【步步高】2015届高考数学总复习 第五章课件 理（打包5套）北师大版
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【步步高】2015届高考数学总复习 第五章课件 理（打包5套）北师大版,步步高,高考,数学,复习,温习,第五,课件,打包,北师大
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面向量的概念及 线性运算 数学 北（理） 第五章 平面向量 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有 又有 的量；向量的大小叫做向量的 ( 或称 ) 平面向量是自由向量 零向量 长度为 的向量；其方向是任意的 记作 单位向量 长度 为 的向量 非零向量 a|a |大小 方向 长度 零 0 单位 1 模 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线 ，则称这两个向量平行或共线 0 与任一向量 或共线 相等向量 长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度 且方向 的向量 0 的相反向量为 0 平行或重合 平行 相等 相同 相等 相反 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 2 向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 ( 或几何意义 ) 运算律 加法 求两个向量和的运算 ( 1) 交换律： a b . ( 2) 结合律： ( a b ) c . b a a (b c) 三角形 平行四边形 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 减 法 求两个向量差的运算 法则 a b a ( b ) 数 乘 求实数 与向量 ( 1) | a | ； ( 2) 当 0 时， a 的方向与 a 的方向 ；当 0 时， a 的方向与 a 的方向 ；当 0时， a ( a ) ； ( ) a ； ( a b ) |a| 相同 相反 0 ()a a a a b 三角形 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 3 向量共线的判定定理 a 是一个非零向量，若存在一个实数 ，使得 b a ，则向量 b 与非零向量 a 共线 题号 答案 解析 1 2 3 4 5 C 础知识 自主学习 A ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 夯实基础 突破疑难 夯基释疑 型分类 深度剖析 题型一 平面向量的概念辨析 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 1 】 给出下列命题： 若 | a | | b |，则 a b ； 若 A ，B ， C ， D 是不共线的四点，则 四边形 平行四边形的充要条件； 若 a b ， b c ，则 a c ； a b 的充要条件是 | a | | b |且 a b . 其中正确命题的序号是 _ _ 【 例 1 】 给出下列命题： 若 | a | | b |，则 a b ； 若 A ，B ， C ， D 是不共线的四点，则 四边形 平行四边形的充要条件； 若 a b ， b c ，则 a c ； a b 的充要条件是 | a | | b |且 a b . 其中正确命题的序号是 _ _ 题型分类 深度剖析 正确理解向量的概念，向量共线和点共线的区别，向量相等的定义是解题关键 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型一 平面向量的概念辨析 【 例 1 】 给出下列命题： 若 | a | | b |，则 a b ； 若 A ，B ， C ， D 是不共线的四点，则 四边形 平行四边形的充要条件； 若 a b ， b c ，则 a c ； a b 的充要条件是 | a | | b |且 a b . 其中正确命题的序号是 _ _ 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型一 平面向量的概念辨析 解析 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确 ， | |且 ， 又 A ， B ， C ， D 是不共线的四点， 四边形 D 为平行四边形； 反之，若四边形 D 为平行四边形， 则 且 | |，因此， . 故 “ ” 是 “ 四边形 D 为平行四边形 ” 的充要条件 【 例 1 】 给出下列命题： 若 | a | | b |，则 a b ； 若 A ，B ， C ， D 是不共线的四点，则 四边形 平行四边形的充要条件； 若 a b ， b c ，则 a c ； a b 的充要条件是 | a | | b |且 a b . 其中正确命题的序号是 _ _ 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型一 平面向量的概念辨析 正确 a b ， a ， b 的长度相等且方向相同；又 b c ， b ， c 的长度相等且方向相同， a ， c 的长度相等且方向相同，故 a c . 不正确当 a b 且方向相反时，即使 | a | | b |， 也不能得到 a b ， 故 “ | a | | b |且 a b ” 不是 “ a b ” 的充要条件，而是必要不充分条件 综上所述，正确命题的序号是 . 【 例 1 】 给出下列命题： 若 | a | | b |，则 a b ； 若 A ，B ， C ， D 是不共线的四点，则 四边形 平行四边形的充要条件； 若 a b ， b c ，则 a c ； a b 的充要条件是 | a | | b |且 a b . 其中正确命题的序号是 _ _ 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型一 平面向量的概念辨析 【 例 1 】 给出下列命题： 若 | a | | b |，则 a b ； 若 A ，B ， C ， D 是不共线的四点，则 四边形 平行四边形的充要条件； 若 a b ， b c ，则 a c ； a b 的充要条件是 | a | | b |且 a b . 