【创新设计】2015届高考数学第一轮细致复习（最新考纲+知识梳理+辨析感悟+高频考点多点训练）第二章课
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- 资源描述：
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【创新设计】2015届高考数学第一轮细致复习（最新考纲+知识梳理+辨析感悟+高频考点多点训练）第二章课,创新,立异,设计,高考,数学,第一轮,细致,复习,温习,最新,知识,梳理,辨析,感悟,高频,考点,多点,训练,第二
- 内容简介：
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第 4讲 幂函数与二次函数 最新考纲 1 了解幂函数的概念 2 结合函数 y x ， y y y 1x， y 的图象，了解它们的变化情况 3 理解并掌握二次函数的定义、图象及性质 4 能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题 . 知 识 梳 理 1 幂函数 (1)幂函数的定义 一般地 ， 形如 的函数称为幂函数 ， 其中 为常数 (2)常见的 5种幂函数的图象 y 3)常见的 5种幂函数的性质 函数 特征 性质 y x y x2 y x3 y y x 1 定义域 R R R x|x R，且 x 0 值域 R 0， ) R 0， ) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 ( ， 0减， 0， )增 增 增 ( ， 0)减， (0， )减 定点 (0,0)， (1,1) (1,1) 0， ) y|y R， 且 y 0 (1)二次函数的定义 形如 f(x) 的函数叫做二次函数 (2)二次函数的三种常见解析式 一般式： f(x) c(a 0)； 顶点式： f(x) a(x m)2 n(a 0)， (m， n)为顶点坐标； 两根式： f(x) a(x x a 0)其中 f(x)0的两实根 c(a 0) (3)二次函数的图象和性质 函数 二次函数 y c ( a ， b ， c 是常数， a 0) a 0 a 2x 求实数 审题路线 f(0) 1求 c f(x 1) f(x) 2a， b构造函数 g(x) f(x) 2x m 求 g(x)由 g(x)0可求 解 (1) 由 f ( 0) 1 ，得 c 1. f ( x ) 1. 又 f ( x 1) f ( x ) 2 x ， a ( x 1)2 b ( x 1) 1 ( 1) 2 x ， 即 2 a b 2 x ， 2 a 2 ，a b 0 ，a 1 ，b f ( x ) x 1. (2)f(x)2x x 12x m， 即 3x 1 m0， 要使此不等式在 1,1上恒成立 ， 只需使函数 g(x) 3x 1 1,1上的最小值大于 0即可 g(x) 3x 1 1,1上单调递减 ， g(x)g(1) m 1， 由 m 10得 ， m 1. 因此满足条件的实数 ， 1). 规律方法 二次函数 、 二次方程与二次不等式统称 “ 三个二次 ” ， 它们常结合在一起 ， 有关二次函数的问题 ， 数形结合 ，密切联系图象是探求解题思路的有效方法 一般从： 开口方向； 对称轴位置； 判别式； 端点函数值符号四个方面分析 【训练 3 】 (2014 江西九校联考 ) 已知二次函数 f ( x ) c ( c 0 且为常数 ) 的导函数的图象如图所示 (1) 求函数 f ( x ) 的解析式 ( 用含 c 的式子表示 ) ； (2) 令 g ( x ) f x x，求 y g ( x ) 在 1,2 上的最大值 解 (1) f ( x ) 2 b ，由图可知， f ( x ) 2 x 1 ， 2 a 2 ，b 1 ，得a 1 ，b 1 ，故所求函数的解析式为 f ( x ) x c . (2) g ( x ) f x xx x 1 ， 则 g ( x ) 1 x c x c 若 c 1 ，即 0 c 1 时， g ( x ) 0 ， g ( x ) 在 1,2 上是增函数，故 g ( x )m g (2) 3. 若 1 c 2 ，即 1 c 4 ，当 1 x c 时， g ( x ) 0 ，当 c x 2 时， g ( x ) 0 ， g (1) c 2 ， g (2) 3 ， 当 1 c 2 时， g (1) g (2) ， g ( x )m g (2) 3 ； 当 2 c 4 时， g (1) g (2) ， g ( x )m a x g (1) c 2. 若 c 2 ，即 c 4 时， g ( x ) 0 ， g ( x ) 在 1,2 上是减函数，故 g ( x )m g (1) c 2. 综上所述，当 0 c 2 时， g ( x )m ax3 ；当 c 2 时， g ( x )m c 2. 1 对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域 ， 即 x 1， y 1， y 根据 0,0 1， 1， 1的取值确定位置后 ， 其余象限部分由奇偶性决定 2 二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题 ， 解决的主要思路是等价转化 ， 多用到数形结合思想与分类讨论思想 3 对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用 答题模板 2二次函数在闭区间上的最值问题 【 典例 】 (12分 )(经典题 )求函数 f(x) x(x a)在 x 1,1上的最大值 规范解答 函数 f ( x ) x x 分 1 ， 1 1 ，1 ，即 a 2 ， 2 a 2 和 a 2 三种情形讨论 (2 分 ) (1) 当 a 2 时，由图 (1) 可知 f ( x ) 在 1,1 上的最大值为 f ( 1) 1 a ； (5 分 ) (2) 当 2 a 2 时，由图 (2) 可知 f ( x ) 在 1,1 上的最大值为 fa2 (8 分 ) (3) 当 a 2 时，由图 (3) 可知 f ( x ) 在 1,1 上的最大值为 f (1) a 1. (1 1 分 ) 综上可知， f ( x )m a 1 ， a 2 ， 2 a 2 ，a 1 ， a 2.(12 分 ) 反思感悟 (1) 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系 进行分类讨论 (2) 部分学生易出现两点错误： 找不到分类的标准，无从入手； 书写格式不规范，漏掉结论 f ( x )m a 1 ， a 2 ， 2 a 2 ，a 1 ， a 第一步：配方 ， 求对称轴 第二步：分类 ， 将对称轴是否在给定区间上分类讨论 第三步：求最值 第四步：下结论 【 自主体验 】 已知函数 f(x) 444a 0,1内有一个最大值 5， 求 解 f ( x ) 4x 4 a ，对称轴为 x 点为 4 a . 当1 ，即 a 2 时， f ( x ) 在区间 0,1 上递增 y m f (1) 4 令 4 5 ， a 1 2( 舍去 ) 当 0 1 ，即 0 a 2 时， ym
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