【创新设计】2015届高考数学第一轮细致复习（最新考纲+知识梳理+辨析感悟+高频考点多点训练）第二章课
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【创新设计】2015届高考数学第一轮细致复习（最新考纲+知识梳理+辨析感悟+高频考点多点训练）第二章课,创新,立异,设计,高考,数学,第一轮,细致,复习,温习,最新,知识,梳理,辨析,感悟,高频,考点,多点,训练,第二
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第 1讲 函数的概念及其表示 最新考纲 1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念 2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 (如图象法、列表法、解析法 )表示函数 3了解简单的分段函数，并能简单地应用 . 知 识 梳 理 1 函数的基本概念 (1)函数的定义 一般地 ， 设 A， 数集 ， 如果按照某种确定的对应关系 f， 使对于集合 一个数 x， 在集合 确定的数 f(x)与之对应；那么就称： f： A 到集合 记作 y f(x)， x A. 非空 任意 唯一 (2)函数的定义域 、 值域 在函数 y f(x)， x 叫做函数的 ；与 函数值的集合叫做函数的 (3)函数的三要素是： 、 和对应关系 (4)表示函数的常用方法有： 、 和图象法 定义域 值域 定义域 值域 解析法 列表法 (5)分段函数 若函数在其定义域的不同子集上 ， 因 不同而分别用几个不同的式子来表示 ， 这种函数称为分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ， 其值域等于各段函数的值域的 ， 分段函数虽由几个部分组成 ， 但它表示的是一个函数 对应关系 并集 并集 2 函数定义域的求法 类型 x 满足的条件 2 x ， n N*f ( x ) 0 1f x 与 f ( x )0 x ) 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 f(x) 0 f(x) 0 3 函数值域的求法 方法 示例 示例答案 配方法 y x 2 y 94， 性质法 y 单调性法 y x x 2 y 换元法 y s in x 1 y 分离常数法 y 1y (0， ) 2， ) 34 ， 3 ( ， 1) (1， ) 辨 析 感 悟 1 对函数概念的理解 (1)(教材习题改编 )如图： 以 . ( ) (2)函数 y 1与 y ( ) 2 函数的定义域、值域的求法 (3) (2013 江西卷改编 ) 函数 y x x ) 的定义域为 (0,1) ( ) (4) (2014 杭州月考改编 ) 函数 f ( x ) 11 0,1 ( ) 3 分段函数求值 (5) (2013 济南模拟改编 ) 设函数 f ( x ) 1 ， x 1 ，2x， x 1 ，则 f ( f (3)139. ( ) (6) (2014 浙 江 部 分 重 点 中 学 调 研 改 编 ) 函数 f ( x ) x 34， x 0 ，2x 1， x 0若 f ( a ) 12，则实数 a 的值为12或 2. ( ) 4 函数解析式的求法 (7) 已知 f ( x ) 2 x 1 ，则 f ( x 1) 2 5 x 2. ( ) (8) 已知 f ( x 1) x ，则 f ( x ) ( x 1)2. ( ) 感悟 提升 1 一个方法 判断两个函数是否为相同函数一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同 (注意解析式可以等价化简 )，如 (2) 2 三个防范 一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义，如 (3)； 二是分段函数求值时，一定要分段讨论，注意验证结果是否在自变量的取值范围内，如 (6)； 三是用换元法求函数解析式时，一定要注意换元后的范围，如 (8). 考点一 求函数的定义域与值域 【例 1 】 (1) (2013 山东卷 ) 函数 f ( x ) 1 2x1x 3的定义域为 ( ) A ( 3,0 B ( 3,1 C ( ， 3) ( 3, 0 D ( ， 3) ( 3, 1 (2) 函数 y x 3x 1的值域为 _ 解析 (1) 由题意1 2x 0 ，x 3 0 ，解得 3 x 0. (2) y x 3x 1x 1 4x 1 1 4x 1，因为4x 1 0 ， 所以 1 4x 1 1. 即函数的值域是 y | y 1 答案 (1)A (2)y|y 1 规律方法 (1)求函数的定义域 ， 其实质就是以函数解析式有意义为准则 ， 列出不等式或不等式组 ， 然后求出它们的解集即可 (2)求函数的值域： 当所给函数是分式的形式 ， 且分子 、 分母是同次的 ， 可考虑用分离常数法； 若与二次函数有关 ， 可用配方法； 当函数的图象易画出时 ， 可以借助于图象求解 【训练 1 】 ( 1) 函数 y 1 1x 1 _ ( 2) 函数 f ( x ) x 1 ，2x， x 1的值域为 _ 解析 (1) 根据题意可知，1 1x 0 ，x 0 ，1 0x 1x 0 ， 1 x 1 0 x 1 ，故定义域为 (0,1 答案 (1)(0,1 (2)( ， 2) (2) 当 x 1 时， 2x 0 ；当 x 1 时， 0 2 x 2 ，故值域为 (0,2) ( ， 0 ( ， 2) 考点二 分段函数及其应用 【例 2 】 (1) (2014 东北三校联考 ) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x )4 x ， x 0f x 1 f x 2 ， x 0，则 f (3) 的值为 ( ) A 1 B 2 C 1 D 2 (2) 已知实数 a 0 ，函数 f ( x ) 2 x a ， x 1 ， x 2 a ， x 1.