其中正确命题的序号是 _ _ 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 答案 思维升华 ( 1) 相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 ( 2) 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关 ( 3) 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图像的移动混为一谈 ( 4) 非零向量 a 与a| a |的关系：a| a |是 a 方向上的单位向量 题型一 平面向量的概念辨析 跟踪训练 1 给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 a 0 ( 为实数 ) ，则 必为零 ， 为实数，若 a b ，则 a 与 b 共线 其中错误命题的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点 题型分类 深度剖析 正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小 错误当 a 0 时，不论 为何值， a 0 . 错误当 0 时， a b ，此时， a 与 b 可以是任意向量 C 题型分类 深度剖析 题型二 平面向量的线性运算 【 例 2 】 (1) 如图，正方形 ，点 E 是 中点，点 F 是 一个 三等分点，那么 于 ( ) 131212232) 在 A B C 中， c ， b ，若点 D 满足 2 则 于 ( ) 13c 23b 13c 23c 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 2 】 (1) 如图，正方形 ，点 E 是 中点，点 F 是 一个 三等分点，那么 于 ( ) 131212232) 在 A B C 中， c ， b ，若点 D 满足 2 则 于 ( ) 13c 23b 13c 23c 题型分类 深度剖析 结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减法运算的关键 题型二 平面向量的线性运算 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 2 】 (1) 如图，正方形 ，点 E 是 中点，点 F 是 一个 三等分点，那么 于 ( ) 131212232) 在 A B C 中， c ， b ，若点 D 满足 2 则 于 ( ) 13c 23b 13c 23c 题型分类 深度剖析 题型二 平面向量的线性运算 思维启迪 解析 答案 思维升华 ( 1) 在 中，有 因为点 E 为 中点，所以 12 因为点 F 为 一个三等分点，所以 23 所以 12 23 12 23 12 23 故选 D. ( 2) 2 2 2( ， 3 2 ， 23 13 23 b 13 c . 【 例 2 】 (1) 如图，正方形 ，点 E 是 中点，点 F 是 一个 三等分点，那么 于 ( ) 131212232) 在 A B C 中， c ， b ，若点 D 满足 2 则 于 ( ) 13c 23b 13c 23c 题型分类 深度剖析 题型二 平面向量的线性运算 D A 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 2 】 (1) 如图，正方形 ，点 E 是 中点，点 F 是 一个 三等分点，那么 于 ( ) 131212232) 在 A B C 中， c ， b ，若点 D 满足 2 则 于 ( ) 13c 23b 13c 23c 题型分类 深度剖析 ( 1) 解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加 减法相互转化 题型二 平面向量的线性运算 ( 2) 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： 观察各向量的位置； 寻找相应的三角形或多边形； 运用法则找关系； 化简结果 思维启迪 解析 答案 思维升华 D A 跟踪训练 2 ( 1) 已知 O ， A ， B 是平面上的三个点，直线 有一点 C ，满足 2 0 ，则 于 ( ) A 2 2 2313 1323 2) 设 P 是 在平面内的一点， 2 则 ( ) A 0 B 0 C 0 D 0 题型分类 深度剖析 解析 ( 1 ) 由 2 0 得 2 2 0 ， 2 2 . A 跟踪训练 2 ( 1) 已知 O ， A ， B 是平面上的三个点，直线 有一点 C ，满足 2 0 ，则 于 ( ) A 2 2 2313 1323 2) 设 P 是 在平面内的一点， 2 则 ( ) A 0 B 0 C 0 D 0 题型分类 深度剖析 ( 2) 如图，根据向量加法的几何意义有 2 P 是 中点， 故 0 . A B 题型分类 深度剖析 【 例 3 】 设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1) 若 a b ， 2 a 8 b ， 3( a b ) ，求证： A 、 B 、 D 三点共线； (2) 试确定实数 k ，使 k a b 和 a k b 共线 题型三 共线向量定理及应用 思维启迪 解析 思维升华 【 例 3 】 设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1) 若 a b ， 2 a 8 b ， 3( a b ) ，求证： A 、 B 、 D 三点共线； (2) 试确定实数 k ，使 k a b 和 a k b 共线 题型分类 深度剖析 解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行 题型三 共线向量定理及应用 思维启迪 解析 思维升华 【 例 3 】 设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1) 若 a b ， 2 a 8 b ， 3( a b ) ，求证： A 、 B 、 D 三点共线； (2) 试确定实数 k ，使 k a b 和 a k b 共线 题型分类 深度剖析 题型三 共线向量定理及应用 思维启迪 解析 思维升华 ( 1) 证明 a b ， 2 a 8 b ， 3( a b ) ， 2 a 8 b 3( a b ) 2 a 8 b 3 a 3 b 5( a b ) 5 . 