2015年高考数学专题复习-不等式

知识专题 检测 五 不等式 一、选择题（共 10 小 题 ，每小题 3 分，共 30 分 ） 1 不等式 112x的解集是（ ） A ( ,2) B (2, ) C (0,2) D ( ,2) (2, ) 2 “ a 0， b 0”是“ ”的 3 若 a0， b0，则不等式 b1x ） A 1bx0 或 0x1 1ax1a或 x1b或 x1设 f(x)= 1232 , 2 ,l o g ( 1 ) , 2 , 则不等式 f(x)2 的解集为 A.（ 1， 2） （ 3， +） B.（ 10 ， +） C.（ 1， 2） （ 10 ， +） D.（ 1， 2） 5 若 ,R、 ，则下列不等式成立的是 ( ) 1. B. 22 . 2 c bc a. D. | . 6已知不等式 (x+y)(1x + 9 对任意正实数 x,y 恒成立 ,则正实数 a 的最小值为 ( ) 已知函数 f(x)=(a0),若 D.f( f(大小不能确定 8 设实数 x ， y 满足 1)1( 22 当 0 时， c 的取值范围是（ ） A 12 ， ) B ( ， 12 C 12 ， ) D ( ， 12 9 若关于 x 的不等式 1( 2 4k 4 的解集是 M，则对任意实常数 k ，总有（ ） M， 0 M； M， 0 M； M， 0 M； M， 0 M 10 若 , , 0且 2 2 2 4 1 2a a b a c b c ，则 的最小值是 D. 3 二、填空题（共 6 题） 11 不等式 1 02的解集是 。 . 12 不等式 3)61( 13 三个同学对问题“关于 x 的不等式 2x 25 | 3x 5 2x | 1， 12上恒成立，求实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” 乙说：“把不等式变形为左边含变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值” 丙说：“把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图像” 参考上述解题思路，你认为他 们所讨论的问题的正确结论，即 a 的取值范围是 14 某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元 /次，一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x _ 吨 15. 已知 | ， b ， c R）给出下列不等式： ； ； ； | ； | 其中一定成立的不等式是 （注：把成立的不等式的序号都填上） l 过点 )1,2(P ，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 两点， O 为坐标原点，则三角形 积 的最小值为 . 三、解答题（共 4 小 题 ， 10+12+12+12=46，共 46 分 ） 17 若 a 0， b 0， a3+求证 2， 1 18 对于在区间 m ， n 上有意义的两个函数 )( )(如果对任意的 x m ， n ，均有 |)()(| 1，则称 )( )(区间 m ， n 上是接近的，否则是非接近的 设)3(1 a 与 0(1lo g)(2 a ， )1a 是区间 2 a ， 3a 上的两个函数 （ 1）求 a 的取值范围； （ 2）讨论 )(1 )(2 区间 2 a ， 3a 上是否是接近的 19 己知 0a ，函数 2)( （ 1） 当 0b 时，若对任意 x R 都有 )( 1，证明： a （ 2） 当 1b 时 ，证明：对任意 1,0x ， |)(| 1 的充要条件是 1b a 个单位质量的含污物体进行清洗 ,清洗前其清洁度 (含污物体的清洁度定义为 :1() 污 物 质 量物 体 质 量 含 污 物)为 求洗完后的清洁度是 方案甲 :一次清洗 ;方案乙 :两次清洗 其质量变为 a (1 a 3)x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 ( 1),用 y 质量的水第二次清洗后的清洁度是 y ,其中 ( 0 ) 是该物体初次清洗后的清洁度 . ( )分别求出方案甲以及 时方案乙的用水量 ,并比较哪一种方案用水量较少 ; ( )若采用方案乙 ,当 a 为某定值时 ,如何安排初次与第二次清洗的用水量 ,使总用水量最少 ? 并讨论 a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响 . 