 . 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 5 (2)在 (1)中，若 A， B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人，求这 2 人都支持 1 号歌手的概率 思维启迪 各组抽取人数的比率是相等的，因此，由 解 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为 6%，所以各组抽取的人数如 下表： 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 3 6 9 9 3 (2)记从 个评委为 中 号歌手；从 个评委为 中 号歌手从 b2，各抽取 1人的所有结果为 由以上树状图知所有结果共 18种，其中 2人都支持 1号歌手的有 种，故所求概率 P 418 29. 思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决 为了解学生身高情况，某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下： (1)估计该校男生的人数； (2)估计该校学生身高在 170 185 间的概率； (3)从样本中身高在 180 190 间的男生中任选 2 人，求至少有 1 人身高在 185 190 间的概率 解 (1)样本中男生人数为 40，由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为 400. (2)由统计图知，样本中身高在 170 185 间的学生有 14 13 4 3 1 35(人 )，样本容量为 70，所以样本中学生身高在 170 185 f 3570 70 185 6 (3)样本中身高在 180 185 人，设其编号为 ，样本中身高在185 190 人，设其编号为 . 从上述 6人中任选 2人的树状图为 故从样本中身高在 180 190 人的所有可能结果数为 15，至少有1人身高在 185 190 ，因此，所求概率 P 915 六审细节更完善 典例： (12 分 )一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，求 概率是 ( ) A. 512 B. 712 案 A 解析 (m， n)( 1,1) m 基本事件总共有 6 6 36(个 )，符合要求的有 (2,1)， (3,1)， (3,2)， (4,1)， (4,2)， (4,3)， (5,1)， ，(5,4)， (6,1)， ， (6,5)，共 1 2 3 4 5 15(个 ) P 1536 512，故选 A. 二、填空题 6 将一颗骰子投掷两次分别得到点数 a， b，则直线 0 与圆 (x 2)2 2 相交的概率为 _ 答案 512 解析 圆心 (2,0)到直线 0的距离 d |2a| 当 足 ba 的，共有 15 种情况，因此直线 0 与圆 (x 2)2 2 相交的概率为 1536 512. 7 (2013江苏 )现有某类病毒记作 中正整数 m， n(m 7， n 9)可以任意选取，则 m，n 都取到奇数的概率为 _ 答案 2063 解析 P 4 57 9 2063. 8 用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是 _ 11 答案 14 解析 由于只有两种颜色，不妨将其设为 1和 2，若只用一种 颜色有 111； 222. 若用两种颜色有 122； 212； 221； 211； 121； 112. 所以基本事件共有 8种 又相邻颜色各不相同的有 2种，故所求概率为 14. 三、解答题 9 设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m， n，令平面向量 a (m， n)， b (1， 3) (1)求使得事件 “ a b” 发生的概率； (2)求使得事件 “ |a| |b|” 发生的概率 解 (1)由题意知， m 1,2,3,4,5,6， n 1,2,3,4,5,6， 故 (m， n)所有可能的取法共 36种 a b，即 m 3n 0，即 m 3n，共有 2种： (3,1)、 (6,2)， 所以事件 a 36 118. (2)|a| |b|，即 10，共有 (1,1)、 (1,2)、 (1,3)、 (2,1)、 (2,2)、 (3,1)6种，其概率为 636 16. 10 (2013天津 )某产品的三个质量指标分别为 x， y， z，用综合指标 S x y z 评价该产品的等级若 S 4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取 10 件产品作为样本，其质量指标列 表如下： 产品编号 2 4 量指标(x， y， z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号 7 9 量指标(x， y， z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取 2 件产品 用产品编号列出所有可能的结果； 设事件 B 为 “ 在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都等于 4” ，求事 件 B 发生的概率 解 (1)计算 10件产品的综合指标 S，如下表： 12 产品编号 2 4 6 8 10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中 S 4 的有 6 件，故该样本的一等品率为 610 而可估计该批产品的一等品率为 (2) 在该样本的一等品中，随机抽取 2 件产品的所有可能结果为 共 15种 在该样本的一等品中，综合指标 的产品编号分别为 事件B 发生的所有可能结果为 7，共 6种所以 P(B) 615 25. B 组 专项能力提升 (时间： 30分钟 ) 1 从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它 们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 ( ) A. 110 案 D 解析 如图所示， 从正六边形 个顶点中随机选 4个顶点， 可以看作随机选 2个顶点，剩下的 4个顶点构成四边形，有 A、
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