、 共线，又 它们有公共点 B ， A 、 B 、 D 三点共线 ( 2) 解 k a b 与 a k b 共线， 存在实数 ，使 k a b ( a k b ) ， 即 k a b a k b . ( k ) a ( k 1) b . a 、 b 是不共线的两个非零向量， k k 1 0 ， k 2 1 0. k 1. 【 例 3 】 设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1) 若 a b ， 2 a 8 b ， 3( a b ) ，求证： A 、 B 、 D 三点共线； (2) 试确定实数 k ，使 k a b 和 a k b 共线 题型分类 深度剖析 ( 1) 证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 题型三 共线向量定理及应用 ( 2) 向量 a 、 b 共线是指存在不全为零的实数 1 ， 2 ，使 1 a 2 b 0 成立，若 1 a 2 b 0 ，当且仅当 1 2 0 时成立，否则向量 a 、 b 不共线 思维启迪 解析 思维升华 题型分类 深度剖析 跟踪训练 3 ( 1) 在平行四边形 ， 交于点 O ，E 是线段 中点， 延长线与 于点 F ，若 a ， b ，则 于 ( ) A 14a 12b B 23a 13b C 12a 14b D 13a 23b ( 2) 已知向量 a 、 b 、 c 中任意两个都不共线，并且 a b 与 c 共线，b c 与 a 共线，那么 a b c 等于 ( ) A a B b C c D 0 题型分类 深度剖析 解析 ( 1) 如图， ，由题意知， 1 3 13 ， 12 a 12 b 13 (12 a 12 b ) 23 a 13 b . ( 2) a b 与 c 共线， a b 1 c . 又 b c 与 a 共线， b c 2 a . 由 得： b 1 c a . b c 1 c a c ( 1 1) c a 2 a ， 1 1 0 2 1 ，即 1 1 2 1 ， a b c c c 0 . 答案 ( 1 ) B ( 2 ) D 典例： ( 12 分 ) 如图所示，在 ， 14 ， 12 ， 交于点 M ，设 a ， b . 试用 a 和 b 表示向量 . 思维启迪 规范解答 温 馨 提 醒 思想与方法系列 8 方程思想在平面向量的线性运算中的应用 题型分类 深度剖析 典例： ( 12 分 ) 如图所示，在 ， 14 ， 12 ， 交于点 M ，设 a ， b . 试用 a 和 b 表示向量 . (1) 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去 思想与方法系列 8 方程思想在平面向量的线性运算中的应用 (2) 既然 能用 a 、 b 表示，那我们不妨设出 m a n b . (3) 利用向量共线建立方程，用方程的思想求解 思维启迪 规范解答 温 馨 提 醒 题型分类 深度剖析 典例： ( 12 分 ) 如图所示，在 ， 14 ， 12 ， 交于点 M ，设 a ， b . 试用 a 和 b 表示向量 . 题型分类 深度剖析 解 设 m a n b ，则 m a n b a ( m 1) a n b . 思想与方法系列 8 方程思想在平面向量的线性运算中的应用 12 a 12 b . 思维启迪 规范解答 温 馨 提 醒 3分 又 A 、 M 、 D 三点共线， 与 共线 存在实数 t，使得 ，即 ( m 1) a n b t a 12 b . 5分 ( m 1) a n b t a 12 t b . m 1 消去 t 得， m 1 2 n ， 即 m 2 n 1. 7分 典例： ( 12 分 ) 如图所示，在 ， 14 ， 12 ， 交于点 M ，设 a ， b . 试用 a 和 b 表示向量 . 题型分类 深度剖析 思想与方法系列 8 方程思想在平面向量的线性运算中的应用 思维启迪 规范解答 温 馨 提 醒 又 m a n b 14 a m 14 a n b ， b 14 a 14 a b . 又 C 、 M 、 B 三点共线， 与 共线 10分 存在实数 t 1 ，使得 t 1 ， m 14 a n b t 1 14 a b ， 典例： ( 12 分 ) 如图所示，在 ， 14 ， 12 ， 交于点 M ，设 a ， b . 试用 a 和 b 表示向量 . 题型分类 深度剖析 思想与方法系列 8 方程思想在平面向量的线性运算中的应用 思维启迪 规范解答 温 馨 提 醒 m 14 14 t 1n t 1，消去 t 1 得， 4 m n 1. 由 得 m 17 ， n 37 ， 17 a 37 b . 12分 典例： ( 12 分 ) 如图所示，在 ， 14 ， 12 ， 交于点 M ，设 a ， b . 试用 a 和 b 表示向量 . 题型分类 深度剖析 题型分类 深度剖析( 1) 本题考查了向量的线性运算，知识要点清晰，但解题过程复杂，有一定的难度 ( 2) 易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解 3) 数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“ 形 ” 的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧如本题易忽视 A 、 M 、D 三点共线和 B 、 M 、 C 三点共线这个几何特征 ( 4) 方程思想是解决本题的关键，要注意体会 . 