若 f (1 a ) f (1 a ) ，则 a 的值为 _ 解析 (1)依题意 ， 3 0， 得 f(3) f(3 1) f(3 2) f(2) f(1)，又 2 0， 所以 f(2) f(2 1) f(2 2) f(1) f(0)；所以 f(3) f(1) f(0) f(1) f(0)， 又 f(0) 0) 2， 所以 f(3) f(0) 2. (2)当 a 0时 ， 1 a 1,1 a 1. 此时 f(1 a) 2(1 a) a 2 a， f(1 a) (1 a) 2a 1 3a. 由 f (1 a ) f (1 a ) ，得 2 a 1 3 a ，解得 a 32. 不合题意，舍去当 a 0 时， 1 a 1,1 a 1 ， 此时 f (1 a ) (1 a ) 2 a 1 a ， f (1 a ) 2 (1 a ) a 2 3 a . 由 f (1 a ) f (1 a ) ，得 1 a 2 3 a ，解得 a 34. 综上可知， a 的值为34. 答案 (1)B (2) 34 规律方法 (1)求分段函数的函数值 ， 要先确定要求值的自变量属于哪一段区间 ， 然后代入该段的解析式求值 ， 当出现 f(f(a)的形式时 ， 应从内到外依次求值 (2)当给出函数值求自变量的值时 ， 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上 ， 然后求出相应自变量的值 ， 切记要代入检验 ， 看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围 【训练 2 】 (2014 烟 台 诊 断 ) 已 知 函 数 f ( x ) 2 x 2 000 ，2x 2 00 8， x 2 000 ，则 f f (2 013) ( ) A. 3 B 3 C 1 D 1 解析 f (2 0 13) 2 2 0 1 3 2 0 0 8 2 5 32 ，所以 f f (2 013) f (3 2) 223 2co s 23 1. 答案 D 考点三 求函数的解析式 【例 3 】 (1) 已知 f2x 1 lg x ，求 f ( x ) 的解析式 (2) f ( x ) 为二次函数且 f (0) 3 ， f ( x 2) f ( x ) 4 x 2. 试求出 f ( x )的解析式 (3) 定义在 ( 1,1) 内的函数 f ( x ) 满足 2 f ( x ) f ( x ) x 1) ，求函数 f ( x ) 的解析式 解 (1) 令2x 1 t ，由于 x 0 ， t 1 且 x 2t 1， f ( t ) t 1，即 f ( x ) 2x 1( x 1) (2) 设 f ( x ) c ( a 0) ，又 f (0) c 3. f ( x ) 3 ， f ( x 2) f ( x ) a ( x 2)2 b ( x 2) 3 ( 3) 4 4 a 2 b 4 x 2. 4 a 4 ，4 a 2 b 2 ，a 1 ，b 1 ， f ( x ) x 3. (3) 当 x ( 1,1) 时，有 2 f ( x ) f ( x ) x 1) 以 x 代替 x 得， 2 f ( x ) f ( x ) x 1) 由 消去 f ( x ) 得， f ( x ) 23x 1) 13 x ) ， x ( 1, 1) 规律方法 求函数解析式常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型 (如一次函数 、 二次函数 )，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式 ， 可用换元法 ， 此时要注意新元的取值范围； (3) 方程法：已知关于 f ( x ) 与 f1x 或 f ( x ) 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f ( x ) 【 训练 3】 (1)若 f(x 1) 21， 则 f(x) _. (2)定义在 f(x)满足 f(x 1) 2f(x) 若当 0 x 1时 ， f(x) x(1 x)， 则当 1 x 0时 ， f(x) _. 解析 (1) 令 t x 1 ，则 x t 1 ， 所以 f ( t ) 2( t 1)2 1 2 4 t 3. 所以 f ( x ) 2 4 x 3. (2) 当 1 x 0 时，有 0 x 1 1 ，所以 f (1 x ) (1 x )1 (1 x ) x (1 x ) ，又 f ( x 1) 2 f ( x ) ，所以 f ( x ) 12f (1 x ) x x 1 2. 