八年级一次函数学案

一次函数 一、学习目标： 理解一次函数与正比例函数的概念 二、学习过程： 根据题意写出下列函数的解析式 （1） 有人发现，在 2025时蟋蟀每分鸣叫次数 c 与温度 t（单位：）有关，即 c 的值约是 t 的 7 倍与 35 的差；_ （2） 一种计算成年人标准体重 G（单位：千克）的方法是，以厘米为单位量出身高值 h，再减常数 105，所得的差是 G 的值；_ （3） 某城市的市内电话的月收费为 y（单位：元）包括：月租 22 元，拨打电话 x 分的计时费（按 0.1 元/分收取）；_ （4） 把一个长 10cm、宽 5cm 的长方形的长减少 xcm，宽不变，长方形的面积 y（单位：cm 2）随 x 的值而变化。_ 一般地，形如 （k，b 是常数， ）的函数，叫做一次函数，特别地，当 时，xy0k 0b 即 ，即正比例函数是一种特殊的一次函数。bkxy 练习： 1、 下列函数中，是一次函数的有_，是正比例函数的有_ （1） （2） （3） （4）xy8xy8652xy15.0xy （5） （6） （7）)(3 2、若函数 是正比例函数，则 b = _9)3(2by 3、在一次函数 中，k =_，b =_5x 4、若函数 是一次函数，则 m_my2)( 5、在一次函数 中，当 时， _；当 _时， 。3xxyx5y 6、下列说法正确的是（ ） A、 是一次函数 B、一次函数是正比例函数bky C、正比例函数是一次函数 D、不是正比例函数就一定不是一次函数 7、仓库内原有粉笔 400 盒，如果每个星期领出 36 盒，则仓库内余下的粉笔盒数 Q 与星期数 t 之间的 函数关系式是_，它是_函数。 8、今年植树节，同学们中的树苗高约 1.80 米。据介绍，这种树苗在 10 年内平均每年长高 0.35 米，则 树高 y 与年数 x 之间的函数关系式是_，它是_函数，同学们在 3 年之后毕业， 则这些树高_米。 9、随着海拔高度的升高，大气压下降，空气的含氧量也随之下降，已知含氧量 y 与大气压强 x 成正比 例，当 x=36 时，y=108 ，请写出 y 与 x 的函数解析式_，这个函数图像在第_象 限，同时经过点（0，_）与点（1，_） 总结： 2 正比例函数 一、三维目标 知识与技能： 1、理解正比例函数的概念； 2、会画正比例函数的图像，理解正比例函数的性质。 过程与方法： 1、根据已有知识归纳总结正比例函数的一般解析式； 2、学会数形结合的解题方法。 情感态度与价值观： 1、初步学习函数问题，培养学生的函数思想以及数形结合思想； 2、培养学习兴趣，由易到难，开拓学生的求知欲。 二、学习过程： 课堂导入 在小学我们就学过怎样判断所给句子是否成正比例，当一个变量随另一个变量的增大（减小）而增大 （减小）的时候，我们就说这两个量成正比例的量，下面我们来看几个例子： （一）按下列要求写出解析式 （1）一本笔记本的单价为 2 元，现购买 x 本与付费 y 元的关系式为_； （2）若正方形的周长为 P，边长为 a，那么边长 a 与周长 p 之间的关系式为_； （3）一辆汽车的速度为 60 km / h ，则行使路程 s 与行使时间 t 之间的关系式为_； （4）圆的半径为 r，则圆的周长 c 与半径 r 之间的关系式为_。 观察上面所写四个式子，可以发现这几个函数都是常数与自变量乘积的形式 归纳得： 定义 一般地，形如 （k 是常数，k0)的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数。xy 定义要点： k0 自变量的指数为 1 自变量的取值范围是全体实数 练习：1、下列函数中，那些是正比例函数？_ （1） （2） （3） （4） （5）xy4xy1yxy8tv （6） （7） （8）03 )(2x 2、关于 x 的函数 是正比例函数，则 m 取值范围_xmy)1( 图像与性质 例题 1 画出下列正比例函数的图像： （1）y=2x （2）y=-2x 画图三部曲：列表 描点 连线 3 观察这两个图像，比较上面两个函数的图象的相同点和不同点： 填写你发现的规律：两图像都是经过原点的_，函数 y=2x 的图象从左向右_， 经过第_象限；函数 y=-2x 的图象从左向右_经过第_象限。 总结：既然正比例函数的图像是一条经过原点的直线，而我们又知道两点能确定一条直线，假如我 们知道正比例函数经过一点（m，n）就能以更简单的方式画出正比例函数的图像。 练习 （两点确定一条直线）画出下列函数的图象 y=1/2x y=-1/2x 总结： 一般的，正比例函数 y=kx（k 是常数，k0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx 当 k0 时，直线过第一三象限，从左向右上升，y 随 x 的增大而增大 当 k0 时，直线过第二四象限，从左至右下降，y 随 x 的增大而减小 三、巩固练习： 1、关于函数 ，下列结论中，正确的是（ ）xy31 A、函数图像经过点（1，3） B、函数图像经过二、四象限 C、y 随 x 的增大而增大 D、不论 x 为何值，总有 y0 2、已知正比例函数 的图像过第二、四象限，则（ ）)0(kxy A、y 随 x 的增大而增大 B、y 随 x 的增大而减小 C、当 时，y 随 x 的增大而增大；当 时，y 随 x 的增大而减少；00 D、不论 x 如何变化，y 不变。 