思维启迪 规范解答 温 馨 提 醒 思想与方法系列 8 方程思想在平面向量的线性运算中的应用 1 向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是 “ 首尾相接，指向终点 ” ；向量减法的三角形法则要素是 “ 起点重合，指向被减向量 ” ；平行四边形法则要素是 “ 起点重合 ” 方 法 与 技 巧 2 可以运用向量共线证明线段平行或三点共线如 且 共线，则 若 ，则 A 、 B 、 C 三点共线 思想方法 感悟提高 1 解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性 失 误 与 防 范 2 在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误 思想方法 感悟提高 练出高分 专项基础训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 下列命题中正确的是 ( ) A a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线 B 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C 向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量 D 有相同起点的两个非零向量不平行 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析 由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确； 由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以 B 不正确； 向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D 不正确； 对于 C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设 a 与 b 不都是非零向量 ，即 a 与 b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知 a 与 b 共线，符合已知条件，所以有向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量，故选 C. 答案 C 2 已知 a 2 b ， 5 a 6 b ， 7 a 2 b ，则下列一定共线的三点是 ( ) A A 、 B 、 C B A 、 B 、 D C B 、 C 、 D D A 、 C 、 D 专项基础训练 练出高分 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 解析 2 a 4 b 2 A 、 B 、D 三点共线 B 3 已知 点 M 满足 0 ，若存在实数 B m 立，则 m 等于 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 专项基础训练 练出高分 1 2 4 5 6 7 8 9 10 3 解析 由已知条件得 . 如图，因此延长 D 点，则 D 为 中点延长 E 点，延长 F 点，同理可证 E 、 F 分别为 中点，即 M 为 重心 23 13 ( ) ，即 3 ，则 m 3. B 专项基础训练 练出高分 4 已知点 O 为 外接圆的圆心，且 0 ，则 内角 A 等于 ( ) A 30 B 60 C 90 D 120 1 2 3 5 6 7 8 9 10 4 解析 由 0 ，知点 O 为 重心， 又 O 为 A 接圆的圆心， 等边三角形， A 60 . B 5 在 A ， 2 ， 3 ， 60 ， 上的高， O 为 中点，若 则 等于 ( ) A 1 B 12C 13D 23专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 解析 13 ， 2 13 ，即 12 16 . 故 12 16 23 . D 6 设向量 e 1 ， e 2 不共线， 3( e 1 e 2 ) ， e 2 e 1 ， 2 e 1 e 2 ，给出下列结论： A ， B ， C 共线； A ， B ，D 共线； B ， C ， D 共线； A ， C ， D 共线，其中所有正确结论的序号为 _ 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 7 8 9 10 6 解析 4 e 1 2 e 2 ， 3 e 1 ， 由向量共线的充要条件 b a ( a 0 ) 可得 A ， C ， D 共线，而其他 无解 7 在 ， a ， b ， 3 ， M 为 的中点，则 _.( 用 a ， b 表示 ) 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 8 9 10 7 解析 由 3 得 34 34 ( a b ) ， a 12 b ，所以 34 ( a b ) a 12 b 14 a 14 b . 14 a 14 b 8 在 ，已知 D 是 上一点，若 2 ，13 ，则 _. 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 9 10 8 解析 由图知 ， ， 且 2 0 . 2 得： 3 2 ， 13 23 ， 23 . 23 9 已知向量 a 2 e 1 3 e 2 ， b 2 e 1 3 e 2 ，其中 e 1 、 e 2 不共线，向量 c 2 e 1 9 e 2 、 ，使向量 d a b 与 c 共线？ 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 10 9 解 d (2 e 1 3 e 2 ) (2 e 1 3 e 2 ) (2 2 ) e 1 ( 3 3 ) e 2 ， 要使 d 与 c 共线，则应有实数 k ，使 d k c ， 即 (2 2 ) e 1 ( 3 3 ) e 2 2 k e 1 9 k e 2 ， 即 2 2 2 k ， 3 3 9 k ，得 2 . 故存在这样的实数 、 ，只要 2 ，就能使 d 与 c 共线 10 如图所示，在 A ， D 、 F 分别是 中点， 23 a ， b . ( 1) 用 a 、 b 表示向量 ( 2) 求证： B ， E ， F 三点共线 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ( 1) 解 延长 G ，使 12 ， 连接 得到 C ，所以 a b ， 12 12 ( a b ) ， 23 13 ( a b ) ， 12 12 b ， 10 如图所示，在 A ， D 、 F 分别是 中点， 23 a ， b . ( 1) 用 a 、 b 表示向量 ( 2) 求证： B ， E ， F 三点共线 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 ( a b ) a 13 ( b 2 a ) 12 b a 12 ( b 2 a ) ( 2) 证明 由 ( 1) 可知 23 ， 因为有公共点 B ，所以 B ， E ， F 三点共线 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 