答案 (1)2 x 2 4 x 3 ( 2) x x 1 2 1 函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础因此，我们一定要树立函数定义域优先意识 2函数有三种表示方法 列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域 教你审题 1分段函数中求参数范围问题 【典例】 (2013 新 课 标 全 国 卷 ) 已知 函数 f ( x ) 2 x ， x 0 ， x 1 ， x 0. 若 | f ( x )| ，则 a 的取值范围是 ( ) A ( ， 0 B ( ， 1 C 2,1 D 2,0 审题 一审条件 ： f ( x ) 2 x ， x 0 ， x 1 ， x 0 ，转化为一元二次函数与对数函数的图象问题如图 (1) (1) 二审条件 ： | f ( x )| 由 f ( x ) 的图象得到 | f ( x )| 的图象如图 (2) (2) 三审图形：观察 y y |f(x)|的下方 ， 则当 a 0时 ，不合题意；当 a 0时 ， 符合题意；当 a 0时 ， 若 x 0， f(x)2x 0， 所以 |f(x)| 2x 即 (a 2)x， 所以 a 2 所以 a 2. 综上 2 a 0. 答案 D 反思感悟 (1)问题中参数值影响变形时 ， 往往要分类讨论 ， 需有明确的标准 、 全面的考虑； (2)求解过程中 ， 求出的参数的值或范围并不一定符合题意 ， 因此要检验结果是否符合要求 【自主体验】 (2014 德州模拟 ) 已知函数 f ( x ) lg x ， x 0 ，x 3 ， x 0 ，则 f ( a ) f (1) 0 ，则实数 a 的值等于 ( ) A 3 B 1 或 3 C 1 D 3 或 1 解析 因为 f(1) 0， 所以由 f(a) f(1) 0得 f(a) 0.当 a 0时 ， f(a) lg a 0， 所以 a 1. 当 a 0时 ， f(a) a 3 0， 解得 a a 1或a 3， 选 D. 答案 D 第 10讲 变化率与导数、导数的计算 最新考纲 1 了解导数概念的实际背景； 2 通过函数图象直观理解导数的几何意义； 3 能根据导数的定义求函数 y c ( c 为常数 ) ， y x ， y 1x， y x2，y y x 的导数； 4 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数 仅限于形如 y f ( b ) 的复合函数 的导数 . 知 识 梳 理 1 导数的概念 (1) 函数 y f ( x ) 在 x 定义：称函数 y f ( x ) 在 x x 0 处的瞬时变化率 y x 为函数 y f ( x ) 在 x x 0 处的导数，记作f ( 或 . f x 0 x f x 0 x 几何意义：函数 f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f ( x 0 ) 的几何意义是曲线 y f ( x ) 在点 ( x 0 ， f ( x 0 ) 处的 ( 瞬时速度就是位移函数 s ( t ) 对时间 t 的导数 ) 相应地，切线方程为 (2) 称函数 f ( x ) 为 f ( x ) 的导函数 切线斜率 y f( f (x f x x f x x 2 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x) Q*) f (x) . f(x) x f (x) . f(x) x f (x) . f(x) ax f (x) (a0) f(x) ex f (x) . f(x) f (x) . f(x) ln x f (x) . 1 x x a x ln a 1x 3. 导数的运算法则 (1) f ( x ) g ( x ) (2) f ( x ) g ( x ) (3)f x g x ( g ( x ) 0) 4 复合函数的导数 设 u v ( x ) 在点 x 处可导， y f ( u ) 在点 u 处可导，则复合函数 f v ( x )在点 x 处可导，且 f ( x ) f (x) g (x) f (x)g(x) f(x)g (x) f x g x f x g x g x 2 f (u)v (x) 辨 析 感 悟 1 对导数概念的理解 (1)f (函数 y f(x)在 x ( ) (2)f ( f( 表示的意义相同 ( ) (3)f (导函数 f (x)在 x ( ) 2 导数的几何意义与物理意义 (4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 ( ) (5)物体的运动方程是 s 416t， 在某一时刻的速度为0， 则相应时刻 t 0. ( ) (6)(2012广东卷改编 )曲线 y x 3在点 (1,3)处的切线方程为 2x y 1 0. ( ) 3 导数的计算 (7)若 f(x) 2则 f (x) 32x. ( ) (8)(教材习题改编 )函数 y x y x ( ) (9)f(b) f (b) ( ) 感悟 提升 1 “ 过某点 ” 与 “ 在某点 ” 的区别 曲线 y f(x)“ 在点 P(的切线 ” 与 “ 过点 P(切线 ” 的区别：前者 P(切点 ， 如 (6)中点 (1,3)为切点 ， 而后者 P(一定为切点 2 导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号 ， 防止与乘法公式混淆 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质 ， 直线与曲线只有一个公共点 ， 直线不一定是曲线的切线 ， 同样 ， 直线是曲线的切线 ， 则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点 ， 如 (4) 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式 由外向内逐层求导 ， 其导数为两层导数之积 ， 如 (9). 