山东省济宁市2013届高三3月模拟考试理科数学试卷

山东省济宁市2013届高三3月模拟考试 数学(理工类) 试题 2013.03 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B独立，那么P(AB)=P(A)P(B) 第I卷(选择题共60分) 一、选择题：本大题共l2小题每小题 5分。共60分在每小题给出的四个选项中。只有一 项是符合题目要求的 1复数 ，则复数 在复平面上对应的点位于2iz()1z A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 已 知 全 集 U=R， 集 合 A= 21y|yln(x ),xR ， 集 合 B= 21x|x|， 则 如 图 所 示 的 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 是 A 0 13x| x x或 B |03xx D |1 3xx 3 下 列 命 题 中 正 确 的 有 设 有 一 个 回 归 方 程 y=23x， 变 量 x增 加 一 个 单 位 时 ， y平 均 增 加 3个 单 位 ； 命 题 P： “ 2 0 0 0, -10xRxx ”的 否 定 P： “ , 102xRx-x- ”； 设 随 机 变 量 X服 从 正 态 分 布 N(0， 1)， 若 P(X1)=p， 则 P(-10,)zaxby 最小值为 2，则 ab 的最大值为 A1 B C D46 8已知 m，n 是空间两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下, 列命题正确的是 A若 ， ， ，则 B若 ，则/n/mn=,/mn/ C若 则 D若 则,/ 9某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分 乘甲、乙两辆汽车。每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置) ，其中大一的孪 生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式 共有 A24种 B18种 C48种 D36种10 关 于 函 数 ()=2( )fx sinx-cosxcosx的 四 个 结 论 ： P1： 最 大 值 为 2； P 2： 把 函 数 221f(x) sinx 的 图 象 向 右 平 移 4个 单 位 后 可 得 到 函 数2f(x) (sinxcosx)cosx 的 图 象 ； P3： 单 调 递 增 区 间 为 7 18 8k ,k ， kZ； P 4： 图 象 的 对 称 中 心 为 ( 12 8k ,)， kZ 其 中 正 确 的 结 论 有 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 11现有四个函数： 的图象(部分)yxsinAyxcosAyx|cosA2xyA 如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是 A B C D 第 3 页 共 10 页 12 过 双 曲 线 2 22 2 1xyab(a0,b0)的 左 焦 点 F(-c,0)作 圆 2 2 2xya的 切 线 ， 切 点 为 E， 延长 FE交 抛 物 线 于 点 P， O为 原 点 ， 若 1 2OE(OFOP) ， 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 A 152 B 333 C 52 D 132 第卷( 非选择题共 90 分) 二、填空题：本大题共 4 小题每小题 4 分共 16 分 13、如图，长方形的四个顶点为 O(0，0) ，A(2,0) ，B(2,4)，C(0,4)， 曲线 经过点 B现将一质点随机投入长方形 OABC 中，则2yax 质点落在图中阴影区域的概率是 14 的展开式中各项系数的和为 243，则该展开式中251()x 常数项为 15对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解式： 22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7 23=3+5 33=7+9+11 24=7+9 此规律，5 4 的分解式中的第三个数为 16函数 的定义域为 D，若存在闭区间a，b D，使得函数 满足：f(x) f(x) (1) 在a，b内是单调函数；(2) 在a，b 上的值域为2a，2b，则称区间a ，bf(x) 为 y= 的“和谐区间” 下列函数中存在“ 和谐区间”的是 (只需填符合题意的f(x) 函数序号) 2 0f(x)x(x ) ； xf(x)e(xR) ； 1 0f(x) (x )x ； 24 01xf(x) (x )x 。 三、解答题：本大题共6小题。