5 1 专项 能力提升 练出高分 1 设 O 在 内部， D 为 中点，且 2 0 ，则 面积与 面积的比值为 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 2 3 4 5 1 解析 D 为 中点， 则 12 ( ) ， 又 2 0 ， ， O 为 中点， 又 D 为 点， S 12 S 14 S 则 S 4. B 专项 能力提升 练出高分 2 O 是平面上一定点， A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足： ， 0 ， ) ，则 P 的轨迹一定通过 的 ( ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 3 4 5 1 2 解析 作 平分线 |， | |( 0 ， ) ， 2 O 是平面上一定点， A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足： ， 0 ， ) ，则 P 的轨迹一定通过 的 ( ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 专项 能力提升 练出高分 3 4 5 1 2 | | ， . P 的 轨迹一定通过 内心 B 专项 能力提升 练出高分 3 如图所示，在 中，点 O 是 中点过点 O 的直线分别交直线 不同的两点 M 、 N ， 若 m n 则 m n 的值为 _ 2 4 5 1 3 解析 O 是 中点， 12 ( ) 又 m ， n ， M N . M ， O ， N 三点共线， 1. 则 m n 2. 2 专项 能力提升 练出高分 4 设 a ， b 是两个不共线的非零向量，若 a 与 b 起点相同， t R ，t 为何值时， a ， t b ，13 ( a b ) 三向量的终点在一条直线上？ 2 3 5 1 4 解 设 a ， t b ， 13 ( a b ) 若 A ， B ， C 三点共线，则有 ， ( ) ， t b a 13 ( a b ) a 化简整理得， (23 1) a (13 t ) b ， a 与 b 不共线，由平面向量基本定理得 32 且 t12 . 故当 t 12 时， a ， t b ， 13 ( a b ) 三向量的终点在一条直线上 专项 能力提升 练出高分 5 已知 O ， A ， B 是不共线的三点，且 m n m ， n R) ( 1) 若 m n 1 ，求证： A ， P ， B 三点共线； ( 2) 若 A ， P ， B 三点共线，求证： m n 1. 2 3 4 1 5 证明 ( 1) 若 m n 1 ， 则 m (1 m ) m ( ) ， m ( ) ， 即 m ， 与 共线 又 与 有公共点 B ，则 A 、 P 、 B 三点共线， 5 已知 O ， A ， B 是不共线的三点，且 m n m ， n R) ( 1) 若 m n 1 ，求证： A ， P ， B 三点共线； ( 2) 若 A ， P ， B 三点共线，求证： m n 1. 专项 能力提升 练出高分 2 3 4 1 5 ( 2) 若 A ， P ， B 三点共线，则存在实数 ，使 ， ( ) 又 m n . 故有 m ( n 1) ， 即 ( m ) ( n 1) 0 . O ， A ， B 不共线， ， 不共线， m 0 ，n 1 0 ， m n 1. 面向量基本定理及 坐标表示 数学 北（理） 第五章 平面向量 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 1 平面向量基本定理 如果 e 1 、 e 2 是同一平面内的两个 向量，那么对于 这一平面内的任一向量 a ， 一对实数 1 、 2 ，使 a . 我们把不共线的向 量 e 1 ， e 2 叫作表示这一平面内所有向量的一组 不共线 存在唯一 基底 1 e 1 2 e 2 基础知识 自主学习 知识回顾 理清教材 要点梳理 2 平面向量的坐标运算 (1) 向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a ( ， b ( ，则 a b ， a b ， a ， | a | . (2) 向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A ( ， B ( ，则 ， | . 3 平面向量共线的坐标表示 设 a ( ， b ( ，其中 b 0 . a b . ( ( (x 1， y 1 ) x 21 y 21 ( x 2 x 1 ， y 2 y 1 ) x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 x 1 y 2 x 2 y 1 0 题号 答案 解析 1 2 3 4 5 C 基础知识 自主学习 D ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 夯实基础 突破疑难 夯基释疑 (5) 13 题型分类 深度剖析 【 例 1 】 在 ，点 B 上一点，且 2313 Q 是 中点， P 的交点为 M ，又 t 试求 t 的值 思维启迪 解析 思维升华 题型一 平面向量基本定理的应用 【 例 1 】 在 ，点 B 上一点，且 2313 Q 是 中点， P 的交点为 M ，又 t 试求 t 的值 题型分类 深度剖析 根据题意可选择 一组基底，将 性表示出来，通过 t 立关于 t 的方程组，从而求出 t 的值 思维启迪 解析 思维升华 题型一 平面向量基本定理的应用 【 例 1 】 在 ，点 B 上一点，且 2313 Q 是 中点， P 的交点为 M ，又 t 试求 t 的值 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 思维升华 题型一 平面向量基本定理的应用 解 23 13 ， 3 2 ， 即 2 2 ， 2 ， 即 P 为 一个三等分点 ( 靠近点 A ) ，如图所示 A ， M ， Q 三点共线， 设 x (1 x ) B ( x 1) ， 而 ， B ( 1) . 又 13 ， 【 例 1 】 在 ，点 B 上一点，且 2313 Q 是 中点， P 的交点为 M ，又 t 试求 t 的值 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 思维升华 题型一 平面向量基本定理的应用 由已知 t 可得，B ( 1) t ( 13 ) ， 1 t，解得 t34 . 