考点一 导数的计算 【例 1 】 分别求下列函数的导数： (1) y x ； (2) y x (3) y 2 x 1 x. 解 (1) y ( x ex(co s x ) x x . (2) y x x 12x ， y x 12x 1 12x . (3) y 2 x 1 x 2 x 1 x x 2 x 1 2 x 1 2 x 1 x 2 x 1 2 x2 x 1 2 x 1 2 x 2 x 1 2 x 1 2 x 1 规律方法 (1)本题在解答过程中常见的错误有： 商的求导中 ，符号判定错误； 不能正确运用求导公式和求导法则 ， 在第 (3)小题中 ， 忘记对内层函数 2x 1进行求导 (2)求函数的导数应注意： 求导之前利用代数或三角变换先进行化简 ， 减少运算量； 根式形式 ， 先化为分数指数幂 ， 再求导 复合函数求导先确定复合关系 ， 由外向内逐层求导 ， 必要时可换元处理 【训练 1 】 (1) (2013 江西卷改编 ) 设函数 f ( x ) 在 (0 ， ) 内可导，且 f ( x f (1) _ _. (2) 若 f ( x ) 3 x e2 x，则 f ( x ) _ _. 解析 (1) 令 t ，则 x ln t ， f ( t ) ln t t ，即 f ( x ) ln x x . 因此 f ( x ) (l n x x ) 1x 1 ，于是 f (1) 1 1 2. 考点二 导数的几何意义 【 例 2】 (1)(2013广东卷 )若曲线 y ln 1， k)处的切线平行于 则 k _. (2)设 f(x) x 1， 若 f ( 2， 则 f(x)在点 (的切线方程为 _ 解析 (1) 函数 y ln x 的导函数 y k 1x ， 由导数 y | x 1 0 ，得 k 1 0 ，则 k 1. (2) 因为 f ( x ) x ln x 1 ， 所以 f ( x ) ln x x 1x ln x 1. 因为 f ( 2 ，所以 ln 1 2 ， 解得 e ，所以 e 1. 由点斜式得， f ( x ) 在点 (e ， e 1) 处的切线方程为 y (e 1) 2( x e) ，即 2 x y e 1 0. 答案 (1) 1 (2)2x y e 1 0 规律方法 (1)导数 f (几何意义就是函数 y f(x)在点 P(x0，的切线的斜率 第 (1)题要能从 “ 切线平行于 提炼出切线的斜率为 0， 进而构建方程 ， 这是求解的关键 ， 考查了分析问题和解决问题的能力 (2)在求切线方程时 ， 应先判断已知点 Q(a， b)是否为切点 ， 若已知点 Q(a， b)不是切点 ， 则应求出切点的坐标 ， 利用切点坐标求出切线斜率 ， 进而用切点坐标表示出切线方程 【 训练 2】 (1)(2012新课标全国卷 )曲线 y x(3ln x 1)在点 (1,1)处的切线方程为 _ (2)若函数 f(x) x， 则此函数图象在点 (1， f(1)处的切线的倾斜角为 ( ) A 0 B 锐角 C 直角 D 钝角 解析 (1) y x (3l n x 1) ， y 3ln x 1 x 3x 3ln x 4 ， k y |x 1 4 ， 所求切线的方程为 y 1 4( x 1) ，即 4 x y 3 0. (2) f ( x ) x x ex(co s x x ) ， f (1) e (co s 1 ) 214. 而由正余弦函数性质可得 0 对 x 0 且 x 1 恒成立 运用导数研究函数 y g ( x ) 的性质 获得结论 解 (1) 设 f ( x ) ln f ( x ) 1 ln f (1) 1 1 1 ，即切线 l 的斜率 k 1. 由 l 过点 (1, 0) ，得 l 的方程为 y x 1. (2) 令 g ( x ) x 1 f ( x ) ，则除切点之外，曲线 C 在直线 l 的下方等价于 g ( x )0( x 0 ， x 1) g ( x ) 满足 g (1) 0 ，且 g ( x ) 1 f ( x ) 1 ln 当 01 时， 10 ， x 0 ， g ( x )0 ， g ( x ) 单调递增 所以， g ( x ) g (1) 0( x 0 ， x 1) 所以除切点之外，曲线 C 在直线 l 的下方 规律方法 (1)准确求切线 (2)题将曲线与切线 g(x) x 1 f(x)在区间 (0， )上大于 0恒成立的问题 ， 进而运用导数研究 ， 体现了函数思想与转化思想的应用 (2)当曲线 y f(x)在点 P(f(处的切线平行于 此时导数不存在 )时 ， 切线方程为 x 切点坐标不知道时 ， 应首先设出切点坐标 ， 再求解 . 【训练 3 】 (2014 济南质检 ) 设函数 f ( x ) a a b (00. 