答案与点拨： 1 D 解： 由 112x得： 1 1 2 022 ，即 (2 ) 0，故选 D。 2 A 解： 由“ a 0， b 0”可推出“ ”，反之不一定成立，选 A 3 D 解： 故选 D 4 C 解： 令 122（ x2），解得 1x2。令 23 1)x 2（ x2）解得 x（ 10 ， +）选 C 5 C 解： 应用间接排除法取 a=1,b=0，排除 A. 取 a=0,b=除 B; 取 c=0，排除 D故应该选 C显然 ，对不等式 ab 的两边同时乘以 ，立得 成立 6 B 解 ： 不等式 (x+y)( 1 9 对任意正实 数 x， y 恒成立，则 1 y 21 9， a 2 或 a 4(舍去 )，所以正实数 a 的最小值为 4，选 B 7 A 解 ： 函数 f(x)=(a0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为 1x ， a0， x1+， 中点为 0， x1 对称 轴的距离大于 对称轴的距离， f(f(，选 A 8 C 解：（三角换元） 设 x ， y ， c 1 1)4s 2 ， c 12 ，故选 C 9 A 解： 选 （ A） 方法 1： 代入判断法，将 2, 0分别代入不等式中，判断关于 k 的不等式解集是否为 R ； 方法 2 ： 求 出 不 等 式 的 解 集 ： 1( 2 4k 4 4 22m i 24 5 5( 1 ) 2 ( 1 ) 2 2 5 21 1 1kx k x kk k k 10 A 解： （ a b c） 2 22212（ b c） 212，当且仅当 b 选 A 11 x|x 1 或 x2. 解： 1 02（ x 1）（ x 2） 0x 1 或 x2. 1 1 b 01 a 0 xx b x 1 0 11 a x 0 1 x 0a 或（ ）或（ ）或 12 ( 3 2 2 , 3 2 2 ) 1x 点拨： 本题考查对数函数单调性和不等式的解法 解 ： 1( 6 ) 822l o g 3 l o gx x ， 0 1 68 ， 1 21 60 . 解得 ( 3 2 2 , 3 2 2 ) 1x 反思： 在数的比较大小过程中 ,要遵循这样的规律 ,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分 ,再去比较它们剩余部分 ,就会很轻易啦 (1)作差比较法和作商比较法 ,前者和零比较 ,后者和 1 比较大小； (2)找中间量 ,往往是 1,在这些数中 ,有的比 1 大 ,有的比 1 小； ,(3)计算所有数的值； (4)选用数形结合的方法 ,画出相应的图形； (5)利用函数的单调性等等 . 13 ( ,10a 解： 由 2x 25 | 3x 5 2x | 225, 1 1 2 | 5 |a x x a x x ，而 2 5 2 52 1 0 ，等号当且仅当 5 1,12x 时成立；且 2| 5 | 0，等号当且仅当 5 1,12x 时成立；所以， 2m i | 5 | 1 0a x x ，等号当且仅当 5 1,12x 时成立；故 ( ,10a ； 14 20 解： 某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，则需要购买 400费为 4 万元 /次，一年的总存储费用为 4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为 400 44万元， 400 44 160，当 1600 4即 x 20 吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。 15 解：（ | | | ，（ | | | 这是绝对值不等式的重要性质，必须熟练地掌握） | ，是正确的 | | c ， |a | ，正确 令 3a ， 1b ， 4c ，满足条件， 但 4)3(13 2)3(|1|3| 能成立， ，是错误的 16 4解： 设直线 l 为 ，则有关系 对 应用元均值不等式，得 ，即 8 于是， 积为 从而应填 4 17 分析 ： 由条件 a3+ 及 特征 的结论 2 的结构入手，联想它们之间的内在联系，不妨用作差比较法或均值 不等式或构造方程等等方法，架起沟通二者的“桥梁” 本题证法较多 证法 1 (作差比较 法 ) a 0， b 0， a3+， 33 2)( a3+3633 22 3 2)( = )()(3 33 = 3 2)( 0， 即 3)( 23 又 0 2 2， 1 证法 2 (适当 配凑 ，综合法 ) a 0， b 0， a3+， 2=a3+)( 22 )2)( = )( ， 6 )(3 ， 8 2)(3 3a3+3)( ， 2 (以下略 ) 证法 3 (构造方程 ) 设 a， b 为方程 n=0 的两根则 . , a 0， b 0， m 0， n 0 且 =0 2=a3+3)()( 222 =m 232 将代入得 )323(422 0 ，即3 0， 83m 0，即 m 2， 2 2 m， 4 4n， 4 4n，即 n 1 1 说明： 认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能较顺利地找到解决问题的切入点 证法 4 (反证法 ) 假设 2，则 a3+3)9)()( 222 2(22 因为 a3+， 2 2(4 因此 1 另一方面， 2=a3+)( 22 )2)( = ( 2 1 于是 与 矛盾，故 2 (以下略 ) 证法 5 (平均值不等式 综合法 ) a 0， b 0， a3+， 332 332 1 又 3333 11111111 2363 43 113 11 3333 2， 1 说明： 充分发挥“ 1”的作用，使其证明路径显得格外简捷、漂亮 证法 6 （利用233 3)2( 行证明） 233 3)2( 8 2444)(2222 8 )(32 0， 对任意的非负实数 a ， b 有233 3)2( 0a ， 0b ， 233 1233 3)2( 2 1，即 2（以下略） 说明： 此题用了六种不同的方法证明，这几种证 明方 法都是证明不等式的常用方法 18 点拨： 高考题中常常出现和高中知识有关的新的定义，本题中定义了两个函数在区间上接近的定义，解题时必须先搞懂两个函数在区间上接近的 定义 对数的运算是学生的一个薄弱环节，本题涉及到对数的运算 二次函数的最值 问题也是重点内容之一 解：（ 1） 0a 且 1a ，当 x 2 a ， 3a 时， 要使函数 )3(1 a 有意义， 032 即 1a 要使函数a 12有意义， 02 即 a R 由和得 10 a ，即为 a 的取值范围 （ 2 ）要判断 )(1 )(2 区间 2a ， 3a 上是否是接近的，只须检验|)()(| 21 1 在区间 2 a ， 3a 上是否 恒成立 |)()(| 21 |1lo g)3(lo g| |)(3(lo g| ， 设 |)(3(lo g| 1，则 1 )(3(lo g 1， 即 1 )34(lo g 22 1 设 2222 )2(34)( ，抛物线 )(口向上，且对称轴为 10 a ， 32220 函数 )(区间 2 a ， 3a 上是增函数 设 2a 1x 2x 3a ，则 )()( 21 ， 10 a ， )(lo g)(lo 设 )34(lo g)( 22 ，则 )(区间 2 a ， 3a 上是减函数， )44(lo g)2()(m a x a ， )69(lo (m i n a ， 式成立的充要条件是： 69,44,1)69()44(125790,540a ， 12579 ， 当 0(a ， 12579时， )(1 )(2 区间 2 a ， 3a 上是接近的； 当12 579( a， )1 时， )(1 )(2 区间 2 a ， 3a 上是非接近的 19 证明： （ 1）依题意，对任意 ，都有 1)( )2()(22 ， )2(2 1 0a 0b ， a （ 2）充分性： 1b ， a 1b ，对任意 0x ， 1 ， 2 )( 2 x 1 ，即 2 1 又 1b ， a 对任意 0x ， 1 ， 2 22 1)1(12)2( 2m a 2 1， 1 )( 1 必要性： 对任意 0x ， 1 ， )( 1， )( 1 ， )1(f 1 ， 即 1 ， a 1b . 又 1b ， 110 b， )( 1， )1( 1，即 11， a 1 a 综上，对任意的 0x ， 1 ， |)(| 1 的 充要条件 是 1 a 20 解： ( )设方案甲与方案乙的用水量分别为 x与 z,由题设有 =得 x=19. 由 得方案乙初次用水量为 3, 第二次用水量 0 0 ,解得 y=4a ,故 z=4a +种方案 的用水量分别为 19与 4a +3. 因为当 1 3 , 4 ( 4 ) 0 ,a x z a x z 时 即,故 方案乙的用 水量较少 . （ 初次与第二次清洗的用水量分别为 x 与 y ，类似（ I）得 545(1 )cx c ， (9 9 1 0 0 )y a c（ *） 于是 545(1 )c + (99 100 )1 1 0 0 ( 1 ) 15 ( 1 ) a c 当 a 为 定值时 , 12 1 0 0 ( 1 ) 1 4 5 15 ( 1 )x y a c a a , 当且仅当 1 1 0 0 (1 )5 (1 ) 时