【 例 1 】 在 ，点 B 上一点，且 2313 Q 是 中点， P 的交点为 M ，又 t 试求 t 的值 题型分类 深度剖析 平面向量基本定理表明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的 “ 唯一性 ” 可建立方程组求解 思维启迪 解析 思维升华 题型一 平面向量基本定理的应用 跟踪训练 1 如图，在 ， 13 P 是 m 211则实数 m 的值为_ 题型分类 深度剖析 311 解析 设 | y ， | | x ， 则 14 y ， y ， y x 得 y x y ， 令 x y 211 ，得 y 83 x ，代入得 m 311 . 题型分类 深度剖析 题型二 平面向量的坐标运算 【 例 2 】 已知 A (1 ， 2) ， B (2,1) ，C (3,2) ， D ( 2,3) ， (1) 求 2 3 (2) 设 3 2 求 M 、 N 点的坐标 思维启迪 解析 思维升华 【 例 2 】 已知 A (1 ， 2) ， B (2,1) ，C (3,2) ， D ( 2,3) ， (1) 求 2 3 (2) 设 3 2 求 M 、 N 点的坐标 题型分类 深度剖析 (1) 先计算 、 、 的 坐标，然后再运算； (2) 根据向量的坐标相等列方程求点 M ， N 的坐标 题型二 平面向量的坐标运算 思维启迪 解析 思维升华 【 例 2 】 已知 A (1 ， 2) ， B (2,1) ，C (3,2) ， D ( 2,3) ， (1) 求 2 3 (2) 设 3 2 求 M 、 N 点的坐标 题型分类 深度剖析 解 ( 1) A (1 ， 2) ， B ( 2,1) ，C ( 3,2) ， D ( 2,3) ， ( 2 1, 3 2) ( 3, 5) ， ( 2 2,3 1) ( 4, 2) ， (3 2,2 1) ( 1,1 ) ， 2 3 ( 3,5) 2( 4,2) 3( 1,1 ) ( 3 8 3,5 4 3) ( 14,6 ) 题型二 平面向量的坐标运算 思维启迪 解析 思维升华 【 例 2 】 已知 A (1 ， 2) ， B (2,1) ，C (3,2) ， D ( 2,3) ， (1) 求 2 3 (2) 设 3 2 求 M 、 N 点的坐标 题型分类 深度剖析 ( 2) 3 ， 2 ， 2 3 2 3 ， 由 A 、 B 、 C 、 D 点坐标可得 ( 3,2) (1 ， 2) ( 2,4 ) 2( 1, 1) 3( 2, 4) ( 4, 10 ) 设 M ( x M ， y M ) ， N ( x N ， y N ) 又 3 ， 3( ) ， 题型二 平面向量的坐标运算 思维启迪 解析 思维升华 【 例 2 】 已知 A (1 ， 2) ， B (2,1) ，C (3,2) ， D ( 2,3) ， (1) 求 2 3 (2) 设 3 2 求 M 、 N 点的坐标 题型分类 深度剖析 ( x M ， y M ) ( 3,2 ) 3 (1 ， 2) ( 3,2 ) ( 6 ， 12) x M 3 ， y M 10 ， M ( 3 ， 10) 又 2 ， 即 2 ， ( x N ， y N ) ( 3,2 ) 2( 1,1 ) ， x N 1 ， y N 0 ， N ( 1,0 ) 题型二 平面向量的坐标运算 思维启迪 解析 思维升华 【 例 2 】 已知 A (1 ， 2) ， B (2,1) ，C (3,2) ， D ( 2,3) ， (1) 求 2 3 (2) 设 3 2 求 M 、 N 点的坐标 题型分类 深度剖析 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 题型二 平面向量的坐标运算 思维启迪 解析 思维升华 跟踪训练 2 已知 A ( 2,4) ， B (3 ， 1) ， C ( 3 ， 4) 设 a ， b ， c ，且 3 c ， 2 b ， ( 1) 求 3 a b 3 c ； ( 2) 求满足 a m b n c 的实数 m ， n ； ( 3) 求 M 、 N 的坐标及向量 坐标 题型分类 深度剖析 解 由已知得 a (5 ， 5) ， b ( 6 ， 3) ， c ( 1, 8) ( 1) 3 a b 3 c 3( 5 ， 5) ( 6 ， 3) 3( 1,8) ( 15 6 3 ， 15 3 24) (6 ， 42) ( 2) m b n c ( 6 m n ， 3 m 8 n ) ， 6 m n 5 ， 3 m 8 n 5 ， 解得 m 1 ，n 1. 跟踪训练 2 已知 A ( 2,4) ， B (3 ， 1) ， C ( 3 ， 4) 设 a ， b ， c ，且 3 c ， 2 b ， ( 1) 求 3 a b 3 c ； ( 2) 求满足 a m b n c 的实数 m ， n ； ( 3) 求 M 、 N 的坐标及向量 坐标 题型分类 深度剖析 ( 3) 设 O 为坐标原点， 3 c ， 3 c ( 3,24 ) ( 3 ， 4) ( 0,20 ) M ( 0, 20 ) 又 2 b ， 2 b ( 12, 6) ( 3 ， 4) ( 9,2 ) ， N ( 9,2 ) (9 ， 18) 题型分类 深度剖析 【 例 3 】 (1) 已知梯形 其中 且 2 三个顶点 A (1,2) ， B (2,1) ， C ( 4,2) ，则点 _ (2) 已知向量 a (3,1) ， b (1,3) ， c ( k, 7) ，若 ( a c ) b ，则 k _. 题型三 向量共线的坐标表示 思维启迪 解析 答案 思维升华 【 例 3 】 (1) 已知梯形 其中 且 2 三个顶点 A (1,2) ， B (2,1) ， C ( 4,2) ，则点 _ (2) 已知向量 a (3,1) ， b (1,3) ， c ( k, 7) ，若 ( a c ) b ，则 k _. 题型分类 深度剖析 (1) 根据向量共线列式求相关点的坐标； (2) 根据向量共线求参数 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型三 向量共线的坐标表示 【 例 3 】 (1) 已知梯形 其中 且 2 三个顶点 A (1,2) ， B (2,1) ， C ( 4,2) ，则点 _ (2) 已知向量 a (3,1) ， b (1,3) ， c ( k, 7) ，若 ( a c ) b ，则 k _. 