共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 17(本小题满分 12 分) 在 ABC中 ， 已 知 A=4， 255cosB (I)求 cosC的 值 ； ( )若 BC=25， D为 AB的 中 点 ， 求 CD的 长 18(本小题满分 l2 分) 中国航母“辽宁舰” 是中国第一艘航母， “辽宁”号以 4 台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力 安全性，科学家对蒸汽轮机进行了 170 余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要 进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测假如该项新技 术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为 、 、 。指标甲、乙、丙合格分321 别记为 4 分、2 分、4 分；若某项指标不合格，则该项指标记 0 分，各项指标检测结果互不 影响 (I)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率； (II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 X，求 X 的分布列与数 学期望 19(本小题满分12分) 如 图 1， OA的 直 径 AB=4， 点 C、 D为 OA上 两 点 ， 且 CAB=45， DAB=60，F为 弧 BC的 中 点 沿 直 径 AB折 起 ， 使 两 个 半 圆 所 在 平 面 互 相 垂 直 ， 如 图 2。 (I)求 证 ： OF/平 面 ACD； ( )求 二 面 角 CADB的 余 弦 值 ； ( )在 弧 BD上 是 否 存 在 点 G， 使 得 FG/平 面 ACD?若 存 在 ， 试 指 出 点 G的 位 置 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 20(本小题满分 12 分) 第 5 页 共 10 页 已 知 数 列 na的 前 n项 和 11 22n *n nS a() (nN) ， 数 列 nb满 足 nb=2nna (I)求 证 数 列 nb是 等 差 数 列 ， 并 求 数 列 na的 通 项 公 式 ； ( )设 2n nncloga ， 数 列 22nncc的 前 n项 和 为 Tn， 求 满 足 2521 *nT (nN) 的 n的 最大 值 。 21(本小题满分 13 分)已 知 椭 圆 C的 中 心 在 原 点 ， 焦 点 在 x轴 上 ， 离 心 率 为 12， 短 轴 长 为 43. (I)求 椭 圆 C的 标 准 方 程 ； (I)直 线 x=2与 椭 圆 C交 于 P、 Q两 点 ,A、 B是 椭 圆 O上 位 于 直 线 PQ两 侧 的 动 点 ， 且 直线 AB的 斜 率 为 1 2。 求 四 边 形 APBQ面 积 的 最 大 值 ； 设 直 线 PA的 斜 率 为 1k， 直 线 PB的 斜 率 为 2k， 判 断 1k+2k的 值 是 否 为 常 数 ， 并 说 明 理由 2 (本 小 题 满 分 l3分 )已 知 函 数 3f(x)alnxax(aR) (I)若 a=-1， 求 函 数 f(x)的 单 调 区 间 ； ( )若 函 数 yf(x) 的 图 象 在 点 (2,f(2)处 的 切 线 的 倾 斜 角 为 45o， 对 于 任 意 的 t 1， 2，函 数 3 2 2mg(x)xxf(x) (f(x) 是 f(x)的 导 函 数 )在 区 间 (t,3)上 总 不 是 单 调 函 数 ，求 m的 取 值 范 围 ； ( )求 证 ： 2 3 4 1 22 3 4 *lnlnln ln (n,nN)nn 2013年济宁市高三模拟考试 数学（理工类）试题参考答案及评分标准 一 、选择题：每小题5分，共60分. 15 DACCB 610 DDDAB 1112 CA 13. 14. 10 15. 125 16. 32 三、解答题：共74分.17 解 ： （ ） 552cosB 且 (0,180)B ， ? 55cos1sin 2 BB 2分 )43cos()cos(cos BBAC 4分 1010552255222sin43sincos43cos BB 6分 （ ） 由 （ ） 可 得 10103)1010(1cos1sin 22 CC 8分 由 正 弦 定 理 得 sinsinBCABAC， 即 101032252 AB ， 解 得 6AB 10分 在 BCD中 ， 55252323)52( 222 CD 5， 所 以 5CD 18.解 ： （ ） 该 项 新 技 术 的 三 项 不 同 指 标 甲 、 乙 、 丙 独 立 通 过 检 测 合 格 分 别 为 事 件 A、 B、C， 则 事 件 “得 分 不 低 于 8分 ”表 示 为 ABC+CBA. ABC与 CBA为 互 斥 事 件 ， 且 A、 B、 C为 彼 此 独 立 (PABC+CBA)=P（ ABC） +P（ CBA） =P（ A） P（ B） P（ C） +P（ A） P（ B） P（ C= 213143213243 83. 4分 （ ） 该 项 新 技 术 的 三 个 指 标 中 被 检 测 合 格 的 指 标 个 数 X的 取 值 为 0,1,2,3. )0(XP =P（ CBA） = 213141 =241, )1(XP =P（ CBA+CBA+CBA） = 213143 + 213241 + 213141 =41, 6分 )2(XP =P（ CAB+BCA+CBA） = 213243 + 213241 + 213143 =241, )3(XP =P（ ABC） = 213243 =41, 8分 随机变量 的分布列为 X 0 1 2 3 P 24144141 第 7 页 共 10 页 A B C D O F GE = + + + = . 