当 0 x l n 1a， f ( x )0. f ( x ) 在0 ， a， 上递增 从而 f ( x ) 在 0 ， ) 上的最小值 fa 2 b . (2) y f ( x ) 在点 (2 ， f (2) 处的切线为 y 32x ， f (2) 3 ，且 f (2) 32， a a b 3a a 32解之得 b 12且 a 2 1 理解导数的概念时 ， 要注意 f ( (f( 与 f (x)的区别： f (x)是函数 y f(x)的导函数 ， f ( f(x)在 x 是常量但不一定为 0， (f( 是常数一定为 0， 即(f( 0. 2 对于函数求导 ， 一般要遵循先化简再求导的基本原则 求导时 ， 不但要重视求导法则的应用 ， 而且要特别注意求导法则对求导的制约作用 ， 在实施化简时 ， 首先必须注意变换的等价性 ， 避免不必要的运算失误 3求曲线的切线时，要分清在点 的切线的区别 易错辨析 3 求曲线切线方程考虑不周 【典例】 (2014 杭州质检 ) 若存在过点 O (0,0) 的直线 l 与曲线 f ( x ) 3 2 x 和 y a 都相切，则 a 的值是 ( ) A 1 1 或164D 1 或164错解 点 O(0,0)在曲线 f(x) 32 直线 y f(x)相切于点 O. 则 k f (0) 2， 直线 y 2x. 又直线 y a 2x 0满足 4 4a 0， a 1， 选 A. 答案 A 错因 (1)片面理解 “ 过点 O(0,0)的直线与曲线 f(x) 3 这里有两种可能：一是点 是点 但曲线经过点 O， 解析中忽视后面情况 (2)本题还易出现以下错误：一是当点 O(0,0)不是切点 ， 无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线 导致解题复杂化 ， 求解受阻 正解 易知点 O (0,0) 在曲线 f ( x ) 3 2 x 上， (1) 当 O (0,0) 是切点时，同上面解法 (2) 当 O (0,0) 不是切点时，设切点为 P ( ，则 3 2 k f ( 3 6 2. 又 k 3 2 ， 由 ， 联立，得 2( 0 舍 ) ，所以 k 14， 所求切线 l 的方程为 y 14x . 由y 14x ，y a ，得 4x a 0. 依题意， 116 4 a 0 ， a 164. 综上， a 1 或 a 164. 答案 C 防范措施 (1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键 ， 分清过点 处的切线的差异 (2)熟练掌握基本初等函数的导数 ， 导数的运算法则 ， 正确进行求导运算 【自主体验】 函数 y ln x ( x 0) 的图象与直线 y 12x a 相切，则 a 等于 ( ) A 2 B 1 C D 1 解析 设切点为 ( x 0 ， y 0 ) ，且 y 1x ， 1x 0 12 ， 则 x 0 2 ，y 0 . 又点 (2 ， ) 在直线 y 12 x a 上， 12 2 a ， a 1. 答案 D 第 11讲 导数在研究函数中的应用 最新考纲 1 了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性 ， 会求函数的单调区间 (其中多项式函数一般不超过三次 ) 2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值 (其中多项式函数一般不超过三次 )；会求闭区间上函数的最大值、最小值 (其中多项式函数一般不超过三次 ). 知 识 梳 理 1 函数的导数与单调性的关系 函数 y f(x)在某个区间内可导 ， 则 (1)若 f (x)0， 则 f(x)在这个区间内 (2)若 f (x)0 右侧 f (x)0 (1)函数 f(x)在 a， b上有最值的条件 如果在区间 a， b上函数 y f(x)的图象是一条 的曲线 ， 那么它必有最大值和最小值 (2)求 y f(x)在 a， b上的最大 (小 )值的步骤 求函数 y f(x)在 (a， b)内的 将函数 y f(x)的各极值与 比较 ，其中 的一个是最大值 ， 的一个是最小值 连续不断极值 端点处的函数值 f(a)， f(b) 最大 最小 辨 析 感 悟 1 导数与单调性的关系 (1) f ( x )0 是 f ( x ) 为增函数的充要条件 ( ) (2) 函数在其定义域内离散的点处导数等于 0 不影响函数的单调性 ( ) (3) (2012 辽宁卷改编 ) 函数 y 12ln x 的单调递减区间为(0,1 ( ) 2 导数与极值的关系问题 (4)函数的极大值不一定比极小值大 ( ) (5)对可导函数 f(x)， f ( 0是 ( ) (6)(2012陕西卷改编 )函数 f(x) x 1处取得极小值( ) 3 关于闭区间上函数的最值问题 (7)函数在开区间一定不存在最大值和最小值 ( ) (8)函数的最大值不一定是极大值 ， 函数的最小值也不一定是极小值 ( ) (9)(2014郑州调研改编 )函数 f(x) x(在区间 1,1上的最大值是 e 1. ( ) 感悟 提升 1 一点提醒 函数最值是个 “ 整体 ” 概念 ， 而函数极值是个“ 局部 ” 概念 极大值与极小值没有必然的大小关系 ， 如(4) 2 两个条件 一是 f (x)0在 (a， b)上成立是 f(x)在 (a， b)上单调递增的充分不必要条件 如 (1) 二是对于可导函数 f(x)， f ( 0是函数 f(x)在 x 如 (5) 3 三点注意 一是求单调区间时应遵循定义域优先的原则 二是函数的极值一定不会在定义域区间的端点取到 三是求最值时 ， 应注意极值点和所给区间的关系 ， 关系不确定时应分类讨论 不可想当然认为极值就是最值 ， 如 (8). 