大学高数期末考试题

高等数学（上）期中测试题 一 填空题：（每小题 4 分，共 32 分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上） 1.设 在 上处处连续，则 -。1(),0)xfxa(,)a 解 100limlixx e ,有连续性有x -1e 2. 已 知 ,则 。(3)2f0(3)(li2hff 解 已知 则 0 01()3)li limhhffh132f 3.函数 在 上的最大值为()cosxx,26 解 令 得in0362fff 则最大值为 3 4. 设 ， 则 , 5(sin)1coxty0t dyx02ty1 解 0 005sin1cot ttdyx 2000tt tdyxyd20cos1sin15ttt 5. 设 ，则1(0)xyylnxx 解 两边取对数有 lnl 两边关于 求导得 ,整理后即得结果1 6. 设函数 由方程 确定，则()yxcos()0yxdy 。 si1nd 解 对方程两边关于 求导 得:-i0yxy 则 s1idsin1xyd 7. 曲线 在点 处的曲率 2xye(0,1)MK452 解 00xx 004xxye 则 3322 4511ky 8.函数 在 处的二阶泰勒公式为() xfe0()fx2316e 解 由 ,代入泰勒公式即得 nxfe 二选择题：（每小题 4 分，共 32 分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答 案对应的选项的字母填入题后括号里） 1.当 时，下列函数中为无穷小的函数是（ ） 。0xD A. ； B. ； C. ； D. 。lgsin1cosxin12xe 解 不存在0.mxA0.lmcosxB 不存在 1.lisC21.iDe 2.设 ，则 在点 处（ ） 。2 1sin,0()0xf()fx0C A. 极限不存在； B. 极限存在，但不连续； C连续，但不可导； D. 可导。 解 由 20 1limsin0xf 则 在点 处连续()f 又 2001sinlilimxxf 不存在2 1lisin 则 在点 处不可导()f 3.设 ，则 （ ） 。 arcosixy()yA A. ； B. ； C. ； D. 。 12312 解 1 22 1 arcosx xxy 4.曲线 在 处的切线方程是（ ） 。 cosinxty4B A. ； 22()88x B. ；4y C. ；x D. 。 解 4 44 sincoit ttdytx 则切线方程为 22yx 5.已知函数 ，则 （ ） 。cos xe(40)yA A. ； B. ； 402 2sinxe C. ； D. 。 x 解 22coss2nnxxeex 则即得结果 A 6.曲线 的凹区间是（ ） 。 53yB A. ； B. ； C. ； D. 以上都不对。(,0),(,) 解 2133019xyx 当 时, ,则曲线是凹的+ 7.若 ，在 内()()ff(,) 且 ，则在 内有（ ） 。0x)(0,C A. ； B. ；, ,0fxf C. ； D. 。()(ff)() 解 设 则,-xff 又 00fx 由 且 f 则 8. 函 数 对 一 切 满 足()yfx2()3()xffx ， 若 ， 则（ ） 。1e00B A. 是 的极大值；0 B. 是 的极小值；()f C. 是曲线 的拐点；0,x()yfx D. 不是 的极值， 也不是曲线 的拐点。(f0,()yfx 解 000 11xef 当 ， 当x0f 也即 ，则 不是拐点0f0 又 ,则 是 的极小值()fx 三解答题： 1.求函数 的单调区间与极值。 （8 分） 2ln()f 解 定义区间为 ,0 令 212llxxf2ln0x 有 或者 e 0,12,e2,efx 极小值 极大值 则在 单调减少,在 上单调增加 2(0,1)e21,e 极小值: , 极大值:f24f 2.求下列极限。 （每小题 6 分） (1)0lim()sntaxx 解 原式 2001coli()liixx (2)1sin2 解 应用洛比塔法则,有 原式 1si1coslim2xx 211tanseclimlicosin2xxx24 3.确定函数 的间断点，并指出间断点所属的类型。 （8 分）1()xfe 解 函数在 处无定义.0,= 由于 01limxx 故 ,从而 是 的无穷间断点0ffx 又 ,故11lilixxli,lixee 所以 ,因此 是 的跳跃间断点0fff 4.（8 分 ） 设函数 在 上连续，在 内可导，且()x1(0) ，证明：(),2ff 存在 ，使 ；(1)(,)2(f 存在 ，使得 。0)1 证 设()Fxf 由 在 上连续，在 内可导f,(,1 则 在 上连续,可导2 在 上 1, 102Ff01f