3、当 时，函数 的图像在第（ ）象限。 A、一、三 B、二、四 C、二 D、三 4、函数 的图像经过点 P（-1 ，3）则 k 的值为（ ）kxy A、3 B、3 C、 D、131 5、若 A（1，m）在函数 的图像上，则 m=_，则点 A 关于 y 轴对称点坐标是xy2 _； 6、若 B（m，6）在函数 的图像上，则 m=_，则点 A 关于 x 轴对称点坐标是3 _； 7、y 与 x 成正比例，当 x=3 时， ，则 y 关于 x 的函数关系式是_1 8、函数 的图像在第_象限，经过点（0，_）与点（1，_），y 随 x 的增大而5 _ 9、一个函数的图像是经过原点的直线，并且这条直线经过点（1，-3），求这个函数解析式。 课堂总结： 4 一次函数图像 一、学习目标： 1、懂得画一次函数的图像，清楚知道一次函数之间的关系 2、理解一次函数图像的性质，了解 中的 k，b 对函数图像的影响xy 二、学习过程： 例 1：在同一个直角坐标系中画出函数 ， ， 的图像23xy2xy -2 -1 0 1 2 y=2x y=2x+3 y=2x-3 观察这三个图像，这三个函数图像形状都是_，并且倾斜度_。函数 的图像经过原点，函数 与 y 轴交于点_，即它可以看作由直xy232xy 线 向_平移_个单位长度得到；同样的，函数 与 y 轴交于点32xy _，即它可以看作由直线 向_平移_个单位长度得到。xy 猜想：一次函数 的图像是一条_，当 时，它是由bkxy0bkxy 向_平移_个单位长度得到；当 时，它是由 向_平移_个单0bkxy 位长度得到。 练习： 1、 在同一个直角坐标系中，把直线 向_平移_个单位就得到 的图xy2 32xy 像；若向_平移_个单位就得到 的图像。5 2、 （1）将直线 向下平移 2 个单位，可得直线_；1xy （2）将直线 向_平移_个单位可得直线 。32 21xy 例 2 ：分别画出下列函数的图像 （1） （2） （3） （4）1xy1xyxy 分析：由于一次函数的图像是直线，所以只要确定两个点就能画出它，一般选取直线与 x 轴，y 轴的交点。 5 （1） （2） （3） （4）1xy1xy1xy12xy 观察上面四个图像，（1） 经过_象限；y 随 x 的增大而_，函数的图像从 左到右_；（2） 经过_象限；y 随 x 的增大而_，函数的图像从左到12xy 右_；（3） 经过_象限；y 随 x 的增大而_，函数的图像从左到右 _；（4） 经过_象限；y 随 x 的增大而_，函数的图像从左到右xy _。 1、由此可以得到直线 中，k ，b 的取值决定直线的位置：)0(bk （1） 直线经过_象限；0,bk （2） 直线经过_象限； （3） 直线经过_象限；,k （4） 直线经过_象限；0b 2、一次函数的性质： （1）当 时，y 随 x 的增大而_，这时函数的图像从左到右_；k （2）当 时，y 随 x 的增大而_，这时函数的图像从左到右_； （二）画出下列正比例函数 （1） （2） xy3 x -2 -1 0 1 2 y 比较上面两个图像，填写你发现的规律： （1） 两个图像都是经过原点的 _， （2） 函数 的图像经过第_象限，从左到右_，即 y 随 x 的增大而_；xy2 （3） 函数 的图像经过第_象限，从左到右_，即 y 随 x 的增大而_；3 总结：正比例函数的解析式为_ 0k0k 相同点 图像所在象限 图像大致形状 增减性 6 DCBA 三、巩固练习： 1、一次函数 的图像不经过（ ）52xy A、第一象限 B、第二象限 C、 第三想象限 D、 第四象限 2、已知直线 不经过第三象限，也不经过原点，则下列结论正确的是( )bk A、 B、 C、 D、0,0,bk0,bk0,bk 3、下列函数中，y 随 x 的增大而增大的是（ ） A、 B、 C、 D、12y13xy12xy 4、对于一次函数 ，函数值 y 随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是（ ）k)63( A、 B、 C、 D、0k20 5、一次函数 的图像一定经过（ ）1xy A、（3，5） B、（-2，3） C、（2，7） D、（4、10） 6、已知正比例函数 的函数值 y 随 x 的增大而增大，则一次函数 的图像大致)0(k kxy 是（ ） 7、一次函数 的图像如图所示，则 k_，bkxy b_，y 随 x 的增大而_ 8、一次函数 的图像经过_象限，2 y 随 x 的增大而_ (第 6 题) 9、已知点（-1，a）、（2，b）在直线 上，则 a，b 的大小关系是_ 83xy 10、直线 与 x 轴交点坐标为_；与 y 轴交点坐标_；图像经过_3 象限，y 随 x 的增大而_，图像与坐标轴所围成的三角形的面积是_ 11、已知一次函数 的图像经过点（0，1），且 y 随 x 的增大而增大，请你写出一个)(kby 7 符合上述条件的函数关系式_ 12、已知一次函数图像（1）不经过第二象限，（2）经过点（2，-5），请写出一个同时满足（1）和 （2）这两个条件的函数关系式：_ 确定一次函数表达式 一、学习目标： 学会运用待定系数法和数形结合思想求一次函数解析式 二、学习过程： 例 1：已知一次函数的图像经过点（3，5）与（2，3），求这个一次函数的解析式。 