考点一 利用导数研究函数的单调性 【 例 1】 (2013广东卷改编 )设函数 f(x) (x 1)(1)当 k 1时 ， 求函数 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在 x 0， )上是增函数 ， 求实数 解 (1)当 k 1时 ， f(x) (x 1) f (x) (x 1)2x x(2) 令 f (x)0， 即 x(2)0， x或 ， f ( x ) 1x12 32 3 x 1 x 1 2 令 f ( x ) 0 ，解得 x 1 或13( 舍去 ) 当 x (0,1) 时， f ( x )0. f ( x ) 在 (0,1) 上 是减函数，在 (1 ， ) 上是增函数 故 f ( x ) 在 x 1 处取得极小值 f (1) 3 ， f ( x ) 无极大值 规律方法 (1)可导函数 y f(x)在点 ( 0， 且在 f (x)的符号不同 (2)若 f(x)在 (a， b)内有极值 ， 那么 f(x)在 (a， b)内绝不是单调函数 ， 即在某区间上单调增或减的函数没有极值 【 训练 2】 已知 a， 1和 1是函数 f(x) (1)求 a和 (2)设函数 g(x)的导函数 g (x) f(x) 2， 求 g(x)的极值点 解 (1) f ( x ) 3 2 b . 又 1 和 1 是函数 f ( x ) 的两个极值点， f 1 3 2 a b 0 ，f 1 3 2 a b a 0 ， b 3. (2) 由 (1) 知， f ( x ) 3 x ， g ( x ) 3 x 2. 由 g ( x ) 0 ，得 ( x 1)2( x 2) 0 ， g ( x ) 0 的根为 x 2 或 1. 当 x 0. x 2 是函数 g ( x ) 的极小值点 当 21 时， g ( x )0 ，故 1 不是 g ( x ) 的极值点 所以 g ( x ) 的极小值点为 2 ，无极大值点 . 考点三 利用导数求函数的最值 【 例 3】 (2012重庆卷 )已知函数 f(x) c在 x 2处取得极值为 c 16. (1)求 a， (2)若 f(x)有极大值 28， 求 f(x)在 3,3上的最小值 审题路线 (1)f 2 0 ，f 2 c 16 a ， b 的值； (2) 求导确定函数的极大值 求得 c 值 求得极大值、极小值、端点值 求得最值 解 (1) 因 f ( x ) c ，故 f ( x ) 3 b ， 由于 f ( x ) 在点 x 2 处取得极值 c 16 ， 故有f 2 0 ，f 2 c 16 ，即12 a b 0 ，8 a 2 b c c 12 a b 0 ，4 a b 8 ，解得a 1 ，b 12.(2)由 (1)知 f(x) 12x c， f (x) 312. 令 f (x) 0， 得 x 2或 2. 当 f(x)， f (x)的变化情况如下表： x 3 ( 3，2) 2 ( 2,2) 2 (2,3) 3 f (x) 0 0 f(x) 9 c 极大值 极小值 9 c 由表知 f(x)在 x 2处取得极大值 f( 2) 16 c， f(x)在 x 2处取得极小值 f(2) c 16. 由题设条件知 ， 16 c 28， 解得 c 12， 此时 f( 3) 9 c 21， f(3) 9 c 3， f(2) c 16 4， 因此 f(x)在 3,3上的最小值为 f(2) 4. 规律方法 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数 y f(x)在 a， b内所有使 f (x) 0的点，再计算函数 y f(x)在区间内所有使 f (x) 0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得 【 训练 3】 设函数 f(x) x x， 曲线 y f(x)过 P(1,0)， 且在 . (1)求 a， (2)令 g(x) f(x) 2x 2， 求 g(x)在定义域上的最值 解 (1) f ( x ) 1 2 x 0) ， 又 f ( x ) 过点 P (1,0) ，且在点 P 处的切线斜率为 2 ， f 1 0 ，f 1 2 ，即1 a 0 ，1 2 a b a 1 ， b 3. (2) 由 (1) 知， f ( x ) x 3ln x ，其定义域为 (0 ， ) ， g ( x ) 2 x 3ln x ， x 0 ， 则 g ( x ) 1 2 x 3x x 1 2 x 3 x. 当 00 ；当 x 1 时， g ( x )0，区间 I x|f(x)0 (1)求 注：区间 (， )的长度定义为 )； (2)给定常数 k (0,1)， 当 1 k a 1 求 突破： 由 理解区间长度的意义，转化为求不等式 f ( x ) 0 的解集 由 求 I 的长度最小值，即求以 a 为自变量的区间长度 d ( a ) a 1 k, 1 k 构成的函数的最小值，利用导数求解 解 (1) 因为方程 (1 0( a 0) 有两个实根 x 1 0 ， x 2 故 f ( x ) 0 的解集为 x | x 1 0) 令 d ( a ) 0 ，得 a 1. 