【创新设计】2015届高考数学第一轮细致复习（最新考纲+知识梳理+辨析感悟+高频考点多点训练）第二章课
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【创新设计】2015届高考数学第一轮细致复习（最新考纲+知识梳理+辨析感悟+高频考点多点训练）第二章课,创新,立异,设计,高考,数学,第一轮,细致,复习,温习,最新,知识,梳理,辨析,感悟,高频,考点,多点,训练,第二
- 内容简介：
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第 6讲 对数与对数函数 最新考纲 1 理解对数的概念及其运算性质 ， 知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； 3 体会对数函数是一类重要的函数模型； 4了解指数函数 y ax(a 0，且 a1)与对数函数 y a 0，且 a1)互为反函数 . 2 理解对数函 数的概念及其单调性 ， 掌握对数函数的图象通过的特殊点 ， 会画底数为 2 , 10 ，12 的对数函数的图象 ； 知 识 梳 理 1 对数的概念 如果 N(a0， 且 a 1)， 那么数 的对数 ， 记作 ， 其中 叫做对数的底数 ， 叫做真数 x a N 2 对数的性质与运算法则 (1) 对数的性质 几个恒等式 ( M ， N ， a ， b 都是正数，且 a ， b 1) ； a ； b N a a b； a b ； lo g a b 1b a，推广 a b b c c d . N N (2) 对数的运算法则 ( a 0 ，且 a 1 ， M 0 ， N 0) a ( M N ) ； lo g ； a ( n R ) ； . 1n a M 3 对数函数的图象与性质 a 1 0 a 1 图象 性质 (1)定义域： . (2)值域： . (0， ) R a 1 0 a 1 性质 (3)过点 ，即 x 时， y . (4)当 x 1时， . 当 0 x 1时， . (5)当 x 1时， . 当 0 x 1时， . (6)在 (0， )上是 . (7)在 (0， )上是 . (1,0) 1 0 y 0 y 0 y 0 y 0 增函数 减函数 辨 析 感 悟 1 对数运算的辨析 (1) (2013 浙江卷改编 ) 已知 x ， y 为正实数， 2x y 2x 2lg y， 2 x y ) 2x2y， 2x y 2x 2y， 2 2x2y，以上四个式子错误的是 . ( ) (2) (2013 中山调研改编 ) 若 l 0 ，则 24. ( ) 2 对数函数的理解 (3) (2013 吉林调研改编 ) 函数 y x 4) 的定义域为 (2 ， ) ( ) (4) 对数函数 y a 0 且 a 1) 的图象过定点 (1,0) ，且过点( a, 1) ，1a， 1 ，函数图象只在第一、四象限 ( ) (5) (2014 长沙模拟改编 ) 函数 y lo a 0 ，且 a 1) 在 2,4 上的最大值与最小值的差是 1 ，则 a 2. ( ) (6) 2 ( ) 感悟 提升 三个防范 一是在运算性质中 ， 要特别注意条件 ， 底数和真数均大于 0， 底数不等于 1； 二是对公式要熟记 ， 防止混用； 三是对数函数的单调性 、 最值与底数 解题时要按 0a 1和 a 1分类讨论 ， 否则易出错 . 考点一 对数的运算 【例 1 】 (1) 1 2 _ (2) 已知函数 f ( x ) 满足：当 x 4 时， f ( x ) 12x；当 x 4 时， f ( x ) f ( x 1) 则 f (2 ( ) ) 解析 原式 1 2 2 lo 6 3 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1. 答案 (1)1 (2)A 规律方法 (1)在对数运算中 ， 先利用幂的运算把底数或真数进行变形 ， 化成分数指数幂的形式 ， 使幂的底数最简 ， 然后再运用对数运算法则化简合并 ， 在运算中要注意化同底或指数与对数互化 (2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算 、 化简 、 证明常用的技巧 【 训练 1】 (1)已知 m， n， 则 n _. (2)5 0 ()2 _. 答案 (1)12 (2)2 解析 (1) 2 ， 3 ， a2 m n 22 3 12. (2) 原式 (l g 2)2 (1 5)l g 2 52 (l g 2 1)l g 2 2 (1 1)l g 2 2 2(l g 2 5) 2. 