12 分EX241024132 A B C D O F Gx y z 19.（ 方 法 一 ） ： 证 明 ：（ ） 如 右 图 ， 连 接 CO， 45CAB ， ABCO . 1分 又 F为 弧 BC的 中 点 ， 45FOB ， ACOF/ . OF平 面 ACD， AC平 面 ACD， /OF平 面 ACD 解 ： （ ） 过 O作 ADOE于 E， 连 CE ABCO ， 平 面 ABC?平 面 ABD CO?平 面 ABD 又 AD平 面ABD， ADCO ， AD平 面 CEO， CEAD， 则 ?CEO是 二 面 角 C-AD-B的 平 面 角 60OAD ， 2OA， 3OE . 由 CO?平 面 ABD， OE平面 ABD， 得 CEO为 直 角 三 角 形 ， 2CO， 7CE CEOcos =73=721 8分 （ ） 取 弧 BD的 中 点 G， 连 结 OG、 FG， 则 = =60BOGBAD ADOG/ /OF平 面 ACD， 平 面 /OFG平 面 ACDFG/平 面ACD. 因 此 ， 在 弧 BD上 存 在 点 G， 使 得 FG/平 面 ACD， 且 点 G为 弧 BD的 中 点 12分 （ 方 法 二 ） ： 证 明 ：（ ?） 如 图 ， 以 AB所 在 的 直线 为 y轴 ， 以 OC所 在 的 直 线 为 z轴 ， 以 O为 原 点 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 xyzO则 0,20A , 200,C 1分 )2,2,0()0,2,0()2,0,0( AC ， 点 F为 弧 BC的 中 点 ， 点 F的 坐 标 为 0,22, ， )2,2,0(OF 22OF AC 解 ： （ ） 60DAB ， 点 D的 坐 标 013,D， (3,1,0)AD 设 二 面 角 - -CADB的 大 小 为 ， 1 ,nxyz 为 平 面 ACD的 一 个 法 向 量 由 11 0,0,nACnAD 有 , 0,2,20, 3,1,00,xyzxyz 即 220,3 0.yzxy 取 1x， 解 得 3y ， 3z 1n= 331,- 5分 取 平 面 ADB的 一 个 法 向 量 2n=100, ， 6分 1 21 2 10( 3)031 21cos 771nn|n|n| 8分 （ ） 设 在 弧 BD上 存 在 点 G )0,(yx , )2,2,( yxFG ,由 （ ?） 知 平 面 ACD的 一 个 法 向 量 为 n= 331,- )2,2,(yxnFG 331,- = 036)2(3 yxyx 9分 又 因 为 422 yx 由 两 式 联 立 解 得 )0,1,3(G ， 1分 310OG , ， 因 为 (3,1,0)AD ， 所 以 ADOG/ ,则 G为 弧 BD的 中 点 ， 因 此 ， 在 弧 BD上 存 在 点 G，使 得 FG/平 面 ACD， 且 点 G为 弧 BD的 中 点 12分 20. 解 ： （ ） 在 2)21( 1 nnn aS 中 ， 令 n=1， 可 得 11 21 aaS n ， 即 211a . 当 2n 时 ， 2)21( 2 11 nnn aS 111 )21( nnnnnn aaSSa ， 1 1 )21(2 nnn aa ， 即 122 11 nnnn aa . nnn ab2 ， 11nn bb ， 即 当 2n时 ，11nnbb . 又 1211 ab ， 数 列 bn是 首 项 和 公 差 均 为 1的 等 差 数 列 . 于 是 nnn annb 21)1(1 ， nn na2. 6分 （ ） nn anc 2log nn2log2 , 22 2 11( 2) 2nn+= =-cc nn+nn+, 8分 第 9 页 共 10 页 )211()1111()5131()4121()311( nnnnTn = 2111211 nn . 10分 由 nT2125， 得 2111211 nn 2125， 即 42132111 nn ， )(nf 2111 nn 单 调 递 减 ， 4213)5(,209)4( ff ， n的 最 大 值 为 4. 12分 21.解 ： （ ） 设 椭 圆 C的 方 程 为 )0(12222 babyax . 1分 由 已 知 b=32 离 心 率 222,21 cbaace ,得 4a 所 以 ， 椭 圆 C的 方 程 为 11216 22 yx . 4分 （ ） 由 （ ） 可 求 得 点 P、 Q的 坐 标 为 )3,2(P ， )3,2(Q ， 则 6| PQ， 5分 设 A ,11yx B( 22,yx ),直 线 AB的 方 程 为 txy 21 ， 代 人 11216 22 yx 得 ： 012 22 ttxx . 由 ?0,解 得 44t ， 由 根 与 系 数 的 关 系 得 12221 21 txx txx 7分 四 边 形 APBQ的 面 积 22122121 34834)(3621 txxxxxxs 故 当 312,0maxSt ?由 题 意 知 ， 直 线 PA的 斜 率 23111 xyk ， 直 线 PB的 斜 率 23222 xyk 则