由于 00 ， d ( a ) 单调递增； 当 11 ， d ( a ) 0 ， d ( a ) 单调递减 所以当 1 k a 1 k 时， d ( a ) 的最小值必定在 a 1 k 或 a 1 k 处取得 而d 1 k d 1 k 1 1 k 21 1 k 22 1 ， 故 d (1 k ) d (1 k ) 因此当 a 1 k 时， d ( a ) 在区间 1 k, 1 k 上取得最小值1 2 k 反思感悟 (1)本题以不等式的解集构成的区间长度为命题背景 ， 将导数求最值和含参数的不等式解法交汇 ， 命题情境创新 (2)解法创新 ， 从不等式出发 ， 构造函数利用导数判断函数的单调性 ， 根据单调性确定最值 d(1 k)与 d(1 k)， 并借助不等式性质比较二者的关系 ， 体现了转化与化归的思想 【 自主体验 】 已知函数 f(x) x. (1)求 f(x)的极小值和极大值； (2)当曲线 y f(x)的切线 求 l在 解 易知 f ( x ) 的定义域 R ，且 f ( x ) x x 2 令 f ( x ) 0 ，得 x 0 或 2. 当 f (x)与 f(x)的变化情况如下表： 由以上表知， f(x)的极小值为 f(0) 0； f(x)的极大值为 4e 2. x ( ， 0) 0 (0,2) 2 (2， ) f (x) 0 0 f(x) 0 4e 2 (2) 设切点为 ( t ， f ( t ) ，则 l 的方程为 y f ( t )( x t ) f ( t ) 所以 l 在 x 轴上的截距为 m ( t ) t f t f t t 2 t 2 2t 2 3. 由已知和 得 t ( ， 0) (2 ， ) 令 h ( x ) x 2x( x 0) ，则当 x (0 ， ) 时， h ( x ) 的取值范围是 2 2 ， ) ；当 x ( ， 2) 时， h ( x ) 的取值范围是 ( ， 3) 所以当 t ( ， 0) (2 ， ) 时， m ( t ) 的取值范围是 ( ， 0) 2 2 3 ， ) 综上， l 在 x 轴上的截距的取值范围是 ( ， 0) 2 2 3 ， ). 第 12讲 导数的综合应用 最新考纲 1 利用导数研究函数的单调性 、 极 (最 )值 ， 并会解决与之有关的方程 (不等式 )问题； 2会利用导数解决某些简单的实际问题 . 知 识 梳 理 1 生活中的优化问题 通常求利润最大 、 用料最省 、 效率最高等问题称为优化问题 ， 一般地 ， 对于实际问题 ， 若函数在给定的定义域内只有一个极值点 ， 那么该点也是最值点 2 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 3 导数在研究方程 (不等式 )中的应用 研究函数的单调性和极 (最 )值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数 、 不等式的证明 、 不等式恒成立求参数等 ， 又可转化为函数的单调性 、 极值与最值的问题 ， 利用导数进行研究 辨 析 感 悟 1 函数最值与不等式 ( 方程 ) 的关系 (1) ( 教材习题改编 ) 对任意 x 0 ， (3 a 1) x a 0 恒成立的充要条件是 a 15， . ( ) (2) (201 1 辽宁卷改编 ) 已知函数 f ( x ) 2 x a 有零点，则 a 的取值范围是 ( ， 2 2 ( ) 2 关于实际应用问题 (3) 实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定 ( ) (4) 若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解 ( ) (5) (2014 贵阳调研改编 ) 已知某生产厂家的年利润 y ( 单位：万元 )与年产量 x ( 单位：万件 ) 的函数关系式为 y 1381 x 234 ，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件 ( ) 感悟 提升 1 两个转化 一是利用导数研究含参函数的单调性 ， 常化为不等式恒成立问题 注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点 、 不等式证明常转化为函数的单调性 、 极(最 )值问题处理 ， 如 (2) 2 两点注意 一是注意实际问题中函数定义域 ， 由实际问题的意义和解析式共同确定 ， 如 (3) 二是在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值，如 (4)若在开区间内有极值，则一定有最优解 . 考点一 导数在方程 (函数零点 )中的应用 【 例 1】 (2013北京卷 )已知函数 f(x) x x. (1)若曲线 y f(x)在点 (a， f(a)处与直线 y 求 a与 (2)若曲线 y f(x)与直线 y 求 审题路线 (1)由导数的几何意义 ， 知 f (a) 0且 f(a) b， 解方程得 a， (2)两曲线的交点问题 ， 转化为方程 x2x x b 解 由 f(x) x x， 得 f (x) 2x x x(x) x x(2 x) (1)因为曲线 y f(x)在点 (a， f(a)处与直线 y 所以 f (a) a(2 a) 0， b f(a) 解得 a 0， b f(0) 1. (2)设 g(x) f(x) b x x b. 