考点二 对数函数的图象及其应用 【例 2 】 (2012 新课标全国卷 ) 当 0 x 12时， 4x a x ，则 a 的取值范围是 ( ) A.0 ，22B.22， 1 C (1 ， 2 ) D ( 2 ， 2) 审题路线 在同一坐标系下作出两个函数 y 4x与 y a x 的图象 画函数 y a x 的图象可考虑两种情况： a 1 和 0 a 1 观察图象，当 a 1 时不符合题意舍去，所以只画出 0 a 1 的情形 观察图象的交点12， 2 满足条件： a 12 2 即可 解析 由题意得，当 0 a 1 时，要使得 4x 0 x 12，即当 0 x 12时，函数 y 4象在函数 y lo 象的下方 又当 x 12时， 2 ，即函数 y 412， 2 ，把点12， 2代入函数 y 得 a 22，若函数 y 4y 需22 a 1( 如图所示 ) 答案 B 规律方法 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 当 a 1 时，不符合题意，舍去 所以实数 a 的取值范围是22 ， 1 . 【 训练 2】 (2014石家庄二模 )设方程 10x | x)|的两个根分别为 则 ( ) A 0 B 1 C 1 D 0 1 解析 构造函数 y 10x与 y | x)|， 并作出它们的图象 ，如图所示 答案 D 考点三 对数函数的性质及其应用 【例 3 】 (1) (2013 新课标全国 卷 ) 设 a lo b lo c 则 ( ) A c b a B b c a C a c b D a b c (2) 设函数 f ( x ) x 0 ， x ， x 0.若 f ( a ) f ( a ) ，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ( 1,0) (0,1) B ( ， 1) (1 ， ) C ( 1,0) (1 ， ) D ( ， 1) (0,1) 解析 (1)a 1 b 1 c 1 只要比较 同一坐标系中作出函数 y y y 三个图象的相对位置关系，可知 a b c. 答案 (1)D (2)C (2) 由题意可得 a 0 ， a lo g 2 a 0 ， a a ，解得 a 1 或 1 a 0. 规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解在利用单调性时，一定要明确底数 真数必须为正的限制条件 【训练 3 】 ( 1) ( 2014 郑州模拟 ) 若 x (e 1,1) ， a ln x ， b 12l n x， c el n x，则 a ， b ， c 的大小关系为 ( ) A c b a B b c a C a b c D b a c ( 2) 函数 f ( x ) lo 3) 在 1,3 上单调递增，则 a 的取值范围是( ) A (1 ， ) B ( 0,1) C.0 ，13D (3 ， ) 解析 (1) 依题意得 a ln x ( 1,0) ， b 12x (1,2) ， c x (e1,1) ，因此 b c a . (2) 由于 a 0 ，且 a 1 ， u 3 为增函数， 若函数 f ( x ) 为增函数，则 f ( x ) lo g a u 必为增函数，因此 a 1 ，又 u 3 在 1,3 上恒为正， a 3 0 ，即 a 3. 答案 (1)B (2)D (1)研究对数型函数的图象时 ， 一般从最基本的对数函数的图象入手 ， 通过平移 、 伸缩 、 对称变换得到 特别地 ， 要注意底数 a 1和 0 a 1的两种不同情况 有些复杂的问题 ， 借助于函数图象来解决 ， 就变得简单了 ， 这是数形结合思想的重要体现 (2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是 “ 同底法 ” ，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决 教你审题 2巧用对数函数图象解题 审题 一审条件 ：转化函数 y | x |为 y x ， x 1 ， x ， 0 x 图 二审条件 ：见上图 三审条件 ：转化为 a 是 A ， C 两点横坐标之差的绝对值， b 是 B ，D 两点横坐标之差的绝对值 A ， B 的横坐标即是方程 | C ， D 的横坐标即是方程 | lo 82 m 1的解，求出 A ， B ，C ， D 点的横坐标 四审问题 ：把m 的函数，利用导数或不等式求解即可 解析 数形结合可知 A ， C 点的横坐标在区间 (0,1) 上， B ， D 点的横坐标在区间 (1 ， ) 上，而且 以| 根据已知 | m ，即 m ，所以 2 m. 同理可得 ， 2m， ，所以 . 只要求出82 m 1 m 的最小值即可 法一 构造函数 g ( m ) 82 m 1 m ，则 g ( m ) 16 2 m 1 2 1 2 m 5 2 m 3 2 m 1 2 ，由于 m 0 ，显然可得 g ( m ) 在 (0 ， ) 上有唯一的极小值点，也是最小值点 m 32， 故 g ( m ) m g3272，即 8 2 . 法二 82 m 1 m 4m 12 m 4m 12 m 1212 4 1272，当且仅当4m 12 m 12，即 m 32时等号成立，故 8 2 .
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