题型分类 深度剖析 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型三 向量共线的坐标表示 解析 ( 1) 在梯形 D 中， 2 2 . 设点 D 的坐标为 ( x ， y ) ， 则 ( 4,2) ( x ， y ) (4 x, 2 y ) ， ( 2,1) ( 1,2) (1 ， 1) ， (4 x, 2 y ) 2 ( 1 ， 1) ，即 (4 x, 2 y ) (2 ， 2) ， 4 x 22 y 2 ，解得 x 2y 4 ，故点 D 的坐标为 ( 2,4) ( 2) 依题意得 a c ( 3,1 ) ( k, 7) (3 k ， 6) ， 又 ( a c ) b ， 故 3 63 ， k 5. 【 例 3 】 (1) 已知梯形 其中 且 2 三个顶点 A (1,2) ， B (2,1) ， C ( 4,2) ，则点 _ (2) 已知向量 a (3,1) ， b (1,3) ， c ( k, 7) ，若 ( a c ) b ，则 k _. 题型分类 深度剖析 (2,4) 5 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型三 向量共线的坐标表示 【 例 3 】 (1) 已知梯形 其中 且 2 三个顶点 A (1,2) ， B (2,1) ， C ( 4,2) ，则点 _ (2) 已知向量 a (3,1) ， b (1,3) ， c ( k, 7) ，若 ( a c ) b ，则 k _. 题型分类 深度剖析 ( 1) 两平面向量共线的充要条件有两种形式： 若 a ( x 1 ， y 1 ) ，b ( x 2 ， y 2 ) ，则 a b 的充要条件是 x 1 y 2 x 2 y 1 0 ； 若a b ( a 0 ) ，则 b a . ( 2) 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求 解 思维启迪 解析 答案 思维升华 题型三 向量共线的坐标表示 (2,4) 5 题型分类 深度剖析 跟踪训练 3 ( 1) 已知向量 a ( 1,2) ， b ( 1,0) ， c ( 3,4) 若 为实数，( a b ) c ，则 等于 ( ) A 14B 12C 1 D 2 ( 2) 已知向量 (3 ， 4) ， (6 ， 3) ， (5 m ， 3 m ) ，若点 A 、 B 、 C 能构成三角形，则实数 m 满足的条件是 _ B 解析 ( 1) a ( 1,2 ) ， b ( 1,0 ) ， a b ( 1,2 ) ( 1,0 ) (1 ， 2) ， 由于 ( a b ) c ，且 c ( 3,4 ) ， 4( 1 ) 6 0 ，解得 12 . ( 2) 因为 (3 ， 4) ， (6 ， 3) ， (5 m ， 3 m ) ， 所以 ( 3, 1) ， ( m 1 ， m ) 跟踪训练 3 ( 1) 已知向量 a ( 1,2) ， b ( 1,0) ， c ( 3,4) 若 为实数，( a b ) c ，则 等于 ( ) A 14B 12C 1 D 2 ( 2) 已知向量 (3 ， 4) ， (6 ， 3) ， (5 m ， 3 m ) ，若点 A 、 B 、 C 能构成三角形，则实数 m 满足的条件是 _ 题型分类 深度剖析 B 由于点 A 、 B 、 C 能构成三角形，所以 与 不共线， 而当 与 共线时，有3 m 1 1 m ，解得 m 12 ， 故当点 A 、 B 、 C 能构成三角形时实数 m 满足的条件是 m 12 . m 12 典例： ( 12 分 ) 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为 ( 1,0 ) ， ( 3,0 ) ，(1 ， 5) ，求第四个顶点的坐标 易错分析 规范解答 温 馨 提 醒 易错警示系列 5 忽视平行四边形的多样性致误 题型分类 深度剖析 典例： ( 12 分 ) 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为 ( 1,0 ) ， ( 3,0 ) ，(1 ， 5) ，求第四个顶点的坐标 题型分类 深度剖析 易错分析 温 馨 提 醒 易错警示系列 5 忽视平行四边形的多样性致误 规范解答 此题极易出现思维定势，认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现漏解实际上，题目条件中只给出平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，可能有三种情形 典例： ( 12 分 ) 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为 ( 1,0 ) ， ( 3,0 ) ，(1 ， 5) ，求第四个顶点的坐标 题型分类 深度剖析 易错分析 温 馨 提 醒 易错警示系列 5 忽视平行四边形的多样性致误 规范解答 解 如图所示， 设 A ( 1,0) ， B ( 3,0) ， C (1 ， 5) ， D ( x ， y ) 2分 若四边形 D 1 为平行四边形， 则 ，而 ( x 1 ， y ) ， ( 2 ， 5) 由 ，得 x 1 2 ，y 5. x 3 ，y 5. D 1 ( 3 ， 5) 5分 典例： ( 12 分 ) 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为 ( 1,0 ) ， ( 3,0 ) ，(1 ， 5) ，求第四个顶点的坐标 题型分类 深度剖析 易错分析 温 馨 提 醒 易错警示系列 5 忽视平行四边形的多样性致误 规范解答 若四边形 A 为平行四边形，则 . 而 ( 4,0) ， ( x 1 ， y 5) x 1 4 ，y 5 0. x 5 ，y 5. D 2 (5 ， 5) 8分 若四边形 A 3 为平行四边形，则 . 