令 g (x) f (x) 0 x(2 x) 0， 得 x 0. 当 g (x)， g(x)的变化情况如下表： 所以函数 g(x)在区间 ( ， 0)上单调递减 ， 在区间 (0， )上单调递增 ， 且 g(x)的最小值为 g(0) 1 b. x ( ， 0) 0 (0， ) g (x) 0 g(x) 1 b 当 1 b 0时 ， 即 b 1时 ， g(x) 0至多有一个实根 ， 曲线 yf(x)与 y 不合题意 当 1 有 g(0) 1 2b 1 b0. y g(x)在 (0,2b)内存在零点 ， 又 y g(x)在 且 g(x)在 (0， )上单调递增 ， y g(x)在 (0， )上有唯一零点 ， 在 ( ， 0)也有唯一零点 故当 b1时 ， y g(x)在 则曲线 y f(x)与直线 y 综上可知 ， 如果曲线 y f(x)与直线 y 那么 1， ) 规律方法 (1)在解答本题 (2)问时 ， 可转化为判定 f(x) 并注意 g(x)的单调性 、 奇偶性 、 最值的灵活应用 另外还可作出函数 y f(x)的大致图象 ， 直观判定曲线交点个数 ， 但应注意严谨性 ， 进行必要的论证 (2)该类问题的求解 ， 一般利用导数研究函数的单调性 、 极值等性质 ， 并借助函数图象 ， 根据零点或图象的交点情况 ， 建立含参数的方程 (或不等式 )组求解 ， 实现形与数的和谐统一 . 【训练 1 】 (2012 天津卷节选 ) 已知函数 f ( x ) 13 a ，x R ，其中 a 0. (1) 求函数 f ( x ) 的单调区间； (2) 若函数 f ( x ) 在区间 ( 2,0) 内恰有两个零点，求 a 的取值范围 解 (1)f (x) (1 a)x a (x 1)(x a) 由 f (x) 0， 得 x 1或 a(a0) 当 f (x)与 f(x)的变化情况如下表： 故函数 f(x)的单调递增区间是 ( ， 1)， (a， )；单调递减区间是 ( 1， a) x ( ， 1) 1 ( 1， a) a (a， ) f (x) 0 0 f(x) 极大 值 极小 值 (2) 由 (1) 知 f ( x ) 在区间 ( 2 ， 1) 内单调递增；在区间 ( 1,0) 内单调递减从而函数 f ( x ) 在区间 ( 2,0) 内恰有两个零点，当且仅当f 2 0 ，f 1 0 ，f 0 0 ，解得 0 a 13. 所以， a 的取值范围是0 ，13. 考点二 导数在不等式中的应用 【 例 2】 (2013新课标全国 卷 )已知函数 f(x) ln(x m) (1)设 x 0是 f(x)的极值点 ， 求 m， 并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m 2时 ， 证明 f(x)0. 审题路线 (1)由极值点确定出实数 然后利用导数求出函数的单调区间； (2)当 m 2时 ， 转化为求 f(x)证明f(x). 解 (1) 易知 f ( x ) x m. 由 x 0 是 f ( x ) 的极值点得 f ( 0) 0 ，所以 m 1. 于是 f ( x ) x 1) ，定义域为 ( 1 ， ) ， f ( x ) x 1在 ( 1 ， ) 上是增函数，且 f (0) 0. 当 x ( 1, 0) 时， f ( x )0 时， f ( x )0. 故 f ( x ) 在 ( 1,0) 上单调递减，在 (0 ， ) 上单调递增 (2) 当 m 2 ， x m 时， x m ) x 2) 故只需证明当 m 2 时， f ( x )0. 当 m 2 时， f ( x ) x 2在 ( 2 ， ) 上单调递增 又 f ( 1) 1e 10. 所以 f ( x ) 0 在 ( 2 ， ) 上有唯一实根 10. 综上可知，当 m 2 时， f ( x ) 0 成立 规律方法 (1)第 (2)问证明抓住两点：一是转化为证明当 m 2时 ， f(x)0；二是依据 f ( 0， 准确求 f(x) ln(x 2)的最小值 (2)对于该类问题 ， 可从不等式的结构特点出发 ， 构造函数 ， 借助导数确定函数的性质 ， 借助单调性或最值实现转化 【 训练 2】 (2014郑州一模 )已知函数 f(x) a(1) ln x. (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若对任意 a ( 4， 2)及 x 1,3， 恒有 f(x) 求实数 解 (1) 由已知，得 f ( x ) 2 1x2 1x( x 0) 当 a 0 时，恒有 f ( x )0 ， 则 f ( x ) 在 (0 ， ) 上是增函数 当 a 0 ， 故 f ( x ) 在0 ， 12 若 x 12 a，则 f ( x ) 价于 f ( x )m a x. 因为 a ( 4 ， 2) ，所以242a， 即 f ( x ) 在区间 (64,640) 内为增函数 所以 f ( x ) 在 x 64 处取得最小值 此时 n 1 64064 1 9. 故需新建 9 个桥墩才能使工程的费用 y 最小 规律方法 求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系
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