分析：求一次函数 的解析式，关键是求出 k，b 的值，从已知条件可以列出关于 k，b 的二bkxy 元一次方程组，并求出 k，b。 解： 一次函数 经过点（3，5）与（2，3） _ 解得 bk 一次函数的解析式为_ 像例 1 这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个 式子的方法，叫做待定系数法。 练习： 1、已知一次函数 ，当 x = 5 时，y = 4，2ky （1）求这个一次函数。 （2）求当 时，函数 y 的值。2 2、已知直线 经过点（9，0）和点（24，20），求这条直线的函数解析式。bkxy 3、已知弹簧的长度 y（厘米）在一定的限度内是所挂重物质量 x（千克）的一次函数现已测得不挂 重物时弹簧的长度是 6 厘米，挂 4 千克质量的重物时，弹簧的长度是 7.2 厘米求这个一次函数的关系 8 -32o y x -4 1 2 -1 o y x 式 例 2：已知一次函数的图象如图所示，求出它的函数关系式 练习：已知一次函数的图象如图所示，求出它的函数关系式 例 3：地表以下岩层的温度 t（）随着所处的深度 h（千米）的变化而变化，t 与 h 之间在一定范围内 近似地成一次函数关系。 深度（千米） 。 2 4 6 。 温度（） 。 90 160 300 。 （1） 根据上表，求 t（）与 h（千米）之间的函数关系式； （2） 求当岩层温度达到 1700时，岩层所处的深度为多少千米？ 练习：为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的小明对学校所添置 的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度于是，他测量了一套课桌、凳 上相对应的四档高度，得到如下数据： （1）小明经过对数据探究，发现：桌高 y 是凳高 x 的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式（不 要求写出 x 的取值范围）； （2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为 77cm，凳子的高度为 43.5cm，请你 判断它们是否配套？说明理由 9 y元元元 x元元元 6.3 3.6 85 y元元元 x元元元元 90 60 4030 0 1020 y元元元 x元kg元 10 5 4030 例 4：某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准。居民每月应交水费 y（元）是用水量 x（吨）的函数，其图象如图所示： （1） 分别写出 和 时，y 与 x 的函数解析式；50x （2） 若某用户居民该月用水 3.5 吨，问应交水费多少元？ 若该月交水费 9 元，则用水多少吨？ 练习： 1、某市推出电脑上网包月制，每月收费 y（元）与上网时间 x（小时）的函数关系如图所示： （1） 当 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；30x （2） 若小李 4 月份上网 20 小时，他应付多少元 的上网费用？ （3） 若小李 5 月份上网费用为 75 元，则他在该 月分的上网时间是多少？ 2、 某运输公司规定每名旅客行李托运费与所托运行李质量之间的关系式如图所示，请根据图像回答下 列问题： （1） 由图像可知，行李质量只要不超过_kg，就可以免费携带。如果超过了规定的质量， 则每超过 10kg，要付费_元。 （2） 若旅客携带的行李质量为 x（kg），所付的行李费是 y（元），请写出 y（元）随 x（kg）变化的关系式。 （3） 若王先生携带行李 50kg，他共要付行李费多少元？ 三、作业 1、A（1，4），B（2，m）， C（6，1）在同一条直线上，求 m 的值。 2、已知一次函数的图像经过点 A（2，2）和点 B（2，4） （1）求 AB 的函数解析式； （2）求图像与 x 轴、y 轴的交点坐标 C、D，并求出直线 AB 与坐标轴所围成的面积； 10 （3）如果点 M（a， ）和 N（4，b）在直线 AB 上，求 a，b 的值。21