而 ( x 1 ， y ) ， ( 2, 5) ， 典例： ( 12 分 ) 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为 ( 1,0 ) ， ( 3,0 ) ，(1 ， 5) ，求第四个顶点的坐标 题型分类 深度剖析 易错分析 温 馨 提 醒 易错警示系列 5 忽视平行四边形的多样性致误 规范解答 x 1 2 ，y 5 ， x 1 ，y 5. D 3 ( 1,5) 11分 综上所 述，平行四边形第四个顶点的坐标为 ( 3 ， 5) 或 (5 ， 5) 或 ( 1,5) 12分 典例： ( 12 分 ) 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为 ( 1,0 ) ， ( 3,0 ) ，(1 ， 5) ，求第四个顶点的坐标 题型分类 深度剖析 题型分类 深度剖析温 馨 提 醒 易错警示系列 5 忽视平行四边形的多样性致误 易错分析 规范解答 ( 1) 本题考查向量坐标的基本运算，难度中等，但错误率较高，典型错误是忽视了分类讨论此外，有的学生不知道运用平行四边形的性质，找不到解决问题的切入口 ( 2) 向量本身就具有数形结合的特点，所以在解决此类问题时，要注意画图，利用数形结合的思想求解 1 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键 方 法 与 技 巧 2 平面向量共线的坐标表示 ( 1) 两向量平行的充要条件 若 a ( x 1 ， y 1 ) ， b ( x 2 ， y 2 ) ，则 a b 的充要条件是 a b ，这与 x 1 y 2 x 2 y 1 0 在本质上是没有差异的，只是形式上不同 ( 2) 三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定 思想方法 感悟提高 1 要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相 同、相反两种情况 失 误 与 防 范 2 若 a ( x 1 ， y 1 ) ， b ( x 2 ， y 2 ) ，则 a b 的充要条件不能表示成x 1x 2y 1y 2，因为 x 2 ， y 2 有可能等于 0 ，所以应表示为 x 1 y 2 x 2 y 1 0. 思想方法 感悟提高 练出高分 专项基础训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 专项基础训练 练出高分 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 ( 2012 广东 ) 若向量 (2,3) ， (4,7) ，则 于 ( ) A ( 2 ， 4) B (2,4) C (6,10) D ( 6 ， 10) 解析 由于 (2,3 ) ， (4,7 ) ， 所以 (2,3 ) ( 4 ， 7) ( 2 ， 4) A 专项基础训练 练出高分 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 在 ，点 P 在 ，且 2 点 Q 是 (4,3) ， (1,5) ，则 于 ( ) A ( 2,7) B ( 6,21) C (2 ， 7) D (6 ， 21) 解析 3 3(2 ) 6 3 (6,30 ) ( 12, 9) ( 6,21 ) B 专项基础训练 练出高分 1 2 4 5 6 7 8 9 10 3 3 设向量 a ， b 满足 | a | 2 5 ， b ( 2,1) ，则 “ a ( 4,2) ” 是 “ a b ”成立的 ( ) A 充要条件 B 必要不充分条件 C 充分不必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 若 a ( 4,2 ) ，则 | a | 2 5 ，且 a b 都成立； 因 a b ，设 a b (2 ， ) ，由 | a | 2 5 ，知 4 2 2 20 ， 2 4 ， 2 ， a ( 4,2 ) 或 a ( 4 ， 2) 因此 “ a ( 4,2 ) ” 是 “ a b ” 成立的充分不必要条件 C 专项基础训练 练出高分 1 2 3 5 6 7 8 9 10 4 4 已知 a ( 1,1) ， b (1 ， 1) ， c ( 1,2) ，则 c 等于 ( ) A 12a 32b B 12a 32b C 32a 12b D 32a 12b 解析 设 c a b ， ( 1,2) ( 1,1) (1 ， 1) ， 1 2 ， 12 32， c 12 a 32 b . B 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 5 如图，在 ， P 为线段 的一点， x y 且 2 则 ( ) A x 23， y 13B x 13， y 23C x 14， y 34D x 34， y 14解析 由题意知 又 2 所以 23 23 ( ) 23 13 ， 所以 x 23 ， y 13 . A 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 7 8 9 10 6 6 已知 A ( 3,0) ， B (0 ， 3 ) ， O 为坐标原点， C 在第二象限，且 30 ， 则实数 的值为 _ _ 解析 由题意知 ( 3,0 ) ， (0 ， 3 ) ， 则 ( 3 ， 3 ) ， 由 30 知以 x 轴的非负半轴为始边， 终边的一个角为 150 ， 15 0 3 3 ，即 33 33 ， 1. 1 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 8 9 10 7 7 已知向量 a (1,2) ， b ( x, 1) ， u a 2 b ， v 2 a b ，且 u v ， 则实数 x 的值为 _ 解析 因为 a (1, 2) ， b ( x, 1) ， u a 2 b ， v 2 a b ， 所以 u (1 ,2) 2( x, 1) (2 x 1,4 ) ， v 2(1 ,2) ( x, 1) (2 x, 3) ， 又因为 u v ，所以 3( 2 x 1) 4( 2 x ) 0 ， 即 10 x 5 ，解得 x 12 . 12 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 9 10 8 8 ，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若p ( a c ， b ) ， q ( b a ， c a ) ，且 p q ，则角 C _ . 解析 因为 p q ，则 ( a c )( c a ) b ( b a ) 0 ， 所以 a 2 b 2 c 2 b 2 c 22 12 ， 结合余弦定理知， c C 12 ， 又 0 C 1 80 ， C 60 . 60 专项基础训练 练出高分 1 2 3 4 5 6 7
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